Reparto directamente proporcional

Recordemos que un reparto directamente proporcional consiste en repartir una cantidad entre varias partes de manera que lo que reciba cada una de las partes involucradas sea directamente proporcional a la cantidad aportada por cada una.

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Vamos

Ejercicios interactivos de repartos directamente proporcionales

Resuelve los siguientes problemas de repartos directamente proporcionales y anota tus respuestas en los espacios correspondientes, al finalizar los problemas presiona corregir al final de la sección para verificar si tus respuestas son correctas.

1Se quiere repartir un premio de 1000 € en cheques para libros a los tres mejores goleadores del equipo de fútbol del instituto de manera proporcional a los goles marcados en la última temporada. Sabiendo que Pedro marcó 53 goles, Marta 39 goles y Adolfo 33, ¿de cuánto dinero es el cheque que le corresponde a cada uno?

El cheque de Pedro es de €,

el cheque de Marta es de

y el cheque de Adolfo es de€.

Se trata de un reparto proporcional, porque a más goles más dinero.

El reparto proporcional es:

    \begin{equation*} \frac{x}{53} = \frac{y}{39}=\frac{z}{33} \end{equation*}

donde x, y, z es la cantidad de dinero que le corresponde a Pedro, Marta y Adolfo, respectivamente.

Ahora bien, por la propiedad de las razones iguales:

    \begin{equation*} \frac{x}{53} = \frac{y}{39}=\frac{z}{33} = \frac{x+y+z}{53+39+33} = \frac{1000}{15} = 8. \end{equation*}

Y resolviendo para cada uno obtenemos
Pedro:

    \begin{equation*} \frac{x}{53} = 8 \quad \longrightarrow \quad x = 8 \cdot 53 = 424. \end{equation*}

Marta:

    \begin{equation*} \frac{y}{39} = 8 \quad \longrightarrow \quad y = 8 \cdot 39 = 312. \end{equation*}

Adolfo:

    \begin{equation*} \frac{z}{33} = 8 \quad \longrightarrow \quad z = 8 \cdot 33 = 264. \end{equation*}

2En un campamento se reparten 300 litros de agua a cuatro bungalows que se han quedado sin suministro de agua potable. El reparto se hace de manera proporcional al número de chicos y chicas de cada bungalow. Eva convive con 9 compañeros, Mario con 5, Paula con 6 y Leo también vive con 6 compañeros.

¿Cuántos litros de agua corresponde al bungalow de Eva?

 l

¿Cuántos litros de agua corresponde al bungalow de Mario?

 l

¿Cuántos litros de agua corresponde al bungalow de Paula?

 l

¿Cuántos litros de agua corresponde al bungalow de Leo?

 l

Se trata de un reparto proporcional, porque a más compañeros más litros de agua.

Notemos que en el bungalow de Eva hay en total 10 personas, ya que convive con 9 y con ella son 10 , en el de Mario en total son 6, y en los de Paula y Leo 7.

El reparto proporcional es:

    \begin{equation*} \frac{x}{10} = \frac{y}{6}=\frac{z}{7}=\frac{r}{7} \end{equation*}

donde x, y, z,r son los litros de agua que le corresponde al bungalow de Eva, Mario, Paula y Leo, respectivamente.

Por la propiedad de las razones iguales:

    \begin{equation*} \frac{x}{10} = \frac{y}{6}=\frac{z}{7} = \frac{r}{7} = \frac{x+y+z+r}{10+6+7+7} = \frac{300}{30} = 10. \end{equation*}

Resolviendo obtenemos
Eva:

    \begin{equation*} \frac{x}{10} = 10 \quad \quad \longrightarrow \quad \quad x = 10\cdot 10 = 100. \end{equation*}

Mario:

    \begin{equation*} \frac{y}{6} = 10 \quad \quad \longrightarrow \quad \quad y = 6\cdot 10 = 60. \end{equation*}

Paula:

    \begin{equation*} \frac{z}{7} = 10 \quad \quad \longrightarrow \quad \quad z = 7\cdot 10 = 70. \end{equation*}

Leo:

    \begin{equation*} \frac{r}{7} = 10 \quad \quad \longrightarrow \quad \quad r = 7\cdot 10 = 70. \end{equation*}

3 Andrea y José decidieron comprar juntos un billete de lotería de 14 euros, Andrea pagó 9 euros del boleto y José los 5 euros faltantes. Después de unos días les notificaron que su boleto había ganado un premio de 308 euros. Si se reparten el premio de manera proporcional a lo que pagaron ¿Cuánto le corresponde a cada uno?

¿Cuánto dinero le corresponde a Andrea?  euros,

¿Cuánto dinero le corresponde a José?  euros.

Se trata de un reparto proporcional, donde quien más paga mayor recompensa se lleva .

El reparto proporcional es:

    \begin{equation*} \frac{A}{9} = \frac{J}{5} \end{equation*}

donde A, J es el dinero correspondiente de Andrea y José respectivamente.

Por la propiedad de las razones iguales:

    \begin{equation*} \frac{A}{9} = \frac{J}{5}= \frac{A+J}{9+5} = \frac{308}{14} = 22. \end{equation*}

Resolviendo obtenemos
Andrea:

    \begin{equation*} \frac{A}{9} = 22 \quad \quad \longrightarrow \quad \quad A = 22\cdot 9 = 198. \end{equation*}

José:

    \begin{equation*} \frac{J}{5} = 22 \quad \quad \longrightarrow \quad \quad J = 5\cdot 22 = 110. \end{equation*}

4Dos constructores ganaron 500 € por cierto trabajo en el cual uno de ellos trabajo 4 días y el otro 5.

¿Cuánto dinero le corresponde al constructor que trabajó durante 4 días?

,

¿Y al que trabajó 5 días?   € .

Se trata de un reparto proporcional, donde gana más quien trabaja más días.

El reparto proporcional es:

    \begin{equation*} \frac{x}{4} = \frac{y}{6}. \end{equation*}

Por la propiedad de las razones iguales:

    \begin{equation*} \frac{x}{4} = \frac{y}{6}= \frac{x+y}{4+6} = \frac{500}{10}. \end{equation*}

Resolviendo obtenemos
Primer constructor:

    \begin{equation*} \frac{x}{4} = \frac{500}{10} \quad \quad \longrightarrow \quad \quad x = \frac{500\cdot 4}{10} = 200. \end{equation*}

Segundo constructor:

    \begin{equation*} \frac{y}{6} = \frac{500}{10} \quad \quad \longrightarrow \quad \quad y= \frac{500\cdot 6}{10} = 300. \end{equation*}

5Fernando repartirá 150 dólares entre sus 4 sobrinos de forma directamente proporcional a las edades de cada uno de ellos. Si las edades de sus sobrinos son 5, 7, 8 y 10 años ¿cuánto le corresponde a cada sobrino?

Al sobrino de 5 años le corresponden dólares,

al de 7 años le tocan dólares,

al sobrino de 8 años dólares,

y finalmente al sobrino con 10 años dólares.

Se trata de un reparto proporcional, donde a más edad más dinero.

El reparto proporcional es:

    \begin{equation*} \frac{x}{5} = \frac{y}{7}=\frac{z}{8} = \frac{r}{10} \end{equation*}

donde x, y, z, r es la cantidad de dinero que le corresponde a cada sobrino.

Ahora bien, por la propiedad de las razones iguales:

    \begin{equation*} \frac{x}{5} = \frac{y}{7}=\frac{z}{8} = \frac{r}{10} = \frac{150}{30} = 5. \end{equation*}

Y resolviendo para cada uno obtenemos
Sobrino de 5 años:

    \begin{equation*} \frac{x}{5} = 5 \quad \longrightarrow \quad x = 5 \cdot 5 = 25. \end{equation*}

Sobrino de 7 años:

    \begin{equation*} \frac{y}{7} = 5 \quad \longrightarrow \quad y = 5 \cdot 7 = 35. \end{equation*}

Sobrino de 8 años:

    \begin{equation*} \frac{z}{8} = 5 \quad \longrightarrow \quad z = 5 \cdot 8 = 40. \end{equation*}

Sobrino de 10 años:

    \begin{equation*} \frac{z}{10} = 5 \quad \longrightarrow \quad z = 5 \cdot 10 = 50. \end{equation*}

6 En una sesión para una revista fotográfica, tres fotógrafos cobraron 6720 euros. En la revista, 14 fotos eran del fotógrafo 1 , 18 del fotógrafo 2 y 24 del fotógrafo 3. ¿Qué cantidad de euros le corresponde a cada uno?

Al fotógrafo 1 le corresponden euros,

al fotógrafo 2 le tocan euros,

y al fotógrafo 3 le pertenecen euros.

Se trata de un reparto proporcional, porque a más fotógrafias más dinero correspondiente.

El reparto proporcional es:

    \begin{equation*} \frac{F_1}{14} = \frac{F_2}{18}=\frac{F_3}{24} \end{equation*}

donde F_1, F_2, F_3 cantidad de dinero que le corresponde al Fotógrafo 1, 2 y 3 respectivamente.

Ahora bien, por la propiedad de las razones iguales:

    \begin{equation*} \frac{F_1}{14} = \frac{F_2}{18}=\frac{F_3}{24} = \frac{6720}{56} = 120. \end{equation*}

Y resolviendo para cada uno obtenemos
Fotógrafo 1:

    \begin{equation*} \frac{F_1}{14} = 120 \quad \longrightarrow \quad F_1 = 120 \cdot 14 = 1680 . \end{equation*}

Fotógrafo 2:

    \begin{equation*} \frac{F_2}{18} = 120 \quad \longrightarrow \quad F_2 = 120 \cdot 18 = 2160. \end{equation*}

Fotógrafo 3:

    \begin{equation*} \frac{F_3}{24} = 120 \quad \longrightarrow \quad F_3 = 120 \cdot 24 = 2880. \end{equation*}

7 Ricardo reparte cierta cantidad de dinero entre sus tres hijas de manera que sea proporcional a la cantidad de hijos que cada una tiene. La mayor tiene 3 hijos, la segunda hija tiene 2 niños y la tercera 5 hijos. Si 1a tercer hija ha recibido 700 dólares más que la primera ¿Cuánto dinero le corresponde a cada una? ¿Cuánto dinero repartió Ricardo en total?

A la hija mayor le corresponden dolares,

a la segunda hija

y a la hija menor dólares.

¿Cuánto dinero repartió Ricardo en total? dólares.

Se trata de un reparto proporcional, donde a más hijos más dinero correspondiente.

Sea x,y,z la cantidad de dinero que recibe cada una de las hijas, entonces el reparto proporcional es:

    \begin{equation*} \frac{x}{3} = \frac{y}{2}=\frac{z}{5} \end{equation*}

Sabemos que la hija menor recibió 700 dólares más que la hija mayor, entonces

    \begin{equation*} z = x + 700. \end{equation*}

Sustituyendo z = x +700 en el reparto proporcional obtenemos

    \begin{align*} \frac{x}{3} &= \frac{x + 700}{5} \\ 5x &= 3 (x+700) \\ 5x &= 3x + 2100 \\ 2x &= 2100 \\ x &= 1050 \end{align*}

es decir, a la hija mayor le corresponden 1050 dólares. De aquí es sencillo calcular cuanto le corresponde a la hija menor, pues serian

    \begin{equation*} z = x + 700 = 1050 +700 = 1750. \end{equation*}

Por otra parte del reparto proporcional tenemos que

    \begin{align*} \frac{x}{3} &= \frac{y}{2} \\ \\ \frac{1050}{3} &= \frac{y}{2} \end{align*}

entonces podemos calcular lo que le corresponde a la segunda hija

    \begin{equation*} y = 2 \cdot 350 = 700. \end{equation*}

Si tienes dudas puedes consultar la teoría

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗