Name: Ejercicios resueltos sobre radicales
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Marta

5 junio 2019

Temas

Potencias Racionales
Factores en radicales
Factores fuera del radical
Igualación de indices
Suma de radicales
Conversión de indices y suma de radicales
Sumas con radicales como denominadores
Producto de Radicales
Divisiones con radicales
Simplifica la siguiente operación
Jerarquía al resolver radicales
Potencias de un radical
Binomios y radicales
Operaciones mixtas con radicales
Raíces de raíces
Racionalizar radicales
Leyes de potencias en radicales

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Potencias Racionales

Calcula los valores de las siguientes potencias:

1 $16^{\frac{3}{2}}$

2 $8^{\frac{2}{3}}$

3 $81^{0.75}$

4 $8^{0.333\dots}$

Calcula los valores de las siguientes potencias:

Soluciones:

Una potencia con exponente fraccionario es igual a una raíz cuyo índice es el denominador de la fracción $(2)$ y el exponente del radicando es el numerador $(3)$ .

Para resolver el primero primero descomponemos $16$ en factores, efectuamos las operaciones en el radicando y
extraemos factores

1 $16^{\frac{3}{2}}$

$\begin{align*} 16^{\frac{3}{2}} &= \sqrt{16^3}\\ &= \sqrt{(2^4)^3}\\ &= \sqrt{2^{12}}\\ &= 2^6\\ &= 64 \end{align*}$

2 $8^{\frac{2}{3}}$

$\begin{align*} 8^{\frac{2}{3}} &= \sqrt[3]{8^2}\\ &=\sqrt[3]{(2^3)^2}\\ &=\sqrt[3]{2^6}\\ &=2^2\\ &= 4 \end{align*}$

3 $81^{0.75}$

En este caso pasamos el exponente que es un número decimal exacto a fracción

$\begin{align*} 81^{0.75} &= 81^{\frac{3}{4}}\\ &= \sqrt[4]{81^3}\\ &= \sqrt[4]{(3^4)^3}\\ &= \sqrt[4]{3^12}\\ &= 3^3\\ &= 27 \end{align*}$

4 $8^{0.333\dots}$

El exponente que es un periódico puro lo pasamos a fracción

$\begin{align*} 0.333\dots &= 0.\hat{3}\\ &= \frac{1}{3} \end{align*}$

Una vez que conocemos el exponente como fracción, resolvemos

$\begin{align*} 8^{0.333\dots} &= 8^{\frac{1}{3}}\\ &= \sqrt[3]{8}\\ &= \sqrt[3]{2^3}\\ &= 2 \end{align*}$

Factores en radicales

Extraer factores:

1 $\sqrt{2 \cdot 3^2 \cdot 5^5}$

2 $\sqrt[4]{2^7 \cdot 3^{14} \cdot 5^4}$

Extraer factores del radical:

Soluciones:

1 $\sqrt{2 \cdot 3^2 \cdot 5^5}$

$\begin{align*} \sqrt{2 \cdot 3^2 \cdot 5^5} &= 3 \cdot 5^2 \cdot \sqrt{2 \cdot 5}\\ &= 75 \sqrt{10} \end{align*}$

El exponente del dos $(1)$ es menor que el índice $(2)$ , por tanto se queda en el radicando.

El exponente del $3$ $(2)$ es igual al índice $(2)$ , por tanto el $3$ sale fuera del radicando.

El exponente del $5$ $(5)$ es mayor que el índice $(2)$ , por tanto se divide dicho.exponente por el índice. El cociente obtenido $(2)$ es el exponente del factor fuera del radicando y el resto $(1)$ es el exponente del factor dentro del radicando.

2 $\sqrt[4]{2^7 \cdot 3^{14} \cdot 5^4}$

$\begin{align*} \sqrt[4]{2^7 \cdot 3^{14} \cdot 5^4} &= 2 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot \sqrt[4]{2^3 \cdot 3^2 } \\ &= 270 \cdot \sqrt[4]{72} \end{align*}$

Los exponentes son mayores que el índice, por tanto se dividen dichos
exponentes por el índice.

Cada uno de los cocientes obtenidos será el exponente del factor correspondiente
fuera del radicando y cada uno de los restos obtenidos será el exponente del factor
correspondiente dentro del radicando.

Factores fuera del radical

Introducir factores:

1 $2 \sqrt{3}$

2 $2^2 \cdot 3^3 \cdot \sqrt[4]{6}$

Introducir factores:

Soluciones:

1 $2 \sqrt{3}$

Antes de comenzar a resolver, recordemos algunas propiedades de los radicales. Sabemos que el radical aplicado a un producto es el producto de los radicales

$\displaystyle \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$

y que el indice del radical cuando se pasa a forma exponencial, divide a la
potencia de la base

$\displaystyle \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$

entonces estos dos resultados juntos los ocupamos para simplificar a expresiones con radicales multiplicados por factores, es decir

$\begin{align*} a \cdot \sqrt[n]{b} &= a^{\frac{n}{n}} \cdot \sqrt[n]{b} \\ &= \sqrt[n]{a^n} \cdot \sqrt[n]{b} \\ &= \sqrt[n]{a^n \cdot b} \\ \end{align*}$

y así podemos solamente ocupar el resultado

$\displaystyle a \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a^n \cdot b}$

Apliquemos ahora este proceso a nuestro problema:

Se introduce el $2$ elevado al índice del radical $(2)$ y se realizan las operaciones

$\begin{align*} 2 \sqrt{3} &= \sqrt{2^2 \cdot 3}\\ &= \sqrt{12} \end{align*}$

2 $2^2 \cdot 3^3 \cdot \sqrt[4]{6}$

Se introducen los factores elevados al índice $(4)$

$\displaystyle 2^2 \cdot 3^3 \cdot \sqrt[4]{6} = \sqrt[4]{(2^2)^4 \cdot (3^3)^4 \cdot 2 \cdot 3}$

Se realizan las operaciones

$\begin{align*} \sqrt[4]{(2^2)^4 \cdot (3^3)^4 \cdot 2 \cdot 3} &= \sqrt[4]{2^9 \cdot 3^{13}}\\ &= \sqrt[4]{816293376} \end{align*}$

Igualación de indices

Poner a común índice:

$\displaystyle \sqrt{2} \qquad \sqrt[3]{2^2 \cdot 3^2} \qquad \sqrt[4]{2^2 \cdot 3^3}$

Poner a común índice los radicales:

$\displaystyle \sqrt{2} \qquad \sqrt[3]{2^2 \cdot 3^2} \qquad \sqrt[4]{2^2 \cdot 3^3}$

Soluciones:

Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice

$\displaystyle \text{MCM}(2, 3, 4) = 12$

Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes

$\displaystyle \sqrt[12]{2^6} \qquad \sqrt[12]{(2^2)^4 \cdot (3^2)^4} \qquad \sqrt[12]{(2^2)^3 \cdot (3^3)^3}$

Realizamos las operaciones en los radicales

$\displaystyle \sqrt[12]{2^6} \qquad \sqrt[12]{2^8 \cdot 3^8} \qquad \sqrt[12]{2^6 \cdot 3^9}$

Suma de radicales

Realiza las sumas:

1 $2 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + \sqrt{2}$

2 $3 \sqrt[4]{5} - 2\sqrt[4]{5} - \sqrt[4]{5}$

3 $\sqrt{12} - 3 \sqrt{3} + 2 \sqrt{75}$

4 $\sqrt[4]{4} + \sqrt[6]{8} - \sqrt[12]{64}$

Realiza las sumas de radicales:

Soluciones:

1 $2 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + \sqrt{2}$

Como los radicales son semejantes sumamos los coeficientes de los radicales:

$\begin{align*} 2 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + \sqrt{2} &= (2 - 4 + 1)\sqrt{2}\\ &= - \sqrt{2} \end{align*}$

2 $3 \sqrt[4]{5} - 2\sqrt[4]{5} - \sqrt[4]{5}$

Sumamos los coeficientes de los radicales:

$\begin{align*} 3 \sqrt[4]{5} - 2\sqrt[4]{5} - \sqrt[4]{5} &= (3 - 2 - 1) \sqrt[4]{5}\\ &= 0 \sqrt[4]{5}\\ &= 0 \end{align*}$

3 $\sqrt{12} - 3 \sqrt{3} + 2 \sqrt{75}$

Descomponemos en factores los radicandos y extraemos factores de los radicales (si es posible) y los multiplicamos por el coeficiente del radical correspondiente

$\begin{align*} \sqrt{12} - 3 \sqrt{3} + 2 \sqrt{75} &= \sqrt{2^2 \cdot 3} - 3 \sqrt{3} + 2 \sqrt{5^2 \cdot 3}\\ &= 2\sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 10 \sqrt{3}\\ &= (2 - 3 + 10)\sqrt{3}\\ &= 9 \sqrt{3} \end{align*}$

4 $\sqrt[4]{4} + \sqrt[6]{8} - \sqrt[12]{64}$

Extraemos factores de los radicales y los multiplicamos por el coeficiente del
radical correspondiente

$\displaystyle 4 = 2^2, \; 8 = 2^3, \; 64 = 2^6$

$\begin{align*} \sqrt[4]{4} + \sqrt[6]{8} - \sqrt[12]{64} &= \sqrt[4]{2^2} + \sqrt[6]{2^3} - \sqrt[12]{2^6}\\ \end{align*}$

Simplificamos los radicales. En el primer radical dividimos el índice y el exponente del radicando por $2$ , en el segundo por $3$ y en el tercero por $6$

$\begin{align*} \sqrt[4]{2^2} + \sqrt[6]{2^3} - \sqrt[12]{2^6} &= \sqrt{2} + \sqrt{2} - \sqrt{2}\\ \end{align*}$

Sumamos los coeficientes de los radicales

$\begin{align*} \sqrt{2} + \sqrt{2} - \sqrt{2} &= \sqrt{2}\\ \end{align*}$

Conversión de indices y suma de radicales

Halla las sumas:

1 $2 \sqrt{12} - 3 \sqrt{75} + \sqrt{27}$

2 $\sqrt{24} - 5 \sqrt{6} + \sqrt{486}$

3 $2 \sqrt{5} + \sqrt{45} + \sqrt{180} - \sqrt{80}$

4 $\sqrt[3]{54} - \sqrt[3]{16} + \sqrt[3]{250}$

Halla las sumas de radicales:

Soluciones:

Para realizar estas sumas de radicales no semejantes, seguiremos estos dos pasos:

Descomponemos en factores los radicales y extraemos factores de los radicales (si es posible) y los multiplicamos por el coeficiente del radical correspondiente

Sumamos los coeficientes de los radicales

1 $2 \sqrt{12} - 3 \sqrt{75} + \sqrt{27}$

$\begin{align*} 2 \sqrt{12} - 3 \sqrt{75} + \sqrt{27} &= 2 \sqrt{2^2 \cdot 3} - 3 \sqrt{5^2 \cdot 3} + \sqrt{3^3}\\ &= 4 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} + 3\sqrt{3}\\ &= (4 - 15 + 3)\sqrt{3}\\ &= -8 \sqrt{3} \end{align*}$

2 $\sqrt{24} - 5 \sqrt{6} + \sqrt{486}$

$\begin{align*} \sqrt{24} - 5 \sqrt{6} + \sqrt{486} &= \sqrt{2^2 \cdot 6} - 5 \sqrt{6} + \sqrt{9^2 \cdot 6}\\ &= 2\sqrt{6} - 5 \sqrt{6} + 9\sqrt{6}\\ &= (2 - 5 + 9) \sqrt{6}\\ &= 6 \sqrt{6} \end{align*}$

3 $2 \sqrt{5} + \sqrt{45} + \sqrt{180} - \sqrt{80}$

$\begin{align*} 2 \sqrt{5} + \sqrt{45} + \sqrt{180} - \sqrt{80} &= 2 \sqrt{5} + \sqrt{3^2 \cdot 5} + \sqrt{6^2 \cdot 5} - \sqrt{4^2\cdot 5}\\ &= 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} + 6\sqrt{5} - 4\sqrt{5}\\ &= (2 + 3 + 6 - 4)\sqrt{5}\\ &= 7 \sqrt{5} \end{align*}$

4 $\sqrt[3]{54} - \sqrt[3]{16} + \sqrt[3]{250}$

$\begin{align*} \sqrt[3]{54} - \sqrt[3]{16} + \sqrt[3]{250} &= \sqrt[3]{3^3 \cdot 2} - \sqrt[3]{2^4} + \sqrt[3]{5^3 \cdot 2}\\ &= 3\sqrt[3]{2} - 2\sqrt[3]{2} + 5\sqrt[3]{2}\\ &= (3 - 2 + 5) \sqrt[3]{2}\\ &= 6 \sqrt[3]{2} \end{align*}$

Sumas con radicales como denominadores

Efectúa las sumas:

1 $\sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}$

2 $\sqrt[3]{16} + \sqrt[3]{250} + \sqrt[6]{4} - \frac{1}{\sqrt[3]{4}}$

Efectúa las sumas de radicales:

Soluciones:

1 $\sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}$

Racionalizamos el segundo sumando multiplicando y dividiendo por la raíz cuadrada de $2$

$\begin{align*} \sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} &= \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}\\ &= \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2}\\ &= \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\\ \end{align*}$

Sacamos factor común de raíz de $2$ y sumamos

$\begin{align*} \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} &= \left(1 + \frac{1}{2} \right) \sqrt{2}\\ &= \frac{3}{2} \sqrt{2} \end{align*}$

2 $\sqrt[3]{16} + \sqrt[3]{250} + \sqrt[6]{4} - \frac{1}{\sqrt[3]{4}}$

Descomponemos en factores los radicales

$\displaystyle \sqrt[3]{16} + \sqrt[3]{250} + \sqrt[6]{4} - \frac{1}{\sqrt[3]{4}} = \sqrt[3]{2^4} + \sqrt[3]{5^3 \cdot 2} + \sqrt[6]{2^2} - \frac{1}{\sqrt[3]{2^2}}$

En los dos primeros sumandos extraemos factores, el tercero simplificamos el radical dividiendo el índice y el exponente del radicando entre $2$ y el último vamos a racionalizar multiplicando y dividiendo por por la raíz cúbica de $2$

$\displaystyle \sqrt[3]{2^4} + \sqrt[3]{5^3 \cdot 2} + \sqrt[6]{2^2} - \frac{1}{\sqrt[3]{2^2}} = \sqrt[3]{2^4} + \sqrt[3]{5^3 \cdot 2} + \sqrt[3]{2} - \frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2^2} \cdot \sqrt[3]{2}}$

Como todos los radicales son semejantes podemos sumar sus coeficientes

$\begin{align*} \sqrt[3]{2^4} + \sqrt[3]{5^3 \cdot 2} + \sqrt[3]{2} - \frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2^2} \cdot \sqrt[3]{2}} &= 2\sqrt[3]{2} + 5\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}\\ &= (2 + 5 + 1 - \frac{1}{2})\sqrt[3]{2}\\ &= \frac{15}{2} \sqrt[3]{2} \end{align*}$

Producto de Radicales

Realizar los productos:

1 $\sqrt{2} \cdot \sqrt{6}$

2 $\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[4]{27}$

3 $\sqrt{12} \cdot \sqrt[3]{36}$

Realizar los productos de radicales:

Soluciones:

1 $\sqrt{2} \cdot \sqrt{6}$

Como los radicales tienen el mismo índice multiplicamos los radicandos y
descomponemos en factores para extraer factores del radical.

$\displaystyle \sqrt{2} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{2 \cdot 6} = \sqrt{12}$

2 $\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[4]{27}$

Descomponemos en factores los radicandos

$\displaystyle \sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[4]{27} = \sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{3^2} \cdot \sqrt[4]{3^3}$

Reducimos a común índice por lo que tenemos que calcular el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice.

$\displaystyle \text{MCM}(2, 3, 4) = 12$

Dividimos el común índice $(12)$ por cada uno de los índices $(2, 3, 4)$ y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes $(1, 2, 3)$ .

Realizamos el producto de potencias con la misma base en el radicando y extraemos factores del radicando

$\begin{align*} \sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{3^2} \cdot \sqrt[4]{3^3} &= \sqrt[12]{3^6} \cdot \sqrt[3]{(3^2)^4} \cdot \sqrt[4]{(3^3)^3}\\ &= \sqrt[12]{3^6} \cdot \sqrt[3]{3^8} \cdot \sqrt[4]{3^9}\\ &= \sqrt[12]{3^6 \cdot 3^8 \cdot 3^9}\\ &= \sqrt[12]{3^{6 + 8 + 9}}\\ &= \sqrt[12]{3^{23}}\\ &= 3\sqrt[12]{3^{11}}\\ \end{align*}$

3 $\sqrt{12} \cdot \sqrt[3]{36}$

Calculamos el mínimo común múltiplo de los índices[/latex].

$\displaystyle \text{MCM}(2, 3) = 6$

Procedamos con los cálculos:

$\begin{align*} \sqrt{12} \cdot \sqrt[3]{36} &= \sqrt{2^2 \cdot 3} \cdot \sqrt[3]{2^2 \cdot 3^2}\\ &= \sqrt[6]{(2^2)^3 \cdot 3^3} \cdot \sqrt[6]{(2^2)^2 \cdot (3^2)^2}\\ &= \sqrt[6]{2^6 \cdot 3^3} \cdot \sqrt[6]{2^4 \cdot 3^4}\\ &= \sqrt[6]{2^10 \cdot 3^7}\\ &= 2 \cdot 3 \sqrt[6]{2^4 \cdot 3}\\ &= 6 \sqrt[6]{2^4 \cdot 3}\\ \end{align*}$

Divisiones con radicales

Efectúa las divisiones de radicales:

1 $\frac{\sqrt[6]{128}}{\sqrt[6]{16}}$

2 $\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt{2}}$

3 $\frac{\sqrt{256}}{\sqrt[3]{16}}$

Efectúa las divisiones de radicales:

Soluciones:

1 $\frac{\sqrt[6]{128}}{\sqrt[6]{16}}$

Como los radicales tienen el mismo índice dividimos los radicandos y simplificamos el radical dividiendo el índice y exponente del radicando por $3$

$\begin{align*} \frac{\sqrt[6]{128}}{\sqrt[6]{16}} &= \sqrt[6]{\frac{128}{16}}\\ &= \sqrt[6]{8}\\ &= \sqrt[6]{2^3}\\ &= \sqrt{2}\\ \end{align*}$

2 $\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt{2}}$

En primer reducimos a común índice por lo que tenemos que calcular el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice.

$\displaystyle \text{MCM}(3, 2) = 6$ .

Dividimos el común índice $(6)$ por cada uno de los índices $(3, 2)$ y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes $(1, 1)$ .

Descomponemos el $4$ en factores para poder hacer la división de potencias con la misma base y dividimos.

$\begin{align*} \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt{2}} &= \sqrt[6]{\frac{4^2}{2^3}}\\ &= \sqrt[6]{\frac{2^4}{2^3}}\\ &= \sqrt[6]{2}\\ \end{align*}$

3 $\frac{\sqrt{256}}{\sqrt[3]{16}}$

Realizamos los mismos pasos del ejercicio anterior

$\begin{align*} \frac{\sqrt{256}}{\sqrt[3]{16}} &= \sqrt[6]{\frac{256^3}{16^2}}\\ &= \sqrt[6]{\frac{(2^8)^3}{(2^4)^2}}\\ &= \sqrt[6]{\frac{2^{24}}{2^8}}\\ &= \sqrt[6]{2^{16}}\\ \end{align*}$

Simplificamos el radical dividiendo por $2$ el índice y el exponente del radicando, y
por último extraemos factores

$\begin{align*} \sqrt[6]{2^16} &= \sqrt[3]{2^8}\\ &= 2^2 \sqrt[3]{2^2}\\ &= 4\sqrt[3]{4}\\ \end{align*}$

Simplifica la siguiente operación

Calcula:

$\displaystyle \frac{\sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{a^2} \cdot \sqrt[4]{a^3}}{\sqrt[6]{a^4}}$

Calcula:

$\displaystyle \frac{\sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{a^2} \cdot \sqrt[4]{a^3}}{\sqrt[6]{a^4}}$

En primer lugar calculamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será elvcomún índice

Dividimos el común índice $(12)$ por cada uno de los índices $(2, 3, 4, 6)$ y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes $(1, 2, 3, 4)$

Quitamos los paréntesis, simplificamos la fracción y multiplicamos en el numerador las potencias con la misma base

Simplificamos el radical dividiendo por $3$ el índice y el exponente del radicando

Por último extraemos factores

$\begin{align*} \frac{\sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{a^2} \cdot \sqrt[4]{a^3}}{\sqrt[6]{a^4}} &= \sqrt[12]{\frac{a^6 \cdot (a^2)^4 \cdot (a^3)^3}{(a^4)^2}}\\ &= \sqrt[12]{\frac{a^6 \cdot a^8 \cdot a^9}{a^8}}\\ &= \sqrt[12]{a^6 \cdot a^9}\\ &= \sqrt[12]{a^{15}}\\ &= \sqrt[4]{a^{5}}\\ &= a \sqrt[4]{a}\\ \end{align*}$

Jerarquía al resolver radicales

Opera:

$\displaystyle \sqrt[4]{\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt{\frac{1}{8}}}}$

Opera:

$\displaystyle \sqrt[4]{\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt{\frac{1}{8}}}}$

Soluciones:

Primero, notemos que $\frac{1}{8} = 2^{-3}$ , por lo tanto

Ponemos a común índice las raíces del numerador y del denominador.

Elevamos al cubo el denominador y realizamos la división de potencias con la misma base.

Realizamos la raíz cuarta del radical multiplicando los índices.

$\begin{align*} \sqrt[4]{\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt{\frac{1}{8}}}} &= \sqrt[4]{\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt{2^{-3}}}}\\ &= \sqrt[4]{\sqrt[6]{\frac{2^2}{(2^{-3})^3}}}\\ &= \sqrt[4]{\sqrt[6]{\frac{2^2}{2^{-9}}}}\\ &= \sqrt[4]{\sqrt[6]{2^{11}}}\\ &= \sqrt[24]{2^{11}}\\ \end{align*}$

Potencias de un radical

Realiza las operaciones con potencias:

1 $(\sqrt[3]{18})^2$

2 $\left( \frac{\sqrt[3]{12} \cdot \sqrt[4]{18} }{\sqrt{6}} \right)^4$

Realiza las operaciones con potencias:

Soluciones:

1 $(\sqrt[3]{18})^2$

Elevamos el radicando al cuadrado, descomponemos $18$ en factores y los elevamos al cuadrado y por último extraemos factores

$\begin{align*} (\sqrt[3]{18})^2 &= \sqrt[3]{18^2}\\ &= \sqrt[3]{(2 \cdot 3^2)^2}\\ &= \sqrt[3]{2^2 \cdot 3^4}\\ &= 3 \sqrt[3]{2^2 \cdot 3}\\ &= 3 \sqrt[3]{12}\\ \end{align*}$

2 $\left( \frac{\sqrt[3]{12} \cdot \sqrt[4]{18} }{\sqrt{6}} \right)^4$

Elevamos los radicandos a la cuarta, descomponemos en factores los radicandos y extraemos el $18$ del radical

$\begin{align*} \left( \frac{\sqrt[3]{12} \cdot \sqrt[4]{18} }{\sqrt{6}} \right)^4 &= \frac{\sqrt[3]{12^4} \cdot \sqrt[4]{18^4} }{\sqrt{6^4}}\\ &= \frac{\sqrt[3]{(2^2 \cdot 3)^4} \cdot 18}{\sqrt{(2 \cdot 3)^4}}\\ \end{align*}$

En los radicando realizamos las operaciones con potencias y ponemos a común índice para poder efectuar la división

$\begin{align*} \frac{\sqrt[3]{(2^2 \cdot 3)^4} \cdot 18}{\sqrt{(2 \cdot 3)^4}} &= \frac{ 18 \sqrt[3]{2^8 \cdot 3^4} }{\sqrt{2^4 \cdot 3^4}}\\ &= 18 \sqrt[6]{\frac{(2^8 \cdot 3^4)^2}{(2^4 \cdot 3^4)^3}}\\ &= 18 \sqrt[6]{\frac{2^{16} \cdot 3^8}{2^{12} \cdot 3^{12}}}\\ \end{align*}$

Simplificamos el radical dividiendo por $2$ el índice y los exponentes del radicando y realizamos una división de potencias con el mismo exponente

$\begin{align*} 18 \sqrt[6]{\frac{2^{16} \cdot 3^8}{2^{12} \cdot 3^{12}}} &= 18 \sqrt[6]{\frac{2^4}{3^4}}\\ &= 18 \sqrt[3]{\frac{2^2}{3^2}}\\ &= 18 \sqrt[3]{ \left( \frac{2}{3} \right)^2}\\ \end{align*}$

Podemos racionalizar multiplicando y dividiendo por la raíz cúbica de $3$

$\begin{align*} 18 \sqrt[3]{ \left( \frac{2}{3} \right)^2} &= 18 \frac{\sqrt[3]{2^2}}{\sqrt[3]{3^2}}\\ &= 18 \frac{\sqrt[3]{2^2} \sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{3^2}\sqrt[3]{3}}\\ &= 18 \frac{\sqrt[3]{12}}{\sqrt[3]{3^3}}\\ &= 18 \frac{\sqrt[3]{12}}{3}\\ &= 6 \sqrt[3]{12}\\ \end{align*}$

Binomios y radicales

Realiza las operaciones:

1 $(\sqrt{7} - \sqrt{2})^2$

2 $(2 - \sqrt{3})^2$

3 $(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2)$

4 $(2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{2})(2 \sqrt{5} - 3 \sqrt{2})$

Realiza las operaciones:

Soluciones:

1 $(\sqrt{7} - \sqrt{2})^2$

Una diferencia al cuadrado es igual al cuadrado del primero, menos el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo

$\begin{align*} (\sqrt{7} - \sqrt{2})^2 &= (\sqrt{7})^2 -2\sqrt{7}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2\\ &= 7 - 2\sqrt{14} + 2\\ &= 9 - 2\sqrt{14} \end{align*}$

2 $(2 - \sqrt{3})^2$

$\begin{align*} (2 - \sqrt{3})^2 &= 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2\\ &= 4- 4 \sqrt{3} + 3\\ &= 7 - 4 \sqrt{3} \end{align*}$

3 $(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2)$

Una suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados

$\begin{align*} (\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2) &= (\sqrt{5})^2 - 2^2\\ &= 5 - 4\\ &= 1 \end{align*}$

4 $(2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{2})(2 \sqrt{5} - 3 \sqrt{2})$

$\begin{align*} (2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{2})(2 \sqrt{5} - 3 \sqrt{2}) &= (2 \sqrt{5})^2 - (3 \sqrt{2})^2\\ &= 2^2 \cdot \sqrt{5}^2 - 3^2 \cdot \sqrt{2}^2\\ &= 4 \cdot 5 - 9 \cdot 2\\ &= 20 - 18\\ &= 2 \end{align*}$

Operaciones mixtas con radicales

Calcula:

1 $\frac{1}{2 - \sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$

2 $\sqrt{\frac{a - b}{(a - b)^2} \cdot \frac{a + b}{a^2 - b^2 }}$

Calcula:

Soluciones:

1 $\frac{1}{2 - \sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$

Realizamos la multiplicación de fracciones, en el denominador tenemos una suma por diferencia que es igual a diferencia de cuadrados

$\begin{align*} \frac{1}{2 - \sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2 + \sqrt{3}} &= \frac{1}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} \\ &= \frac{1}{2^2 - (\sqrt{3})^2} \\ &= \frac{1}{4 - 3 } \\ &= 1 \end{align*}$

2 $\sqrt{\frac{a - b}{(a - b)^2} \cdot \frac{a + b}{a^2 - b^2 }}$

$\begin{align*} \sqrt{\frac{a - b}{(a - b)^2} \cdot \frac{a + b}{a^2 - b^2 }} &= \sqrt{\frac{(a - b)(a + b)}{(a - b)^2(a^2 - b^2 )}}\\ &= \sqrt{\frac{(a - b)(a + b)}{(a - b)^2(a - b)(a + b)}}\\ \end{align*}$

La diferencia de cuadrados del denominador se pone como una suma por diferencia y se simplifica la fracción

$\begin{align*} \sqrt{\frac{(a - b)(a + b)}{(a - b)^2(a - b)(a + b)}} &= \sqrt{\frac{1}{(a - b)^2}}\\ &=\frac{1}{a - b} \end{align*}$

Raíces de raíces

Efectuar:

1 $\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[4]{2}}}$

2 $\sqrt{2\sqrt[3]{2 \sqrt[4]{2}}}$

3 $\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{2 \sqrt{2}}}}}$

Efectuar:

Soluciones:

1 $\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[4]{2}}}$

Multiplicamos los índices

$\displaystyle \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[4]{2}}} = \sqrt[24]{2}$

2 $\sqrt{2\sqrt[3]{2 \sqrt[4]{2}}}$

Introducimos el primer $2$ dentro de la raíz cúbica por lo que tendremos que elevarlo al cubo y multiplicamos las potencias con la misma base, el procedimiento lo seguimos haciendo hasta que ya se hayan introducido todos los valores en los radicales, y con esto, multiplicamos $2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$ y entonces queda $\sqrt[24]{2^17}$ .

$\begin{align*} \sqrt{2\sqrt[3]{2 \sqrt[4]{2}}} &= \sqrt{\sqrt[3]{2^3 \cdot 2 \sqrt[4]{2}}}\\ &= \sqrt{\sqrt[3]{2^4 \sqrt[4]{2}}}\\ &= \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[4]{2^{16} \cdot 2}}}\\ &= \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[4]{2^{17}}}}\\ &= \sqrt[24]{2^{17}}\\ \end{align*}$

3 $\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{2 \sqrt{2}}}}}$

Introducimos el $2$ dentro de la raíz cuadrada elevándolo al cuadrado.

Multiplicamos las potencias con la misma base.

Multiplicamos los índices y simplificamos dividiendo por 3 el índice resultante y el exponente del radicando.

$\begin{align*} \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{2 \sqrt{2}}}}} &= \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{2^2 \cdot 2}}}}}\\ &= \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{2^3}}}}}\\ &= \sqrt[72]{2^3}\\ &= \sqrt[24]{2}\\ \end{align*}$

Racionalizar radicales

Racionalizar los radicales:

1 $\frac{2}{3 \sqrt{2}}$

2 $\frac{2}{3 \sqrt[5]{4}}$

3 $\frac{2}{\sqrt{2} - \sqrt{3}}$

4 $\frac{2}{4 - 2\sqrt{2}}$

5 $\frac{2\sqrt{2}}{5 - 2\sqrt{6}}$

Racionalizar los radicales:

Soluciones:

1 $\frac{2}{3 \sqrt{2}}$

Multiplicamos numerador y denominador por la raíz de $2$ , realizamos los cálculos y simplificamos la fracción.

$\begin{align*} \frac{2}{3 \sqrt{2}} &= \frac{2 \sqrt{2}}{3 \sqrt{2} \sqrt{2}}\\ &= \frac{2 \sqrt{2}}{3 (\sqrt{2})^2}\\ &= \frac{2 \sqrt{2}}{3 \cdot 2}\\ &= \frac{\sqrt{2}}{3}\\ \end{align*}$

2 $\frac{2}{3 \sqrt[5]{4}}$

El radicando $4$ lo ponemos en forma de potencia: $2^2$ .

Tenemos que multiplicar en el numerador y denominador por la raíz quinta de $2^{5 - 2} = 2^3$ .

Multiplicamos los radicales del denominador, extraemos factores del radical y simplificamos la fracción.

$\begin{align*} \frac{2}{3 \sqrt[5]{4}} &= \frac{2}{3 \sqrt[5]{2^2}}\\ &= \frac{2\sqrt[5]{2^3}}{3 \sqrt[5]{2^2} \sqrt[5]{2^3}}\\ &= \frac{2\sqrt[5]{8}}{3 \sqrt[5]{2^5}}\\ &= \frac{2\sqrt[5]{8}}{3 \cdot 2}\\ &= \frac{\sqrt[5]{8}}{3}\\ \end{align*}$

3 $\frac{2}{\sqrt{2} - \sqrt{3}}$

Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador, quitamos paréntesis en el numerador y efectuamos la suma por diferencia en el denominador, por lo que obtenemos una diferencia de cuadrados.

$\begin{align*} \frac{2}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} &= \frac{2 (\sqrt{2} + \sqrt{3})}{(\sqrt{2} - \sqrt{3})(\sqrt{2} + \sqrt{3})}\\ &= \frac{2\sqrt{2} + 2\sqrt{3}}{(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2}\\ &= \frac{2\sqrt{2} + 2\sqrt{3}}{(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2}\\ \end{align*}$

En el denominador extraemos los radicandos y dividimos por $-1$ , es decir, cambiamos el numerador de signo.

$\begin{align*} \frac{2\sqrt{2} + 2\sqrt{3}}{(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2} &= \frac{2\sqrt{2} + 2\sqrt{3}}{2 - 3}\\ &= \frac{2\sqrt{2} + 2\sqrt{3}}{-1}\\ &= - 2\sqrt{2} - 2\sqrt{3} \end{align*}$

4 $\frac{2}{4 - 2\sqrt{2}}$

Multiplicamos y dividimos la fracción por el conjugado del denominador.

$\begin{align*} \frac{2}{4 - 2\sqrt{2}} &= \frac{2(4 + 2\sqrt{2})}{(4 - 2\sqrt{2})(4 + 2\sqrt{2})}\\ \end{align*}$

Efectuamos la suma por diferencia en el denominador, por lo que obtenemos una diferencia de cuadrados y operamos:

$\begin{align*} \frac{2(4 + 2\sqrt{2})}{(4 - 2\sqrt{2})(4 + 2\sqrt{2})} &= \frac{2(4 + 2\sqrt{2})}{(4)^2 - (2\sqrt{2})^2}\\ &= \frac{2(4 + 2\sqrt{2})}{16 - 4 \cdot 2}\\ &= \frac{2(4 + 2\sqrt{2})}{16 - 8}\\ &= \frac{2(4 + 2\sqrt{2})}{8}\\ &= \frac{4 + 2\sqrt{2}}{4}\\ \end{align*}$

5 $\frac{2\sqrt{2}}{5 - 2\sqrt{6}}$

$\begin{align*} \frac{2\sqrt{2}}{5 - 2\sqrt{6}} &= \frac{2\sqrt{2} (5 + 2\sqrt{6})}{(5 - 2\sqrt{6})(5 + 2\sqrt{6})}\\ &= \frac{10 \sqrt{2} + 4 \sqrt{12}}{(5)^2 - (2\sqrt{6})^2}\\ \end{align*}$

En el numerador descomponemos en factores $12$ y extraemos factores, terminamos realizando las operaciones del denominador.

$\begin{align*} \frac{10 \sqrt{2} + 4 \sqrt{12}}{(5)^2 - (2\sqrt{6})^2} &= \frac{10 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2^2 \cdot 3}}{25 - 4 \cdot 6}\\ &= \frac{10 \sqrt{2} + 8 \sqrt{3}}{25 - 24}\\ &= \frac{10 \sqrt{2} + 8 \sqrt{3}}{1}\\ &= 10 \sqrt{2} + 8 \sqrt{3}\\ \end{align*}$

Leyes de potencias en radicales

Racionalizar:

1 $\frac{5}{2\sqrt{2}}$

2 $\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$

3 $\frac{2}{3 + \sqrt{3}}$

4 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$

5 $\frac{3\sqrt{2} - 2\sqrt{3}}{3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}}$

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Racionalizar:

Soluciones:

1 $\frac{5}{2\sqrt{2}}$

Multiplicamos numerador y denominador por la raíz de $2$ y realizamos los cálculos

$\begin{align*} \frac{5}{2\sqrt{2}} &= \frac{5\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\sqrt{2}}\\ &= \frac{5\sqrt{2}}{2\sqrt{2^2}}\\ &= \frac{5\sqrt{2}}{2\cdot 2}\\ &= \frac{5\sqrt{2}}{4}\\ \end{align*}$

2 $\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$

Aquí nos damos cuenta que para poder eliminar el radical de $\sqrt[3]{3}$ necesitamos generar el producto

$\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{3}$

para que de esta forma se elimine el radical, es decir

$\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{3} = ( \sqrt[3]{3} )^3 = 3$

en otras palabras, como ya tenemos a $\sqrt[3]{3}$ en el denominador, sólo hace falta multiplicarlo por $\sqrt[3]{3^2}$ para lograr eliminar el radical.

Para no afectar el valor numérico de la expresión, se multiplica $\sqrt[3]{3^2}$ tanto en el numerador como en el denominador, y entonces así es como queda nuestro desarrollo

$\begin{align*} \frac{1}{\sqrt[3]{3}} &= \frac{\sqrt[3]{3^2}}{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{3^2}}\\ &= \frac{\sqrt[3]{3^2}}{\sqrt[3]{3^3}}\\ &= \frac{\sqrt[3]{9}}{3}\\ \end{align*}$

3 $\frac{2}{3 + \sqrt{3}}$

Multiplicamos y dividimos la fracción por el conjugado del denominador.

$\displaystyle \frac{2}{3 + \sqrt{3}} = \frac{2(3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3})(3 - \sqrt{3})}$

En el numerador quitamos paréntesis y el denominador efectuamos la suma por diferencia, por lo que obtenemos una diferencia de cuadrados.

$\displaystyle \frac{2(3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3})(3 - \sqrt{3})} = \frac{6 - 2\sqrt{3}}{3^2 - (\sqrt{3})^2}$

Efectuamos las operaciones y se simplifica la fracción al factorizar el $2$

$\begin{align*} \frac{6 - 2\sqrt{3}}{3^2 - (\sqrt{3})^2} &= \frac{6 - 2\sqrt{3}}{9 - 3}\\ &= \frac{6 - 2\sqrt{3}}{6}\\ &= \frac{2(3 - \sqrt{3})}{2 \cdot 3}\\ &= \frac{3 - \sqrt{3}}{3}\\ &= 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}\\ \end{align*}$

4 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$

Multiplicamos y dividimos la fracción por el conjugado del denominador

$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})}$

En el numerador quitamos paréntesis y el denominador efectuamos la suma por diferencia, por lo que obtenemos una diferencia de cuadrados

$\begin{align*} \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})} &= \frac{\sqrt{6} + (\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2}\\ &= \frac{\sqrt{6} + 2}{3 - 2}\\ &= 2 + \sqrt{6} \end{align*}$

5 $\frac{3\sqrt{2} - 2\sqrt{3}}{3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}}$

Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador

$\displaystyle \frac{3\sqrt{2} - 2\sqrt{3}}{3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}} = \frac{(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})}{(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3})(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})}$

Ponemos el numerador en forma de potencia

$\displaystyle \frac{(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})}{(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3})(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})} = \frac{(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})^2}{(3\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{3})^2}$

En el numerador tenemos una diferencia al cuadrado que es igual al cuadrado del primero, menos el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. En el denominador tenemos una suma por diferencia que es igual a la diferencia de cuadrados

$\displaystyle \frac{(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})^2}{(3\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{3})^2} = \frac{(3\sqrt{2})^2 - 2(3\sqrt{2})(2\sqrt{3}) + (2\sqrt{3})^2}{(3\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{3})^2}$

Realizamos las operaciones y simplificamos al final

$\begin{align*} \frac{(3\sqrt{2})^2 - 2(3\sqrt{2})(2\sqrt{3}) + (2\sqrt{3})^2}{(3\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{3})^2} &= \frac{9 \cdot 2 - 12 \sqrt{6} + 4 \cdot 3}{9 \cdot 2 - 4 \cdot 3}\\ &= \frac{18 - 12 \sqrt{6} + 12}{18 - 12}\\ &= \frac{30 - 12 \sqrt{6}}{6}\\ &=5 - 2\sqrt{6}\\ \end{align*}$

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Comentarios

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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anton

Octubre

muy buenos ejercicios me han ayudado un monton

Carlos

Octubre

Por nada, lo hacemos con todo el gusto

Karla Brillith Castillo Cevallos

Septiembre

Hola me puede ayudar con este deber por favor ||1-10|-|-4||
|raiz cuadradas de 5-5|

3/5 y 1/2

56/9 y 5/6

Juan Manuel Sanchez Perez

Septiembre

¡Hola, Karla!

Lamentablemente nos falta un poco más de información para poder responder tu problema, sin embargo te podemos ayudar con los cálculos parciales. En particular:

$||1 - 10| - |-4|| = ||-9| - 4| = |9 - 4| = 5$

Recuerda que el valor absoluto de un número es el mismo número pero positivo (|-5| = 5; y |5| = 5). De igual manera,

$|\sqrt{5} - 5| = -(\sqrt{5} - 5) = 5 - \sqrt{5}$

Esos son los valores que toman las dos expresiones de valor absoluto que comentaste. Posiblemente ya puedas continuar con tu ejercicio, pero en caso de que no, comenta y con gusto te ayudamos.

¡Un saludo!

Carlos

Octubre

Hola, antes de nada muchas gracias por compartir estos ejercicios.
Además, quería sugerir una corrección en un resultado ya que creo que es erróneo: En el apartado «Jerarquía al resolver radicales», el exponente del resultado de ese ejercicio debería ser positivo. Raíz 24 de 2exp+11.
Un saludo y gracias de nuevo.

nelly

Octubre

hola JUAN MANUEL me podrian ayudar con dos ejercicios de simplificacion de radicales ….y dos de amplificacion POR FAVOR

Gerardo Rincón

Enero

Cual seria la solución a este ejercicio por favor
[(V12 – V45) ÷(3V12)

Susana

Octubre

Hola, he visto una solución a un problema y me ha creado dudas… si tengo un numerador 2 al cuadrado, entre un 2 a la -9….. el resultado no seria… 2 a la 11???

Superprof

Octubre

Hola Susana, es exacto. ¡Un saludo!

evelin luzardo

Diciembre

hola me ayudas porfa para resolver 7/4+raiz de 5

Laura SV

Octubre

Hola, en la segunda parte del ejercicio 7, ¿me podrías decir cómo llegas al resultado 15/2 (de la raíz cúbica de 2)? porque esa parte no está explicada y a mí me da 16/2 (igual, de la raíz cúbica y tal) y no sé qué he hecho mal. Muchas gracias.

Carlos

Octubre

Convertimos a sus fracciones equivalentes, de tal modo que tenemos:

[4(raiz cubica de 2) / 2] +[10(raiz cubica de 2) / 2] +[2(raiz cubica de 2) / 2] -[1(raiz cubica de 2) / 2] =
[(4+10+2-1) (raiz cubica de 2) ]/ 2 = [15(raiz cubica de 2)* / 2

Espero haberte ayudado

Lopez

Octubre

Muchísimas gracias por este contenido tan bien explicado. Me ha ayudado un montón

Romina

Noviembre

Como resuelvo
La raíz 4ta de 1/5 por la raiz 4ta de 1/80

alonso

Octubre

Muchas gracias, me ayudaron para mi examen

Rodríguez

Octubre

Muchas gracias muy buenos ejercicios 🙂

Diaz

Octubre

Unos ejercicios muy aclaratorios y muy bien explicados. Enhorabuena

Superprof

Octubre

¡Gracias!

Griselda aguero

Noviembre

Hola necesito resolver unos ejercicios de radicales xf para mi examen

Ponce

Octubre

Son muy buenos ejercicios me están ayudando mucho, gracias

Superprof

Octubre

¡Con gusto!

Laura sanchez

Diciembre

Hola me pueden ayudar con este numero (1/4)²

gonzález

Octubre

HOLA, en el apartado 2 de ejercicio 17 no entiendo porque la raíz cúbica de tres esta elevada a dos .

Carlos Alberto Palafox Benitez

Octubre

Antes de explicarte, pondré un ejemplo mas sencillo para facilitarte la visualización de lo que me has preguntado:

tenemos la fracción 1/2 , yo puedo multiplicar esta fracción por 2/2 para obtener una fracción equivalente:

(1/2)*(2/2)= 2/4

y no pasa nada, sigue representando la misma cantidad.

en el ejercicio que mencionas, tenemos 1/(raiz cubica de 3) lo que vamos a hacer a continuación, es multiplicarla por otra fracción para obtener una fracción equivalente.

La fracción por la que la vamos a multiplicar es: (Raiz cubica de 3^2)/(Raiz cubica de 3^2)

Entonces tenemos (1/(Raiz cubica de 3))*((Raiz cubica de 3^2)/(Raiz cubica de 3^2))

Recuerda que para multiplicar fracciones es, numerador por numerador y denominador por denominador, entonces:

(1)*((Raiz cubica de 3^2)) / (Raiz cubica de 3)*(Raiz cubica de 3^2) =

nota: por propiedad de los radicales, (Raiz de a)*(raiz de b) = (Raiz de a*b).
Entonces (Raiz cubica de 3) * (Raiz cubica de 3^2) = (Raiz cubica de 3*3^2) = (Raiz cubica de 3^3), y ese seria nuestro denominador.

Dejando como resultado:

(Raiz cubica de 3^2)/(Raiz cubica de 3^3)

Espero haber aclarado tu duda!

Sofia E

Septiembre

Por favor necesito que me colabore con unos ejercicios.

Superprof

Septiembre

Hola Sofia, con placer te ayudaremos entender el tema que estás estudiando. ¿Dónde encuentras la dificultad en la resolución de tu ejercicio?

Romina

Noviembre

Como resuelvo
La raíz 4ta de 1/5 por la raiz 4ta de 1/80

Moliner

Octubre

muchas gracias por ayudarme a repasar, ojala saque un 6 en el examen 🙂

Superprof

Octubre

¡Suerte!

Cobo

Octubre

En el ejercicio 15, la 2 es esa la solución o se puede hacer más?

Carlos Alberto Palafox Benitez

Noviembre

Se puede hacer mas, pronto sera corregido, gracias por tomarte el tiempo de dejar tus comentarios.

recuerda que según las leyes de los exponentes, los radicales pueden verse como exponentes fraccionarios, quizás eso te ayude por ahora, mientras se hace la corrección.

Fernández

Noviembre

En el ejercicio 15 apartado 2 no viene el resultado me lo podrías decir para saber si lo tengo bien por favor?

Carlos Alberto Palafox Benitez

Noviembre

El resultado es

24√2^17

de otra forma

2^{17/24}

o en forma decimal

1.63391545…

Espero haberte ayudado !

martinez diaz

Noviembre

nom entiendo xq en el 3 hay que elevar el 2 al cuadrado

Carlos Alberto Palafox Benitez

Noviembre

Si te refieres al inciso 1 del ejercicio 3, es por esta razón:

2= raíz cuadrada de 4 = raíz cuadrada de (2^2)

Es decir, solo estamos sustituyendo al 2 por una forma diferente de escribirlo que es conveniente para poder aplicar después la propiedad de producto de radicales.

√a * √b = √(a*b)

Entonces:

Raíz cuadrada de (2^2) * raíz cuadrada de 3 = Raíz cuadrada de ( (2^2) *3) tal y como esta en el ejercicio

Espero haberte ayudado!

martinez diaz

Noviembre

en el ejercicio 3 en el numero 2 cuando vais a multiplicar 4 por 2 que da 8 pones 9 y cuando vais a multiplicar 4 por 3 que da 12 pones 13 no entiendo xq?

Carlos Alberto Palafox Benitez

Noviembre

Es muy sencillo, lo haré de una manera mas clara.

Tenemos:
Raíz cuarta de ( (2^2)^4 *(3^3)^4 * 2 * 3 )

Por ley de exponentes, multiplicamos los exponentes y obtenemos los resultados que mencionas
Raíz cuarta de ( (2^8)*(3^12) *2 *3 )

Notemos que aun nos falta multiplicar por 2 y por 3. ordenamos usando la propiedad conmutativa y asociativa del producto:

Raíz cuarta de ( [(2^8)*2 ] * [(3^12)*3 ] )

Por ley de exponentes :

Raíz cuarta de ( 2^9 * 3^13 )

Espero haberte ayudado

Gomez

Noviembre

Gracias, me habéis ayudado bastante con los ejercicios, ojalá en el examen me salgan igual.

De la cruz yebenes

Noviembre

Me han gustado mucho muchas gracias ❤❤❤☕🖕

plaza

Noviembre

me ha ayudado muchoooooo

gonzalez

Noviembre

y si la potencia de la raiz es por ejemplo 4 y en la raiz hay 2 elevado a la tres se deja asi o se hace algo

Carlos Alberto Palafox Benitez

Diciembre

Podrías usar las propiedades del producto de radicales y las leyes de signos para llegar a esto:

(2^3)^{1/4} (Raíz cuarta de 2 a la 3)
(2* 2^2 )^{1/4}
(2)^{1/4} * (2^2 )^{1/4}
(2)^{1/4} * (2^2/4)
(2)^{1/4} * (2^1/2) (Raiz cuarta de 2) * (Raiz cuadrada de 2)

Espero haberte ayudado

anonimo

Noviembre

hola, como se imaginaran estoy acabando de retocar los estudis la noche antes del examen, pero a mi solo me entra extraer factore, es muy sencillo, tengo que conseguir numeros al cuadrado descomponiedo los numero iniciales una vez consegudo eso los que estan al cuadrado salen fuera limpios

Superprof

Noviembre

¡Te deseamos suerte en el examen!

Larrison

Noviembre

Porfavor, pongan ejercicios más difíciles

Superprof

Noviembre

Hola Larrison, nos alegramos mucho leer que has llegado a un nivel avanzado en tus estudios de matemáticas. Intentaremos añadir más contenido muy pronto. ¡Un saludo!

afa

Noviembre

Hola, la solución del ejercicio 2.2 creo que está mal. En el último resultado queda raíz cuadrada y realmente debería de ser raíz cuarta: 270 * ∜72

Corregidlo para evitar confusiones, gracias!

Carlos Alberto Palafox Benitez

Diciembre

Gracias por tu comentario, el ejercicio ha sido corregido!

carla

Octubre

ayudame porfavor en algo
carla

Galaico Portugues

Noviembre

VA EQUIPO SE PUEDE. Estos ejercicios me han servido de mucho, voy a aprobar, seguir asi

garcía

Noviembre

Muchas gracias, estos ejercicios me harán aprobar.

Galaico Portugues

Noviembre

Buen trabajo equipo. Unos muy buenos ejecicios voy a aprobar seguir asi.
MUCHAS GRACIAS

Pérez

Noviembre

Gracias por hacer que me saque un 10,33 sobre 10

Cristian Alfonzo Q.

Abril

Buenas noches……como se calcula:

Raíz Cuadrada del binomio : ( 8 + raíz cuadrada de 7 )

Saludos

Luis Ernesto Sanchez Perez

Junio

Buen día

Mi consejo para calcular $\sqrt{8 + \sqrt{7}}$ sería que primero calcules $8 + \sqrt{7}$ y una vez que obtengas su valor, procedas a calcular de nuevo su raíz. Te invito a leer nuestro artículo «Cálculo de la raíz cuadrada» para que puedas proceder (en caso que desees calcular la raíz manualmente).

Saludos.

espinoza

Mayo

y que pasa cuan un inidice o radical SON X

Superprof

Mayo

Hola, escríbenos con el ejercicio completo para contestarte de manera precisa. ¡Un saludo!

pedro FLORES HUANCAHUARA

Mayo

BUENAS ME PUEDEN AYUDAR con este problema: X a la potencia X a la potencia 5 es igual raiz de indice raiz 5ta de 2 de 2 hallar X a la potencia 2

Luis Maciel Baron

Junio

¡Hola!

¿Podrías indicarnos con mayor claridad cuál es la expresión?

Entiendo que el ejercicio es: $x^{x^{5}}=\sqrt[5]{2}$

Y de ahí hallar $x^{2}$

Si es así, por favor confirmanos para poder apoyarte con la solución.

¡Saludos!

Lily

Mayo

Gracias por todos los ejercicios, se explican de forma muy práctica, me ayudaron bastante, gracias

Superprof

Junio

¡Genial! 🙂

Kwak

Julio

234x 24×22= como pudo hacer esto aritmetica numeros radicales como hallar me ayuda

Superprof

Julio

Hola, no estamos seguros de entender tu pregunta. Escríbenos el enunciado exacto del ejercicio y te contestaremos lo más rápido posible. ¡Un saludo!

Labra

Julio

Hola tengo dos dudas en el ejercicio 4 de «Racionalizar radicales»

2(4+2√2) / 8 = Simplifico
1*4+2√2 / 4 = simplifico
1*1+2√2 / 1 = 2√2 Me da ese resultado pero en la parte final es 4+2√2 / 4

¿Es el resultado final como racionalización?

¿Que viene primero la simplificación o la propiedad distributiva?

Habia aplicado la propiedad distributiva y me sale otro resultado 4√2

2(4+2√2) / 8 = Propiedad distributiva
(8+4√2) / 8 = Simplifico
4√2 = resultado final

Superprof

Julio

Hola, no puedes simplificar (8+4√2) / 8 simplemente tachando la 8 y obteniendo 4√2 porque se trata de una suma y no de una multiplicación en los términos del numerador. Tendrás que sacar factor común para poder simplificar con 8. El resultado que tienes en tu libro es haber simplificado, en la siguiente fracción 2(4+2√2) / 8 el 2 del numerador que se encuentra fuera del paréntesis con el 8 del denominador, lo que da 4+2√2 /4. Esta última fracción se puede simplificar otra vez, sacando factor común el 2:

4+2√2 /4 = 2(2 + √2)/4

Dividimos el dos fuera del paréntesis del numerador por el 4 del denominador, y obtenemos:

(2 + √2)/2

La racionalización de radicales, por otra parte, consiste en quitar el radical del denominador para facilitar el cálculo. En este caso, no hay necesidad de racionalizar.

Esperamos haber podido despejar tus dudas. ¡Un saludo! 🙂

Lidia Mamani

Agosto

Hola me podrían ayudar con este ejercicio porfavor
Y=2/√x
Cómo lo resuelvo ?
quisiera que me ayuden a encontrar el dominio y rango

Luis Ernesto Sanchez Perez

Septiembre

Buen día.

Te ayudo.

Tienes que tu función es

$y = \frac{2}{\sqrt{x}}$

Para encontrar el domino lo único que debes hacer es encontrar todos los valores para lo cuales tú función está bien definida. Por ejemplo, tu estás dividiendo $2$ entre $\sqrt{x}$ , sabemos que la división entre cero no está definida, por lo tanto $x \neq 0$ . Además, tenemos una raíz, y si consideramos únicamente los números reales, entonces sabemos que las raíces de números negativos no están bien definidas, por lo tanto $x$ no puede ser negativo. De las dos observaciones anteriores tenemos que, para que nuestra función esté bien definida, $x > 0$ , en los demás casos la función queda indefinida, ya sea por la raíz de un número negativo o por la división entre cero. Esto nos dice que nuestro dominio es $(0, \infty)$

Por último, para encontrar el rango, primero notemos que cuando $x$ tiende hacia $0$ , $y$ tiende hacia infinito $\infty$ , y cuando $x$ tiende hacia infinito, $y$ tiende hacia cero, por lo tanto, nuestro rango es $(0, \infty)$ .

nelly

Septiembre

me podrian ayudar con dos ejercicios de amplificacion de radicales ..y dos de simplificacion de radicales

danny

Septiembre

Queremos fijar un poste de 3,5 m de altura, con un cable que va desde el extremo superior del poste al suelo. Desde ese punto del suelo se ve el poste bajo un ángulo de 40. ¿A qué distancia del poste sujetaremos el cable? ¿Cuál es la longitud del cable?

Alessandra

Octubre

Como puedo resolver esto?
(ab√(a√(5&b)) )/(√(3&a√(b^3 ))√(√(5&b).√(3&a)) )

Maria Ramirez

Octubre

muy buenos ejercicios , me han encantado y ayudado un montón.

Superprof

Octubre

Nos alegramos mucho Maria 🙂

Jair

Octubre

en laparte de Jerarquía al resolver radicales cuando dividen 2^2/2^-9 les da 2^-11 pero no debería ser 2^11 ??? osea debería ser un exponente positivo pero en su respuesta la pusieron negativa

Superprof

Octubre

Gracias por el comentario Jair, hemos corregido el error. ¡Un saludo!

Fany García

Octubre

Hola me podrían ayudarme y explicarme unos ejercicios son los siguientes 2(raíz) 5 y 3(raíz) 3 -43

Kaly

Octubre

Muchas gracias me dieron una idea de como hacer ejercicios similares 🙂

Superprof

Octubre

<3 Genial Kaly :)

Samanta

Octubre

Disculpen me podrian ayudar con este problema porfavor
¿La expresion que permite calcular la velocidad (v) de un satélite que gira alrededor de la tierra en un órbita circular (r) es:? v=1/r(4R/2)² √2/R Donde R es el radio de la tierra y V la velocidad en pies por segundos. 1). Prueba que v=R√32/R 2). Escribe un radical que sea semejante a la expresión que permite calcular la velocidad del satélite.

Samanta

Octubre

Buenas noches, disculpe me podria ayudar con este ejercicio porfavor
¿La expresion que permite calcular la velocidad (v) de un satélite que gira alrededor de la tierra en un órbita circular (r) es:? v=1/r(4R/2)² √2/R Donde R es el radio de la tierra y V la velocidad en pies por segundos. 1). Prueba que v=R√32/R 2). Escribe un radical que sea semejante a la expresión que permite calcular la velocidad del satélite.

sergio

Octubre

Buena tarde Podrían ayudarme a resolver esta operación de radicales desarrollo y resultado

√15*√5*√27

Valentina

Octubre

Hola me pueden ayudar con este problema por favor.
3(√5 – √20 + √45)

Leonor Fernández

Octubre

Me encanta esta página, me ayuda muchísimo

Superprof

Octubre

Genial, ¡nos alegramos! 🙂

Jose

Octubre

Como sumar

Raiz de dos elevado a 3 más raiz de 7 elevado a 5

Me gustaría saber cómo hacerlo.
Muchas gracias

rocio

Octubre

Hola. tengo que revolver un calculo combinado de raices aplicando porpiedas pero sin resolver raices. Ya se que la propiedad que tengo que aplicar el la distibutiva pero luego de aplicarla como hago para obtener un resultado sin resolver la raiz?

PAULA

Octubre

La madre de Andrés le ha planteado un enigma a su hijo para que descubra la cantidad de granos que
contiene un tarro de arroz de la cocina. Para ello, debe expresar la tercera parte del doble de la raíz
quinta de 6 elevado a 5 como un único radical de índice 5.

America

Octubre

holaa me podrian ayudar o explicar este ejemplo de mate para mi tarea? 7 raiz t14/x21

Marco

Noviembre

Hola.
Busque estos ejercicios para prepararme un examen y al final saque un 9,5 en el examen.
Le doy las gracias al creador de esta página web y se la recomendaré a todos mis amigos y amigas.

Superprof

Noviembre

Qué placer leer tu comentario Marco 🙂

wilmer

Noviembre

como hago para expresar en potencia los radicales V36 y V49

Noemi

Noviembre

Muchísimas gracias por la claridad de los ejercicios aquí presentados. Como profe, veo que son geniales para mis alumnos.

¡Un saludo!

Superprof

Noviembre

¡Gracias por el comentario Naomi!

Laura sanchez

Diciembre

Hola me pueden ayudar con este numero (1/4)²

Amiiii

Noviembre

Hola, yo no entiendo lo de raìz dentro de raìz que se tiene que hacer?

elvira

Noviembre

HBuenos días: nos gustaría que nos explicaran como se hacen ejercicios de radicales con diferente índice , tanto para multiplicacion,división,suma y resta.gracias

yulimer jerez

Noviembre

buenas noches como hago para ver las soluciones solo me sale el ejercicio mas no la soluciones gracias

Superprof

Noviembre

Hola Yulimer, simplemente hay que hacer click en la solución para verla. ¡Un saludo!

María

Diciembre

Se corta el final del ejercicio porfavor podríais decirme cómo se resuelve al final el apartado 5, de la parte de racionalizar radicales?

Superprof

Diciembre

Hola María, tienes la solución en la página. ¡Un saludo!

Nataly Abrego

Diciembre

Hola me puede ayudar con este deber por favor .Calcule el valor de las siguientes expresiones sustituyendo los valores de los ángulos. Exprese las respuesta en FORMA RADICAL. (10 puntos)

a) 4cos 60° + 6sen 45°

b) sen30°cos60°+cos30°sen60°

Jennifer :v

Diciembre

Hola.. me pueden ayudar en este deber?

Propiedad del producto. Simplificar los productos de radicales
√(16×2) √(5×4) √(81×3×2)

Propiedad del cociente. Simplificar los cocientes de radicales
√15/√3 √60/√15
Supresión de radicales y exponentes del radicando. – Simplificar radicandos y exponentes.
√(5^2 ) √(3&8^3 ) √(4&〖10〗^4 )

Racionalización del denominador. Racionalizar los denominadores de las expresiones radicales
√3/√5 √25/√7 √50/√2

Greysi

Enero

Hola me pueden ayudar por favor con este ejercicio :abre corchete 3/4 entre 9 menos 2.45, encima del 45 tiene un sombrerito , por 3 mas raíz cuadrada de 5 entre 15 mas raíz cuadrada de 125 cierra corchete todo ello por 132. les agradecería mucho

Katiuska

Enero

Hola necesito ayuda en expresar en forma de raíz
a³/² . a⁴/²

Júlia

Enero

Hola, mañana tengo examen y me esta ayudando mucho hacer estos ejercicios, son geniales

Superprof

Enero

¡Suerte Júlia!

Tania

Enero

Como ago para ver el ejercicios completo ay me ayuda xfavor

Nicol

Enero

Hola muy buenas, muy interesante la información… Como se haría en este tipo de ejercicio?: Dados los números m= 3-2√5 y q= 3+2√5; ¿Cuál es el valor más exacto (sin trabajar los decimales) de m*q?

Chris

Enero

Me pueden ayudar

Ilhia

Febrero

MULTIPLICACION DE RADICALES

√20.√ 15.√ 12

yemi

Febrero

hola como estas me pueden ha resolver un problema radical porque me falta informacion y poder explicamerlo porfabor ayudeme con radicales

Jaris Garcia Cataño

Marzo

Hola bnas tardes como estan
Seres q m pueden ayudar con está operación

4√16^2 * 4^3/5 * (4^2/5)^3/7 * 4^3 * 4\^2/7 / 4^11/4 * 4^6/7=

Ejercicios con radicales

Potencias Racionales

Factores en radicales

Factores fuera del radical

Igualación de indices

Suma de radicales

Conversión de indices y suma de radicales

Sumas con radicales como denominadores

Producto de Radicales

Divisiones con radicales

Simplifica la siguiente operación

Jerarquía al resolver radicales

Potencias de un radical

Binomios y radicales

Operaciones mixtas con radicales

Raíces de raíces

Racionalizar radicales

Leyes de potencias en radicales

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