Conceptos preliminares

 

1. Magnitud . Una magnitud es una propiedad que se puede medir numéricamente. Por ejemplo, el peso, la masa, la longitud, el volumen, el tiempo, etc. Todas estas son magnitudes de sistemas físicos.

 

2. Razón. Definimos la razón entre dos cantidades comparables como el cociente de éstas, expresado como fracción (o como decimal o entero si es más conveniente). Así, la razón entre una cantidad \quad a \quad y una cantidad \quad b \quad la expresamos como

 

\displaystyle \frac{a}{b}

 

y se lee como \quad a \quad es a \quad b.

 

Al numerador de la fracción se le conoce como antecedente y al numerador como consecuente.

 

Ejemplo:

 

Luis dedica \quad 6 \quad horas diarias al estudio y \quad 2 \quad horas diarias a jugar. ¿Cuál sería la razón entre las horas de estudio y las horas de juego que dedica diariamente Luis?

 

En este caso el antecedente sería \quad 6, mientras que el consecuente sería \quad 2. Entonces, la razón estaría dada por

 

\displaystyle \frac{6}{2} = 3

 

y que \quad 6 \quad es a \quad 2. Así, la razón nos dice que, por cada hora que dedica Luis al jugar, le dedica tres horas a estudiar (la razón es \quad 3).

 

Superprof

Proporción

 

Una proporción es una igualdad entre dos razones. Así, dadas dos razones \displaystyle \quad \frac{a}{b} \quad y \displaystyle  \quad \frac{c}{d}, tendríamos una proporción si

 

\displaystyle \frac{a}{b} = \frac{c}{d}

 

La proporción de arriba se lee \quad a \quad es a \quad b \quad como \quad c \quad es a \quad d \quad. Además, a \quad a \quad y \quad d \quad se les conoce como extremos, mientras que a \quad b \quad y \quad c \quad se les conoce como medios.

 

Cualquier proporción cumple que el producto de los extremos es igual al producto de los medios. Así, tendríamos que \quad a \cdot d = b \cdot c.

 

Ejemplo. Consideremos las razones \displaystyle \quad \frac{1}{4} \quad y \displaystyle  \quad \frac{3}{12}. Notemos que

 

\displaystyle \frac{3}{12} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{1}{4}

 

Así, tenemos una proporción,

 

\displaystyle \frac{1}{4} = \frac{3}{12}.

 

Para este ejemplo, tenemos que los extremos son \quad 1 \quad y \quad 12, mientras que los medios son \quad 4 \quad y \quad 3.Notemos que el producto de los extremos es

 

\displaystyle 1 \cdot 12 = 12,

 

y el producto de los medios es

 

\displaystyle 4 \cdot 3 = 12.

 

Ambos productos dan el mismo resultado.

 

En una serie de razones iguales (serie de proporciones), por ejemplo,

 

\displaystyle \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f},

 

se tiene que la suma de los antecedentes dividida entre la suma de los consecuentes de las razones de la serie es igual a una cualquiera de las razones.

 

\displaystyle \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{a + c + e}{b + d + f},

 

Si en una proporción cambiamos de lugar los antecedentes y los consecuentes, seguirá existiendo una proporción. En otras palabras, si dos razones son iguales

 

\displaystyle \frac{a}{b} = \frac{c}{d},

 

entonces sus recíprocos también serán iguales

 

\displaystyle \frac{b}{a} = \frac{d}{c}.

 

Ejemplo:

 

 Retomemos la proporción del ejemplo anterior,

 

\displaystyle \frac{1}{4} = \frac{3}{12}.

 

Tomando el recíproco de la primera razón, tenemos

 

\displaystyle \frac{4}{1} = 4.

 

Tomando el recíproco de la segunda razón, tenemos

 

\displaystyle \frac{12}{3} = 4,

 

por lo tanto, tenemos que el recíproco de las razones también son iguales,

 

\displaystyle \frac{4}{1} = \frac{12}{3}.

 

Cuarto proporcional

 

Un cuarto proporcional es cualquier de los términos de una proporción. Para calcularlo tenemos que considerar dos casos:

 

  • Si este se encuentra en numerador de la razón,

 

\displaystyle \frac{x}{b} = \frac{c}{d}.

 

Entonces, se calcula como

 

\displaystyle x = \frac{b \cdot c}{d}.

 

  • Si este se encuentra en denominador de la razón,

     

    \displaystyle \frac{a}{x} = \frac{c}{d}.

     

    Entonces, se calcula como

     

    \displaystyle x = \frac{a \cdot d}{c}.

 

Notemos que simplemente es despejar el cuarto proporcional.

 

Ejemplo. Consideremos la proporción

 

\displaystyle \frac{x}{9} = \frac{2}{3}.

 

¿Cuánto vale el cuarto proporcional dado por el término \quad x? Procedamos a calcularlo

 

     \begin{align*} x &= \frac{2 \cdot 9}{3}\\ &= \frac{18}{3}\\ &= 6 \end{align*}

 

Medio proporcional

 

Una proporción es continua si sus medios son iguales,

 

\displaystyle \frac{a}{x} = \frac{x}{d}.

 

En este caso, al cuarto proporcional correspondiente a los medios se conoce como medio proporcional. Además, podemos calcularlo como

 

\displaystyle x = \sqrt{a \cdot d}.

 

Ejemplo:

 

 Consideremos la proporción

 

\displaystyle \frac{25}{x} = \frac{x}{4}.

 

¿Cuánto vale el medio proporcional dado por el término \quad x? Procedamos a calcularlo

 

     \begin{align*} x &= \sqrt{25 \cdot 4}\\ &= \sqrt{100}\\ &= 10 \end{align*}

 

Tercero proporcional

 

En una proporción continua, se denomina tercero proporcional a cada uno de los términos desiguales.

 

Para calcular los terceros proporcionales debemos considerar dos casos:

 

  • Si este se encuentra en numerador de la razón,

 

\displaystyle \frac{x}{b} = \frac{b}{d}.

 

Entonces, se calcula como

 

\displaystyle x = \frac{b^2}{d}.

 

  • Si este se encuentra en denominador de la razón,

     

    \displaystyle \frac{a}{b} = \frac{b}{x}.

     

    Entonces, se calcula como

     

    \displaystyle x = \frac{b^2}{a}.

 

Notemos que en cualquier caso, el tercero proporcional es igual al cuadrado del medio proporcional dividido por el otro tercero proporcional.

 

Ejemplo:

 

Consideremos la proporción

 

\displaystyle \frac{x}{6} = \frac{6}{2}.

 

¿Cuánto vale el tercero proporcional dado por el término \quad x? Procedamos a calcularlo

 

     \displaystyle \begin{align*} x &= \frac{6^2}{2}\\ &= \frac{36}{2}\\ &= 18 \end{align*}

 

Magnitudes directamente proporcionales

 

Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando, al multiplicar una de ellas por un número cualquiera, la otra queda multiplicada por el mismo número. Igualmente, dos magnitudes son directamente proporcionales si, al dividir una por cualquier número, entonces la otra queda dividida por el mismo número.

 

Se establece una relación de proporcionalidad directa entre dos magnitudes cuando:

 

  • A más cantidad de la primera magnitud, corresponde más cantidad en la segunda magnitud, en la misma proporción.

 

  • A menos cantidad en la primera magnitud, corresponde menos cantidad en la segunda magnitud, en la misma proporción.

 

Otra manera de determinar si dos magnitudes son directamente proporcionales es por medio de su cociente. El cociente entre dos magnitudes directamente proporcionales siempre es constante.

 

Ejemplo:

 

 El peso de un producto y su precio son dos magnitudes directamente proporcionales.

 

Observemos que si \quad 1 \, kg \quad de tomates cuesta \quad 2 \quad€, entonces:

 

  • 2 \, kg \quad de tomates costará \quad 4 \quad
  • 0.5 \, kg \quad de tomates costará \quad 1 \quad

 

Regla de tres simple y directa

 

La regla de tres simple y directa consiste en una relación de cantidades con proporcionalidad directa, que se da cuando dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes directamente proporcionales, se debe calcular la cantidad de una de estas magnitudes correspondiente a una cantidad dada de la otra magnitud.

 

{ \begin{cases} A_1 & \to B\\ A_2 & \to x \end{cases} }

 

 \displaystyle\frac{A_1}{A_2} = \frac{B}{x} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{A_2 \cdot B}{A_1}

 

Ejemplo. Un automóvil recorre \quad 240 \, km \quad en \quad 3 \quad horas. ¿Cuántos kilómetros habrá recorrido en \quad 2 \quad horas?

 

Notemos que son magnitudes directamente proporcionales, esto ya que a menos horas menos kilómetros recorrerá. Procedamos a hacer el cálculo:

 

 \displaystyle \frac{3}{240} = \frac{2}{x} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{2 \cdot 240}{3} = 160

 

Por lo tanto, en \quad 2 \quad horas habrá recorrido \quad 160 \, km \quad.

 

Repartos directamente proporcionales

 

Un reparto directamente proporcional consiste en que dadas unas magnitudes de un mismo tipo y una magnitud total, calcular la parte correspondiente a cada una de las magnitudes dadas. Así, si \quad a, \quad b \quad y \quad c \quad son magnitudes del mismo tipo, y tenemos una magnitud total \quad T \quad, queremos encontrar magnitudes \quad x, \quad y \quad y \quad z \quad tal que \quad x + y + z = T \quad y

 

\displaystyle\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c} = \frac{x + y + x}{a + b + c} = \frac{T}{a + b + c}

 

Ejemplo. Un abuelo reparte \quad 450 \quad€ entre sus tres nietos de \quad 8, \quad 12 \quad y \quad 16 \quad años de edad; proporcionalmente a sus edades. ¿Cuánto corresponde a cada uno?

 

Primero, llamamos \quad x, \quad y \quad y \quad z \quad a las cantidades que le corresponde a cada uno.

 

El reparto proporcional es:

 

{\displaystyle\frac{x}{8}=\frac{y}{12}=\frac{z}{16}=\frac{x+y+z}{8+12+16}=\frac{450}{36}}

 

Cada nieto recibirá:

 

{\displaystyle\frac{x}{8}=\frac{450}{36} \ \  \Longrightarrow \ \  x=\frac{(8)(450)}{36}=100}

 

{\displaystyle\frac{y}{12}=\frac{450}{36} \ \ \Longrightarrow \ \ y=\frac{(12)(450)}{36}=150}

 

{\displaystyle\frac{z}{16}=\frac{450}{36} \ \ \Longrightarrow \ \ z=\frac{(16)(450)}{36}=200}

 

Porcentajes

 

Un porcentaje es un tipo de regla de tres directa en el que una de las cantidades es \quad 100.

 

Ejemplo. Un amigo tiene \quad 250 \quad€ , le piden que le de el \quad 20 \% \quad a su hermano. ¿Cuántos euros le dará a su hermano?

 

 \displaystyle \frac{100}{250} = \frac{20}{x} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{250 \cdot 20}{100} = 50

 

Por lo tanto, le debe de dar \quad 50 \quad€ a su hermano.

 

Magnitudes inversamente proporcionales

 

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al aumentar una, disminuye la otra en la misma proporción. Esto pasa cuando:

 

    • Al multiplicar una de ellas por un número cualquiera, la otra queda dividida por el mismo número.

 

  • Al dividir una de ellas por un número cualquiera, la otra queda multiplicada por el mismo número.

 

Se establece una relación de proporcionalidad inversa entre dos magnitudes cuando:

 

    • A más corresponde menos.

 

  • A menos corresponde más.

 

Ejemplo:

 

Supongamos que \quad 3 \quad pintores tardan \quad 20 \quad días en pintar un mural. Es claro que si duplicamos el número de pintores, el tiempo que se necesita para pintar la barda se reduce a la mitad, es decir \quad 6 \quad pintores tardarán \quad 10 \quad días.

 

De igual manera si reducimos el número de pintores a una tercera parte, el tiempo requerido para realizar la misma tarea será el triple. Es decir \quad 1 \quad pintor, tardaría \quad 60 \quad días. Al saber lo que tarda un pintor, ya podemos completar una tabla como la siguiente:

 

\begin{matrix} \text{Pintores} & \text{Tiempo}\\ 1 & 60\\ 2 & 30\\ 3 & 20\\ 4 & 15\\ 5 & 12 \end{matrix}

 

Así que el número de personas que realizan una tarea es inversamente proporcional al tiempo que tardan.

 

Regla de tres simple inversa

 

La regla de tres simple e inversa consiste en una relación de cantidades con proporcionalidad inversa, que se da cuando dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes inversamente proporcionales, se debe calcular la cantidad de una de estas magnitudes correspondiente a una cantidad dada de la otra magnitud.

 

{ \begin{cases} A_1 & \to B\\ A_2 & \to x \end{cases} }

 

 \displaystyle  \frac{A_2}{A_1} = \frac{B}{x} \quad \text{o} \quad \frac{A_1}{\frac{1}{c}} = \frac{A_2}{\frac{1}{x}} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{A_1 \cdot B}{A_2}

 

Ejemplo:

 

Un grifo que mana \quad 18 \, l \quad de agua por minuto tarda \quad 14 \quad horas en llenar un depósito. ¿Cuánto tardaría si su caudal fuera de \quad 7 \, l \quad por minuto?

 

Notemos que son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a menos litros por minuto tardará más tiempo en llenar el depósito. Procedamos a resolver. Tenemos la relación

 

{ \begin{cases} 18 & \to 14.\\ 7 & \to x \end{cases} }

 

 \displaystyle  x = \frac{18\cdot 14}{7} = 36.

 

Por lo tanto, si el caudal fuera de \quad 7 \, l \quad por minuto, tardaría \quad 36 \quad horas.

 

Repartos inversamente proporcionales

 

Un reparto inversamente proporcional consiste en que dadas unas magnitudes de un mismo tipo y una magnitud total, debemos hacer un reparto directamente proporcional a los recíprocos de las magnitudes. Así, si \quad a, \quad b \quad y \quad c \quad son magnitudes del mismo tipo, y tenemos una magnitud total \quad T \quad, queremos encontrar magnitudes \quad x, \quad y \quad y \quad z \quad tal que \quad x + y + z = T \quad y

 

\displaystyle\frac{x}{\frac{1}{a}}=\frac{y}{\frac{1}{b}}=\frac{z}{\frac{1}{c}} = \frac{x + y + x}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} = \frac{T}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}

 

Ejemplo:

 

Durante la lectura de un testamento, el abogado del señor Rodríguez leyó el siguiente párrafo sobre la herencia que quería dejarle a sus hijos: “… A mis hijos: Hugo, Paco y Luis, les quiero repartir la cantidad de 5900€. El reparto deberá hacerse de forma que reciban una cantidad inversamente proporcional a la edad que tengan al momento de mi fallecimiento…” Si las edades de Hugo, Paco y Luis son 20, 24 y 32 años, respectivamente. ¿Cuánto deberá recibir cada uno?

 

Debido a que el reparto se realizará de manera inversamente proporcional, al hijo menor le tocará una cantidad mayor de la herencia, mientras que al hijo mayor le tocará una cantidad menor. Esto se puede resolver obteniendo los inversos de las edades y realizando un reparto directamente proporcional con ellos y la cantidad total.

 

1 Obtenemos los inversos de las edades y convertimos las fracciones a denominador común (recuerda que puedes emplear el mcm).

 

\displaystyle  \cfrac{1}{20} = \cfrac{24}{480}, \qquad \cfrac{1}{24} = \cfrac{20}{480}, \qquad \cfrac{1}{32} = \cfrac{15}{480}

 

2 Realizamos un reparto directamente proporcional de estas fracciones:

 

 \displaystyle  \cfrac{24}{480}, \cfrac{20}{480} y  \cfrac{15}{480}.

 

\displaystyle  \cfrac{x}{\cfrac{24}{480}} = \cfrac{y}{\cfrac{20}{480}} = \cfrac{z}{\cfrac{15}{480}} = \cfrac{x+y+z}{\cfrac{24}{480}+\cfrac{20}{480}+\cfrac{15}{480}} = \cfrac{5900}{\cfrac{59}{480}}

 

\displaystyle  \cfrac{x}{\cfrac{24}{480}} = \cfrac{5900}{\cfrac{59}{480}}   ⇒   \cfrac{(5900)\left(\cfrac{24}{480}\right)}{\cfrac{59}{480}} = 2400

 

\displaystyle  \cfrac{y}{\cfrac{20}{480}} = \cfrac{5900}{\cfrac{59}{480}}   ⇒   \cfrac{(5900)\left(\cfrac{20}{480}\right)}{\cfrac{59}{480}} = 2000

 

\displaystyle  \cfrac{z}{\cfrac{15}{480}} = \cfrac{5900}{\cfrac{59}{480}}   ⇒   \cfrac{(5900)\left(\cfrac{15}{480}\right)}{\cfrac{59}{480}} = 1500

 

Así, Hugo recibirá 2400€, Paco 2000€ y Luis 1500€.

 

Proporcionalidad compuesta

 

La proporcionalidad compuesta se emplea cuando se relacionan tres o más magnitudes. Entre las magnitudes se pueden establecer relaciones de proporcionalidad directa e inversa, por lo que podemos diferenciar tres casos: proporcionalidad compuesta directa, proporcionalidad compuesta inversa, proporcionalidad compuesta directa-inversa.

 

Regla de tres compuesta

 

La regla de tres compuesta se emplea cuando se relacionan tres o más magnitudes,
de modo que a partir de las relaciones establecidas entre las magnitudes conocidas
obtenemos la desconocida.

 

Como entre las magnitudes se pueden establecer relaciones de proporcionalidad directa
o inversa, podemos distinguir tres casos de regla de tres compuesta. Podemos visitar este artículo para ver a detalle estos casos junto con varios ejemplos.

 

Interés

 

Se llama interés al beneficio que produce el dinero prestado. Ese beneficio es directamente proporcional a la cantidad prestada y al tiempo que dura el préstamo.

 

ConceptoNombreSímbolo
Cantidad prestadaCapital\quad C \quad
Tiempo del préstamoTiempo\quad t \quad
Un beneficio por 100 € en un añoRédito\quad r \quad
Beneficio del préstamoInterés\quad I \quad

 

\displaystyle I = \frac{C \cdot r \cdot t}{100}

 

Si el tiempo viene expresado en meses:

 

\displaystyle I = \frac{C \cdot r \cdot t}{1200}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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