1
Calcula los valores de las siguientes potencias:
1
2
3
4
Una potencia con exponente fraccionario es igual a una raíz cuyo índice es el denominador de la fracción (2) y el exponente del radicando es el numerador (3)
Descomponemos 16 en factores, efectuamos las operaciones en el radicando y extraemos factores
1
2
3
En este caso pasamos el exponente que es un número decimal exacto a fracción
4
El exponente que es un periódico puro lo pasamos a fracción
2
Extraer factores:
1
2
1 
El exponente del dos (1) es menor que el índice (2), por tanto se queda en el radicando
El exponente del 3 (2) es igual al índice (2), por tanto el 3 sale fuera del radicando
El exponente del 5 (5) es mayor que el índice (2), por tanto se divide dicho exponente por el índice. El cociente obtenido (2) es el exponente del factor fuera del radicando y el resto (1) es el exponente del factor dentro del radicando.
2 
Los exponentes son mayores que el índice, por tanto se dividen dichos exponentes por el índice. Cada uno de los cocientes obtenidos será el exponente del factor correpondiente fuera del radicando y cada uno de los restos obtenidos será el exponente del factor correpondiente dentro del radicando.
3
Introducir factores:
1
2
1
Antes de comenzar a resolver, expliquemos brevemente ciertas propiedades de los radicales.
Sabemos que el radical aplicado a un producto es el producto de los radicales
y que el indice del radical cuando se pasa a forma exponencial, divide a la potencia de la base
entonces estos dos resultados juntos los ocupamos para simplificar a expresiones con radicales multiplicados por factores, es decir
y así podemos solamente ocupar el resultado
Apliquemos ahora este proceso a nuestro problema:
Se introduce el 2 elevado al índice del radical (2) y se realizan las operaciones
2 
Se introducen los factores elevados al índice (4)
Se realizan las operaciones
Los exponentes son mayores que el índice, por tanto se dividen dichos exponentes por el índice. Cada uno de los cocientes obtenidos será el exponente del factor correspondiente fuera del radicando y cada uno de los restos obtenidos será el exponente del factor correspondiente dentro del radicando.
4
Poner a común índice:
Soluciones:
Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice
Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes
Realizamos las operaciones en los radicandos
5
Realiza las sumas:
1
2
3
4
1 
Como los radicales son semejantes sumamos los coeficientes de los radicales
2 
Sumamos los coeficientes de los radicales
3
Descomponemos en factores los radicandos y extraemos factores de los radicales (si es posible) y los multiplicamos por el coeficiente del radical correspondiente
4
Extraemos factores de los radicales y los multiplicamos por el coeficiente del radical correspondiente
4 = 2², 8 = 2³ y 64 = 28
Simplificamos los radicales. En el primer radical dividimos el índice y el exponente del radicando por 2, en el 2º por 3 y en el 3º por 6
Sumamos los coeficientes de los radicales
6
Halla las sumas:
1
2
3
4
Descomponemos en factores los radicandos y extraemos factores de los radicales (si es posible) y los multiplicamos por el coeficiente del radical correspondiente
Sumamos los coeficientes de los radicales
1 
2 
3 
4
7
Efectúa las sumas:
1
2
1 
Racionalizamos el 2º sumando multiplicando y dividiendo por por la raíz cuadrada de 2
Sacamos factor común de raíz de 2 y sumamos
2 
Descomponemos en factores los radicandos
En los dos primeros sumandos extraemos factores, el tercero simplificamos el radical dividiendo el índice y el exponente del radicando entre 2 y el último vamos a racionalizar multiplicando y dividiendo por por la raíz cúbica de 2
Como todos los radicales son semejantes podemos sumar sus coeficientes
8
Realizar los productos:
1
2
3
1 
Como los radicales tienen el mismo índice multiplicamos los radicandos y descomponemos en factores para extraer factores del radical
2 
Descomponemos en factores los radicandos
Reducimos a común índice por lo que tenemos que calcular el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice.
Dividimos el común índice (12) por cada uno de los índices (2, 3 y 4) y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes (1, 2 y 3)
Realizamos el producto de potencias con la misma base en el radicando y extraemos factores del radicando
3 
9
Efectúa las divisones de radicales:
1
2
3
1 
Como los radicales tienen el mismo índice dividimos los radicandos y simplificamos el radical dividiendo el índice y exponente del radicando por 3
2 
En primer reducimos a común índice por lo que tenemos que calcular el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice. m.c.m.(3, 2) = 6
Dividimos el común índice (6) por cada uno de los índices (3 y 2) y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes (1 y 1)
Descomponemos el 4 en factores para poder hacer la división de potencias con la misma base y dividimos
3 
Realizamos los mismos pasos del ejercicio anterior
Simplificamos el radical dividiendo por 2 el índice y el exponente del radicando, y por último extraemos factores
10
Calcula:
En primer lugar calculamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice
Dividimos el común índice (12) por cada uno de los índices (2, 3, 4 y 6) y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes (1, 2, 3 y 4)
Quitamos los paréntesis, simplificamos la fracción y multiplicamos en el numerador las potencias con la misma base
Simplificamos el radical dividiendo por 3 el índice y el exponente del radicando
Por último extraemos factores
11
Opera:
Opera: 
En primer lugar ponemos 1/8 en forma de potencia: 
Ponemos a común índice las raíces del numerador y del denominador
Elevamos al cubo el denominador y realizamos la división de potencias con la misma base
Realizamos la raíz cuarta del radical multiplicando los índices
12
Realiza las operaciones con potencias:
1
2
1 
Elevamos el radicando al cuadrado, descomponemos 18 en factores y los elevamos al cuadrado y por último extraemos factores
2 
Elevamos los radicandos a la cuarta, descomponemos en factores los radicandos y extraemos el 18 del radical
En los radicando realizamos las operaciones con potencias y ponemos a común índice para poder efectuar la división
Simpificamos el radical dividiendo por 2 el índice y los exponentes del radicando y realizamos una división de potencias con el mismo exponente
Podemos racionalizar multiplicando y dividiendo por la raíz cúbica de 3
13
Realiza las operaciones:
1
2
3
4
1
Una diferencia al cuadrado es igual al cuadrado del primero, menos el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo
2
3
Una suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados
4
14
Calcula:
1
2
1
Realizamos la multiplicación de fracciones, en el denominador tenemos una suma por diferencia que es igual a diferencia de cuadrados
2
La diferencia de cuadrados del denominador se pone como una suma por diferencia y se simplifica la fracción
15
Efectuar:
1
2
3
1
Multiplicamos los índices
2 
Introducimos el primer 2 dentro de la raíz cúbica por lo que tendremos que elevarlo al cubo y multiplicamos las potencias con la misma base, el procedimiento lo seguimos haciendo hasta que ya se hayan introducido todos los valores en los radicales, y con esto, multiplicamos y entonces queda
3
Introducimos el 2 dentro de la raíz cuadrada elevándolo al cuadrado
Multiplicamos las potencias con la misma base
Multiplicamos los índices y simplificamos dividiendo por 3 el índice resultante y el exponente del radicando
16
Racionalizar los radicales:
1
2
3
4
5
Multiplicamos numerador y denominador por la raíz de 2, realizamos los cálculos y simplificamos la fracción
2
El radicando 4 lo ponemos en forma de potencia: 2²
Tenemos que multiplicar en el numerador y denominador por la raíz quinta de 25 − 2 = 2³
Multiplicamos los radicales del denominador, extraemos factores del radical y simplificamos la fracción
3
Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador, quitamos paréntesis en el numerador y efectuamos la suma por diferencia en el denominador, por lo que obtenemos una diferencia de cuadrados
En el denominador extraemos los radicandos y dividimos por −1, es decir, cambiamos el numerador de signo
4
Multiplicamos y dividimos la fracción por el conjugado del denominador
Efectuamos la suma por diferencia en el denominador, por lo que obtenemos una diferencia de cuadrados y operamos:
Realizamos las operaciones y simplificamos la fracción dividiendo por 2
5
Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador, quitamos paréntesis en el numerador y efectuamos la suma por diferencia en el denominador, por lo que obtenemos una diferencia de cuadrados
En el numerador descomponemos en factores 12 y extraemos factores, terminamos realizando las operaciones del denominador.
17
Racionalizar:
1
2
3
4
5
1
Multiplicamos numerador y denominador por la raíz de 2 y realizamos los cálculos
2
Aquí nos damos cuenta que para poder eliminar el radical de necesitamos generar el producto
para que de esta forma se elimine el radical, es decir
en otras palabras, como ya tenemos a en el denominador, sólo hace falta multiplicarlo por
para lograr eliminar el radical.
Para no afectar el valor numérico de la expresión, se multiplica tanto en el numerador como en el denominador, y entonces así es como queda nuestro desarrollo
3
Multiplicamos y dividimos la fracción por el conjugado del denominador
En el numerador quitamos paréntesis y el denominador efectuamos la suma por diferencia, por lo que obtenemos una diferencia de cuadrados
Efectuamos las operaciones y se simplica la fracción al factorizar el 2
4
Multiplicamos y dividimos la fracción por el conjugado del denominador
En el numerador quitamos paréntesis y el denominador efectuamos la suma por diferencia, por lo que obtenemos una diferencia de cuadrados
5
Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador
Ponemos el numerador en forma de potencia
En el numerador tenemos una diferencia al cuadrado que es igual al cuadrado del primero, menos el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo
En el denominador tenemos una suma por diferencia que es igual a la diferencia de cuadrados
Realizamos las operaciones
Simplificamos la fracción
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Invitado
muy buenos ejercicios me han ayudado un monton
Editor
Por nada, lo hacemos con todo el gusto
Invitado
Hola, en la segunda parte del ejercicio 7, ¿me podrías decir cómo llegas al resultado 15/2 (de la raíz cúbica de 2)? porque esa parte no está explicada y a mí me da 16/2 (igual, de la raíz cúbica y tal) y no sé qué he hecho mal. Muchas gracias.
Editor
Convertimos a sus fracciones equivalentes, de tal modo que tenemos:
[4(raiz cubica de 2) / 2] +[10(raiz cubica de 2) / 2] +[2(raiz cubica de 2) / 2] -[1(raiz cubica de 2) / 2] =
[(4+10+2-1) (raiz cubica de 2) ]/ 2 = [15(raiz cubica de 2)* / 2
Espero haberte ayudado
Invitado
Muchísimas gracias por este contenido tan bien explicado. Me ha ayudado un montón
Invitado
Muchas gracias, me ayudaron para mi examen
Invitado
Muchas gracias muy buenos ejercicios 🙂
Invitado
Unos ejercicios muy aclaratorios y muy bien explicados. Enhorabuena
Administrador
¡Gracias!
Invitado
Son muy buenos ejercicios me están ayudando mucho, gracias
Administrador
¡Con gusto!
Invitado
HOLA, en el apartado 2 de ejercicio 17 no entiendo porque la raíz cúbica de tres esta elevada a dos .
Editor
Antes de explicarte, pondré un ejemplo mas sencillo para facilitarte la visualización de lo que me has preguntado: tenemos la fracción 1/2 , yo puedo multiplicar esta fracción por 2/2 para obtener una fracción equivalente: (1/2)*(2/2)= 2/4 y no pasa nada, sigue representando la misma cantidad. en el ejercicio que mencionas, tenemos 1/(raiz cubica de 3) lo que vamos a hacer a continuación, es multiplicarla por otra fracción para obtener una fracción equivalente. La fracción por la que la vamos a multiplicar es: (Raiz cubica de 3^2)/(Raiz cubica de 3^2) Entonces tenemos (1/(Raiz cubica de 3))*((Raiz cubica de 3^2)/(Raiz cubica… Leer más »
Invitado
muchas gracias por ayudarme a repasar, ojala saque un 6 en el examen 🙂
Administrador
¡Suerte!
Invitado
En el ejercicio 15, la 2 es esa la solución o se puede hacer más?
Editor
Se puede hacer mas, pronto sera corregido, gracias por tomarte el tiempo de dejar tus comentarios.
recuerda que según las leyes de los exponentes, los radicales pueden verse como exponentes fraccionarios, quizás eso te ayude por ahora, mientras se hace la corrección.
Invitado
En el ejercicio 15 apartado 2 no viene el resultado me lo podrías decir para saber si lo tengo bien por favor?
Editor
El resultado es
24√2^17
de otra forma
2^{17/24}
o en forma decimal
1.63391545…
Espero haberte ayudado !
Invitado
nom entiendo xq en el 3 hay que elevar el 2 al cuadrado
Editor
Si te refieres al inciso 1 del ejercicio 3, es por esta razón:
2= raíz cuadrada de 4 = raíz cuadrada de (2^2)
Es decir, solo estamos sustituyendo al 2 por una forma diferente de escribirlo que es conveniente para poder aplicar después la propiedad de producto de radicales.
√a * √b = √(a*b)
Entonces:
Raíz cuadrada de (2^2) * raíz cuadrada de 3 = Raíz cuadrada de ( (2^2) *3) tal y como esta en el ejercicio
Espero haberte ayudado!
Invitado
en el ejercicio 3 en el numero 2 cuando vais a multiplicar 4 por 2 que da 8 pones 9 y cuando vais a multiplicar 4 por 3 que da 12 pones 13 no entiendo xq?
Editor
Es muy sencillo, lo haré de una manera mas clara. Tenemos: Raíz cuarta de ( (2^2)^4 *(3^3)^4 * 2 * 3 ) Por ley de exponentes, multiplicamos los exponentes y obtenemos los resultados que mencionas Raíz cuarta de ( (2^8)*(3^12) *2 *3 ) Notemos que aun nos falta multiplicar por 2 y por 3. ordenamos usando la propiedad conmutativa y asociativa del producto: Raíz cuarta de ( [(2^8)*2 ] * [(3^12)*3 ] ) Por ley de exponentes : Raíz cuarta de ( 2^9 * 3^13 ) Espero haberte ayudado
Invitado
Gracias, me habéis ayudado bastante con los ejercicios, ojalá en el examen me salgan igual.
Invitado
Me han gustado mucho muchas gracias ❤❤❤☕🖕
Invitado
me ha ayudado muchoooooo