Encuentra los intervalos solución para las siguientes inecuaciones

 

1{\displaystyle\frac{x-2}{x-4} \ge 0}

 

{\displaystyle\frac{x-2}{x-4} \ge 0}

 

1 Hallamos las raíces del numerador y del denominador.

 

{x-2=0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x=2}

 

{x-4=0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x=4}

 

2 Representamos estos valores en la recta real, teniendo en cuenta que las raíces del denominador, independientemente del signo de la desigualdad, tienen que ser abiertas

 

Intervalo de soluciones 1 representación gráfica

 

3 Tomamos un punto de cada intervalo, evaluamos en la inecuación inicial y observamos el signo en cada intervalo:

 

{x=0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \displaystyle\frac{0-2}{0-4}>0}

 

{x=3 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \displaystyle\frac{3-2}{3-4}<0}

 

{x=5 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \displaystyle\frac{5-2}{5-4}>0}

 

Intervalo de soluciones 2 representación gráfica

 

4 La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que la fracción polinómica

 

{S=(-\infty, 2] \cup (4, \infty)}

 

El 4 está abierto porque es una raíz del denominador y no puede ser cero

 

2{\displaystyle\frac{x^{2}+4}{x^{2}-4} \ge 0}

 

 

{\displaystyle\frac{x^{2}+4}{x^{2}-4} \ge 0}

 

1 El numerador siempre es positivo, por lo cual no tiene raíz real. Hallamos la raíz del denominador

 

{x^{2}-4=0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x=\pm 2}

 

2 Cuando {x \neq \pm 2}, el denominador no se puede anular porque no existe una fracción con denominador {0}, por lo que el denominador de la inecuación original será equivalente a:

 

{x^{2}-4=0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x \neq\pm 2}

 

3 Sustituimos un representante de cada uno de los intervalos {(-\infty,-2), \; (-2,2), \; (2, \infty)}

 

{x=-3 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \displaystyle\frac{(-3)^{2}+4}{(-3)^{2}-4}>0}

 

{x=0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \displaystyle\frac{(0)^{2}+4}{(0)^{2}-4}<0}

 

{x=3 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \displaystyle\frac{(3)^{2}+4}{{3}^{2}-4}>0}

 

Ejercicio de inecuaciones fraccionarias 3 representación gráfica

 

4 La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que la fracción polinómica

 

{S=(-\infty, -2) \cup (2, \infty)}

 

3{\displaystyle\frac{x^{2}-1}{-x^{2}+2x-1} \le 0}

 

 

{\displaystyle\frac{x^{2}-1}{-x^{2}+2x-1} \le 0}

 

1Hallamos las raíces del numerador y del denominador

 

{x^{2}-1=0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x=\pm 1}

 

{-x^{2}+2x-1=0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x=1}

 

2 Cuando {x \neq 1}, el denominador no se puede anular porque no existe una fracción con denominador {0}. Además el denominador se puede factorizar, por lo que el denominador de la inecuación original será equivalente a:

 

{-x^{2}+2x-1=-(x-1)=0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x \neq 1}

 

3 Sustituimos un representante de cada uno de los intervalos {(-\infty,-1], \; [-2,1), \; (1, \infty)} en el numerador de la inecuación inicial

 

{x=-2 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  (-2)^{2}-1>0}

 

{x=0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  (-2)^{2}-1<0}

 

{x=2 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  (2)^{2}-1>0}

 

Como el denominador siempre es negativo, obtenemos

 

Ejercicio de inecuaciones fraccionarias 4 representación gráfica

 

4 La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que la fracción polinómica

 

{S=(-\infty, -1] \cup (1, \infty)}

 

4{\displaystyle\frac{x^{2}-1}{x^{2}-4} \le 0}

 

 

4{\displaystyle\frac{x^{2}-1}{x^{2}-4} \le 0}

 

1 Hallamos las raíces del numerador y del denominador

 

{x^{2}-1=0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x=\pm 1}

 

{x^{2}-4=0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x= \pm 2}

 

2 Cuando {x \neq \pm 2}, el denominador no se puede anular porque no existe una fracción con denominador {0}, por lo que el denominador de la inecuación original será equivalente a:

 

{x^{2}-4=0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x \neq\pm 2}

 

3 Sustituimos un representante de cada uno de los intervalos {(-\infty,-2), \; (-2,-1], \; [-1,1], \; [1,2), \; (2, \infty)}

 

{x=-3 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  \displaystyle\frac{(-3)^{2}-1}{(-3)^{2}-4}>0}

 

{x=-\displaystyle\frac{3}{2} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \displaystyle\frac{\left(-\displaystyle\frac{3}{2}\right)^{2}-1}{\left(-\displaystyle\frac{3}{2}\right)^{2}-4}<0}

 

{x=0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \displaystyle\frac{(0)^{2}-1}{(0)^{2}-4}>0}

 

{x=\displaystyle\frac{3}{2} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \displaystyle\frac{\left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)^{2}-1}{\left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)^{2}-4}<0}

 

{x=3 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \displaystyle\frac{(3)^{2}-1}{(3)^{2}-4}>0}

 

Ejercicio de inecuaciones fraccionarias 5 representación gráfica

 

4 La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que la fracción polinómica

 

{S=(-2, -1] \cup [1, 2)}

 

5{\displaystyle\frac{x+3}{x-2} <2}

 

 

{\displaystyle\frac{x+3}{x-2} <2}

 

1 Pasamos el 2 al primer miembro, ponemos un común denominador y obtenemos

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle\frac{x+3}{x-2}-2 & < & 0 \\ && \\ \displaystyle\frac{x+3-2(x-2)}{x-2} & < & 0 \\ && \\ \displaystyle\frac{-x+7}{x-2} & < & 0 \end{array}}

 

2 Hallamos las raíces del numerador y del denominador

 

{-x+7=0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x=7}

 

{x-2=0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x= 2}

 

3 Sustituimos un representante de cada uno de los intervalos {(-\infty,2), \; (2,7), \; (7, \infty)}

 

{x=0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \displaystyle\frac{-(0)+7}{(0)-2}<0}

 

{x=3 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \displaystyle\frac{-(3)+7}{(3)-2}>0}

 

{x=8 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \displaystyle\frac{-(8)+7}{(8)-2}<0}

 

Ejercicio de inecuaciones fraccionarias 6 representación gráfica

 

4 La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que la fracción polinómica

 

{S=(-\infty, 2) \cup (7, \infty)}

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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