Ejercicios propuestos

1Representa en la recta: \sqrt{13}.

Tomamos un rectángulo de base 3 y lado 2. Entonces, usando el teorema de Pitágoras sabemos que su diagonal mide \sqrt{13}.En efecto, pues 3^{2} + 2^{2} = d^{2}, de donde, 13 = d^{2} y, por tanto d=\sqrt{3^{2} + 2^{2}}Basta coger esta medida y transportarla con el compás (tomando centro en 0 y con radio la diagonal de nuestro rectángulo). De este modo, representamos en la recta real el número \sqrt{13}.

Representación vectorial de un número real

2 Representa en la recta real los números que verifican las siguientes relaciones:

1|x-2|< 12|x-2|\leq 13|x-2|> 14 |x-2|\geq 1

Para cada uno de los casos resolveremos el valor absoluto y luego dibujaremos el segmento que representa:
1
Primero utilizamos la definición de valor absoluto, luego sumamos 2 en las dos desigualdades y finalmente obtenemos el intervalo buscado

    $$|x-2|< 1\Rightarrow -1<x-2< 1\Rightarrow 1<x<3\Rightarrow x\in(1,3).$$

segmento abierto entre dos puntos

2
Primero utilizamos la definición de valor absoluto, luego sumamos 2 en las dos desigualdades y finalmente obtenemos el intervalo buscado

    $$|x-2|\leq 1\Rightarrow -1\leq x-2\leq 1\Rightarrow 1\leq x\leq 3\Rightarrow x\in[1,3].$$

Segmento cerrado entre dos puntos

3
Primero utilizamos la definición de valor absoluto, luego sumamos 2 en las dos desigualdades y finalmente obtenemos el intervalo buscado

    $$|x-2|> 1\Rightarrow -1>x-2> 1\Rightarrow 1>x>3\Rightarrow x\in(-\infty,1)\cup(3,\infty).$$

Complemento de un segmento abierto

4
Primero utilizamos la definición de valor absoluto, luego sumamos 2 en las dos desigualdades y finalmente obtenemos el intervalo buscado

    $$|x-2|\geq 1\Rightarrow -1\geq x-2\geq 1\Rightarrow 1\geq x\geq3\Rightarrow x\in(-\infty,1]\cup[3,\infty).$$

Complemento de un segmento cerrado

3 Opera: \sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{250}+\sqrt[6]{4}-\cfrac{1}{4}

Descomponemos en factores los radicandos

    $$\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{250}+\sqrt[6]{4}-\cfrac{1}{4}=\sqrt[3]{2^{4}}+\sqrt[3]{2\cdot 5^{3}}+\sqrt[6]{2^{2}}-\cfrac{1}{\sqrt[3]{2^{2}}}$$

En los dos primeros sumandos extraemos factores, el tercero simplificamos el radical dividiendo el índice y el exponente del radicando entre 2 y el último vamos a racionalizar multiplicando y dividiendo por por la raíz cúbica de 2

    $$=2\sqrt[3]{2}+5\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{2}-\cfrac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2^{2}\cdot \sqrt[3]{2}}}$$

Como todos los radicales son semejantes podemos sumar sus coeficientes

    $$=2\sqrt[3]{2}+5\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{2}-\cfrac{\sqrt[3]{2}}{2}=\cfrac{15}{2}\sqrt[3]{2}$$

4 Calcula: \cfrac{\sqrt{4}\cdot\sqrt[3]{a^{2}}\cdot\sqrt[4]{a^{3}}}{\sqrt[6]{a^{4}}}

En primer lugar calculamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice

Dividimos el común índice (12) por cada uno de los índices (2, 3, 4\text{ y }6) y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes (1, 2, 3 \text{ y } 4)

Quitamos los paréntesis, simplificamos la fracción y multiplicamos en el numerador las potencias con la misma base

Simplificamos el radical dividiendo por 3 el índice y el exponente del radicando

Por último extraemos factores

    $$\sqrt[12]{\cfrac{a^{6}\cdot(a^{2})^{4}\cdot(a^{3})^{3}}{(a^{4})^{2}}}=\sqrt[12]{\cfrac{a^{6}\cdot a^{8}\cdot a^{9}}{a^{8}}}=\sqrt[12]{a^{15}}=\sqrt[4]{a^{5}}=a\sqrt[4]{a}.$$

5 Racionalizar: \cfrac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}

Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador

    $$=\cfrac{(3\sqrt{2}-2\sqrt{3})(3\sqrt{2}-2\sqrt{3})}{(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})(3\sqrt{2}-2\sqrt{3})}$$

Ponemos el numerador en forma de potencia

    $$=\cfrac{(3\sqrt{2}-2\sqrt{3})^{2}}{(3\sqrt{2})^{2}-(2\sqrt{3})^{2}}$$

En el numerador tenemos una diferencia al cuadrado que es igual al cuadrado del primero, menos el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo

En el denominador tenemos una suma por diferencia que es igual a la diferencia de cuadrados

    $$=\cfrac{(3\sqrt{2})^{2}-2\cdot3\sqrt{2}\cdot2\sqrt{3}+(2\sqrt{3})^{2}}{(3\sqrt{2})^{2}-(2\sqrt{3})^{2}}$$

Realizamos las operaciones

    $$=\cfrac{(9\cdot 2)-12\sqrt{6}+(4\cdot 3)}{(9\cdot 2)-(4\cdot 3)}$$

    $$=\cfrac{(18)-12\sqrt{6}+(12)}{(18)-(12)}$$

Simplificamos la fracción

    $$=\cfrac{30-12\sqrt{6}}{6}=5-2\sqrt{6}.$$

6Conociendo que {\rm log} 2 = 0.3010, calcula:

    $${\rm log} 0.0625$$

Primero escribimos el número 0.0625 como fracción, y hallamos la descomposición en potencias de numero primos de dicha fracción, finalmente utilizamos la propiedad del logaritmo de una división,

    $${\rm log} 0.0625={\rm log}\left(\cfrac{625}{10000}\right)={\rm log}\left(\cfrac{5^{4}}{2^{4}\cdot 5^{4}}\right)={\rm log}\left(\cfrac{1}{2^{4}}\right)$$

    $$={\rm log}\left(\cfrac{1}{2^{4}}\right)={\rm log}(1)-\rm log}(2^{4})=0-4\rm log}(2)=-1.2040$$

7Calcula el valor de x aplicando la definición de logaritmo:

1 {\rm log}_{2}32=x2 {\rm log}_{9}\cfrac{1}{3}=x3 {\rm log}_{\frac{1}{2}}0.25=x4 {\rm log}_{9}\sqrt[4]{3}=x5 {\rm log}_{\sqrt{2}}\cfrac{1}{4}=x6 {\rm log}_{x}81=-47 {\rm log}_{2}x^{3}=6

En cada uno de los items desarrollaremos las operaciones necesarias para obtener el valor de x

1 {\rm log}_{2}32=x

    $$2^{x}=32 (\text{ Definición del Logaritmo })\Rightarrow $$

    $$2^{x}=2^{5}(\text{ Descomposición en primos de } 32) \Rightarrow $$

    $$x=5$$

2 {\rm log}_{9}\cfrac{1}{3}=x

    $$9^{x}=\cfrac{1}{3} (\text{ Definición del Logaritmo })\Rightarrow $$

    $$3^{2x}=3^{-1}(\text{ Expresión diferente para } \cfrac{1}{3}) \Rightarrow $$

    $$x-\cfrac{1}{2}$$

3 {\rm log}_{\frac{1}{2}}0.25=x

    $$\cfrac{1}{2}^{x}=\cfrac{25}{100} (\text{ Definición del Logaritmo })\Rightarrow $$

    $$\cfrac{1}{2}^{x}=\cfrac{1}{4} \Rightarrow $$

    $$\cfrac{1}{2}^{x}=\left(\cfrac{1}{2}\right)^{2}(\text{ Descomposición en primos de } 4)\Rightarrow$$

    $$ x=2$$

4 {\rm log}_{9}\sqrt[4]{3}=x

    $$9^{x}=\sqrt[4]{3} (\text{ Definición del Logaritmo })\Rightarrow $$

    $$3^{2x}=3^{\cfrac{1}{4}} (\text{ Definición de la Raíz })\Rightarrow $$

    $$x=\cfrac{1}{8}(\text{ Despejamos el valor de } x)$$

5 {\rm log}_{\sqrt{2}}\cfrac{1}{4}=x

    $$(\sqrt{2})^{x}=\cfrac{1}{4}(\text{ Definición del Logaritmo })\Rightarrow $$

    $$2^{\frac{x}{2}}=2^{-2}(\text{ producto de exponentes })\Rightarrow $$

    $$x=-4(\text{ Despejamos el valor de } x)$$

6 {\rm log}_{x}81=-4

    $$(x)^{-4}=81(\text{ Definición del Logaritmo })\Rightarrow $$

    $$x^{4}=81^{-1}(\text{ Elevamos a la } -1)\Rightarrow $$

    $$x=\sqrt[4]{81}=3(\text{ Sacamos raíz cuarta })$$

7 {\rm log}_{2}x^{3}=6

    $$(x)^{3}=2^{6}(\text{ Definición del Logaritmo })\Rightarrow $$

    $$x=\sqrt[3]{(2^{3})^{2}}(\text{ Sacamos raíz tercera} )\Rightarrow $$

    $$x=4(\text{ operamos la raíz y los exponentes })$$

8

Conociendo que {\rm log} 2 = 0.3010, calcula los siguientes logaritmos decimales.

1 {\rm log} 0.022 {\rm log} \sqrt[4]{8}3 {\rm log} 5

En cada uno de los items desarrollaremos las operaciones necesarias para obtener el valor buscado
1
Escribimos el número 0.02 como fracción, luego aplicamos las propiedades del logaritmos de una división y de una potencia
{\rm log} 0.02

    $${\rm log}\left(\cfrac{2}{100}\right)={\rm log}2-{\rm log}10^{2}={\rm log}2-2{\rm log}10=0.3010-2=-1-699$$

2
Escribimos a 8 como potencia y aplicamos la propiedad del logaritmo de una potencia
{\rm log} \sqrt[4]{8}

    $${\rm log}\sqrt[4]{2^{3}}=\cfrac{3}{4}{\rm log}2=\cfrac{3}{4}(0.3010)=0.2257$$

3
Escribimos el número 5 como fracción, luego aplicamos la propiedad del logaritmo de una división
{\rm log} 5

    $${\rm log} 5={\rm log}\left(\cfrac{10}{2}\right)={\rm log}10-{\rm log}2=1-0.3010=0.699$$

9Calcular los logaritmos de de las expresiones que se indican:

1{\rm ln}\cfrac{x^{2}\cdot y\cdot(m+n)}{m\cdot n}2{\rm log}_{2}\cfrac{a^{2}-b^{2}}{a\cdot b}3{\rm log}2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}

En cada uno de los items desarrollaremos las operaciones necesarias para obtener el valor buscado
1
Aplicamos las siguiente propiedades de los logaritmos: Logaritmo de una división, Logaritmo de un producto, Logaritmo de una potencia:{\rm ln}\cfrac{x^{2}\cdot y\cdot(m+n)}{m\cdot n}={\rm ln}x^{2}\cdot y\cdot(m+n)-{\rm ln}m\cdot n= {\rm ln}x^{2}+{\rm ln}y+{\rm ln}(m+n)-{\rm ln}m-{\rm ln}n= 2{\rm ln}x+{\rm ln}y+{\rm ln}(m+n)-{\rm ln}m-{\rm ln}n.

2
Aplicamos las siguiente propiedades de los logaritmos: Logaritmo de una división, Logaritmo de un producto, Logaritmo de un producto:

{\rm log}_{2}\cfrac{a^{2}-b^{2}}{a\cdot b}={\rm log}_{2}((a-b)(a+b))-{\rm log}_{2}a\cdot b={\rm log}_{2}(a-b)+{\rm log}_{2}(a+b)-({\rm log}_{2}a+{\rm log}_{2}b)={\rm log}_{2}(a-b)+{\rm log}_{2}(a+b)-{\rm log}_{2}a-{\rm log}_{2}b.

3
Aplicamos las siguiente propiedades de los logaritmos: Logaritmo de un producto, Logaritmo de una potencia con potencia \cfrac{1}{2}, Logaritmo de un producto, Logaritmo de una potencia con potencia \cfrac{1}{2}, Logaritmo de un producto, Logaritmo de una potencia con potencia \cfrac{1}{2}, Logaritmo de un producto, Logaritmo de una potencia con potencia \cfrac{1}{2}:

{\rm log}2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}={\rm log}2+{\rm log}\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}=

{\rm log}2+\cfrac{1}{2}{\rm log}2\sqrt{2\sqrt{2}}}={\rm log}2+\cfrac{1}{2}\left({\rm log}2+\cfrac{1}{2}{\rm log}2\sqrt{2}\right)=

{\rm log}2+\cfrac{1}{2}\left({\rm log}2+\cfrac{1}{2}\left({\rm log}2+{\rm log}\sqrt{2}\right)\right)=

{\rm log}2+\cfrac{1}{2}\left({\rm log}2+\cfrac{1}{2}\left({\rm log}2+\cfrac{1}{2}{\rm log}2\right)\right)=

{\rm log}2+\cfrac{1}{2}{\rm log}2+\cfrac{1}{4}{\rm log}2+\cfrac{1}{8}{\rm log}2=\cfrac{15}{8}{\rm log}2.

10Calcula mediante logaritmos el valor de x.

1 x=\sqrt[5]{493}2 x=\cfrac{\sqrt[3]{0.3688}}{22.958^{5}}3 x=\cfrac{425\cdot \sqrt{2.73}}{\sqrt[3]{48.4}}

En cada uno de los items desarrollaremos las operaciones necesarias para obtener el valor buscado
1

    $$x=\sqrt[5]{493}$$

Aplicamos logaritmo en ambos lados

    $${\rm log}x={\rm log}\sqrt[5]{493}$$

Aplicamos logaritmo de una potencia

    $${\rm log}x=\cfrac{1}{5}{\rm log}493$$

Hallamos el antilogaritmo

    $$x={\rm antilog}(0.5386)=3.456$$

2

    $$x=\cfrac{\sqrt[3]{0.3688}}{22.958^{5}}$$

Aplicamos logaritmo en ambos lados

    $${\rm log}x={\rm log}\cfrac{\sqrt[3]{0.3688}}{22.958^{5}} $$

Aplicamos logaritmo de una división

    $${\rm log}x={\rm log}\sqrt[3]{0.3688}-{\rm log}22.958^{5}$$

    $${\rm log}x=-6.949$$

Aplicamos antilogaritmo

    $$x={\rm antilog}(-6.949)=1.124\times10^{-7}$$

3

    $$x=\cfrac{425\cdot \sqrt{2.73}}{\sqrt[3]{48.4}}$$

Aplicamos logaritmo en ambos lados

    $${\rm log}x={\rm log}\cfrac{425\cdot \sqrt{2.73}}{\sqrt[3]{48.4}}$$

Aplicamos logaritmo de una división, logaritmo de un producto y logaritmo de una potencia

    $${\rm log}x={\rm log}425+{\rm log}\sqrt{2.73}-{\rm log}\sqrt[3]{48.4}$$

    $${\rm log}x=2.6984+\cfrac{1}{2}\cdot 0.4362-\cfrac{1}{3}\cdot 1.6848=2.2849$$

Aplicamos antilogaritmo en ambos lados

    $$x={\rm antilog}(2.2849)=192.71$$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗