1 Un abuelo reparte 450\, \euro entre sus tres nietos de 8, 12 y 16 años de edad; proporcionalmente a sus edades. ¿Cuánto corresponde a cada uno?

 

Un abuelo reparte 450\, \euro entre sus tres nietos de 8, 12 y 16 años de edad; proporcionalmente a sus edades. ¿Cuánto corresponde a cada uno?
1 Al ser un problema de proporcionalidad directa podemos establecer las siguientes igualdades

 

\cfrac{x}{8}=\cfrac{y}{12}=\cfrac{z}{16}

\cfrac{x}{8}=\cfrac{y}{12}=\cfrac{z}{16}=\cfrac{x+y+z}{8+12+16}=\cfrac{450}{36}

2 Resolviendo para cada incógnita
\cfrac{x}{8}=\cfrac{450}{36}\; \Rightarrow \; x=\cfrac{450\cdot 8}{36}=100\, \euro

 

\cfrac{y}{12}=\cfrac{450}{36}\; \Rightarrow \; y=\cfrac{450\cdot 12}{36}=150\, \euro

 

\cfrac{z}{16}=\cfrac{450}{36}\; \Rightarrow \; y=\cfrac{450\cdot 16}{36}=200\, \euro

2 Se asocian tres individuos aportando 5000, 7500 y 9000\, \euro. Al cabo de un año han ganado 6450\, \euro. ¿Qué cantidad corresponde a cada uno si hacen un reparto directamente proporcional a los capitales aportados?

 

Se asocian tres individuos aportando 5000, 7500 y 9000\, \euro. Al cabo de un año han ganado 6450\, \euro. ¿Qué cantidad corresponde a cada uno si hacen un reparto directamente proporcional a los capitales aportados?

1 Al ser un problema de proporcionalidad directa podemos establecer las siguientes igualdades

\cfrac{x}{5000}=\cfrac{y}{7500}=\cfrac{z}{9000}
\cfrac{x}{5000}=\cfrac{y}{7500}=\cfrac{z}{9000}=\cfrac{x+y+z}{21500}=\cfrac{6450}{21500}2 Resolviendo para cada incógnita

\cfrac{x}{5000}=\cfrac{6450}{21500}\; \Rightarrow \; x=\cfrac{6450\cdot 5000}{21500}=1500\, \euro 
\cfrac{x}{7500}=\cfrac{6450}{21500}\; \Rightarrow \; x=\cfrac{6450\cdot 7500}{21500}=2250\, \euro 
\cfrac{x}{9000}=\cfrac{6450}{21500}\; \Rightarrow \; x=\cfrac{6450\cdot 9000}{21500}=2700\, \euro

3 Se reparte una cantidad de dinero, entre tres personas, directamente proporcional a 3, 5 y 7. Sabiendo que a la segunda le corresponde 735\, \euro. Hallar lo que le corresponde a la primera y tercera.

 

Se reparte una cantidad de dinero, entre tres personas, directamente proporcional a 3, 5 y 7. Sabiendo que a la segunda le corresponde 735\, \euro. Hallar lo que le corresponde a la primera y tercera.1 Al ser un problema de proporcionalidad directa podemos establecer las siguientes igualdades
\cfrac{x}{3}=\cfrac{735}{5}=\cfrac{z}{7}=\cfrac{x+y+z}{3+5+7}=\cfrac{C}{15}
2 Calculamos las incógnitas faltantes
\cfrac{735}{5}=\cfrac{C}{15}\; \Rightarrow \; C=\cfrac{735\cdot 15}{5}=2205\, \euro
\cfrac{x}{3}=\cfrac{2205}{15}\; \Rightarrow \; x=\cfrac{2205\cdot 3}{15}=441\, \euro
\cfrac{z}{7}=\cfrac{2205}{15}\; \Rightarrow \; z=\cfrac{2205\cdot 7}{15}=1029\, \euro

4 Se reparte dinero en proporción a 5, 10 y 13; al menor le corresponden 2500\, \euro. ¿Cuánto corresponde a los otros dos?

 

Se reparte dinero en proporción a 5, 10 y 13; al menor le corresponden 2500\, \euro. ¿Cuánto corresponde a los otros dos?
1 Planteamos las igualdades de la proporcionalidad directa y calculamos las incógnitas faltantes
\cfrac{2500}{5}=\cfrac{y}{10}=\cfrac{z}{13}

 

\cfrac{2500}{5}=\cfrac{y}{10}\; \Rightarrow \; y=\cfrac{2500\cdot 10}{5}=5000\, \euro

 

\cfrac{2500}{5}=\cfrac{z}{13}\; \Rightarrow \; y=\cfrac{2500\cdot 13}{5}=6500\, \euro

 

5 Tres hermanos ayudan al mantenimiento familiar entregando anualmente 5900 €. Si sus edades son de 20, 24 y 32 años y las aportaciones son inversamente proporcionales a la edad, ¿cuánto aporta cada uno?

 

Tres hermanos ayudan al mantenimiento familiar entregando anualmente 5900\, \euro. Si sus edades son de 20, 24 y 32 años y las aportaciones son inversamente proporcionales a la edad, ¿cuánto aporta cada uno?Soluciones:

 1 Al ser un reparto inversamente proporcional, tenemos que tomar las inversas de las edades

 

\cfrac{1}{20},\; \cfrac{1}{24},\; \cfrac{1}{32}

 

2 Ponemos a común denominador

 

\cfrac{24}{480},\; \cfrac{20}{480},\; \cfrac{15}{480}

 

3 Realizamos un reparto directamente proporcional a los numeradores: 24, 20 y 15

 

\cfrac{x}{24}=\cfrac{y}{20}=\cfrac{z}{15}=\cfrac{x+y+z}{24+20+15}=\cfrac{5900}{59}

 

\cfrac{x}{24}=\cfrac{5900}{59}\; \Rightarrow \; x=\cfrac{5900\cdot 24}{59}=2400\, \euro

 

\cfrac{y}{20}=\cfrac{5900}{59}\; \Rightarrow \; y=\cfrac{5900\cdot 20}{59}=2000\, \euro

 

\cfrac{z}{15}=\cfrac{5900}{59}\; \Rightarrow \; z=\cfrac{5900\cdot 15}{59}=1500\, \euro

 

6Repartir 420\, \euro, entre tres niños en partes inversamente proporcionales a sus edades, que son 3, 5 y 6.

 

Repartir 420\, \euro, entre tres niños en partes inversamente proporcionales a sus edades, que son 3, 5 y 6.
Soluciones:

1 Al ser un reparto inversamente proporcional, tenemos que tomar las inversas de las edades

 

\cfrac{1}{3},\; \cfrac{1}{5},\; \cfrac{1}{6}

 

2 Ponemos a común denominador

 

\cfrac{10}{30},\; \cfrac{6}{30},\; \cfrac{5}{30}

 

3 Realizamos un reparto directamente proporcional a los numeradores: 10, 6 y 5

 

\cfrac{x}{10}=\cfrac{y}{6}=\cfrac{z}{5}=\cfrac{x+y+z}{10+6+5}=\cfrac{420}{21}

 

\cfrac{x}{10}=\cfrac{420}{21}\; \Rightarrow \; x=\cfrac{420\cdot 10}{21}=200\; \euro

 

\cfrac{y}{6}=\cfrac{420}{21}\; \Rightarrow \; x=\cfrac{420\cdot 6}{21}=120\; \euro

 

\cfrac{z}{5}=\cfrac{420}{21}\; \Rightarrow \; x=\cfrac{420\cdot 5}{21}=100\; \euro

7 ¿Durante cuánto tiempo ha de imponerse un capital de 25000\, \euro al 5\, \% para que se convierta en 30000\, \euro?

 

¿Durante cuánto tiempo ha de imponerse un capital de 25000\, \euro al 5\, \% para que se convierta en 30000\, \euro?
Soluciones:

1 Calculamos el interés obtenido:

30000\, \euro -25000\, \euro =5000\, \euro
t=\cfrac{100\cdot 5000}{25000\cdot 5}=4 años

8 Se prestan 4500\, \euro y al cabo de un año, 4 meses y 20 días se reciben 52500\, \euro. Calcular el tanto por ciento de interés.

 

Se prestan 4500\, \euroy al cabo de un año, 4 meses y 20 días se reciben 52500\, \euro. Calcular el tanto por ciento de interés.Soluciones:

 

1 Calculamos el tiempo en días

 

360+120+20=500 días

 

2 Calculamos el interés

 

I=52500-45000=7500\, \euro

 

I=\cfrac{C\cdot r\cdot t}{36000}\; \Rightarrow \; r=\cfrac{36000\cdot I}{C\cdot t}

 

3 Calculamos el rédito

 

r=\cfrac{36000\cdot 7500}{45000\cdot 500}=12\, \%

9Hallar él tanto por ciento de interés simple al que deberá prestarse un capital para que al cabo de 20 años los intereses sean equivalentes al capital prestado.

 

Hallar él tanto por ciento de interés simple al que deberá prestarse un capital para que al cabo de 20 años los intereses sean equivalentes al capital prestado.Soluciones:

 

1 El interés es igual al capital

 

I=C

 

2 Sustituimos en I por la fórmula del interés

 

C=\cfrac{C\cdot r\cdot t}{100}

 

3 Productos de extremos es igual a producto de medios

 

100\cdot C=C\cdot r\cdot t

 

4 Si tenemos a\cdot b=c, entonces b=c\div a. De este modo podemos despejar el rédito

 

r=\cfrac{100\cdot \not{C}}{\not{C}\cdot t}

 

5 Simplificamos la fracción

 

r=\cfrac{100}{t}

 

r=\cfrac{100}{20}=5\, \%

10¿En cuánto tiempo se triplica un capital colocado al 6\, \%?

 

¿En cuánto tiempo se triplica un capital colocado al 6\, \%?
Soluciones:

 

1El interés es igual al triple del capital

 

I=3\cdot C

 

2Sustituimos el interés por su fórmula, despejamos el tiempo y simplificamos

 

3\cdot C=\cfrac{C\cdot r\cdot t}{100}

 

t=\cfrac{100\cdot 3\cdot \not{C}}{\not{C}\cdot t}

 

t=\cfrac{300}{t}

 

t=\cfrac{300}{6}=50 años.

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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