Resuelve las inecuaciones siguientes

 

1 x^2 - 6x + 8 > 0

 

1 Igualamos el polinomio del primer miembro a cero, factorizamos y obtenemos
las raíces de la ecuación de segundo grado.

 

\begin{array}{rcl}x^2 - 6x + 8 & = & 0 \\\\ (x - 2)(x - 4) & = & 0 \end{array}

 

Igualando los factores a cero, se obtienen las raíces x = 2 y x = 4

 

2 Las raíces dividen la recta real en tres intervalos: (-\infty, 2), \ (2, 4), \ (4, \infty)

 

Los puntos extremos están en blanco porque no pertenecen a la
solución, ya que no es mayor o igual

 

Delimitación de valores posibles. 2

 

3Tomamos un representante de cada intervalo y lo sustituimos en la inecuación

 

\begin{array}{l} 0 \in (-\infty, 2) \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 0^2 - 6 \cdot 0 + 8 > 0 \\\\ 3 \in (2, 4) \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 3^2 - 6 \cdot 3 + 8 = 17 - 18 < 0 \\\\ 5 \in (4, \infty) \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 5^2 - 6 \cdot 5 + 8 = 33 - 30 > 0 \end{array}

 

Intervalo de la inecuacion.

 

4 La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo)
que tengan el mismo signo que el polinomio.

 

Los intervalos son abiertos porque 2 y 4 no están incluidos en la solución

 

Así, la solución es S = (-\infty, 2) \cup (4, \infty)

 

2 x^2 + 2x +1 \geq 0

 

1 Igualamos el polinomio del primer miembro a cero, factorizamos y obtenemos
las raíces de la ecuación de segundo grado.

 

\begin{array}{rcl}x^2 + 2x +1 & = & 0 \\\\ (x + 1)^2 & = & 0 \end{array}

 

Igualando los factores a cero, se obtienen la raiz x = -1

 

2 Como un número elevado al cuadrado es siempre positivo la solución es \mathbb{R}

 

3 x^2 + x +1 > 0

 

1 Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y resolvemos la ecuación

 

x^2 + x +1 = 0

 

El polinomio no se puede factorizar por métodos elementales, por lo que estudiamos su discriminante

 

\Delta = 1^2 - 4(1)(1) < 0

 

Como el discriminante es negativo, entonces no tiene raíces reales. Le damos al polinomio cualquier valor, por ejemplo x = 0

 

0^2 + 0 +1 > 0

 

2 Como se cumple la desigualdad, la solución es \mathbb{R}

 

4 7x^2 + 21x - 28 < 0

 

1 Igualamos el polinomio del primer miembro a cero, factorizamos y obtenemos
las raíces de la ecuación de segundo grado.

 

\begin{array}{rcl}7x^2 + 21x - 28 & = & 0 \\\\ 7(x^2 + 3x - 4) & = & 0 \\\\ 7(x + 4)(x - 1) & = & 0 \end{array}

 

Igualando los factores a cero, se obtienen las raíces x = -4 y x = 1

 

2 Las raíces dividen la recta real en tres intervalos: (-\infty, -4), \ (-4, 1), \ (1, \infty)

 

Las raíces no pertenecen a la solución, ya que no es menor o igual

 

3Tomamos un representante de cada intervalo y lo sustituimos en la inecuación

 

\begin{array}{l} -6 \in (-\infty, -4) \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ (-6)^2 + 3 \cdot (-6) - 4 > 0 \\\\ 0 \in (-4, 1) \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 0^2 + 3 \cdot 0 - 4 < 0 \\\\ 3 \in (1, \infty) \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 3^2 + 3 \cdot 3 - 4 > 0 \end{array}

 

Intervalo de la inecuacion. 2

 

4 La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo)
que tengan el mismo signo que el polinomio.

 

Los intervalos son abiertos porque -4 y 1 no están incluidos en la solución

 

Así, la solución es S = (-4, 1)

 

5 -x^2 + 4x - 7 < 0

 

1 Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y resolvemos la ecuación

 

-x^2 + 4x - 7 = 0

 

El polinomio no se puede factorizar por métodos elementales, por lo que estudiamos su discriminante

 

\Delta = 4^2 - 4(-7)(-7) < 0

 

Como el discriminante es negativo, entonces no tiene raíces reales. Le damos al polinomio cualquier valor, por ejemplo x = 0

 

-0^2 + 4 \cdot 0 - 7 < 0

 

2 Como se cumple la desigualdad, la solución es \mathbb{R}

 

Si no se hubiese cumplido la desigualdad no hubiese tenido solución.

 

64x^2-16\geq 0

1 Obtener los valores críticos de la inecuación

 

Para esto igualamos a cero y factorizamos

 

\begin{array}{rcl}4x^2-16 & = & 0 \\\\ 4(x^2-4) & = & 0 \\\\ 4(x-2)(x+2) & = & 0 \end{array}

 

Igualando los factores a cero, se obtienen las raíces x =-2, \qquad x =2. Estas raíces son soluciones (ya que al sustituir en la inecuación se cumple la igualdad)

 

2 Representar los valores críticos en la recta numérica

 

Como las raíces son x_1=2 y x_2=-2, la recta real se divide en los intervalos (-\infty,-2), (-2,2) y  (2, \infty).

 

3 Tomamos los valores -3, 0 y  3, y los evaluamos en la inecuación

 

\begin{array}{l} x = -3 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 4(-3+2)(-3-2)=20>0 \\\\ x = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 4(2)(-2)=-16<0 \\\\ x = 3 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 4(3+2)(3-2)=20>0 \end{array}

 

intervalo cerrado 1

 

4Ya que la expresión cuadrática es positiva, la solución de la inecuación es la unión de dos intervalos: S = (-\infty, -2]\cup [2,\infty).

 

74x^2-4x+1 \leq0

1 Obtener los valores críticos de la inecuación

 

Para esto igualamos a cero y factorizamos

 

\begin{array}{rcl} 4x^2-4x+1 & = & 0 \\\\ 4\left (x^2-x+\dfrac{1}{4}\right ) & = & 0 \\\\ 4\left(x^2+2\left (- \dfrac{1}{2}x\right ) + \left(- \dfrac{1}{2} \right)^2 \right) & = & 0 \\\\ 4\left ( x-\dfrac{1}{2} \right)^2 & = & 0 \end{array}

 

Igualando el factor a cero, se obtiene la raíz x = \cfrac{1}{2}

 

2 Como el binomio al cuadrado es negativo y el signo es menor o igual que, la inecuación tiene una única solución: x=\cfrac{1}{2}.

 

8x^4+12x^3-64x^2 \geq 0

1 Obtener los valores críticos de la inecuación

 

Para esto igualamos a cero y factorizamos

 

\begin{array}{rcl}x^4+12x^3-64x^2 & = & 0 \\\\ x^2 (x^2+12x -64) & = & 0 \\\\ x^2(x-4)(x+16) & = & 0 \end{array}

 

Igualando los factores a cero se obtienen las raíces x = -16, 0, 4 . Estas raíces son soluciones (ya que al sustituir en la inecuación se cumple la igualdad)

 

2 Representar los valores críticos en la recta numérica

 

Como las raíces son x=4, \ x = 0 y x=-16, la recta real se divide en los intervalos (-\infty,-16), \ (-16,0), \ (0, 4) y  (4, \infty).

 

3Tomamos los valores -20, -10, 1 y  5, y los sustituimos en la inecuación

 

\begin{array}{l} x = -20 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ (-20)^2(-20-4)(-20+16)=400(-24)(-4)>0 \\\\ x = -10 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ (-10)^2(-10-4)(-10+16)=100(-14)(6)<0 \\\\ x = 1 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ (1)^2(1-4)(1+16)=(-3)(17) <0 \\\\ x = 5 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 5^2(5-4)(-5+16)=25(11)>0 \end{array}

 

intervalo cerrado 2

 

4 Como la expresión cuadrática es positiva, la solución es la unión de los intervalos (-\infty,-16)\cup (4, \infty) y los valores críticos. Así, la solución es S = (-\infty,-16] \cup \{0\} \cup [4, \infty)

 

9x^4-25x^2+144< 0

1 Obtener los valores críticos de la inecuación

 

Para esto igualamos a cero y factorizamos

 

\begin{array}{rcl}x^4-25x^2+144 & = & 0 \\\\ (x^2)^2-25(x^2)+144 & = & 0 \\\\ (x^2-16)(x^2-9) & = & 0 \\\\ (x - 4)(x + 4)(x - 3)(x + 3) & = & 0 \end{array}

 

Igualando los factores a cero se obtienen las raíces x = \pm 4, \pm 3 .

 

2 Representar los valores críticos en la recta numérica

 

Como las raíces son x = \pm 4, \pm 3, la recta real se divide en los intervalos (-\infty,-4),(-4,-3),(-3,3), (3,4) y  (4, \infty).

 

3 Tomamos los valores -5, -3.5, 0, 3.5 y  5, y los sustituimos en la inecuación

 

\begin{array}{l} x = -5 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ (-1)(-9)(-2)(-8)>0 \\\\ x = -3.5 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ (0.5)(-7.5)(-0.5)(-6.5)<0 \\\\ x = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ (4)(-4)(3)(-3)>0 \\\\ x = 3.5 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ (-0.5)(7.5)(0.5)(6.5)<0 \\\\ x = 5 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ (1)(9)(2)(8)>0 \end{array}

 

intervalo abierto 4

 

4 Como la expresión cuadrática es negativa, la solución es la unión de los intervalos S=(-4,-3)\cup (3,4).

 

10x^4-16x^2-225 \geq 0

1 Obtener los valores críticos de la inecuación

 

Para esto igualamos a cero y factorizamos

 

\begin{array}{rcl}x^4-16x^2-225 & = & 0 \\\\ (x^2)^2-16(x^2)-225 & = & 0 \\\\ (x^2-25)(x^2+9) & = & 0 \\\\ (x-5)(x+5)(x^2+9) & = & 0 \end{array}

 

Como el binomio x^2 +9 siempre es mayor a cero para cualquer valor de x, únicamente se consideran los binomios lineales para calcular los valores críticos. Así, x = \pm 5 son las raíces buscadas. Estas raíces son soluciones (ya que al sustituir en la inecuación se cumple la igualdad)

 

2 Representar los valores críticos en la recta numérica

 

Como las raíces son x = \pm 5, la recta real se divide en los intervalos (-\infty,-5),(-5, 5) y  (5, \infty).

 

3 Tomamos los valores -10, 0 y  10,, sustituimos en la inecuación

 

\begin{array}{l} x = -10 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ (-15)(-5)(109)\geq 0 \\\\ x = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ (-5)(5)(9)\leq 0 \\\\ x = 10 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ (15)(5)(109)\geq 0 \end{array}

 

intervalo cerrado 3

 

4 Como la expresión cuadrática es positiva o cero, la solución es la unión de los intervalos y los valores críticos, esto es,  S = (-\infty,-5]\cup [5, \infty).

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗