Resuelve las inecuaciones siguientes

 

1 x² − 6x + 8 > 0

 

x² − 6x + 8 > 0

 

    Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos
las raíces de la ecuación de segundo grado.

 

x² − 6x + 8 = 0

 

Formula general para resolver ecuaciones de segundo grado.

 

Las soluciones son raíces reales distintas porque el discriminante
es mayor que cero (Δ > 0)

 

    Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un
punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:

Los puntos extremos están en blanco porque no pertenecen a la
solución, ya que no es mayor o igual

 

Delimitación de valores posibles. 2

 

P(0) = 0² − 6 · 0 + 8 > 0

P(3) = 3² − 6 · 3 + 8 = 17 − 18 < 0

P(5) = 5² − 6 · 5 + 8 = 33 − 30 > 0

 

    La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo)
que tengan el mismo signo que el polinomio.

 

Intervalo de la inecuacion.

 

Los intervalos son abiertos porque 2 y 4 no están incluidos en la solución

 

S = (–∞, 2) Unión (4, ∞)

 

2 x² + 2x +1 ≥ 0

 

x² + 2x +1 ≥ 0

 

Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y resolvemos la ecuación

 

x² + 2x +1 = 0

 

Formula general para resolver ecuaciones de segundo grado. 2

 

Obtenemos una raíz doble. Factorizamos:

 

(x + 1)² ≥ 0

 

Como un número elevado al cuadrado es siempre positivo la solución es

 

3 x² + x +1 > 0

 

x² + x + 1 > 0

 

Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y resolvemos la ecuación

 

x² + x + 1 = 0

 

Formula general para resolver ecuaciones de segundo grado. 3

 

Cuando no tiene raíces reales, le damos al polinomio cualquier valor, por
ejemplo x = 0

 

0² + 0 +1 > 0

 

Como se cumple la desigualdad, la solución es

 

4 7x² + 21x − 28 < 0

 

7x² + 21x − 28 < 0

 

Simplificamos dividiendo por 7

 

x² + 3x − 4 < 0

 

Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces
de la ecuación de segundo grado

 

x² + 3x − 4 = 0

 

Formula general para resolver ecuaciones de segundo grado. 4

 

Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada
intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo

 

P(−6) = (−6)² + 3 · (−6) − 4 > 0

P(0) = 0² + 3 · 0 − 4 < 0

P(3) = 3² + 3 · 3 − 4 > 0

 

Intervalo de la inecuacion. 2

x ∈ (−4, 1)

 

5 −x² + 4x − 7 < 0

 

−x² + 4x − 7 < 0

 

Siempre que nos encontremos con una inecuación de segundo grado con
a<0 multiplicamos los dos miembros por −1, por los que cambia el sentido
de la desigualdad

 

x² − 4x + 7 > 0

 

Igualamos a cero y resolvemos la ecuación

 

x² − 4x + 7 = 0

 

Formula general para resolver ecuaciones de segundo grado. 5

 

Como no tiene raíces reales le damos un valor al azar (el cero es el más simple)
en la inecuación original

−0² + 4 · 0 − 7 < 0           − 7 < 0

 

Como se cumple la desigualdad la solución es    

 

Si no se hubiese cumplido la desigualdad no hubiese tenido solución

 

6 4x^2 - 16 \geq  0

 

4x^2 - 16 \geq  0

Igualamos a cero y buscamos las raíces de la ecuación de segundo grado

 

Valores de la raíz cuadrada.

 

Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada
intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo

 

Delimitación de valores posibles. 2

 

P(−3) = 4 · (−3)² − 16 > 0

P(0) = 4 · 0² − 16 < 0

P(3) = 4 · 3² − 16 > 0

 

Intervalo de la inecuacion. 3

 

x ∈ (-∞ , −2 ] Unión [2, +∞)

 

7 4x² − 4x + 1 ≤ 0

 

4x² − 4x + 1 ≤ 0

 

Igualamos a cero y buscamos las raíces de la ecuación de segundo grado

 

4x² − 4x + 1 = 0

 

Formula general para resolver ecuaciones de segundo grado. 7

 

Obtenemos una raíz doble. Factorizamos:

(x-\frac{1}{2})^2 \leq 0

 

Como el binomio está elevado al cuadrado será siempre positivo, por tanto
nunca será menor que cero. Pero si puede ser igual a cero, con lo que
obtendríamos la solución:

 

Simplificando la ecuación

 

Para resolver la ecuación realizamos la raíz cuadrada en los dos miembros

 

 

8 x^4+12x^3-64x^2 >  0

 

x^4+12x^3-64x^2 >  0

Extraemos factor común de x²

 

x^2(x^2+12x-64)>0

 

Como el primer factor es siempre positivo, sólo tendremos que estudiar
el signo del 2º factor.

 

Igualamos el 2º factor a cero y buscamos sus raíces

 

x^2+12x-64=0

 

Formula general para resolver ecuaciones de segundo grado. 8

 

Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada
intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo

 

Delimitación de valores posibles. 3

 

P(−17) = (−17)² + 12 · 17 − 64 > 0

P(0) = 0² + 12 · 0 − 64 < 0

P(5) = 5 ² + 12 · 5 − 64 > 0

 

Intervalo de la inecuacion. 4

 

x ∈ (-∞, −16) Unión (4, ∞)

 

9 x4 − 25x² + 144 < 0

 

Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces
de la ecuación bicuadrada

 

x4 − 25x² + 144 = 0

 

Para resolver la ecuación realizamos un cambio de variable:

 

x^2=t

t^2-25t+144=0

 

Resolvemos la ecuación de segundo grado que hemos obtenido

 

Formula general para resolver ecuaciones de segundo grado. 9

 

Deshacemos el cambio de variable para encontrar las soluciones de la
ecuación bicuadrada

 

Valores de la raíz cuadrada. 2

 

Valores de la raíz cuadrada. 3

 

Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada
intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo

 

P(−5) = (−5)4 − 25 · (−5)² + 144 >0

P(−3.5) = (−3.5)4 − 25 · (−3.5)² + 144 < 0

P(0) = 04 − 25 · 0² + 144 > 0

P(3.5) = 3.54 − 25 · 3.5² + 144 < 0

P(5) = 54 − 25 · 5² + 144 > 0

 

 

x ∈ (−4, −3) Unión (3, 4)

 

10 x4 − 16x² − 225 ≥ 0

 

x4 − 16x² − 225 ≥ 0

 

Para resolver la ecuación realizamos un cambio de variable:

 

 

Resolvemos la ecuación

 

Formula general para resolver ecuaciones de segundo grado. 10

 

Deshacemos el cambio de variable

 

Valores de la raíz cuadrada. 4

 

Valores de la raíz cuadrada. 5

 

(x + 5) · (x − 5) · (x² + 9) ≥ 0

 

Podemos observar que (x² + 9) siempre dará como resultado un valor positivo
sin importar que valor le demos a x.

Entonces, para que (x + 5) · (x − 5) · (x² + 9)  sea mayor o igual que cero
existen 2 casos.

Caso 1 :    (x + 5)>0  y  (x − 5)> 0 . Si ambos son positivos, el producto
de los 3 factores sera positivo.

Caso 2:   (x + 5)<0  y  (x − 5)< 0 . Si ambos son negativos, el producto
de los 3 factores sera positivo.

Analizando el caso 1:

(x + 5)>0 se cumple cuando  x > -5
(x − 5)> 0 se cumple cuando x> 5

Entonces, del caso 1 obtenemos que las condiciones se cumplen cuando
x > -5  y  x > 5  , notamos que esto solo puede ocurrir cuando  x > 5

Analizando el caso 2:

(x + 5)<0 se cumple cuando  x < -5
(x − 5)< 0 se cumple cuando x < 5

Entonces, del caso 1 obtenemos que las condiciones se cumplen cuando
x < -5  y  x < 5  , notamos que esto solo puede ocurrir cuando  x < -5

Por lo tanto, el intervalo es:

 

Intervalo de la inecuacion. 5

 

x ∈ (-∞, −5] Unión [5, +∞)

Entra en Superprof y encuentra el curso matematicas que más se adapte a lo que estás buscando.

 

Superprof

¿Te ha gustado el artículo?

¿Ninguna información? ¿En serio?Ok, intentaremos hacerlo mejor la próxima vezAprobado por los pelos. ¿Puedes hacerlo mejor?Gracias. Haznos cualquier pregunta en los comentar¡Un placer poder ayudarte! :) (21 votes, average: 4,19 out of 5)
Cargando…

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

¿Te ha gustado
este material?

¡Bravo!

¡Descárgatelo en formato PDF poniendo tu correo electrónico!

{{ downloadEmailSaved }}

Tu correo electrónico no es válido

6
Publicar un comentario

avatar
3 Comment threads
3 Thread replies
0 Followers
 
Most reacted comment
Hottest comment thread
4 Comment authors
Carlos Alberto Palafox BenitezGiancarlo RomeroDecano de UNIPorco sola Recent comment authors
  Subscribe  
newest oldest most voted
Notify of
Porco sola
Porco sola
Guest
29 Ago.

Como resuelvo este ejercicio x elevando al cuadrado >7x-10 ayudenme porfa esque no tiene cero y me complica

Carlos Alberto Palafox Benitez
Carlos Alberto Palafox Benitez
Guest
28 Oct.

Tenemos: x²>7x-10 En ambos lados de la desigualdad, restamos 7 y sumamos 10, de tal modo que queda: x²-7x+10 > 0 Factorizamos el trinomio y obtenemos : (x-5)(x-2)>0 Notemos que existen 2 casos para que este producto (x-5)(x-2) de como resultado cero. cuando x=5 y cuando x=2 Si eso pasara, la desigualdad no se cumpliría, ya que pide ser estrictamente mayor que cero, asi que 2 y 5 no pertenecen al dominio. Aparte: Cuando estos 2 valores se multiplican (x-5)(x-2) , exiten 2 formas en las que el producto sera mayo que cero. Cuando (x-5)>0 y (x-2)>0 , es decir,… Read more »

Decano de UNI
Decano de UNI
Guest
22 Oct.

el ultimo ejercicio no se entiende el final y esta mal ejecutado ya que la respuesta es correcta pero el procedimiento malo.

Carlos Alberto Palafox Benitez
Carlos Alberto Palafox Benitez
Guest
2 Nov.

He revisado el ejercicio y veo que tiene razón, la ejecución puede ser mas clara, en unos momentos lo corregiré, muchas gracias por tomarse el tiempo de hacer el comentario.

Giancarlo Romero
Giancarlo Romero
Guest
30 Oct.

En la 8 los intervalos no serían abiertos?

Carlos Alberto Palafox Benitez
Carlos Alberto Palafox Benitez
Guest
2 Nov.

Efectivamente, estas en lo correcto, en unos momentos lo corregiré.

Muchas gracias por tomarte el tiempo de dejar tu comentario.