Reparto directamente proporcional

1 Un abuelo reparte 450 € entre sus tres nietos de 8, 12 y 16 años de edad; proporcionalmente a sus edades. ¿Cuánto corresponde a cada uno?

 

 

1 El reparto proporcional es:

\displaystyle \frac{x}{8}=\frac{y}{12}=\frac{z}{16}

 

2 Por la propiedad de las razones iguales:

 

\displaystyle  \frac{x}{8}=\frac{y}{12}=\frac{z}{16}=\frac{x+y+z}{8+12+16}=\frac{450}{36}

 

3 Cada nieto recibirá:

 

\displaystyle  \frac{x}{8}=\frac{450}{36}\hspace{2cm} x=\frac{450\cdot 8}{36}=100

 

\displaystyle  \frac{y}{12}=\frac{450}{36}\hspace{2cm} y=\frac{450\cdot 12}{36}=150

 

\displaystyle  \frac{z}{16}=\frac{450}{36}\hspace{2cm} z=\frac{450\cdot 16}{36}=200

 

2 Se asocian tres individuos aportando 5000, 7500 y 9000 €. Al cabo de un año han ganado 6 450 €. ¿Qué cantidad corresponde a cada uno si hacen un reparto directamente proporcional a los capitales aportados?

 

1 El reparto proporcional es:

\displaystyle  \frac{x}{5000}=\frac{y}{7500}=\frac{z}{9000}

 

2 Por la propiedad de las razones iguales:

 

\displaystyle  \frac{x}{5000}=\frac{y}{7500}=\frac{z}{9000}=\frac{x+y+z}{5000+7500+9000}=\frac{6450}{21500}

 

3 Cada socio recibirá:

 

\displaystyle \frac{x}{5000}=\frac{6450}{21500}\hspace{2cm} x=\frac{6450\cdot 5000}{21500}=1500

 

\displaystyle  \frac{y}{7500}=\frac{6450}{21500}\hspace{2cm} y=\frac{6450\cdot 7500}{21500}=2250

 

\displaystyle \frac{z}{9000}=\frac{6450}{21500}\hspace{2cm} z=\frac{6450\cdot 9000}{21500}=2700

3 Se reparte una cantidad de dinero, entre tres personas, directamente proporcional a 3, 5 y 7. Sabiendo que a la segunda le corresponde 735 €. Hallar lo que le corresponde a la primera y tercera.

 

 

1 El reparto proporcional es:

\displaystyle  \frac{x}{3}=\frac{735}{5}=\frac{z}{7}

 

2 La primera y tercera persona reciben:

 

\displaystyle  \frac{x}{3}=\frac{735}{5}\hspace{2cm} x=\frac{735\cdot 3}{5}=441

\displaystyle  \frac{z}{7}=\frac{735}{5}\hspace{2cm} z=\frac{735\cdot 7}{5}=1029

 

4 Se reparte dinero en proporción a 5, 10 y 13; al menor le corresponden 2500 €. ¿Cuánto corresponde a los otros dos?

 

1 El reparto proporcional es:

\displaystyle  \frac{2500}{5}=\frac{y}{10}=\frac{z}{13}

 

2 La segunda y tercera persona reciben:

 

\displaystyle  \frac{y}{10}=\frac{2500}{5}\hspace{2cm} y=\frac{2500\cdot 10}{5}=5000

\displaystyle \frac{z}{13}=\frac{2500}{5}\hspace{2cm} z=\frac{2500\cdot 13}{5}=6500

 

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Reparto inversamente proporcional

 

5 Tres hermanos ayudan al mantenimiento familiar entregando anualmente 5900 €. Si sus edades son de 20, 24 y 32 años y las aportaciones son inversamente proporcionales a la edad, ¿cuánto aporta cada uno?

 

1 Tomamos los inversos:

\displaystyle  \frac{1}{20}, \frac{1}{24}, \frac{1}{32}

 

2 Ponemos a común denominador

 

\displaystyle  \frac{24}{480}, \frac{20}{480}, \frac{15}{480}

 

3 Realizamos un reparto directamente prop. a los numeradores: 24, 20 y 15

 

1. El reparto proporcional es:

 

\displaystyle  \frac{x}{24}=\frac{y}{20}=\frac{z}{15}

 

2. Por la propiedad de las razones iguales:

 

\displaystyle  \frac{x}{24}=\frac{y}{20}=\frac{z}{15}=\frac{x+y+z}{24+20+15}=\frac{5900}{59}

 

3. Las aportaciones de cada hermano serán:

 

\displaystyle  \frac{x}{24}=\frac{5900}{59}\hspace{2cm} x=\frac{5900\cdot 24}{59}=2400

 

\displaystyle  \frac{y}{20}=\frac{5900}{59}\hspace{2cm} y=\frac{5900\cdot 20}{59}=2000

 

\displaystyle  \frac{z}{15}=\frac{5900}{59}\hspace{2cm} z=\frac{5900\cdot 15}{59}=1500

 

6 Se desean repartir 420 €, entre tres niños en partes inversamente proporcionales a sus edades, que son 3, 5 y 6. ¿Cuánto dinero le corresponde a cada uno?

 

1 Tomamos los inversos:

\displaystyle  \frac{1}{3}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}

 

2 Ponemos a común denominador

 

\displaystyle  \frac{10}{30}, \frac{6}{30}, \frac{5}{30}

 

3 Realizamos un reparto directamente prop. a los numeradores: 10, 6 y 5

 

1. El reparto proporcional es:

 

\displaystyle  \frac{x}{10}=\frac{y}{6}=\frac{z}{5}

 

2. Por la propiedad de las razones iguales:

 

\displaystyle \frac{x}{10}=\frac{y}{6}=\frac{z}{5}=\frac{x+y+z}{10+6+5}=\frac{420}{21}

 

3. Cada niño recibirá:

 

\displaystyle  \frac{x}{10}=\frac{420}{21}\hspace{2cm} x=\frac{420\cdot 10}{21}=200

 

\displaystyle  \frac{y}{6}=\frac{420}{21}\hspace{2cm} y=\frac{420\cdot 6}{21}=120

 

\displaystyle  \frac{z}{5}=\frac{420}{21}\hspace{2cm} z=\frac{420\cdot 5}{21}=100

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗