Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas, por tanto no se pueden expresar en forma de fracción. El número irracional más conocido es π, que se define como la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. Los números reales = 3.141592653589... Otros números irracionales son: El número e aparece en procesos de crecimiento, en la desintegración radiactiva, en la fórmula de la catenaria, que es la curva que podemos apreciar en los tendidos eléctricos. e = 2.718281828459... El número áureo, Φ, utilizado por artistas de todas las épocas (Fidias, Leonardo da Vinci, Alberto Durero, Dalí,..) en las proporciones de sus obras. Los números reales

Los números reales

El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el conjunto de los números reales, se designa por Los números reales. ¿Necesitas clases algebra para entenderlo mejor? ¡Confía en Superprof! Los números reales Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto la radicación de índice par y radicando negativo, y la división por cero.

La recta real

A todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta un número real. Los números reales

Representación de los números reales

Los números reales pueden ser representados en la recta con tanta aproximación como queramos, pero hay casos en los que podemos representarlos de forma exacta. Los números realesLos números reales

Operaciones de números reales

1

Suma de números reales

Propiedades:

1 Interna:

El resultado de sumar dos números reales es otro número real. a + b Los números realesLos números realesLos números reales + Los números realesLos números realesLos números reales

2 Asociativa:

El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado. (a + b) + c = a + (b + c) · Los números reales

3 Conmutativa:

El orden de los sumandos no varía la suma. a + b = b + a Los números reales

4 Elemento neutro:

El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número. a + 0 = a Los números reales+ 0 = Los números reales

5 Elemento opuesto:

Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el cero.e − e = 0 El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número. −(−Los números reales) = Los números reales

2

Diferencia de números reales

La diferencia de dos números reales se define como la suma del minuendo más el opuesto del sustraendo.

     a − b = a + (−b)

3

Producto de números reales

La regla de los signos del producto de los números enteros y racionales se sigue manteniendo con los números reales. Los números reales
Propiedades:

1 Interna:

El resultado de multiplicar dos números reales es otro número real.

     a · b Los números realesLos números reales

2 Asociativa:

El modo de agrupar los factores no varía el resultado. Si a, b y c son números reales cualesquiera, se cumple que:

     (a · b) · c = a · (b · c)

     (e · Los números reales ) · Los números reales = e · (Los números reales ·Los números reales)

3 Conmutativa:

El orden de los factores no varía el producto.

     a · b = b · a

Los números reales

4 Elemento neutro:

El 1 es el elemento neutro de la multiplicación, porque todo número multiplicado por él da el mismo número.

     a ·1 = a

Los números reales · 1 =Los números reales

5 Elemento opuesto:

Un número es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento unidad.Los números realesLos números reales

6 Distributiva:

El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos.a · (b + c) = a · b + a · c

     Los números reales · (e + Los números reales) = Los números reales · e +Los números reales · Los números reales

7 Sacar factor común:

Es el proceso inverso a la propiedad distributiva. Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.

     a · b + a · c = a · (b + c)

Los números reales · e +Los números reales · Los números reales = Los números reales · (e + Los números reales)

4

División de números reales

La división de dos números reales se define como el producto del dividendo por el inverso del divisor.

Definición de intervalo

Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos dados: a y b que se llaman extremos del intervalo.

Intervalo abierto

Intervalo abierto, (a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b.

     (a, b) = {x Los números realesLos números reales / a

Los números reales

Intervalo cerrado

Intervalo cerrado, [a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b.

     [a, b] = {x Los números realesLos números reales / a ≤ x ≤ b}

Los números reales

Intervalo semiabierto por la izquierda

Intervalo semiabierto por la izquierda, (a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores o iguales que b.

     (a, b] = {x Los números realesLos números reales / a

Los números reales

Intervalo semiabierto por la derecha

Intervalo semiabierto por la derecha, [a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b.

     [a, b) = {x Los números realesLos números reales/ a ≤ x

Los números reales

Nomenclatura para varios conjuntos

Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o más de estos intervalos, se utiliza el signo Los números reales (unión) entre ellos.

Semirrectas

Las semirrectas están determinadas por un número. En una semirrecta se encuentran todos los números mayores (o menores) que él.

x > a

     (a, +∞) = {x Los números realesLos números reales / a

Los números reales

x ≥ a

     [a, +∞) = {x Los números realesLos números reales / a ≤ x <+∞}

Los números reales

x

     (-∞, a) = {x Los números realesLos números reales / -∞

Los números reales

x ≤ a

     (-∞, a] = {x Los números realesLos números reales / -∞

Los números reales

Valor Absoluto

Valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando es positivo o cero, y opuesto de a, si a es negativo. Los números reales|5| = 5            |-5 |= 5         |0| = 0|x| = 2           x = −2           x = 2|x|<2 < strong>       − 2 x Los números reales(−2, 2 )|x|> 2            x<-2 ó x>2     (−∞, -2 ) Los números reales(2, +∞)|x −2 |<5     − 5 < x − 2    < strong> − 5 + 2 − 3 Propiedades:
1 Los números opuestos tienen igual valor absoluto.

     |a| = |−a|

Ejemplo:|5| = |−5| = 5

2 El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores.

     |a · b| = |a|· |b|

Ejemplo:|5 · (−2)| = |5| · |(−2)||−10| = |5| · |2| 10 = 10

3 El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos de los sumandos.

     |a + b| ≤ |a| + |b|

Ejemplo:|5 + (−2)| ≤ |5| + |(−2)||3| = |5| + |2| 3 ≤ 7

Distancia

La distancia entre dos números reales a y b, que se escribe d(a, b), se define como el valor absoluto de la diferencia de ambos números:

     d(a, b) = |b − a|

Ejemplo: La distancia entre −5 y 4 es: d(−5, 4) = |4 − (−5)| == |4 + 5| = |9| 

Definición de entorno

Se llama entorno de centro a y radio r, y se denota por Er(a) o E(a,r), al intervalo abierto (a-r, a+r).Er(a) = (a-r, a+r)Los números reales Los entornos se expresan con ayuda del valor absoluto. Er(0) = (-r, r) se expresa también |x|, o bien, -r . Er(a) = (a-r, a+r) se expresa también |x-a|, o bien, a − r .

Entornos laterales

Por la izquierda

Er(a-) = (a-r, a]

Los números reales

Por la derecha

Er(a+) = [a, a+r)

Los números reales

Entorno reducido

Se emplea cuando se quiere saber qué pasa en las proximidades del punto, sin que interese lo que ocurre en dicho punto. E r*(a) = { x Los números reales(a − r, a + r), x ≠ a}

Los números reales

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗