Resuelve los siguientes problemas:

 

1Se quiere repartir un premio de 1 860 € a los tres mejores corredores de una carrera, de manera inversamente proporcional a los tiempos que han invertido en completar el recorrido. El primer corredor tardó 24 segundos, el segundo 28 y el tercero 30.

El premio del primer corredor es de

 €

El premio del segundo corredor es de

 €

El premio del tercer corredor es de

 €

1Se trata de un reparto inversamente proporcional, porque a más tiempo invertido en acabar el recorrido menos dinero recibirá el corredor. Tomamos los inversos:

 

\cfrac{1}{24}, \ \cfrac{1}{28}, \ \cfrac{1}{30}

 

2Pasamos a común denominador:

 

m.c.m.(24, 26, 30) = 840

 

\cfrac{35}{840}, \ \cfrac{30}{840}, \ \cfrac{28}{840}

 

3Ahora realizamos un reparto directamente proporcional a los numeradores:

 

\cfrac{x}{35} = \cfrac{y}{30} = \cfrac{z}{28} = \cfrac{x + y + z}{35 + 30 + 28} = \cfrac{1860}{93}

 

Obtenemos las siguientes igualdades de las cuales depejamos los valores solicitados

 

\cfrac{x}{35}= \cfrac{1860}{93} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x = 700

 

\cfrac{y}{30}= \cfrac{1860}{93} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y = 600

 

\cfrac{z}{28}= \cfrac{1860}{93} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ z = 560

 

4Así tendríamos que:

 

El premio del primer corredor es de: 700 €

 

El premio del segundo corredor es de: 600 €

 

El premio del tercer corredor es de: 560 €

 

2Se decide construir una estación de ferrocarril en la comarca del Guadalhorce. El coste es de un millón setescientos mil euros y se acuerda que lo deben pagar las tres localidades principales de manera inversamente proporcional a la distancia a la que se encuentran de la estación. Coín se encuentra a 6 \, km, Alhaurín el Grande a 8 \, km y Alhaurín de la Torre a 16 \, km de la estación.

Sin hacer ningún cálculo, ¿sabrías decir que pueblo deberá aportar una mayor cantidad de dinero?

¿Cuál será el importe a pagar de cada localidad?

Coín

 €

Alhaurín el Grande

 €

Alhaurín de la Torre

 €

1Por ser un reparto inversamente proporcional, el pueblo que deberá aportar más dinero será el que esté a menor distancia de la estación, es decir, Coín.

 

2Tomamos los inversos:

 

\cfrac{1}{6}, \ \cfrac{1}{8}, \ \cfrac{1}{16}

 

2Pasamos a común denominador:

 

m.c.m.(6, 8, 16) = 48

 

\cfrac{8}{48}, \ \cfrac{6}{48}, \ \cfrac{3}{48}

 

3Ahora realizamos un reparto directamente proporcional a los numeradores:

 

\cfrac{x}{8} = \cfrac{y}{6} = \cfrac{z}{3} = \cfrac{x + y + z}{8 + 6 + 3} = \cfrac{1 700 000}{17}

 

Obtenemos las siguientes igualdades de las cuales depejamos los valores solicitados

 

\cfrac{x}{8}= \cfrac{1 700 000}{17} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x = 800 000

 

\cfrac{y}{6} = \cfrac{1 700 000}{17} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y = 600 000

 

\cfrac{z}{3} = \cfrac{1 700 000}{17} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ z = 300 000

 

4Así tendríamos que:

 

Coín debe aportar: 800 000

 

Alhaurín el Grande debe aportar: 600 000

 

Alhaurín de la Torre debe aportar: 300 000

 

3Tres amigos ganan un premio de 1 300 €. El premio se reparte de manera inversamente proporcional al número de horas de descanso de cada uno de los miembros. Si el primer miembrp descansó 2 horas, el segundo 3 y el tercero 4. ¿Qué cantidad recibe cada miembro?

El premio del primer miembro es de

El premio del segundo miembro es de

El premio del tercer miembro es de

1Se trata de un reparto inversamente proporcional, porque a más tiempo de descanso menos dinero recibirá el miembro. Tomamos los inversos:

 

\cfrac{1}{2}, \ \cfrac{1}{3}, \ \cfrac{1}{4}

 

2Pasamos a común denominador:

 

m.c.m.(2, 3, 4) = 12

 

\cfrac{6}{12}, \ \cfrac{4}{12}, \ \cfrac{3}{12}

 

3Ahora realizamos un reparto directamente proporcional a los numeradores:

 

\cfrac{x}{6} = \cfrac{y}{4} = \cfrac{z}{3} = \cfrac{x + y + z}{6 + 4 + 3} = \cfrac{1300}{13}

 

Obtenemos las siguientes igualdades de las cuales depejamos los valores solicitados

 

\cfrac{x}{6}= \cfrac{1300}{13} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x = 600

 

\cfrac{y}{4}= \cfrac{1300}{13} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y = 400

 

\cfrac{z}{3}= \cfrac{1300}{13} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ z = 300

 

4Así tendríamos que:

 

El premio del primer corredor es de: 600

 

El premio del segundo corredor es de: 400

 

El premio del tercer corredor es de: 300

 

4Se reparten 3 800 € entre tres trabajadores por concepto de pago de manera inversamente proporcional al número de dias no laborados. Si el primer trabajador no laboró 5 dias, el segundo 3 y el tercero 10. ¿Cuál es el pago de cada trabajador?

El pago del primer trabajador es de

El pago del segundo trabajador es de

El pago del tercer trabajador es de

1Se trata de un reparto inversamente proporcional, porque a más días no laborados menos dinero recibirá el trabajador. Tomamos los inversos:

 

\cfrac{1}{5}, \ \cfrac{1}{3}, \ \cfrac{1}{10}

 

2Pasamos a común denominador:

 

m.c.m.(5, 3, 10) = 30

 

\cfrac{6}{30}, \ \cfrac{10}{30}, \ \cfrac{3}{30}

 

3Ahora realizamos un reparto directamente proporcional a los numeradores:

 

\cfrac{x}{6} = \cfrac{y}{10} = \cfrac{z}{3} = \cfrac{x + y + z}{6 + 10 + 3} = \cfrac{3800}{19}

 

Obtenemos las siguientes igualdades de las cuales depejamos los valores solicitados

 

\cfrac{x}{6}= \cfrac{3800}{19} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x = 1200

 

\cfrac{y}{10}= \cfrac{3800}{19} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y = 2000

 

\cfrac{z}{3}= \cfrac{3800}{19} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ z = 600

 

4Así tendríamos que:

 

El pago al primer trabajador es de: 1200

 

El pago al segundo trabajador es de: 2000

 

El pago al tercer trabajador es de: 600

 

5Una profesora reparte 20 deberes entre tres de sus alumnos de manera inversamente proporcional al número de calificaciones obtenidas. Si el primer alumno tiene una calificación de 50, el segundo 75 y el tercero 90. ¿Cuál es el número de deberes asignados a cada alumno?

El primer alumno tendrá

deberes.

El segundo alumno tendrá

deberes.

El tercer alumno tendrá

deberes

1Se trata de un reparto inversamente proporcional, porque a más calificación menos deberes. Tomamos los inversos:

 

\cfrac{1}{50}, \ \cfrac{1}{75}, \ \cfrac{1}{90}

 

2Pasamos a común denominador:

 

m.c.m.(50, 75, 90) = 450

 

\cfrac{9}{450}, \ \cfrac{6}{450}, \ \cfrac{5}{450}

 

3Ahora realizamos un reparto directamente proporcional a los numeradores:

 

\cfrac{x}{9} = \cfrac{y}{6} = \cfrac{z}{5} = \cfrac{x + y + z}{9 + 6 + 5} = \cfrac{20}{20}

 

Obtenemos las siguientes igualdades de las cuales depejamos los valores solicitados

 

\cfrac{x}{9}= \cfrac{20}{20} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x = 9

 

\cfrac{y}{6}= \cfrac{20}{20} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y = 6

 

\cfrac{z}{5}= \cfrac{20}{20} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ z = 5

 

4Así tendríamos que:

 

El primer alumno tendrá 9 deberes

 

El segundo alumno tendrá 6 deberes

 

El tercer alumno tendrá 5 deberes

 

6Se reparten 42 dulces entre tres niños de manera inversamente proporcional a la edad de cada uno de ellos. Si el primer niño tiene 5 años, el segundo 6 y el tercero 10. ¿Cuál es el número de dulces que obtiene cada niño?

El niño de 5 años tendrá

dulces.

El niño de 6 años tendrá

dulces.

El niño de 10 años tendrá

dulces.

1Se trata de un reparto inversamente proporcional, porque a más edad menos dulces. Tomamos los inversos:

 

\cfrac{1}{5}, \ \cfrac{1}{6}, \ \cfrac{1}{10}

 

2Pasamos a común denominador:

 

m.c.m.(5, 6, 10) = 30

 

\cfrac{6}{30}, \ \cfrac{5}{30}, \ \cfrac{3}{30}

 

3Ahora realizamos un reparto directamente proporcional a los numeradores:

 

\cfrac{x}{6} = \cfrac{y}{5} = \cfrac{z}{3} = \cfrac{x + y + z}{6 + 5 + 3} = \cfrac{42}{14}

 

Obtenemos las siguientes igualdades de las cuales depejamos los valores solicitados

 

\cfrac{x}{6}= \cfrac{42}{14} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x = 18

 

\cfrac{y}{5}= \cfrac{42}{14} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y = 15

 

\cfrac{z}{3}= \cfrac{42}{14} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ z = 9

 

4Así tendríamos que:

 

El niño de 5 años tendrá 18 dulces

 

El niño de 6 años tendrá 15 dulces

 

El niño de 10 años tendrá 9 dulces

 

7En un equipo de tres integrantes se reparte un bono de productividad de 5100 € de manera inversamente proporcional a la cantidad errores cometidos durante todo el año anterior. Si el primer integrante tiene 5 errores, el segundo 10 y el tercero 25. ¿Cuál es la cantidad que corresponde a cada integrante?

El primer integrante tendrá

€.

El segundo integrante tendrá

€.

El tercer integrante tendrá

€.

1Se trata de un reparto inversamente proporcional, porque a más errores menos bono. Tomamos los inversos:

 

\cfrac{1}{5}, \ \cfrac{1}{10}, \ \cfrac{1}{25}

 

2Pasamos a común denominador:

 

m.c.m.(5, 10, 25) = 50

 

\cfrac{10}{50}, \ \cfrac{5}{50}, \ \cfrac{2}{50}

 

3Ahora realizamos un reparto directamente proporcional a los numeradores:

 

\cfrac{x}{10} = \cfrac{y}{5} = \cfrac{z}{2} = \cfrac{x + y + z}{10 + 5 + 2} = \cfrac{5100}{17}

 

Obtenemos las siguientes igualdades de las cuales depejamos los valores solicitados

 

\cfrac{x}{10}= \cfrac{5100}{17} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x = 3000

 

\cfrac{y}{5}= \cfrac{5100}{17} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y = 1500

 

\cfrac{z}{2}= \cfrac{5100}{17} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ z = 600

 

4Así tendríamos que:

 

El primer integrante tendrá 3000

 

El segundo integrante tendrá 1500

 

El tercer integrante tendrá 600

 

Si tienes dudas puedes consultar la teoría

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗