1

Calcula los valores de las siguientes potencias:

 

1potencia fraccionaria 1

2potencia fraccionaria 2

3potencia con punto decimal

4potencia con punto decimal 1

 

Calcula los valores de las siguientes potencias:
Soluciones:

 

Una potencia con exponente fraccionario es igual a una raíz cuyo índice es el denominador de la fracción (2) y el exponente del radicando es el numerador (3)

Descomponemos 16 en factores, efectuamos las operaciones en el radicando y extraemos factores

 

1descomposicion en factores 1

 

2Ejercicio de potencia fraccionaria 2 descomposicion en factores 2

 

3Ejercicio de potencia con punto decimal

 

En este caso pasamos el exponente que es un número decimal exacto a fracción

 

Resolución de ejercicio de potencia con punto decimal

 

4potencia con punto decimal 1

 

El exponente que es un periódico puro lo pasamos a fracción

conversión de exponente periodico puro a fraccion

Resolución de ejercicio de potencia con punto decimal 1

2

Extraer factores:

 

1Ejercicio de extraccion de factores 1

2Ejercicio de extraccion de factores 2

 

Extraer factores del radical:
Soluciones:

 

1 Solucion de ejercicio de extraccion de factores 1

 

El exponente del dos (1) es menor que el índice (2), por tanto se queda en el radicando

El exponente del 3 (2) es igual al índice (2), por tanto el 3 sale fuera del radicando

El exponente del 5 (5) es mayor que el índice (2), por tanto se divide dicho exponente por el índice. El cociente obtenido (2) es el exponente del factor fuera del radicando y el resto (1) es el exponente del factor dentro del radicando.

 

2 Solucion de ejercicio de extraccion de factores 2

 

Los exponentes son mayores que el índice, por tanto se dividen dichos exponentes por el índice. Cada uno de los cocientes obtenidos será el exponente del factor correpondiente fuera del radicando y cada uno de los restos obtenidos será el exponente del factor correpondiente dentro del radicando.

 

Divisiones de exponentes entre los indices

 

3

Introducir factores:

 

1Ejercicio 1 de introducción de factores

2Ejercicio 2 de introducción de factores

 

Introducir factores:
Soluciones:

 

1Ejercicio 2 de introducción de factores

 

Antes de comenzar a resolver, expliquemos brevemente ciertas propiedades de los radicales.

Sabemos que el radical aplicado a un producto es el producto de los radicales

 

propiedad de radicales 01

 

y que el indice del radical cuando se pasa a forma exponencial, divide a la potencia de la base

 

propiedad de radicales 02

 

entonces estos dos resultados juntos los ocupamos para simplificar a expresiones con radicales multiplicados por factores, es decir

 

proceso de simplificacion de radicales 01

 

y así podemos solamente ocupar el resultado

 

proceso de simplificacion de radicales 02

 

Apliquemos ahora este proceso a nuestro problema:

 

Se introduce el 2 elevado al índice del radical (2) y se realizan las operaciones

 

Solución del primer ejercicio de introducción de factores

 

 

2 Segundo ejercicio de introducción de factores

 

Se introducen los factores elevados al índice (4)

 

Solución del segundo ejercicio de introducción de factores

 

Se realizan las operaciones

 

Solución del segundo ejercicio de introducción de factores 1

 

Los exponentes son mayores que el índice, por tanto se dividen dichos exponentes por el índice. Cada uno de los cocientes obtenidos será el exponente del factor correspondiente fuera del radicando y cada uno de los restos obtenidos será el exponente del factor correspondiente dentro del radicando.

 

Resultado final del segundo ejercicio de introduccion de factores

 

4

Poner a común índice:

 

Ejercicios de poner a comun indice

 

Poner a común índice los radicales:

Ejercicios de poner a comun indice 1

 

Soluciones:

 

Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice

 

obtencion del minimo comun multiplo

 

Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes

 

Division del común índice por cada uno de los índices

 

Realizamos las operaciones en los radicandos

 

Solución del ejercicio de poner a comun indice

 

5

Realiza las sumas:

 

1Ejercicio de suma de terminos con radicales 1

2Ejercicio de suma de terminos con radicales 2

3Ejercicio de suma de terminos con radicales 3

4Ejercicio de suma de terminos con radicales 4

 

Realiza las sumas de radicales:
Soluciones:

 

1 Solución del ejercicio de suma de terminos con radicales 1

 

Como los radicales son semejantes sumamos los coeficientes de los radicales

 

2 Solución del ejercicio de suma de terminos con radicales 2

 

Sumamos los coeficientes de los radicales

 

3Solución del ejercicio de suma de terminos con radicales 3

 

Descomponemos en factores los radicandos y extraemos factores de los radicales (si es posible) y los multiplicamos por el coeficiente del radical correspondiente

 

Solución del ejercicio de suma de terminos con radicales 3-1

 

4Solución del ejercicio de suma de terminos con radicales 4

 

Extraemos factores de los radicales y los multiplicamos por el coeficiente del radical correspondiente

 

4 = 2², 8 = 2³ y 64 = 2

 

multiplicacion de los factores de los radicales por el coeficiente

 

Simplificamos los radicales. En el primer radical dividimos el índice y el exponente del radicando por 2, en el 2º por 3 y en el 3º por 6

 

Simplificación de los radicales

 

Sumamos los coeficientes de los radicales

 

Resultado del ejercicio 4

 

6

Halla las sumas:

 

1Ejercicio de suma de terminos con radicales 1

2Ejercicio de suma de terminos con radicales 2

3Ejercicio de suma de terminos con radicales 3

4Ejercicio de suma de terminos con radicales 4

 

Halla las sumas de radicales:
Soluciones:
Para realizar estas sumas de radicales no semejantes, seguiremos estos dos pasos:

Descomponemos en factores los radicandos y extraemos factores de los radicales (si es posible) y los multiplicamos por el coeficiente del radical correspondiente

Sumamos los coeficientes de los radicales

 

1 Ejercicio de suma de terminos con radicales 1

Solución del ejercicio de suma de terminos con radicales 1

 

2 Ejercicio de suma de terminos con radicales 2

Solución del ejercicio de suma de terminos con radicales 2

Solución del ejercicio de suma de terminos con radicales 2-1

 

3 Ejercicio de suma de terminos con radicales 3

Solución del ejercicio de suma de terminos con radicales 3

Solución del ejercicio de suma de terminos con radicales 3-1

 

4Ejercicio de suma de terminos con radicales 1

Solución del ejercicio de suma de terminos con radicales 4

Solución del ejercicio de suma de terminos con radicales 4-1

 

7

Efectúa las sumas:

 

11 Ejercicio de suma de terminos con radicales

22 Ejercicio de suma de terminos con radicales

 

Efectúa las sumas de radicales:
Soluciones:

 

1              Solución del ejercicio de suma de terminos con radicales 1

 

Racionalizamos el 2º sumando multiplicando y dividiendo por por la raíz cuadrada de 2

Sacamos factor común de raíz de 2 y sumamos

 

Obtención del factor común de la raiz

 

2 Ejercicio de suma de terminos con radicales 2

 

Descomponemos en factores los radicandos

 

Descomposición en factores de las raices

 

En los dos primeros sumandos extraemos factores, el tercero simplificamos el radical dividiendo el índice y el exponente del radicando entre 2 y el último vamos a racionalizar multiplicando y dividiendo por por la raíz cúbica de 2

 

Primeras operaciones del segundo ejercicio

 

Como todos los radicales son semejantes podemos sumar sus coeficientes

 

resultado del regundo ejercicio

 

8

Realizar los productos:

 

1Ejercicio de producto de factores con radicales 1

2Ejercicio de producto de factores con radicales 2

3Ejercicio de producto de factores con radicales 3

 

Realizar los productos de radicales:
Soluciones:

 

1 Solución del ejercicio de producto de factores con radicales 1

 

Como los radicales tienen el mismo índice multiplicamos los radicandos y descomponemos en factores para extraer factores del radical

 

2 Ejercicio de producto de factores con radicales 2

 

Descomponemos en factores los radicandos

 

Descomposición en factores de los radicandos

 

Reducimos a común índice por lo que tenemos que calcular el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice.

 

Obtención del minimo comun multiplo

 

Dividimos el común índice (12) por cada uno de los índices (2, 3 y 4) y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes (1, 2 y 3)

Realizamos el producto de potencias con la misma base en el radicando y extraemos factores del radicando

 

Solución del ejercicio de producto de factores con radicales 2

 

3 Eercicio de producto de factores con radicales 3

 

Optención del minimo comun multiplo

 

Solución del ejercicio de producto de factores con radicales 3

9

Efectúa las divisones de radicales:

 

1Ejercicio de división con radicales 1

2Ejercicio de división con radicales 2

3Ejercicio de división con radicales 3

 

Efectúa las divisones de radicales:
Soluciones:

 

1 Solución de ejercicio de división con radicales 1

 

Como los radicales tienen el mismo índice dividimos los radicandos y simplificamos el radical dividiendo el índice y exponente del radicando por 3

 

2 Ejercicio de división con radicales 2

 

En primer reducimos a común índice por lo que tenemos que calcular el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice. m.c.m.(3, 2) = 6

Dividimos el común índice (6) por cada uno de los índices (3 y 2) y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes (1 y 1)

Descomponemos el 4 en factores para poder hacer la división de potencias con la misma base y dividimos

 

Solución de ejercicio de división con radicales 2

 

3 Ejercicio de división con radicales 3

 

Realizamos los mismos pasos del ejercicio anterior

 

Solución de ejercicio de división con radicales 3

 

Simplificamos el radical dividiendo por 2 el índice y el exponente del radicando, y por último extraemos factores

 

Solución de ejercicio de división con radicales 3-1

 

10

Calcula:

 

Ejercicio de division de radicales

 

Calcula:

Ejercicio de división de radicales

 

En primer lugar calculamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice

Dividimos el común índice (12) por cada uno de los índices (2, 3, 4 y 6) y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes (1, 2, 3 y 4)

Quitamos los paréntesis, simplificamos la fracción y multiplicamos en el numerador las potencias con la misma base

Simplificamos el radical dividiendo por 3 el índice y el exponente del radicando

Por último extraemos factores

 

 

Solución de ejercicio de division con radicales

 

11

Opera:

 

Ejercicio de cociente con radicales

Opera:         Ejercicio de cociente con radicales 1

 

Soluciones:
Solución de ejercicio de cociente con radicales

En primer lugar ponemos 1/8 en forma de potencia: conversión de forma cociente a forma potencial

Ponemos a común índice las raíces del numerador y del denominador

Elevamos al cubo el denominador y realizamos la división de potencias con la misma base

Realizamos la raíz cuarta del radical multiplicando los índices

12

Realiza las operaciones con potencias:

 

1Ejercicio de radicales con potencias 1

2Ejercicio de radicales con potencias 2

 

Realiza las operaciones con potencias:
Soluciones:

 

1 Ejercicio de radicales con potencias 1-1

 

Elevamos el radicando al cuadrado, descomponemos 18 en factores y los elevamos al cuadrado y por último extraemos factores

 

Solución de ejercicio de radicales con potencias 1

 

2 Ejercicio de radicales con potencias 2-1

 

Elevamos los radicandos a la cuarta, descomponemos en factores los radicandos y extraemos el 18 del radical

 

Solución de ejercicio de radicales con potencias 2

 

En los radicando realizamos las operaciones con potencias y ponemos a común índice para poder efectuar la división

 

Solución de ejercicio de radicales con potencias 2-1

 

Simpificamos el radical dividiendo por 2 el índice y los exponentes del radicando y realizamos una división de potencias con el mismo exponente

 

Solución de ejercicio de radicales con potencias 2-3

 

Podemos racionalizar multiplicando y dividiendo por la raíz cúbica de 3

 

Solución de ejercicio de radicales con potencias 2-4

 

13

Realiza las operaciones:

 

1Ejercicio de bonomio al cuadrado con radicales

2Ejercicio de binomio al cuadrado con radicales 1

3Ejercicio de binomios conjugados con radicales 1

4Ejercicio de bonimios conjugados con radicales 2

 

Realiza las operaciones:
Soluciones:

 

1Ejercicio de bonomio al cuadrado con radicales -1

 

Una diferencia al cuadrado es igual al cuadrado del primero, menos el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo

 

Solución de ejercicio de bonomio al cuadrado con radicales 1-1

Solución de ejercicio de bonomio al cuadrado con radicales 1-2

 

2Solución de ejercicio de bonomio al cuadrado con radicales 2-1

Solución de ejercicio de bonomio al cuadrado con radicales 2-2

Solución de ejercicio de bonomio al cuadrado con radicales 2-3

 

3Solución de ejercicio de binomios conjugados con radicales 1-1

 

Una suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados

 

Solución de ejercicio de binomios conjugados con radicales 1-2

 

4Solución de ejercicio de binomios conjugados con radicales 2-1

Solución de ejercicio de binomios conjugados con radicales 2-2

Solución de ejercicio de binomios conjugados con radicales 2-3

Solución de ejercicio de binomios conjugados con radicales 2-4

 

14

Calcula:

 

1Ejercicio de cocientes usando bonimios conjugadios con radicales 1

2Ejercicio de cocientes usando bonimios conjugadios con radicales 2

 

Calcula:
Soluciones:

 

1Solución de ejercicio de cocientes usando bonimios conjugadios con radicales 1-1

 

Realizamos la multiplicación de fracciones, en el denominador tenemos una suma por diferencia que es igual a diferencia de cuadrados

 

Solución de ejercicio de cocientes usando bonimios conjugadios con radicales 1-2

 

2Solución de ejercicio de cocientes usando bonimios conjugadios con radicales 2-1

 

Solución de ejercicio de cocientes usando bonimios conjugadios con radicales 2-2

 

La diferencia de cuadrados del denominador se pone como una suma por diferencia y se simplifica la fracción

 

Solución de ejercicio de cocientes usando bonimios conjugadios con radicales 2-3

 

15

Efectuar:

 

1Ejercicio de radicales anidados 1

2Ejercicio de radicales anidados 2

3Ejercicio de radicales anidados 3

Efectuar:
Soluciones:

 

1Solución de ejercicio de radicales anidados 1-1

 

Multiplicamos los índices

 

Solución de ejercicio de radicales anidados 1-2

 

2 Solución de ejercicio de radicales anidados 2-1

 

Introducimos el primer 2 dentro de la raíz cúbica por lo que tendremos que elevarlo al cubo y multiplicamos las potencias con la misma base, el procedimiento lo seguimos haciendo hasta que ya se hayan introducido todos los valores en los radicales, y con esto, multiplicamos 2\cdot 3\cdot 4=24 y entonces queda  \sqrt[24]{2^{17}}

 

procedimiento de simplificacion de radicales 01

 

procedimiento de simplificacion de radicales 02

 

3Solución de ejercicio de radicales anidados 2-3

 

Solución de ejercicio de radicales anidados 2-4

 

Introducimos el 2 dentro de la raíz cuadrada elevándolo al cuadrado

Multiplicamos las potencias con la misma base

Multiplicamos los índices y simplificamos dividiendo por 3 el índice resultante y el exponente del radicando

 

16

Racionalizar los radicales:

 

1Ejercicio de racionalización de radicales 1

2Ejercicio de racionalización de radicales 2

3Ejercicio de racionalización de radicales 3

4Ejercicio de racionalización de radicales 4

5Ejercicio de racionalización de radicales 5

 

Racionalizar los radicales:
Soluciones:
1Solución de ejercicio de racionalización de radicales 1-1
 Solución de ejercicio de racionalización de radicales 1-2

 

Multiplicamos numerador y denominador por la raíz de 2, realizamos los cálculos y simplificamos la fracción

 

2Solución de ejercicio de racionalización de radicales 2-1

 

 Solución de ejercicio de racionalización de radicales 2-2

 

El radicando 4 lo ponemos en forma de potencia: 2²

Tenemos que multiplicar en el numerador y denominador por la raíz quinta de 25 − 2 = 2³

Multiplicamos los radicales del denominador, extraemos factores del radical y simplificamos la fracción

 

3Solución de ejercicio de racionalización de radicales 3-1

 

Solución de ejercicio de racionalización de radicales 3-2

 

Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador, quitamos paréntesis en el numerador y efectuamos la suma por diferencia en el denominador, por lo que obtenemos una diferencia de cuadrados

 

Solución de ejercicio de racionalización de radicales 3-3

 

En el denominador extraemos los radicandos y dividimos por −1, es decir, cambiamos el numerador de signo

 

4Solución de ejercicio de racionalización de radicales 4-1

 

Solución de ejercicio de racionalización de radicales 4-2

 

Multiplicamos y dividimos la fracción por el conjugado del denominador

 

Solución de ejercicio de racionalización de radicales 4-3

 

Efectuamos la suma por diferencia en el denominador, por lo que obtenemos una diferencia de cuadrados y operamos:

 

  Solución de ejercicio de racionalización de radicales 4-4

 

Realizamos las operaciones y simplificamos la fracción dividiendo por 2

 

5Solución de ejercicio de racionalización de radicales 5-1

 

Solución de ejercicio de racionalización de radicales 5-2

 

Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador, quitamos paréntesis en el numerador y efectuamos la suma por diferencia en el denominador, por lo que obtenemos una diferencia de cuadrados

 

Solución de ejercicio de racionalización de radicales 5-3

 

En el numerador descomponemos en factores 12 y extraemos factores, terminamos realizando las operaciones del denominador.

 

17

Racionalizar:

 

1Ejercicio de racionalización de radicales 1

2Ejercicio de racionalización de radicales 2

3Ejercicio de racionalización de radicales 3

4Ejercicio de racionalización de radicales 4

5Ejercicio de racionalización de radicales 5

 

Racionalizar:
Soluciones:

 

1Solución de ejercicio de racionalización de radicales 1-1

 

Multiplicamos numerador y denominador por la raíz de 2 y realizamos los cálculos

 

Solución de ejercicio de racionalización de radicales 1-2

 

2Solución de ejercicio de racionalización de radicales 2-1

 

Aquí nos damos cuenta que para poder eliminar el radical de \sqrt[3]{3}  necesitamos generar el producto

 

raiz cubica de tres al cubo

 

para que de esta forma se elimine el radical, es decir

 

raiz cubica de tres al cubo igual a tres

 

en otras palabras,  como ya tenemos a \sqrt[3]{3} en el denominador, sólo hace falta multiplicarlo por \sqrt[3]{3^2} para lograr eliminar el radical.

Para no afectar el valor numérico de la expresión, se multiplica \sqrt[3]{3^2} tanto en el numerador como en el denominador, y entonces así es como queda nuestro desarrollo

 

Solución de ejercicio de racionalización de radicales 2-2

 

3Solución de ejercicio de racionalización de radicales 3-1

 

Solución de ejercicio de racionalización de radicales 3-2

 

Multiplicamos y dividimos la fracción por el conjugado del denominador

En el numerador quitamos paréntesis y el denominador efectuamos la suma por diferencia, por lo que obtenemos una diferencia de cuadrados

Efectuamos las operaciones y se simplica la fracción al factorizar  el 2

 

Solución de ejercicio de racionalización de radicales 3-3

 

4Solución de ejercicio de racionalización de radicales 4-1

 

Multiplicamos y dividimos la fracción por el conjugado del denominador

 

Solución de ejercicio de racionalización de radicales 4-2

 

En el numerador quitamos paréntesis y el denominador efectuamos la suma por diferencia, por lo que obtenemos una diferencia de cuadrados

 

Solución de ejercicio de racionalización de radicales 4-3

 

 

5Solución de ejercicio de racionalización de radicales 5-1

 

Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador

 

Solución de ejercicio de racionalización de radicales 5-2

 

Ponemos el numerador en forma de potencia

 

Solución de ejercicio de racionalización de radicales 5-3

 

En el numerador tenemos una diferencia al cuadrado que es igual al cuadrado del primero, menos el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo

En el denominador tenemos una suma por diferencia que es igual a la diferencia de cuadrados

 

Solución de ejercicio de racionalización de radicales 5-4

 

Realizamos las operaciones

 

Solución de ejercicio de racionalización de radicales 5-5

 

Solución de ejercicio de racionalización de radicales 5-6

 

Simplificamos la fracción

 

Solución de ejercicio de racionalización de radicales 5-7

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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