1 Un abuelo reparte $450\, \euro$ entre sus tres nietos de $8, 12$ y $16$ años de edad; proporcionalmente a sus edades. ¿Cuánto corresponde a cada uno?

Un abuelo reparte $450\, \euro$ entre sus tres nietos de $8, 12$ y $16$ años de edad; proporcionalmente a sus edades. ¿Cuánto corresponde a cada uno?

1 Al ser un problema de proporcionalidad directa podemos establecer las siguientes igualdades

$\cfrac{x}{8}=\cfrac{y}{12}=\cfrac{z}{16}$

$\cfrac{x}{8}=\cfrac{y}{12}=\cfrac{z}{16}=\cfrac{x+y+z}{8+12+16}=\cfrac{450}{36}$

2 Resolviendo para cada incógnita
$\cfrac{x}{8}=\cfrac{450}{36}\; \Rightarrow \; x=\cfrac{450\cdot 8}{36}=100\, \euro$

$\cfrac{y}{12}=\cfrac{450}{36}\; \Rightarrow \; y=\cfrac{450\cdot 12}{36}=150\, \euro$

$\cfrac{z}{16}=\cfrac{450}{36}\; \Rightarrow \; y=\cfrac{450\cdot 16}{36}=200\, \euro$

2 Se asocian tres individuos aportando $5000, 7500$ y $9000\, \euro$ . Al cabo de un año han ganado $6450\, \euro$ . ¿Qué cantidad corresponde a cada uno si hacen un reparto directamente proporcional a los capitales aportados?

Se asocian tres individuos aportando $5000, 7500$ y $9000\, \euro$ . Al cabo de un año han ganado $6450\, \euro$ . ¿Qué cantidad corresponde a cada uno si hacen un reparto directamente proporcional a los capitales aportados?

1 Al ser un problema de proporcionalidad directa podemos establecer las siguientes igualdades

$\cfrac{x}{5000}=\cfrac{y}{7500}=\cfrac{z}{9000}$

$\cfrac{x}{5000}=\cfrac{y}{7500}=\cfrac{z}{9000}=\cfrac{x+y+z}{21500}=\cfrac{6450}{21500}$ 2 Resolviendo para cada incógnita

$\cfrac{x}{5000}=\cfrac{6450}{21500}\; \Rightarrow \; x=\cfrac{6450\cdot 5000}{21500}=1500\, \euro$

$\cfrac{x}{7500}=\cfrac{6450}{21500}\; \Rightarrow \; x=\cfrac{6450\cdot 7500}{21500}=2250\, \euro$

$\cfrac{x}{9000}=\cfrac{6450}{21500}\; \Rightarrow \; x=\cfrac{6450\cdot 9000}{21500}=2700\, \euro$

3 Se reparte una cantidad de dinero, entre tres personas, directamente proporcional a $3, 5$ y $7$ . Sabiendo que a la segunda le corresponde $735\, \euro$ . Hallar lo que le corresponde a la primera y tercera.

Se reparte una cantidad de dinero, entre tres personas, directamente proporcional a $3, 5$ y $7$ . Sabiendo que a la segunda le corresponde $735\, \euro$ . Hallar lo que le corresponde a la primera y tercera.1 Al ser un problema de proporcionalidad directa podemos establecer las siguientes igualdades

$\cfrac{x}{3}=\cfrac{735}{5}=\cfrac{z}{7}=\cfrac{x+y+z}{3+5+7}=\cfrac{C}{15}$
2 Calculamos las incógnitas faltantes
$\cfrac{735}{5}=\cfrac{C}{15}\; \Rightarrow \; C=\cfrac{735\cdot 15}{5}=2205\, \euro$
$\cfrac{x}{3}=\cfrac{2205}{15}\; \Rightarrow \; x=\cfrac{2205\cdot 3}{15}=441\, \euro$
$\cfrac{z}{7}=\cfrac{2205}{15}\; \Rightarrow \; z=\cfrac{2205\cdot 7}{15}=1029\, \euro$

4 Se reparte dinero en proporción a $5, 10$ y $13$ ; al menor le corresponden $2500\, \euro$ . ¿Cuánto corresponde a los otros dos?

Se reparte dinero en proporción a $5, 10$ y $13$ ; al menor le corresponden $2500\, \euro$ . ¿Cuánto corresponde a los otros dos?

1 Planteamos las igualdades de la proporcionalidad directa y calculamos las incógnitas faltantes

$\cfrac{2500}{5}=\cfrac{y}{10}=\cfrac{z}{13}$

$\cfrac{2500}{5}=\cfrac{y}{10}\; \Rightarrow \; y=\cfrac{2500\cdot 10}{5}=5000\, \euro$

$\cfrac{2500}{5}=\cfrac{z}{13}\; \Rightarrow \; y=\cfrac{2500\cdot 13}{5}=6500\, \euro$

5 Tres hermanos ayudan al mantenimiento familiar entregando anualmente 5900 €. Si sus edades son de 20, 24 y 32 años y las aportaciones son inversamente proporcionales a la edad, ¿cuánto aporta cada uno?

Tres hermanos ayudan al mantenimiento familiar entregando anualmente $5900\, \euro$ . Si sus edades son de $20, 24$ y $32$ años y las aportaciones son inversamente proporcionales a la edad, ¿cuánto aporta cada uno?Soluciones:

1 Al ser un reparto inversamente proporcional, tenemos que tomar las inversas de las edades

$\cfrac{1}{20},\; \cfrac{1}{24},\; \cfrac{1}{32}$

2 Ponemos a común denominador

$\cfrac{24}{480},\; \cfrac{20}{480},\; \cfrac{15}{480}$

3 Realizamos un reparto directamente proporcional a los numeradores: $24, 20$ y $15$

$\cfrac{x}{24}=\cfrac{y}{20}=\cfrac{z}{15}=\cfrac{x+y+z}{24+20+15}=\cfrac{5900}{59}$

$\cfrac{x}{24}=\cfrac{5900}{59}\; \Rightarrow \; x=\cfrac{5900\cdot 24}{59}=2400\, \euro$

$\cfrac{y}{20}=\cfrac{5900}{59}\; \Rightarrow \; y=\cfrac{5900\cdot 20}{59}=2000\, \euro$

$\cfrac{z}{15}=\cfrac{5900}{59}\; \Rightarrow \; z=\cfrac{5900\cdot 15}{59}=1500\, \euro$

6Repartir $420\, \euro$ , entre tres niños en partes inversamente proporcionales a sus edades, que son $3, 5$ y $6$ .

Repartir $420\, \euro$ , entre tres niños en partes inversamente proporcionales a sus edades, que son $3, 5$ y $6$ .

Soluciones:

1 Al ser un reparto inversamente proporcional, tenemos que tomar las inversas de las edades

$\cfrac{1}{3},\; \cfrac{1}{5},\; \cfrac{1}{6}$

2 Ponemos a común denominador

$\cfrac{10}{30},\; \cfrac{6}{30},\; \cfrac{5}{30}$

3 Realizamos un reparto directamente proporcional a los numeradores: $10, 6$ y $5$

$\cfrac{x}{10}=\cfrac{y}{6}=\cfrac{z}{5}=\cfrac{x+y+z}{10+6+5}=\cfrac{420}{21}$

$\cfrac{x}{10}=\cfrac{420}{21}\; \Rightarrow \; x=\cfrac{420\cdot 10}{21}=200\; \euro$

$\cfrac{y}{6}=\cfrac{420}{21}\; \Rightarrow \; x=\cfrac{420\cdot 6}{21}=120\; \euro$

$\cfrac{z}{5}=\cfrac{420}{21}\; \Rightarrow \; x=\cfrac{420\cdot 5}{21}=100\; \euro$

7 ¿Durante cuánto tiempo ha de imponerse un capital de $25000\, \euro$ al $5\, \%$ para que se convierta en $30000\, \euro$ ?

¿Durante cuánto tiempo ha de imponerse un capital de $25000\, \euro$ al $5\, \%$ para que se convierta en $30000\, \euro$ ?

Soluciones:

1 Calculamos el interés obtenido:

$30000\, \euro -25000\, \euro =5000\, \euro$

$t=\cfrac{100\cdot 5000}{25000\cdot 5}=4$ años

8 Se prestan $4500\, \euro$ y al cabo de un año, $4$ meses y $20$ días se reciben $52500\, \euro$ . Calcular el tanto por ciento de interés.

Se prestan $4500\, \euro$ y al cabo de un año, $4$ meses y $20$ días se reciben $52500\, \euro$ . Calcular el tanto por ciento de interés.Soluciones:

1 Calculamos el tiempo en días

$360+120+20=500$ días

2 Calculamos el interés

$I=52500-45000=7500\, \euro$

$I=\cfrac{C\cdot r\cdot t}{36000}\; \Rightarrow \; r=\cfrac{36000\cdot I}{C\cdot t}$

3 Calculamos el rédito

$r=\cfrac{36000\cdot 7500}{45000\cdot 500}=12\, \%$

9Hallar él tanto por ciento de interés simple al que deberá prestarse un capital para que al cabo de $20$ años los intereses sean equivalentes al capital prestado.

Hallar él tanto por ciento de interés simple al que deberá prestarse un capital para que al cabo de $20$ años los intereses sean equivalentes al capital prestado.Soluciones:

1 El interés es igual al capital

$I=C$

2 Sustituimos en $I$ por la fórmula del interés

$C=\cfrac{C\cdot r\cdot t}{100}$

3 Productos de extremos es igual a producto de medios

$100\cdot C=C\cdot r\cdot t$

4 Si tenemos $a\cdot b=c$ , entonces $b=c\div a$ . De este modo podemos despejar el rédito

$r=\cfrac{100\cdot \not{C}}{\not{C}\cdot t}$

5 Simplificamos la fracción

$r=\cfrac{100}{t}$

$r=\cfrac{100}{20}=5\, \%$

10¿En cuánto tiempo se triplica un capital colocado al $6\, \%$ ?

¿En cuánto tiempo se triplica un capital colocado al $6\, \%$ ?

Soluciones:

1El interés es igual al triple del capital

$I=3\cdot C$

2Sustituimos el interés por su fórmula, despejamos el tiempo y simplificamos

$3\cdot C=\cfrac{C\cdot r\cdot t}{100}$

$t=\cfrac{100\cdot 3\cdot \not{C}}{\not{C}\cdot t}$

$t=\cfrac{300}{t}$

$t=\cfrac{300}{6}=50$ años.

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Marta

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Guerra
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7 Oct.

Ola indica cual de las siguientes situaciones relaconan variables directamente proporcional
Cantidad de genero y cantidad de abrigos
Litros de bencina y kilomettos que piede recorrer un auto
Tiempo empleado en recorrer una distancia y velocidad

Carlos Alberto Palafox Benitez
Guest

7 Oct.

Recordemos que cuando decimos «Directamente proporcional» nos referimos a que al modificar una variable, también las otras sufren cambios en la misma proporción, por lo tanto: – El genero y los abrigos no se relacionan de ninguna manera – La bencina y un vehículo pueden estar relacionados, de forma que puedes decir que una moto por ejemplo, recorre 35 km por litro, sin embargo, al decir que tienes 7 litros de bencina o cero litros, no cambia en nada la relación establecida, la moto sigue recorriendo 35km por litro. – Esta es la buena, si aumentas el tiempo que tardas… Read more »

Quiliche
Guest

23 Nov.

1. Creo que cantidad de género y cantidad de abrigos se relaciona de la siguiente manera: Cierto número de individuos de un género( en este caso hombre o mujer) y el número de abrigos para todo@s, en este caso sería directamente proporcional. 2. La bencina es cierto que se usa para limpiar diferentes artefactos; sin embargo, también se usa como combustible, entonces, mientras más combustible tiene un auto más distancia recorre, por lo que también sería directamente proporcional. 3. Al recorrer una misma distancia: Si aumentas la velocidad, lo haces en menos tiempo; en cambio, si disminuyes la velocidad, vas… Read more »

Proporcionalidad II

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Resumen

Proporcionalidad

Teoría

Regla de tres compuesta

Cuarto, medio y tercero proporcional

Regla de tres simple directa

Repartos directamente proporcionales

Proporcionalidad inversa

Repartos inversamente proporcionales

Interés simple

Proporcionalidad directa

Regla de tres simple inversa

Proporcion

Los porcentajes

Ejercicios interactivos

Ejercicios interactivos de proporciones

Ejercicios interactivos de cuarto, medio y tercero proporcional

Ejercicios interactivos de magnitudes directamente proporcionales

Ejercicios interactivos de regla de tres simple y directa

Ejercicios interactivos: repartos directamente proporcionales

Ejercicios interactivos: repartos inversamente proporcionales I

Ejercicios interactivos: repartos inversamente proporcionales II

Ejercicios interactivos de regla de tres compuesta

Ejercicios interactivos de interés simple

Ejercicios interactivos de porcentajes

Ejercicios interactivos de regla de tres inversa

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