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Potencias Racionales

 

Calcula los valores de las siguientes potencias:

 

116^{\frac{3}{2}}

 

28^{\frac{2}{3}}

 

381^{0.75}

 

48^{0.333\dots}

 

 

Calcula los valores de las siguientes potencias:

 

Soluciones:

 

Una potencia con exponente fraccionario es igual a una raíz cuyo índice es el denominador de la fracción (2) y el exponente del radicando es el numerador (3).

 

Para resolver el primero primero descomponemos 16 en factores, efectuamos las operaciones en el radicando y
extraemos factores

 

116^{\frac{3}{2}}

 

     \begin{align*} 16^{\frac{3}{2}} &= \sqrt{16^3}\\ &= \sqrt{(2^4)^3}\\ &= \sqrt{2^{12}}\\ &= 2^6\\ &= 64 \end{align*}

 

28^{\frac{2}{3}}

 

     \begin{align*} 8^{\frac{2}{3}} &= \sqrt[3]{8^2}\\ &=\sqrt[3]{(2^3)^2}\\ &=\sqrt[3]{2^6}\\ &=2^2\\ &= 4 \end{align*}

 

381^{0.75}

 

En este caso pasamos el exponente que es un número decimal exacto a fracción

 

     \begin{align*} 81^{0.75} &= 81^{\frac{3}{4}}\\ &= \sqrt[4]{81^3}\\ &= \sqrt[4]{(3^4)^3}\\ &= \sqrt[4]{3^12}\\ &= 3^3\\ &= 27 \end{align*}

 

48^{0.333\dots}

 

El exponente que es un periódico puro lo pasamos a fracción

 

     \begin{align*} 0.333\dots &= 0.\hat{3}\\ &= \frac{1}{3} \end{align*}

 

Una vez que conocemos el exponente como fracción, resolvemos

 

     \begin{align*} 8^{0.333\dots} &= 8^{\frac{1}{3}}\\ &= \sqrt[3]{8}\\ &= \sqrt[3]{2^3}\\ &= 2 \end{align*}

 

 

Factores en radicales

 

Extraer factores:

 

1\sqrt{2 \cdot 3^2 \cdot 5^5}

 

2\sqrt[4]{2^7 \cdot 3^{14} \cdot 5^4}

 

 

 

Extraer factores del radical:

 

Soluciones:

 

 

1 \sqrt{2 \cdot 3^2 \cdot 5^5}

 

     \begin{align*} \sqrt{2 \cdot 3^2 \cdot 5^5} &= 3 \cdot 5^2 \cdot \sqrt{2 \cdot 5}\\ &= 75 \sqrt{10} \end{align*}

 

El exponente del dos (1) es menor que el índice (2), por tanto se queda en el radicando.

 

El exponente del 3 (2) es igual al índice (2), por tanto el 3 sale fuera del radicando.

 

El exponente del 5 (5) es mayor que el índice (2), por tanto se divide dicho.exponente por el índice. El cociente obtenido (2) es el exponente del factor fuera del radicando y el resto (1) es el exponente del factor dentro del radicando.

 

2 \sqrt[4]{2^7 \cdot 3^{14} \cdot 5^4}

     \begin{align*} \sqrt[4]{2^7 \cdot 3^{14} \cdot 5^4} &=  2 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot \sqrt[4]{2^3 \cdot 3^2 } \\ &= 270 \cdot \sqrt[4]{72} \end{align*}

 

Los exponentes son mayores que el índice, por tanto se dividen dichos
exponentes por el índice.

 

Cada uno de los cocientes obtenidos será el exponente del factor correspondiente
fuera del radicando y cada uno de los restos obtenidos será el exponente del  factor
correspondiente dentro del radicando.

 

Divisiones de exponentes entre los indices

 

 

Factores fuera del radical

 

Introducir factores:

 

1 2 \sqrt{3}

 

22^2 \cdot 3^3 \cdot \sqrt[4]{6}

 

 

Introducir factores:

 

Soluciones:

 

1 2 \sqrt{3}

 

Antes de comenzar a resolver, recordemos algunas propiedades de los radicales. Sabemos que el radical aplicado a un producto es el producto de los radicales

 

\displaystyle \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}

 

y que el indice del radical cuando se pasa a forma exponencial, divide a la
potencia de la base

 

\displaystyle \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}

 

entonces estos dos resultados juntos los ocupamos para simplificar a expresiones con radicales multiplicados por factores, es decir

 

     \begin{align*} a \cdot \sqrt[n]{b} &= a^{\frac{n}{n}} \cdot \sqrt[n]{b} \\ &= \sqrt[n]{a^n} \cdot \sqrt[n]{b} \\ &= \sqrt[n]{a^n \cdot b} \\ \end{align*}

 

y así podemos solamente ocupar el resultado

 

\displaystyle a \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a^n \cdot b}

 

Apliquemos ahora este proceso a nuestro problema:

 

Se introduce el 2 elevado al índice del radical (2) y se realizan las operaciones

 

     \begin{align*} 2 \sqrt{3} &= \sqrt{2^2 \cdot 3}\\ &= \sqrt{12} \end{align*}

 

22^2 \cdot 3^3 \cdot \sqrt[4]{6}

 

Se introducen los factores elevados al índice (4)

 

\displaystyle 2^2 \cdot 3^3 \cdot \sqrt[4]{6} = \sqrt[4]{(2^2)^4 \cdot (3^3)^4 \cdot 2 \cdot 3}

 

Se realizan las operaciones

 

     \begin{align*} \sqrt[4]{(2^2)^4 \cdot (3^3)^4 \cdot 2 \cdot 3} &= \sqrt[4]{2^9 \cdot 3^{13}}\\ &= \sqrt[4]{816293376} \end{align*}

 

Igualación de indices

 

Poner a común índice:

 

\displaystyle \sqrt{2} \qquad \sqrt[3]{2^2 \cdot 3^2} \qquad \sqrt[4]{2^2 \cdot 3^3}

 

 

Poner a común índice los radicales:

 

\displaystyle \sqrt{2} \qquad \sqrt[3]{2^2 \cdot 3^2} \qquad \sqrt[4]{2^2 \cdot 3^3}

 

Soluciones:

 

Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice

 

\displaystyle \text{MCM}(2, 3, 4) = 12

 

Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes

 

\displaystyle \sqrt[12]{2^6} \qquad \sqrt[12]{(2^2)^4 \cdot (3^2)^4} \qquad \sqrt[12]{(2^2)^3 \cdot (3^3)^3}

 

Realizamos las operaciones en los radicales

 

\displaystyle \sqrt[12]{2^6} \qquad \sqrt[12]{2^8 \cdot 3^8} \qquad \sqrt[12]{2^6 \cdot 3^9}

 

 

Suma de radicales

 

Realiza las sumas:

 

12 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + \sqrt{2}

 

23 \sqrt[4]{5} - 2\sqrt[4]{5} - \sqrt[4]{5}

 

3\sqrt{12} - 3 \sqrt{3} + 2 \sqrt{75}

 

4\sqrt[4]{4} + \sqrt[6]{8} - \sqrt[12]{64}

 

 

Realiza las sumas de radicales:

 

Soluciones:

 

1 2 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + \sqrt{2}

 

Como los radicales son semejantes sumamos los coeficientes de los radicales:

 

     \begin{align*} 2 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + \sqrt{2} &= (2 - 4 + 1)\sqrt{2}\\ &= - \sqrt{2} \end{align*}

 

2 3 \sqrt[4]{5} - 2\sqrt[4]{5} - \sqrt[4]{5}

 

Sumamos los coeficientes de los radicales:

 

     \begin{align*} 3 \sqrt[4]{5} - 2\sqrt[4]{5} - \sqrt[4]{5} &= (3 - 2 - 1) \sqrt[4]{5}\\ &= 0 \sqrt[4]{5}\\ &= 0 \end{align*}

 

3\sqrt{12} - 3 \sqrt{3} + 2 \sqrt{75}

 

Descomponemos en factores los radicandos y extraemos factores de los radicales (si es posible) y los multiplicamos por el coeficiente del radical correspondiente

 

     \begin{align*} \sqrt{12} - 3 \sqrt{3} + 2 \sqrt{75} &= \sqrt{2^2 \cdot 3} - 3 \sqrt{3} + 2 \sqrt{5^2 \cdot 3}\\ &= 2\sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 10 \sqrt{3}\\ &= (2 - 3 + 10)\sqrt{3}\\ &= 9 \sqrt{3} \end{align*}

 

4\sqrt[4]{4} + \sqrt[6]{8} - \sqrt[12]{64}

Extraemos factores de los radicales y los multiplicamos por el coeficiente del
radical correspondiente

 

\displaystyle 4 = 2^2, \; 8 = 2^3, \; 64 = 2^6

 

     \begin{align*} \sqrt[4]{4} + \sqrt[6]{8} - \sqrt[12]{64} &= \sqrt[4]{2^2} + \sqrt[6]{2^3} - \sqrt[12]{2^6}\\ \end{align*}

 

Simplificamos los radicales. En el primer radical dividimos el índice y el exponente del radicando por 2, en el segundo por 3 y en el tercero por 6

 

     \begin{align*} \sqrt[4]{2^2} + \sqrt[6]{2^3} - \sqrt[12]{2^6} &= \sqrt{2} + \sqrt{2} - \sqrt{2}\\ \end{align*}

 

Sumamos los coeficientes de los radicales

 

     \begin{align*} \sqrt{2} + \sqrt{2} - \sqrt{2} &= \sqrt{2}\\ \end{align*}

 

 

Conversión de indices y suma de radicales

 

 

Halla las sumas:

 

12 \sqrt{12} - 3 \sqrt{75} + \sqrt{27}

 

2\sqrt{24} - 5 \sqrt{6} + \sqrt{486}

 

32 \sqrt{5} + \sqrt{45} + \sqrt{180} - \sqrt{80}

 

4\sqrt[3]{54} - \sqrt[3]{16} + \sqrt[3]{250}

 

 

Halla las sumas de radicales:

 

Soluciones:

 

Para realizar estas sumas de radicales no semejantes, seguiremos estos dos pasos:

 

Descomponemos en factores los radicales y extraemos factores de los radicales (si es posible) y los multiplicamos por el coeficiente del radical correspondiente

 

Sumamos los coeficientes de los radicales

 

1 2 \sqrt{12} - 3 \sqrt{75} + \sqrt{27}

 

     \begin{align*} 2 \sqrt{12} - 3 \sqrt{75} + \sqrt{27} &= 2 \sqrt{2^2 \cdot 3} - 3 \sqrt{5^2 \cdot 3} + \sqrt{3^3}\\ &= 4 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} + 3\sqrt{3}\\ &= (4 - 15 + 3)\sqrt{3}\\ &= -8 \sqrt{3} \end{align*}

 

2 \sqrt{24} - 5 \sqrt{6} + \sqrt{486}

 

     \begin{align*} \sqrt{24} - 5 \sqrt{6} + \sqrt{486} &= \sqrt{2^2 \cdot 6} - 5 \sqrt{6} + \sqrt{9^2 \cdot 6}\\ &= 2\sqrt{6} - 5 \sqrt{6} + 9\sqrt{6}\\ &= (2 - 5 + 9) \sqrt{6}\\ &= 6 \sqrt{6} \end{align*}

 

3 2 \sqrt{5} + \sqrt{45} + \sqrt{180} - \sqrt{80}

 

     \begin{align*} 2 \sqrt{5} + \sqrt{45} + \sqrt{180} - \sqrt{80} &= 2 \sqrt{5} + \sqrt{3^2 \cdot 5} + \sqrt{6^2 \cdot 5} - \sqrt{4^2\cdot 5}\\ &= 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} + 6\sqrt{5} - 4\sqrt{5}\\ &= (2 + 3 + 6 - 4)\sqrt{5}\\ &= 7 \sqrt{5} \end{align*}

 

4\sqrt[3]{54} - \sqrt[3]{16} + \sqrt[3]{250}

 

     \begin{align*} \sqrt[3]{54} - \sqrt[3]{16} + \sqrt[3]{250} &= \sqrt[3]{3^3 \cdot 2} - \sqrt[3]{2^4} + \sqrt[3]{5^3 \cdot 2}\\ &= 3\sqrt[3]{2} - 2\sqrt[3]{2} + 5\sqrt[3]{2}\\ &= (3 - 2 + 5) \sqrt[3]{2}\\ &= 6 \sqrt[3]{2} \end{align*}

 

 

Sumas con radicales como denominadores

 

Efectúa las sumas:

 

1\sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}

 

2\sqrt[3]{16} + \sqrt[3]{250} + \sqrt[6]{4} - \frac{1}{\sqrt[3]{4}}

 

 

Efectúa las sumas de radicales:

Soluciones:

 

1\sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}

 

Racionalizamos el segundo sumando multiplicando y dividiendo por la raíz cuadrada de 2

 

     \begin{align*} \sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} &= \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}\\ &= \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2}\\ &= \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\\ \end{align*}

 

Sacamos factor común de raíz de 2 y sumamos

 

     \begin{align*} \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} &= \left(1 + \frac{1}{2} \right) \sqrt{2}\\ &= \frac{3}{2} \sqrt{2} \end{align*}

 

 

2 \sqrt[3]{16} + \sqrt[3]{250} + \sqrt[6]{4} - \frac{1}{\sqrt[3]{4}}

 

Descomponemos en factores los radicales

 

\displaystyle \sqrt[3]{16} + \sqrt[3]{250} + \sqrt[6]{4} - \frac{1}{\sqrt[3]{4}} = \sqrt[3]{2^4} + \sqrt[3]{5^3 \cdot 2} + \sqrt[6]{2^2} - \frac{1}{\sqrt[3]{2^2}}

 

En los dos primeros sumandos extraemos factores, el tercero simplificamos el radical dividiendo el índice y el exponente del radicando entre 2 y el último vamos a racionalizar multiplicando y dividiendo por por la raíz cúbica de 2

 

\displaystyle \sqrt[3]{2^4} + \sqrt[3]{5^3 \cdot 2} + \sqrt[6]{2^2} - \frac{1}{\sqrt[3]{2^2}} = \sqrt[3]{2^4} + \sqrt[3]{5^3 \cdot 2} + \sqrt[3]{2} - \frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2^2} \cdot \sqrt[3]{2}}

 

Como todos los radicales son semejantes podemos sumar sus coeficientes

 

     \begin{align*} \sqrt[3]{2^4} + \sqrt[3]{5^3 \cdot 2} + \sqrt[3]{2} - \frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2^2} \cdot \sqrt[3]{2}} &= 2\sqrt[3]{2} + 5\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}\\ &= (2 + 5 + 1 - \frac{1}{2})\sqrt[3]{2}\\ &= \frac{15}{2} \sqrt[3]{2} \end{align*}

 

 

Producto de Radicales

 

Realizar los productos:

 

1\sqrt{2} \cdot \sqrt{6}

 

2\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[4]{27}

 

3\sqrt{12} \cdot \sqrt[3]{36}

 

 

Realizar los productos de radicales:

 

Soluciones:

 

1 \sqrt{2} \cdot \sqrt{6}

 

Como los radicales tienen el mismo índice multiplicamos los radicandos y
descomponemos en factores para extraer factores del radical.

 

\displaystyle \sqrt{2} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{2 \cdot 6} = \sqrt{12}

 

2 \sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[4]{27}

 

Descomponemos en factores los radicandos

 

\displaystyle \sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[4]{27} = \sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{3^2} \cdot \sqrt[4]{3^3}

 

Reducimos a común índice por lo que tenemos que calcular el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice.

 

\displaystyle \text{MCM}(2, 3, 4) = 12

 

Dividimos el común índice (12) por cada uno de los índices (2, 3, 4) y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes (1, 2, 3).

 

Realizamos el producto de potencias con la misma base en el radicando y extraemos factores del radicando

 

     \begin{align*} \sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{3^2} \cdot \sqrt[4]{3^3} &= \sqrt[12]{3^6} \cdot \sqrt[3]{(3^2)^4} \cdot \sqrt[4]{(3^3)^3}\\ &= \sqrt[12]{3^6} \cdot \sqrt[3]{3^8} \cdot \sqrt[4]{3^9}\\ &= \sqrt[12]{3^6 \cdot 3^8 \cdot 3^9}\\ &= \sqrt[12]{3^{6 + 8 + 9}}\\ &= \sqrt[12]{3^{23}}\\ &= 3\sqrt[12]{3^{11}}\\ \end{align*}

 

3 \sqrt{12} \cdot \sqrt[3]{36}

 

Calculamos el mínimo común múltiplo de los índices[/latex].

 

\displaystyle \text{MCM}(2, 3) = 6

 

Procedamos con los cálculos:

 

     \begin{align*} \sqrt{12} \cdot \sqrt[3]{36} &= \sqrt{2^2 \cdot 3} \cdot \sqrt[3]{2^2 \cdot 3^2}\\ &= \sqrt[6]{(2^2)^3 \cdot 3^3} \cdot \sqrt[6]{(2^2)^2 \cdot (3^2)^2}\\ &= \sqrt[6]{2^6 \cdot 3^3} \cdot \sqrt[6]{2^4 \cdot 3^4}\\ &= \sqrt[6]{2^10 \cdot 3^7}\\ &= 2 \cdot 3 \sqrt[6]{2^4 \cdot 3}\\ &= 6 \sqrt[6]{2^4 \cdot 3}\\ \end{align*}

 

 

Divisiones con radicales

 

Efectúa las divisiones de radicales:

 

 

1\frac{\sqrt[6]{128}}{\sqrt[6]{16}}

 

2\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt{2}}

 

3\frac{\sqrt{256}}{\sqrt[3]{16}}

 

 

Efectúa las divisiones de radicales:

 

Soluciones:

 

1 \frac{\sqrt[6]{128}}{\sqrt[6]{16}}

 

Como los radicales tienen el mismo índice dividimos los radicandos y simplificamos el radical dividiendo el índice y exponente del radicando por 3

 

     \begin{align*} \frac{\sqrt[6]{128}}{\sqrt[6]{16}} &= \sqrt[6]{\frac{128}{16}}\\ &= \sqrt[6]{8}\\ &= \sqrt[6]{2^3}\\ &= \sqrt{2}\\ \end{align*}

 

2 \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt{2}}

 

En primer reducimos a común índice por lo que tenemos que calcular el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice.

 

\displaystyle \text{MCM}(3, 2) = 6.

 

Dividimos el común índice (6) por cada uno de los índices (3, 2) y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes (1, 1).

 

Descomponemos el 4 en factores para poder hacer la división de potencias con la misma base y dividimos.

 

     \begin{align*} \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt{2}} &= \sqrt[6]{\frac{4^2}{2^3}}\\ &= \sqrt[6]{\frac{2^4}{2^3}}\\ &= \sqrt[6]{2}\\ \end{align*}

 

3 \frac{\sqrt{256}}{\sqrt[3]{16}}

 

Realizamos los mismos pasos del ejercicio anterior

 

     \begin{align*} \frac{\sqrt{256}}{\sqrt[3]{16}} &= \sqrt[6]{\frac{256^3}{16^2}}\\ &= \sqrt[6]{\frac{(2^8)^3}{(2^4)^2}}\\ &= \sqrt[6]{\frac{2^{24}}{2^8}}\\ &= \sqrt[6]{2^{16}}\\ \end{align*}

 

Simplificamos el radical dividiendo por 2 el índice y el exponente del radicando, y
por último extraemos factores

 

     \begin{align*} \sqrt[6]{2^16} &= \sqrt[3]{2^8}\\ &= 2^2 \sqrt[3]{2^2}\\ &= 4\sqrt[3]{4}\\ \end{align*}

 

 

Simplifica la siguiente operación

 

Calcula:

 

\displaystyle \frac{\sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{a^2} \cdot \sqrt[4]{a^3}}{\sqrt[6]{a^4}}

 

 

Calcula:

 

\displaystyle \frac{\sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{a^2} \cdot \sqrt[4]{a^3}}{\sqrt[6]{a^4}}

 

En primer lugar calculamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será elvcomún índice

 

Dividimos el común índice (12) por cada uno de los índices (2, 3, 4, 6) y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes (1, 2, 3, 4)

 

Quitamos los paréntesis, simplificamos la fracción y multiplicamos en el numerador las potencias con la misma base

 

Simplificamos el radical dividiendo por 3 el índice y el exponente del radicando

 

Por último extraemos factores

 

     \begin{align*} \frac{\sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{a^2} \cdot \sqrt[4]{a^3}}{\sqrt[6]{a^4}} &= \sqrt[12]{\frac{a^6 \cdot (a^2)^4 \cdot (a^3)^3}{(a^4)^2}}\\ &= \sqrt[12]{\frac{a^6 \cdot a^8 \cdot a^9}{a^8}}\\ &= \sqrt[12]{a^6 \cdot a^9}\\ &= \sqrt[12]{a^{15}}\\ &= \sqrt[4]{a^{5}}\\ &= a \sqrt[4]{a}\\ \end{align*}

 

 

Jerarquía al resolver radicales

 

Opera:

 

\displaystyle \sqrt[4]{\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt{\frac{1}{8}}}}

 

 

Opera:

 

\displaystyle \sqrt[4]{\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt{\frac{1}{8}}}}

 

Soluciones:

Primero, notemos que \frac{1}{8} = 2^{-3}, por lo tanto

 

Ponemos a común índice las raíces del numerador y del denominador.

 

Elevamos al cubo el denominador y realizamos la división de potencias con la misma base.

 

Realizamos la raíz cuarta del radical multiplicando los índices.

 

     \begin{align*} \sqrt[4]{\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt{\frac{1}{8}}}} &= \sqrt[4]{\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt{2^{-3}}}}\\ &= \sqrt[4]{\sqrt[6]{\frac{2^2}{(2^{-3})^3}}}\\ &= \sqrt[4]{\sqrt[6]{\frac{2^2}{2^{-9}}}}\\ &= \sqrt[4]{\sqrt[6]{2^{11}}}\\ &= \sqrt[24]{2^{11}}\\ \end{align*}

 

 

Potencias de un radical

 

Realiza las operaciones con potencias:

 

 

1(\sqrt[3]{18})^2

 

2\left( \frac{\sqrt[3]{12} \cdot \sqrt[4]{18} }{\sqrt{6}} \right)^4

 

 

Realiza las operaciones con potencias:

 

Soluciones:

 

 

1 (\sqrt[3]{18})^2

 

Elevamos el radicando al cuadrado, descomponemos 18 en factores y los elevamos al cuadrado y por último extraemos factores

 

     \begin{align*} (\sqrt[3]{18})^2 &= \sqrt[3]{18^2}\\ &= \sqrt[3]{(2 \cdot 3^2)^2}\\ &= \sqrt[3]{2^2 \cdot 3^4}\\ &= 3 \sqrt[3]{2^2 \cdot 3}\\ &= 3 \sqrt[3]{12}\\ \end{align*}

 

2 \left( \frac{\sqrt[3]{12} \cdot \sqrt[4]{18} }{\sqrt{6}} \right)^4

 

Elevamos los radicandos a la cuarta, descomponemos en factores los radicandos y extraemos el 18 del radical

 

     \begin{align*} \left( \frac{\sqrt[3]{12} \cdot \sqrt[4]{18} }{\sqrt{6}} \right)^4 &= \frac{\sqrt[3]{12^4} \cdot \sqrt[4]{18^4} }{\sqrt{6^4}}\\ &= \frac{\sqrt[3]{(2^2 \cdot 3)^4} \cdot 18}{\sqrt{(2 \cdot 3)^4}}\\ \end{align*}

 

En los radicando realizamos las operaciones con potencias y ponemos a común índice para poder efectuar la división

 

     \begin{align*} \frac{\sqrt[3]{(2^2 \cdot 3)^4} \cdot 18}{\sqrt{(2 \cdot 3)^4}} &= \frac{ 18 \sqrt[3]{2^8 \cdot 3^4} }{\sqrt{2^4 \cdot 3^4}}\\ &= 18 \sqrt[6]{\frac{(2^8 \cdot 3^4)^2}{(2^4 \cdot 3^4)^3}}\\ &= 18 \sqrt[6]{\frac{2^{16} \cdot 3^8}{2^{12} \cdot 3^{12}}}\\ \end{align*}

 

Simplificamos el radical dividiendo por 2 el índice y los exponentes del radicando y realizamos una división de potencias con el mismo exponente

 

     \begin{align*} 18 \sqrt[6]{\frac{2^{16} \cdot 3^8}{2^{12} \cdot 3^{12}}} &= 18 \sqrt[6]{\frac{2^4}{3^4}}\\ &= 18 \sqrt[3]{\frac{2^2}{3^2}}\\ &= 18 \sqrt[3]{ \left( \frac{2}{3} \right)^2}\\ \end{align*}

 

Podemos racionalizar multiplicando y dividiendo por la raíz cúbica de 3

 

     \begin{align*} 18 \sqrt[3]{ \left( \frac{2}{3} \right)^2} &= 18 \frac{\sqrt[3]{2^2}}{\sqrt[3]{3^2}}\\ &= 18 \frac{\sqrt[3]{2^2} \sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{3^2}\sqrt[3]{3}}\\ &= 18 \frac{\sqrt[3]{12}}{\sqrt[3]{3^3}}\\ &= 18 \frac{\sqrt[3]{12}}{3}\\ &= 6 \sqrt[3]{12}\\ \end{align*}

 

 

Binomios y radicales

 

Realiza las operaciones:

 

1(\sqrt{7} - \sqrt{2})^2

 

2(2 - \sqrt{3})^2

 

3(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2)

 

4(2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{2})(2 \sqrt{5} - 3 \sqrt{2})

 

 

Realiza las operaciones:

 

Soluciones:

 

1(\sqrt{7} - \sqrt{2})^2

 

Una diferencia al cuadrado es igual al cuadrado del primero, menos el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo

 

     \begin{align*} (\sqrt{7} - \sqrt{2})^2 &= (\sqrt{7})^2 -2\sqrt{7}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2\\ &= 7 - 2\sqrt{14} + 2\\ &= 9 - 2\sqrt{14} \end{align*}

 

2(2 - \sqrt{3})^2

 

     \begin{align*} (2 - \sqrt{3})^2 &= 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2\\ &= 4- 4 \sqrt{3} + 3\\ &= 7 - 4 \sqrt{3} \end{align*}

 

3(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2)

 

Una suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados

 

     \begin{align*} (\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2) &= (\sqrt{5})^2 - 2^2\\ &= 5 - 4\\ &= 1 \end{align*}

 

4(2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{2})(2 \sqrt{5} - 3 \sqrt{2})

 

     \begin{align*} (2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{2})(2 \sqrt{5} - 3 \sqrt{2}) &= (2 \sqrt{5})^2 - (3 \sqrt{2})^2\\ &= 2^2 \cdot \sqrt{5}^2 - 3^2 \cdot \sqrt{2}^2\\ &= 4 \cdot 5 - 9 \cdot 2\\ &= 20 - 18\\ &= 2 \end{align*}

 

 

Operaciones mixtas con radicales

 

Calcula:

 

1\frac{1}{2 - \sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2 + \sqrt{3}}

 

2\sqrt{\frac{a - b}{(a - b)^2} \cdot \frac{a + b}{a^2 - b^2 }}

 

 

Calcula:

 

Soluciones:

 

1\frac{1}{2 - \sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2 + \sqrt{3}}

 

Realizamos la multiplicación de fracciones, en el denominador tenemos una suma por diferencia que es igual a diferencia de cuadrados

 

     \begin{align*} \frac{1}{2 - \sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2 + \sqrt{3}} &= \frac{1}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} \\ &= \frac{1}{2^2 - (\sqrt{3})^2} \\ &= \frac{1}{4 - 3 } \\ &= 1 \end{align*}

 

2\sqrt{\frac{a - b}{(a - b)^2} \cdot \frac{a + b}{a^2 - b^2 }}

 

     \begin{align*} \sqrt{\frac{a - b}{(a - b)^2} \cdot \frac{a + b}{a^2 - b^2 }} &= \sqrt{\frac{(a - b)(a + b)}{(a - b)^2(a^2 - b^2 )}}\\ &= \sqrt{\frac{(a - b)(a + b)}{(a - b)^2(a - b)(a + b)}}\\ \end{align*}

 

La diferencia de cuadrados del denominador se pone como una suma por diferencia y se simplifica la fracción

 

     \begin{align*} \sqrt{\frac{(a - b)(a + b)}{(a - b)^2(a - b)(a + b)}} &= \sqrt{\frac{1}{(a - b)^2}}\\ &=\frac{1}{a - b} \end{align*}

 

 

Raíces de raíces

 

Efectuar:

 

1\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[4]{2}}}

 

2\sqrt{2\sqrt[3]{2 \sqrt[4]{2}}}

 

3\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{2 \sqrt{2}}}}}

 

Efectuar:

 

Soluciones:

 

1\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[4]{2}}}

 

Multiplicamos los índices

 

\displaystyle \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[4]{2}}} = \sqrt[24]{2}

 

2\sqrt{2\sqrt[3]{2 \sqrt[4]{2}}}

 

Introducimos el primer 2 dentro de la raíz cúbica por lo que tendremos que elevarlo al cubo y multiplicamos las potencias con la misma base, el procedimiento lo seguimos haciendo hasta que ya se hayan introducido todos los valores en los radicales, y con esto, multiplicamos 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24 y entonces queda \sqrt[24]{2^17}.

 

     \begin{align*} \sqrt{2\sqrt[3]{2 \sqrt[4]{2}}} &= \sqrt{\sqrt[3]{2^3 \cdot 2 \sqrt[4]{2}}}\\ &= \sqrt{\sqrt[3]{2^4 \sqrt[4]{2}}}\\ &= \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[4]{2^{16} \cdot 2}}}\\ &= \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[4]{2^{17}}}}\\ &= \sqrt[24]{2^{17}}\\ \end{align*}

 

 

3\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{2 \sqrt{2}}}}}

 

Introducimos el 2 dentro de la raíz cuadrada elevándolo al cuadrado.

Multiplicamos las potencias con la misma base.

 

Multiplicamos los índices y simplificamos dividiendo por 3 el índice resultante y el exponente del radicando.

 

     \begin{align*} \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{2 \sqrt{2}}}}} &= \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{2^2 \cdot 2}}}}}\\ &= \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{2^3}}}}}\\ &= \sqrt[72]{2^3}\\ &= \sqrt[24]{2}\\ \end{align*}

 

 

Racionalizar radicales

 

Racionalizar los radicales:

 

1\frac{2}{3 \sqrt{2}}

 

2\frac{2}{3 \sqrt[5]{4}}

 

3\frac{2}{\sqrt{2} - \sqrt{3}}

 

4\frac{2}{4 - 2\sqrt{2}}

 

5\frac{2\sqrt{2}}{5 - 2\sqrt{6}}

 

 

Racionalizar los radicales:

 

Soluciones:

 

1 \frac{2}{3 \sqrt{2}}

 

Multiplicamos numerador y denominador por la raíz de 2, realizamos los cálculos y simplificamos la fracción.

 

     \begin{align*} \frac{2}{3 \sqrt{2}} &= \frac{2 \sqrt{2}}{3 \sqrt{2} \sqrt{2}}\\ &= \frac{2 \sqrt{2}}{3 (\sqrt{2})^2}\\ &= \frac{2 \sqrt{2}}{3 \cdot 2}\\ &= \frac{\sqrt{2}}{3}\\ \end{align*}

 

2\frac{2}{3 \sqrt[5]{4}}

 

El radicando 4 lo ponemos en forma de potencia: 2^2.

 

Tenemos que multiplicar en el numerador y denominador por la raíz quinta de 2^{5 - 2} = 2^3.

 

Multiplicamos los radicales del denominador, extraemos factores del radical y simplificamos la fracción.

 

     \begin{align*} \frac{2}{3 \sqrt[5]{4}} &= \frac{2}{3 \sqrt[5]{2^2}}\\ &= \frac{2\sqrt[5]{2^3}}{3 \sqrt[5]{2^2} \sqrt[5]{2^3}}\\ &= \frac{2\sqrt[5]{8}}{3 \sqrt[5]{2^5}}\\ &= \frac{2\sqrt[5]{8}}{3 \cdot 2}\\ &= \frac{\sqrt[5]{8}}{3}\\ \end{align*}

 

3\frac{2}{\sqrt{2} - \sqrt{3}}

 

Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador, quitamos paréntesis en el numerador y efectuamos la suma por diferencia en el denominador, por lo que obtenemos una diferencia de cuadrados.

 

     \begin{align*} \frac{2}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} &= \frac{2 (\sqrt{2} + \sqrt{3})}{(\sqrt{2} - \sqrt{3})(\sqrt{2} + \sqrt{3})}\\ &= \frac{2\sqrt{2} + 2\sqrt{3}}{(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2}\\ &= \frac{2\sqrt{2} + 2\sqrt{3}}{(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2}\\ \end{align*}

 

En el denominador extraemos los radicandos y dividimos por -1, es decir, cambiamos el numerador de signo.

 

     \begin{align*} \frac{2\sqrt{2} + 2\sqrt{3}}{(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2} &= \frac{2\sqrt{2} + 2\sqrt{3}}{2 - 3}\\ &= \frac{2\sqrt{2} + 2\sqrt{3}}{-1}\\ &= - 2\sqrt{2} - 2\sqrt{3} \end{align*}

 

4\frac{2}{4 - 2\sqrt{2}}

 

Multiplicamos y dividimos la fracción por el conjugado del denominador.

 

     \begin{align*} \frac{2}{4 - 2\sqrt{2}} &= \frac{2(4 + 2\sqrt{2})}{(4 - 2\sqrt{2})(4 + 2\sqrt{2})}\\ \end{align*}

 

Efectuamos la suma por diferencia en el denominador, por lo que obtenemos una diferencia de cuadrados y operamos:

 

     \begin{align*} \frac{2(4 + 2\sqrt{2})}{(4 - 2\sqrt{2})(4 + 2\sqrt{2})} &= \frac{2(4 + 2\sqrt{2})}{(4)^2 - (2\sqrt{2})^2}\\ &= \frac{2(4 + 2\sqrt{2})}{16 - 4 \cdot 2}\\ &= \frac{2(4 + 2\sqrt{2})}{16 - 8}\\ &= \frac{2(4 + 2\sqrt{2})}{8}\\ &= \frac{4 + 2\sqrt{2}}{4}\\ \end{align*}

 

5\frac{2\sqrt{2}}{5 - 2\sqrt{6}}

 

Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador, quitamos paréntesis en el numerador y efectuamos la suma por diferencia en el denominador, por lo que obtenemos una diferencia de cuadrados.

 

     \begin{align*} \frac{2\sqrt{2}}{5 - 2\sqrt{6}} &= \frac{2\sqrt{2} (5 + 2\sqrt{6})}{(5 - 2\sqrt{6})(5 + 2\sqrt{6})}\\ &= \frac{10 \sqrt{2} + 4 \sqrt{12}}{(5)^2 - (2\sqrt{6})^2}\\ \end{align*}

 

En el numerador descomponemos en factores 12 y extraemos factores, terminamos realizando las operaciones del denominador.

 

     \begin{align*} \frac{10 \sqrt{2} + 4 \sqrt{12}}{(5)^2 - (2\sqrt{6})^2} &= \frac{10 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2^2 \cdot 3}}{25 - 4 \cdot 6}\\ &= \frac{10 \sqrt{2} + 8 \sqrt{3}}{25 - 24}\\ &= \frac{10 \sqrt{2} + 8 \sqrt{3}}{1}\\ &= 10 \sqrt{2} + 8 \sqrt{3}\\ \end{align*}

 

Leyes de potencias en radicales

 

Racionalizar:

 

1\frac{5}{2\sqrt{2}}

 

2\frac{1}{\sqrt[3]{3}}

 

3\frac{2}{3 + \sqrt{3}}

 

4\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}

 

5\frac{3\sqrt{2} - 2\sqrt{3}}{3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}}

 

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Racionalizar:

 

Soluciones:

 

1\frac{5}{2\sqrt{2}}

 

Multiplicamos numerador y denominador por la raíz de 2 y realizamos los cálculos

 

     \begin{align*} \frac{5}{2\sqrt{2}} &= \frac{5\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\sqrt{2}}\\ &= \frac{5\sqrt{2}}{2\sqrt{2^2}}\\ &= \frac{5\sqrt{2}}{2\cdot 2}\\ &= \frac{5\sqrt{2}}{4}\\ \end{align*}

 

2\frac{1}{\sqrt[3]{3}}

 

Aquí nos damos cuenta que para poder eliminar el radical de \sqrt[3]{3} necesitamos generar el producto

 

\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{3}

 

para que de esta forma se elimine el radical, es decir

 

\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{3} = ( \sqrt[3]{3} )^3 = 3

 

en otras palabras,  como ya tenemos a \sqrt[3]{3} en el denominador, sólo hace falta multiplicarlo por \sqrt[3]{3^2} para lograr eliminar el radical.

 

Para no afectar el valor numérico de la expresión, se multiplica \sqrt[3]{3^2} tanto en el numerador como en el denominador, y entonces así es como queda nuestro desarrollo

 

     \begin{align*} \frac{1}{\sqrt[3]{3}} &= \frac{\sqrt[3]{3^2}}{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{3^2}}\\ &= \frac{\sqrt[3]{3^2}}{\sqrt[3]{3^3}}\\ &= \frac{\sqrt[3]{9}}{3}\\ \end{align*}

 

3\frac{2}{3 + \sqrt{3}}

 

Multiplicamos y dividimos la fracción por el conjugado del denominador.

 

\displaystyle \frac{2}{3 + \sqrt{3}} = \frac{2(3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3})(3 - \sqrt{3})}

 

En el numerador quitamos paréntesis y el denominador efectuamos la suma por diferencia, por lo que obtenemos una diferencia de cuadrados.

 

\displaystyle \frac{2(3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3})(3 - \sqrt{3})} = \frac{6 - 2\sqrt{3}}{3^2 - (\sqrt{3})^2}

 

Efectuamos las operaciones y se simplifica la fracción al factorizar el 2

 

     \begin{align*} \frac{6 - 2\sqrt{3}}{3^2 - (\sqrt{3})^2} &= \frac{6 - 2\sqrt{3}}{9 - 3}\\ &= \frac{6 - 2\sqrt{3}}{6}\\ &= \frac{2(3 - \sqrt{3})}{2 \cdot 3}\\ &= \frac{3 - \sqrt{3}}{3}\\ &= 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}\\ \end{align*}

 

4\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}

 

Multiplicamos y dividimos la fracción por el conjugado del denominador

 

\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})}

 

En el numerador quitamos paréntesis y el denominador efectuamos la suma por diferencia, por lo que obtenemos una diferencia de cuadrados

 

     \begin{align*} \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})} &= \frac{\sqrt{6} + (\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2}\\ &= \frac{\sqrt{6} + 2}{3 - 2}\\ &= 2 + \sqrt{6} \end{align*}

 

5\frac{3\sqrt{2} - 2\sqrt{3}}{3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}}

 

Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador

 

\displaystyle \frac{3\sqrt{2} - 2\sqrt{3}}{3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}} = \frac{(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})}{(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3})(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})}

 

Ponemos el numerador en forma de potencia

 

\displaystyle \frac{(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})}{(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3})(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})} = \frac{(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})^2}{(3\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{3})^2}

 

En el numerador tenemos una diferencia al cuadrado que es igual al cuadrado del primero, menos el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. En el denominador tenemos una suma por diferencia que es igual a la diferencia de cuadrados

 

\displaystyle \frac{(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})^2}{(3\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{3})^2} = \frac{(3\sqrt{2})^2 - 2(3\sqrt{2})(2\sqrt{3}) + (2\sqrt{3})^2}{(3\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{3})^2}

 

Realizamos las operaciones y simplificamos al final

 

     \begin{align*} \frac{(3\sqrt{2})^2 - 2(3\sqrt{2})(2\sqrt{3}) + (2\sqrt{3})^2}{(3\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{3})^2} &= \frac{9 \cdot 2 - 12 \sqrt{6} + 4 \cdot 3}{9 \cdot 2 - 4 \cdot 3}\\ &= \frac{18 - 12 \sqrt{6} + 12}{18 - 12}\\ &= \frac{30 - 12 \sqrt{6}}{6}\\ &=5 - 2\sqrt{6}\\ \end{align*}

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗