Temas
- Potencias Racionales
- Factores en radicales
- Factores fuera del radical
- Igualación de indices
- Suma de radicales
- Conversión de indices y suma de radicales
- Sumas con radicales como denominadores
- Producto de Radicales
- Divisiones con radicales
- Simplifica la siguiente operación
- Jerarquía al resolver radicales
- Potencias de un radical
- Binomios y radicales
- Operaciones mixtas con radicales
- Raíces de raíces
- Racionalizar radicales
- Leyes de potencias en radicales
Potencias Racionales
Calcula los valores de las siguientes potencias:
1
2
3
4
Calcula los valores de las siguientes potencias:
Soluciones:
Una potencia con exponente fraccionario es igual a una raíz cuyo índice es el
denominador de la fracción (2) y el exponente del radicando es el numerador (3)
Descomponemos 16 en factores, efectuamos las operaciones en el radicando y
extraemos factores
1
2
3
En este caso pasamos el exponente que es un número decimal exacto a fracción
4
El exponente que es un periódico puro lo pasamos a fracción
Factores en radicales
Extraer factores:
1
2
Extraer factores del radical:
Soluciones:
1 
El exponente del dos (1) es menor que el índice (2), por tanto se queda en el
radicando
El exponente del 3 (2) es igual al índice (2), por tanto el 3 sale fuera del
radicando
El exponente del 5 (5) es mayor que el índice (2), por tanto se divide dicho
exponente por el índice. El cociente obtenido (2) es el exponente del factor
fuera del radicando y el resto (1) es el exponente del factor dentro del radicando.
2 ![\sqrt[4]{2^7 \cdot 3^{14} \cdot 5^4}= 2 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot \sqrt[4]{2^3 \cdot 3^2 }= 270 \cdot \sqrt[4]{72}](https://www.superprof.es/apuntes/inc/ql-cache/quicklatex.com-6439c754de0afaf4c424febc13de2046_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Los exponentes son mayores que el índice, por tanto se dividen dichos
exponentes por el índice.
Cada uno de los cocientes obtenidos será el exponente del factor correspondiente
fuera del radicando y cada uno de los restos obtenidos será el exponente del factor
correspondiente dentro del radicando.
Factores fuera del radical
Introducir factores:
1 
2
Introducir factores:
Soluciones:
1
Antes de comenzar a resolver, recordemos algunas propiedades de los radicales.
Sabemos que el radical aplicado a un producto es el producto de los radicales
y que el indice del radical cuando se pasa a forma exponencial, divide a la
potencia de la base
entonces estos dos resultados juntos los ocupamos para simplificar a expresiones
con radicales multiplicados por factores, es decir
y así podemos solamente ocupar el resultado
Apliquemos ahora este proceso a nuestro problema:
Se introduce el 2 elevado al índice del radical (2) y se realizan las operaciones
2 
Se introducen los factores elevados al índice (4)
Se realizan las operaciones
Los exponentes son mayores que el índice, por tanto se dividen dichos
exponentes por el índice.
Cada uno de los cocientes obtenidos será el exponente del factor correspondiente
fuera del radicando y cada uno de los restos obtenidos será el exponente del factor
correspondiente dentro del radicando.
Igualación de indices
Poner a común índice:
Poner a común índice los radicales:
Soluciones:
Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice
Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido
se multiplica por sus exponentes correspondientes
Realizamos las operaciones en los radicales
Suma de radicales
Realiza las sumas:
1
2
3
4
Realiza las sumas de radicales:
Soluciones:
1 
Como los radicales son semejantes sumamos los coeficientes de los radicales
2 
Sumamos los coeficientes de los radicales
3
Descomponemos en factores los radicandos y extraemos factores de los radicales
(si es posible) y los multiplicamos por el coeficiente del radical correspondiente
4
Extraemos factores de los radicales y los multiplicamos por el coeficiente del
radical correspondiente
4 = 2², 8 = 2³ y 64 = 28
Simplificamos los radicales. En el primer radical dividimos el índice y el exponente
del radicando por 2, en el 2º por 3 y en el 3º por 6
Sumamos los coeficientes de los radicales
Conversión de indices y suma de radicales
Halla las sumas:
1
2
3
4
Halla las sumas de radicales:
Soluciones:
Para realizar estas sumas de radicales no semejantes, seguiremos estos dos pasos:
Descomponemos en factores los radicales y extraemos factores de los radicales
(si es posible) y los multiplicamos por el coeficiente del radical correspondiente
Sumamos los coeficientes de los radicales
1 
2 
3 
4
Sumas con radicales como denominadores
Efectúa las sumas:
1
2
Efectúa las sumas de radicales:
Soluciones:
1 
Racionalizamos el 2º sumando multiplicando y dividiendo por la raíz cuadrada
de 2
Sacamos factor común de raíz de 2 y sumamos
2 
Descomponemos en factores los radicales
En los dos primeros sumandos extraemos factores, el tercero simplificamos el
radical dividiendo el índice y el exponente del radicando entre 2 y el último vamos
a racionalizar multiplicando y dividiendo por por la raíz cúbica de 2
Como todos los radicales son semejantes podemos sumar sus coeficientes
Producto de Radicales
Realizar los productos:
1
2
3
Realizar los productos de radicales:
Soluciones:
1 
Como los radicales tienen el mismo índice multiplicamos los radicandos y
descomponemos en factores para extraer factores del radical
2 
Descomponemos en factores los radicandos
Reducimos a común índice por lo que tenemos que calcular el mínimo común
múltiplo de los índices, que será el común índice.
Dividimos el común índice (12) por cada uno de los índices (2, 3 y 4) y cada
resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes (1, 2 y 3)
Realizamos el producto de potencias con la misma base en el radicando y
extraemos factores del radicando
3 
Divisiones con radicales
Efectúa las divisiones de radicales:
1
2
3
Efectúa las divisiones de radicales:
Soluciones:
1 
Como los radicales tienen el mismo índice dividimos los radicandos y simplificamos
el radical dividiendo el índice y exponente del radicando por 3
2 
En primer reducimos a común índice por lo que tenemos que calcular el mínimo
común múltiplo de los índices, que será el común índice.
m.c.m.(3, 2) = 6
Dividimos el común índice (6) por cada uno de los índices (3 y 2) y cada resultado
obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes (1 y 1)
Descomponemos el 4 en factores para poder hacer la división de potencias con la
misma base y dividimos
3 
Realizamos los mismos pasos del ejercicio anterior
Simplificamos el radical dividiendo por 2 el índice y el exponente del radicando, y
por último extraemos factores
Simplifica la siguiente operación
Calcula:
Calcula:
En primer lugar calculamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el
común índice
Dividimos el común índice (12) por cada uno de los índices (2, 3, 4 y 6) y cada
resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes (1, 2, 3 y 4)
Quitamos los paréntesis, simplificamos la fracción y multiplicamos en el numerador
las potencias con la misma base
Simplificamos el radical dividiendo por 3 el índice y el exponente del radicando
Por último extraemos factores
Jerarquía al resolver radicales
Opera:
Opera:
Soluciones:
Ponemos a común índice las raíces del numerador y del denominador
Elevamos al cubo el denominador y realizamos la división de potencias
con la misma base
Realizamos la raíz cuarta del radical multiplicando los índices
Potencias de un radical
Realiza las operaciones con potencias:
1
2
Realiza las operaciones con potencias:
Soluciones:
1 
Elevamos el radicando al cuadrado, descomponemos 18 en factores y los elevamos
al cuadrado y por último extraemos factores
2 
Elevamos los radicandos a la cuarta, descomponemos en factores los radicandos y
extraemos el 18 del radical
En los radicando realizamos las operaciones con potencias y ponemos a
común índice para poder efectuar la división
Simplificamos el radical dividiendo por 2 el índice y los exponentes del radicando
y realizamos una división de potencias con el mismo exponente
Podemos racionalizar multiplicando y dividiendo por la raíz cúbica de 3
Binomios y radicales
Realiza las operaciones:
1
2
3
4
Realiza las operaciones:
Soluciones:
1
Una diferencia al cuadrado es igual al cuadrado del primero, menos el doble del
primero por el segundo, más el cuadrado del segundo
2
3
Una suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados
4
Operaciones mixtas con radicales
Calcula:
1
2
Calcula:
Soluciones:
1
Realizamos la multiplicación de fracciones, en el denominador tenemos una suma
por diferencia que es igual a diferencia de cuadrados
2
La diferencia de cuadrados del denominador se pone como una suma por diferencia
y se simplifica la fracción
Raíces de raíces
Efectuar:
1
2
3
Efectuar:
Soluciones:
1
Multiplicamos los índices
2 
Introducimos el primer 2 dentro de la raíz cúbica por lo que tendremos que
elevarlo al cubo y multiplicamos las potencias con la misma base, el procedimiento
lo seguimos haciendo hasta que ya se hayan introducido todos los valores en los
radicales, y con esto, multiplicamos y entonces queda
3
Introducimos el 2 dentro de la raíz cuadrada elevándolo al cuadrado
Multiplicamos las potencias con la misma base
Multiplicamos los índices y simplificamos dividiendo por 3 el índice resultante y
el exponente del radicando
Racionalizar radicales
Racionalizar los radicales:
1
2
3
4
5
Racionalizar los radicales:
Soluciones:
1
Multiplicamos numerador y denominador por la raíz de 2, realizamos los cálculos
y simplificamos la fracción
2
El radicando 4 lo ponemos en forma de potencia: 2²
Tenemos que multiplicar en el numerador y denominador por la raíz quinta de
25 − 2 = 2³
Multiplicamos los radicales del denominador, extraemos factores del radical y
simplificamos la fracción
3
Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador,
quitamos paréntesis en el numerador y efectuamos la suma por diferencia en el
denominador, por lo que obtenemos una diferencia de cuadrados
En el denominador extraemos los radicandos y dividimos por −1, es decir,
cambiamos el numerador de signo
4
Multiplicamos y dividimos la fracción por el conjugado del denominador
Efectuamos la suma por diferencia en el denominador, por lo que obtenemos una
diferencia de cuadrados y operamos:
Realizamos las operaciones y simplificamos la fracción dividiendo por 2
5
Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador,
quitamos paréntesis en el numerador y efectuamos la suma por diferencia en
el denominador, por lo que obtenemos una diferencia de cuadrados
En el numerador descomponemos en factores 12 y extraemos factores, terminamos
realizando las operaciones del denominador.
Leyes de potencias en radicales
Racionalizar:
1
2
3
4
5
Racionalizar:
Soluciones:
1
Multiplicamos numerador y denominador por la raíz de 2 y realizamos los cálculos
2
Aquí nos damos cuenta que para poder eliminar el radical de necesitamos
generar el producto
para que de esta forma se elimine el radical, es decir
en otras palabras, como ya tenemos a en el denominador, sólo hace falta
multiplicarlo por para lograr eliminar el radical.
Para no afectar el valor numérico de la expresión, se multiplica tanto en el
numerador como en el denominador, y entonces así es como queda nuestro
desarrollo
3
Multiplicamos y dividimos la fracción por el conjugado del denominador
En el numerador quitamos paréntesis y el denominador efectuamos la suma por
diferencia, por lo que obtenemos una diferencia de cuadrados
Efectuamos las operaciones y se simplifica la fracción al factorizar el 2
4
Multiplicamos y dividimos la fracción por el conjugado del denominador
En el numerador quitamos paréntesis y el denominador efectuamos la suma por
diferencia, por lo que obtenemos una diferencia de cuadrados
5
Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador
Ponemos el numerador en forma de potencia
En el numerador tenemos una diferencia al cuadrado que es igual al cuadrado del
primero, menos el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo
En el denominador tenemos una suma por diferencia que es igual a la diferencia
de cuadrados
Realizamos las operaciones
Simplificamos la fracción
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Guest
muy buenos ejercicios me han ayudado un monton
Editor
Por nada, lo hacemos con todo el gusto
Guest
Hola, en la segunda parte del ejercicio 7, ¿me podrías decir cómo llegas al resultado 15/2 (de la raíz cúbica de 2)? porque esa parte no está explicada y a mí me da 16/2 (igual, de la raíz cúbica y tal) y no sé qué he hecho mal. Muchas gracias.
Editor
Convertimos a sus fracciones equivalentes, de tal modo que tenemos:
[4(raiz cubica de 2) / 2] +[10(raiz cubica de 2) / 2] +[2(raiz cubica de 2) / 2] -[1(raiz cubica de 2) / 2] =
[(4+10+2-1) (raiz cubica de 2) ]/ 2 = [15(raiz cubica de 2)* / 2
Espero haberte ayudado
Guest
Muchísimas gracias por este contenido tan bien explicado. Me ha ayudado un montón
Guest
Muchas gracias, me ayudaron para mi examen
Guest
Muchas gracias muy buenos ejercicios 🙂
Guest
Unos ejercicios muy aclaratorios y muy bien explicados. Enhorabuena
Admin
¡Gracias!
Guest
Son muy buenos ejercicios me están ayudando mucho, gracias
Admin
¡Con gusto!
Guest
HOLA, en el apartado 2 de ejercicio 17 no entiendo porque la raíz cúbica de tres esta elevada a dos .
Editor
Antes de explicarte, pondré un ejemplo mas sencillo para facilitarte la visualización de lo que me has preguntado: tenemos la fracción 1/2 , yo puedo multiplicar esta fracción por 2/2 para obtener una fracción equivalente: (1/2)*(2/2)= 2/4 y no pasa nada, sigue representando la misma cantidad. en el ejercicio que mencionas, tenemos 1/(raiz cubica de 3) lo que vamos a hacer a continuación, es multiplicarla por otra fracción para obtener una fracción equivalente. La fracción por la que la vamos a multiplicar es: (Raiz cubica de 3^2)/(Raiz cubica de 3^2) Entonces tenemos (1/(Raiz cubica de 3))*((Raiz cubica de 3^2)/(Raiz cubica… Read more »
Guest
muchas gracias por ayudarme a repasar, ojala saque un 6 en el examen 🙂
Admin
¡Suerte!
Guest
En el ejercicio 15, la 2 es esa la solución o se puede hacer más?
Editor
Se puede hacer mas, pronto sera corregido, gracias por tomarte el tiempo de dejar tus comentarios.
recuerda que según las leyes de los exponentes, los radicales pueden verse como exponentes fraccionarios, quizás eso te ayude por ahora, mientras se hace la corrección.
Guest
En el ejercicio 15 apartado 2 no viene el resultado me lo podrías decir para saber si lo tengo bien por favor?
Editor
El resultado es
24√2^17
de otra forma
2^{17/24}
o en forma decimal
1.63391545…
Espero haberte ayudado !
Guest
nom entiendo xq en el 3 hay que elevar el 2 al cuadrado
Editor
Si te refieres al inciso 1 del ejercicio 3, es por esta razón:
2= raíz cuadrada de 4 = raíz cuadrada de (2^2)
Es decir, solo estamos sustituyendo al 2 por una forma diferente de escribirlo que es conveniente para poder aplicar después la propiedad de producto de radicales.
√a * √b = √(a*b)
Entonces:
Raíz cuadrada de (2^2) * raíz cuadrada de 3 = Raíz cuadrada de ( (2^2) *3) tal y como esta en el ejercicio
Espero haberte ayudado!
Guest
en el ejercicio 3 en el numero 2 cuando vais a multiplicar 4 por 2 que da 8 pones 9 y cuando vais a multiplicar 4 por 3 que da 12 pones 13 no entiendo xq?
Editor
Es muy sencillo, lo haré de una manera mas clara. Tenemos: Raíz cuarta de ( (2^2)^4 *(3^3)^4 * 2 * 3 ) Por ley de exponentes, multiplicamos los exponentes y obtenemos los resultados que mencionas Raíz cuarta de ( (2^8)*(3^12) *2 *3 ) Notemos que aun nos falta multiplicar por 2 y por 3. ordenamos usando la propiedad conmutativa y asociativa del producto: Raíz cuarta de ( [(2^8)*2 ] * [(3^12)*3 ] ) Por ley de exponentes : Raíz cuarta de ( 2^9 * 3^13 ) Espero haberte ayudado
Guest
Gracias, me habéis ayudado bastante con los ejercicios, ojalá en el examen me salgan igual.
Guest
Me han gustado mucho muchas gracias ❤❤❤☕🖕
Guest
me ha ayudado muchoooooo
Guest
y si la potencia de la raiz es por ejemplo 4 y en la raiz hay 2 elevado a la tres se deja asi o se hace algo
Editor
Podrías usar las propiedades del producto de radicales y las leyes de signos para llegar a esto:
(2^3)^{1/4} (Raíz cuarta de 2 a la 3)
(2* 2^2 )^{1/4}
(2)^{1/4} * (2^2 )^{1/4}
(2)^{1/4} * (2^2/4)
(2)^{1/4} * (2^1/2) (Raiz cuarta de 2) * (Raiz cuadrada de 2)
Espero haberte ayudado
Guest
hola, como se imaginaran estoy acabando de retocar los estudis la noche antes del examen, pero a mi solo me entra extraer factore, es muy sencillo, tengo que conseguir numeros al cuadrado descomponiedo los numero iniciales una vez consegudo eso los que estan al cuadrado salen fuera limpios
Admin
¡Te deseamos suerte en el examen!
Guest
Porfavor, pongan ejercicios más difíciles
Admin
Hola Larrison, nos alegramos mucho leer que has llegado a un nivel avanzado en tus estudios de matemáticas. Intentaremos añadir más contenido muy pronto. ¡Un saludo!
Guest
Hola, la solución del ejercicio 2.2 creo que está mal. En el último resultado queda raíz cuadrada y realmente debería de ser raíz cuarta: 270 * ∜72
Corregidlo para evitar confusiones, gracias!
Editor
Gracias por tu comentario, el ejercicio ha sido corregido!
Guest
VA EQUIPO SE PUEDE. Estos ejercicios me han servido de mucho, voy a aprobar, seguir asi
Guest
Muchas gracias, estos ejercicios me harán aprobar.
Guest
Buen trabajo equipo. Unos muy buenos ejecicios voy a aprobar seguir asi.
MUCHAS GRACIAS
Guest
Gracias por hacer que me saque un 10,33 sobre 10