Expresa mediante un sólo radical simplificando el resultado siempre que se pueda.

 

1\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{5}}} = \quad

Recordemos que

    \[ \sqrt[y]{x} = x^{\frac{1}{y}} \]

con  y \in \mathbb{N} , entonces utilizando la propiedad anterior varias veces tendremos que

     \begin{align*} \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{5}}} &= \sqrt{\sqrt[3]{5^{1/2}}} \\ &= \sqrt{(5^{1/2})^{1/3}} \\ &= \sqrt{5^{1/6}} \\ &= (5^{1/6})^{1/2} \\ &= 5^{1/12}\\ &= \sqrt[12]{5} \end{align*}

2 \sqrt[5]{5\sqrt{3}} = \quad

Notemos que

     \[ \sqrt[5]{5\sqrt{3}} &= \sqrt[5]{\sqrt{5^2} \cdot 3} \]

Ahora bien, recordemos que

(1)    \begin{equation*} \sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[mn]{x} \end{equation*}

utilizando directamente la propiedad anterior obtendremos que

     \begin{align*} \sqrt[5]{\sqrt{5^2} \cdot 3} &= \sqrt[10]{5^2 \cdot 3}\\ &= \sqrt[10]{75}\\ \end{align*}

3\sqrt[3]{8 \sqrt[5]{27}} = \quad ·

Notemos que

     \begin{align*} \sqrt[3]{8 \sqrt[5]{27}} & = \sqrt[3]{\sqrt[5]{8^{5}\cdot 27}} \\ & = \sqrt[3]{\sqrt[5]{(2^{3})^{5}\cdot 3^3}} \\ & = \sqrt[3]{\sqrt[5]{2^{15}\cdot 3^3}} \end{align*}

Ahora bien, utilizando nuevamente la propiedad (1) tendremos que

     \begin{align*} \sqrt[3]{\sqrt[5]{2^{15}\cdot 3^3}} & = \sqrt[15]{2^{15}\cdot 3^3} \\ & = 2 \sqrt[15]{3^3} \\ & = 2 \sqrt[5]{3} \end{align*}

4\sqrt{x \sqrt[3]{2 x \sqrt[4]{x}}} = \quad ·

Similar a los ejercicios anteriores, obtenemos lo siguiente utilizando propiedades de radicales y exponentes

     \begin{align*} \sqrt{x \sqrt[3]{2 x \sqrt[4]{x}}} & = \sqrt{\sqrt[3]{x^{3} \cdot 2 x \sqrt[4]{x}}}\\ & = \sqrt{\sqrt[3]{2 x^{4} \sqrt[4]{x}}}\\ & = \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[4]{\left(2 x^{4}\right)^{4} \cdot x}}}\\ & = \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[4]{2^{4} x^{16} \cdot x}}}\\ & = \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[4]{2^{4} x^{17}}}} \end{align*}

Nuevamente con la propiedad (1)

     \begin{align*} \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[4]{2^{4} x^{17}}}} & = \sqrt[24]{2^{4} x^{17}} \\ & = \sqrt[24]{16 x^{17}} \end{align*}

5 \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt[5]{9}}} = \quad

Considerando que la raíz de una fracción es la raíz del numerador sobre la raíz del denominador tenemos

     \[ \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt[5]{9}}} & = \frac{\sqrt{\sqrt{3}}}{\sqrt{\sqrt[5]{9}}} \]

Ahora bien, de la propiedad (1)

     \[ \frac{\sqrt{\sqrt{3}}}{\sqrt{\sqrt[5]{9}}} & = \frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt[10]{9}} \]

Y considerando que \frac{1}{4} = \frac{1}{20} y  \frac{1}{10} = \frac{2}{20} tendremos que

     \begin{align*} \frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt[10]{9}} & = \frac{\sqrt[20]{3^{5}}}{\sqrt[20]{9^{2}}}\\ & = \frac{\sqrt[20]{3^{5}}}{\sqrt[20]{\left(3^{2}\right)^{2}}} \\ & = \frac{\sqrt[20]{3^{5}}}{\sqrt[20]{3^{4}}} \\ & = \sqrt[20]{\frac{3^{5}}{3^{4}}} \\ & = \sqrt[20]{3} \end{align*}

Si tienes dudas puedes consultar la teoría

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗