Resuelve las inecuaciones siguientes

 

1 x² − 6x + 8 > 0

 

x² − 6x + 8 > 0

 

    Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos
las raíces de la ecuación de segundo grado.

 

x² − 6x + 8 = 0

 

Formula general para resolver ecuaciones de segundo grado.

 

Las soluciones son raíces reales distintas porque el discriminante
es mayor que cero (Δ > 0)

 

    Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un
punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:

Los puntos extremos están en blanco porque no pertenecen a la
solución, ya que no es mayor o igual

 

Delimitación de valores posibles. 2

 

P(0) = 0² − 6 · 0 + 8 > 0

P(3) = 3² − 6 · 3 + 8 = 17 − 18 < 0

P(5) = 5² − 6 · 5 + 8 = 33 − 30 > 0

 

    La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo)
que tengan el mismo signo que el polinomio.

 

Intervalo de la inecuacion.

 

Los intervalos son abiertos porque 2 y 4 no están incluidos en la solución

 

S = (–∞, 2) Unión (4, ∞)

 

2 x² + 2x +1 ≥ 0

 

x² + 2x +1 ≥ 0

 

Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y resolvemos la ecuación

 

x² + 2x +1 = 0

 

Formula general para resolver ecuaciones de segundo grado. 2

 

Obtenemos una raíz doble. Factorizamos:

 

(x + 1)² ≥ 0

 

Como un número elevado al cuadrado es siempre positivo la solución es

 

3 x² + x +1 > 0

 

x² + x + 1 > 0

 

Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y resolvemos la ecuación

 

x² + x + 1 = 0

 

Formula general para resolver ecuaciones de segundo grado. 3

 

Cuando no tiene raíces reales, le damos al polinomio cualquier valor, por
ejemplo x = 0

 

0² + 0 +1 > 0

 

Como se cumple la desigualdad, la solución es

 

4 7x² + 21x − 28 < 0

 

7x² + 21x − 28 < 0

 

Simplificamos dividiendo por 7

 

x² + 3x − 4 < 0

 

Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces
de la ecuación de segundo grado

 

x² + 3x − 4 = 0

 

Formula general para resolver ecuaciones de segundo grado. 4

 

Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada
intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo

 

P(−6) = (−6)² + 3 · (−6) − 4 > 0

P(0) = 0² + 3 · 0 − 4 < 0

P(3) = 3² + 3 · 3 − 4 > 0

 

Intervalo de la inecuacion. 2

x ∈ (−4, 1)

 

5 −x² + 4x − 7 < 0

 

−x² + 4x − 7 < 0

 

Siempre que nos encontremos con una inecuación de segundo grado con
a<0 multiplicamos los dos miembros por −1, por los que cambia el sentido
de la desigualdad

 

x² − 4x + 7 > 0

 

Igualamos a cero y resolvemos la ecuación

 

x² − 4x + 7 = 0

 

Formula general para resolver ecuaciones de segundo grado. 5

 

Como no tiene raíces reales le damos un valor al azar (el cero es el más simple)
en la inecuación original

−0² + 4 · 0 − 7 < 0           − 7 < 0

 

Como se cumple la desigualdad la solución es    

 

Si no se hubiese cumplido la desigualdad no hubiese tenido solución

 

6 4x^2 - 16 \geq  0

 

4x^2 - 16 \geq  0

Igualamos a cero y buscamos las raíces de la ecuación de segundo grado

 

Valores de la raíz cuadrada.

 

Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada
intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo

 

Delimitación de valores posibles. 2

 

P(−3) = 4 · (−3)² − 16 > 0

P(0) = 4 · 0² − 16 < 0

P(3) = 4 · 3² − 16 > 0

 

Intervalo de la inecuacion. 3

 

x ∈ (-∞ , −2 ] Unión [2, +∞)

 

7 4x² − 4x + 1 ≤ 0

 

4x² − 4x + 1 ≤ 0

 

Igualamos a cero y buscamos las raíces de la ecuación de segundo grado

 

4x² − 4x + 1 = 0

 

Formula general para resolver ecuaciones de segundo grado. 7

 

Obtenemos una raíz doble. Factorizamos:

(x-\frac{1}{2})^2 \leq 0

 

Como el binomio está elevado al cuadrado será siempre positivo, por tanto
nunca será menor que cero. Pero si puede ser igual a cero, con lo que
obtendríamos la solución:

 

Simplificando la ecuación

 

Para resolver la ecuación realizamos la raíz cuadrada en los dos miembros

 

 

8 x^4+12x^3-64x^2 >  0

 

x^4+12x^3-64x^2 >  0

Extraemos factor común de x²

 

x^2(x^2+12x-64)>0

 

Como el primer factor es siempre positivo, sólo tendremos que estudiar
el signo del 2º factor.

 

Igualamos el 2º factor a cero y buscamos sus raíces

 

x^2+12x-64=0

 

Formula general para resolver ecuaciones de segundo grado. 8

 

Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada
intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo

 

Delimitación de valores posibles. 3

 

P(−17) = (−17)² + 12 · 17 − 64 > 0

P(0) = 0² + 12 · 0 − 64 < 0

P(5) = 5 ² + 12 · 5 − 64 > 0

 

Intervalo de la inecuacion. 4

 

x ∈ (-∞, −16) Unión (4, ∞)

 

9 x4 − 25x² + 144 < 0

 

Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces
de la ecuación bicuadrada

 

x4 − 25x² + 144 = 0

 

Para resolver la ecuación realizamos un cambio de variable:

 

x^2=t

t^2-25t+144=0

 

Resolvemos la ecuación de segundo grado que hemos obtenido

 

Formula general para resolver ecuaciones de segundo grado. 9

 

Deshacemos el cambio de variable para encontrar las soluciones de la
ecuación bicuadrada

 

Valores de la raíz cuadrada. 2

 

Valores de la raíz cuadrada. 3

 

Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada
intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo

 

P(−5) = (−5)4 − 25 · (−5)² + 144 >0

P(−3.5) = (−3.5)4 − 25 · (−3.5)² + 144 < 0

P(0) = 04 − 25 · 0² + 144 > 0

P(3.5) = 3.54 − 25 · 3.5² + 144 < 0

P(5) = 54 − 25 · 5² + 144 > 0

 

 

x ∈ (−4, −3) Unión (3, 4)

 

10 x4 − 16x² − 225 ≥ 0

 

x4 − 16x² − 225 ≥ 0

 

Para resolver la ecuación realizamos un cambio de variable:

 

 

Resolvemos la ecuación

 

Formula general para resolver ecuaciones de segundo grado. 10

 

Deshacemos el cambio de variable

 

Valores de la raíz cuadrada. 4

 

Valores de la raíz cuadrada. 5

 

(x + 5) · (x − 5) · (x² + 9) ≥ 0

 

Podemos observar que (x² + 9) siempre dará como resultado un valor positivo
sin importar que valor le demos a x.

Entonces, para que (x + 5) · (x − 5) · (x² + 9)  sea mayor o igual que cero
existen 2 casos.

Caso 1 :    (x + 5)>0  y  (x − 5)> 0 . Si ambos son positivos, el producto
de los 3 factores sera positivo.

Caso 2:   (x + 5)<0  y  (x − 5)< 0 . Si ambos son negativos, el producto
de los 3 factores sera positivo.

Analizando el caso 1:

(x + 5)>0 se cumple cuando  x > -5
(x − 5)> 0 se cumple cuando x> 5

Entonces, del caso 1 obtenemos que las condiciones se cumplen cuando
x > -5  y  x > 5  , notamos que esto solo puede ocurrir cuando  x > 5

Analizando el caso 2:

(x + 5)<0 se cumple cuando  x < -5
(x − 5)< 0 se cumple cuando x < 5

Entonces, del caso 1 obtenemos que las condiciones se cumplen cuando
x < -5  y  x < 5  , notamos que esto solo puede ocurrir cuando  x < -5

Por lo tanto, el intervalo es:

 

Intervalo de la inecuacion. 5

 

x ∈ (-∞, −5] Unión [5, +∞)

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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