Ejercicios de inecuaciones de segundo y cuarto grado

x² − 6x + 8 > 0

1º     Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos
las raíces de la ecuación de segundo grado.

x² − 6x + 8 = 0

Las soluciones son raíces reales distintas porque el discriminante
es mayor que cero (Δ > 0)

2º     Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un
punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:

Los puntos extremos están en blanco porque no pertenecen a la
solución, ya que no es mayor o igual

P(0) = 0² − 6 · 0 + 8 > 0

P(3) = 3² − 6 · 3 + 8 = 17 − 18 < 0

P(5) = 5² − 6 · 5 + 8 = 33 − 30 > 0

3º     La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo)
que tengan el mismo signo que el polinomio.

Los intervalos son abiertos porque 2 y 4 no están incluidos en la solución

S = (–∞, 2) (4, ∞)

x² + 2x +1 ≥ 0

Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y resolvemos la ecuación

x² + 2x +1 = 0

Obtenemos una raíz doble. Factorizamos:

(x + 1)² ≥ 0

Como un número elevado al cuadrado es siempre positivo la solución es

x² + x + 1 > 0

Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y resolvemos la ecuación

x² + x + 1 = 0

Cuando no tiene raíces reales, le damos al polinomio cualquier valor, por
ejemplo x = 0

0² + 0 +1 > 0

Como se cumple la desigualdad, la solución es

7x² + 21x − 28 < 0

Simplificamos dividiendo por 7

x² + 3x − 4 < 0

Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces
de la ecuación de segundo grado

x² + 3x − 4 = 0

Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada
intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo

P(−6) = (−6)² + 3 · (−6) − 4 > 0

P(0) = 0² + 3 · 0 − 4 < 0

P(3) = 3² + 3 · 3 − 4 > 0

x ∈ (−4, 1)

−x² + 4x − 7 < 0

Siempre que nos encontremos con una inecuación de segundo grado con
a<0 multiplicamos los dos miembros por −1, por los que cambia el sentido
de la desigualdad

x² − 4x + 7 > 0

Igualamos a cero y resolvemos la ecuación

x² − 4x + 7 = 0

Como no tiene raíces reales le damos un valor al azar (el cero es el más simple)
en la inecuación original

−0² + 4 · 0 − 7 < 0           − 7 < 0

Como se cumple la desigualdad la solución es    

Si no se hubiese cumplido la desigualdad no hubiese tenido solución

Igualamos a cero y buscamos las raíces de la ecuación de segundo grado

Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada
intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo

P(−3) = 4 · (−3)² − 16 > 0

P(0) = 4 · 0² − 16 < 0

P(3) = 4 · 3² − 16 > 0

x ∈ (-∞ , −2 ] [2, +∞)

4x² − 4x + 1 ≤ 0

Igualamos a cero y buscamos las raíces de la ecuación de segundo grado

4x² − 4x + 1 = 0

Obtenemos una raíz doble. Factorizamos:

Como el binomio está elevado al cuadrado será siempre positivo, por tanto
nunca será menor que cero. Pero si puede ser igual a cero, con lo que
obtendríamos la solución:

Para resolver la ecuación realizamos la raíz cuadrada en los dos miembros

Extraemos factor común de x²

Como el primer factor es siempre positivo, sólo tendremos que estudiar
el signo del 2º factor.

Igualamos el 2º factor a cero y buscamos sus raíces

Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada
intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo

P(−17) = (−17)² + 12 · 17 − 64 > 0

P(0) = 0² + 12 · 0 − 64 < 0

P(5) = 5 ² + 12 · 5 − 64 > 0

x ∈ (-∞, −16) (4, ∞)

Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces
de la ecuación bicuadrada

x⁴ − 25x² + 144 = 0

Para resolver la ecuación realizamos un cambio de variable:

Resolvemos la ecuación de segundo grado que hemos obtenido

Deshacemos el cambio de variable para encontrar las soluciones de la
ecuación bicuadrada

Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada
intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo

P(−5) = (−5)⁴ − 25 · (−5)² + 144 >0

P(−3.5) = (−3.5)⁴ − 25 · (−3.5)² + 144 < 0

P(0) = 0⁴ − 25 · 0² + 144 > 0

P(3.5) = 3.5⁴ − 25 · 3.5² + 144 < 0

P(5) = 5⁴ − 25 · 5² + 144 > 0

x ∈ (−4, −3) (3, 4)

x⁴ − 16x² − 225 ≥ 0

Para resolver la ecuación realizamos un cambio de variable:

Resolvemos la ecuación

Deshacemos el cambio de variable

(x + 5) · (x − 5) · (x² + 9) ≥ 0

Podemos observar que (x² + 9) siempre dará como resultado un valor positivo
sin importar que valor le demos a x.

Entonces, para que (x + 5) · (x − 5) · (x² + 9)  sea mayor o igual que cero
existen 2 casos.

Caso 1 :    (x + 5)>0  y  (x − 5)> 0 . Si ambos son positivos, el producto
de los 3 factores sera positivo.

Caso 2:   (x + 5)<0  y  (x − 5)< 0 . Si ambos son negativos, el producto
de los 3 factores sera positivo.

Analizando el caso 1:

(x + 5)>0 se cumple cuando  x > -5
(x − 5)> 0 se cumple cuando x> 5

Entonces, del caso 1 obtenemos que las condiciones se cumplen cuando
x > -5  y  x > 5  , notamos que esto solo puede ocurrir cuando  x > 5

Analizando el caso 2:

(x + 5)<0 se cumple cuando  x < -5
(x − 5)< 0 se cumple cuando x < 5

Entonces, del caso 1 obtenemos que las condiciones se cumplen cuando
x < -5  y  x < 5  , notamos que esto solo puede ocurrir cuando  x < -5

Por lo tanto, el intervalo es:

x ∈ (-∞, −5] [5, +∞)

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