1 Representa en la recta: \sqrt{13}

1Tomamos un rectángulo de base 3 y lado 2. Entonces, usando el teorema de Pitágoras encontramos que su diagonal mide

 

\sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}

 

2Basta coger esta medida y transportarla con el compás (tomando centro en 0 y con radio la diagonal de nuestro rectángulo). De este modo, representamos en la recta real el número \sqrt{13}.

 

representacion de un radical en la recta

 

2Representa en la recta real los números que verifican las siguientes relaciones:

A|x - 2| < 1
B|x - 2| \leq 1
C|x - 2| > 1
D|x - 2| \geq 1

ARepresentamos como desigualdad |x -2| < 1

 

-1 < x -2 < 1

 

Sumamos 2 en cada término de la desigualdad y obtenemos

 

1 < x < 3

 

Representamos como intervalo y obtenemos x \in (1, 3), lo cual en la recta real se representa como

 

representacion intervalo 1

 

BRepresentamos como desigualdad |x -2| \leq 1

 

-1 \leq x -2 \leq 1

 

Sumamos 2 en cada término de la desigualdad y obtenemos

 

1 \leq x \leq 3

 

Representamos como intervalo y obtenemos x \in [1, 3], lo cual en la recta real se representa como

 

representacion intervalo 2

 

CRepresentamos como desigualdad |x -2| > 1

 

-1 > x -2 > 1

 

Sumamos 2 en cada término de la desigualdad y obtenemos

 

1 > x > 3

 

Representamos como intervalo y obtenemos x \in (-\infty, 1) \cup (3, +\infty), lo cual en la recta real se representa como

 

representacion intervalo 3

 

DRepresentamos como desigualdad |x -2| \geq 1

 

-1 \geq x -2 \geq 1

 

Sumamos 2 en cada término de la desigualdad y obtenemos

 

1 \geq x \geq 3

 

Representamos como intervalo y obtenemos x \in (-\infty, 1] \cup [3, +\infty), lo cual en la recta real se representa como

 

representacion intervalo 4

3Opera: \sqrt[3]{16} + \sqrt[3]{250} + \sqrt[6]{4} - \cfrac{1}{\sqrt[3]{4}}

1Descomponemos en factores los radicandos

 

= \sqrt[3]{2^4} + \sqrt[3]{2 \cdot 5^3} + \sqrt[6]{2^2} - \cfrac{1}{\sqrt[3]{2^2}}

 

2En los dos primeros sumandos extraemos factores, el tercero siplificamos el radical dividiendo el índice y el exponente del radicando entre 2 y el último vamos a racionalizar multiplicando y dividiendo por por la raíz cúbica de 2

 

= 2\sqrt[3]{2} + 5\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2} - \cfrac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2^2} \cdot \sqrt[3]{2}}

 

3Como todos los radicales son semejantes podemos sumar sus coeficientes

 

= 2\sqrt[3]{2} + 5\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2} - \cfrac{\sqrt[3]{2}}{2} = \cfrac{15}{2} \sqrt[3]{2}

 

4Calcula: \cfrac{\sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{a^2} \cdot \sqrt[4]{a^3}}{\sqrt[6]{a^4}}

1En primer lugar calculamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice

 

mcm(2,3,4,6) = 12

 

2Dividimos el común índice por cada uno de los índices 2, 3, 4 y 6 y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes 1, 2, 3 y 4

 

\cfrac{\sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{a^2} \cdot \sqrt[4]{a^3}}{\sqrt[6]{a^4}} = \cfrac{\sqrt[12]{a^6} \cdot \sqrt[12]{(a^2)^4} \cdot \sqrt[12]{(a^3)^3}}{\sqrt[12]{(a^4)^2}}

 

3Quitamos los paréntesis, simplificamos la fracción y multiplicamos en el numerador las potencias con la misma base

 

=\sqrt[12]{\cfrac{a^6 \cdot a^8 \cdot a^9}{a^8}} =\sqrt[12]{a^{15}}

 

4Simplificamos el radical dividiendo por 3 el índice y el exponente del radicando

 

= \sqrt[4]{a^5} = a \sqrt[4]{a}

 

5Racionalizar: \cfrac{3\sqrt{2} - 2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}}

1Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador

 

\cfrac{(3\sqrt{2} - 2 \sqrt{3}) \cdot (3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3})}{(3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}) \cdot (3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3})}

 

2Ponemos el numerador en forma de potencia

 

=\cfrac{(3\sqrt{2} - 2 \sqrt{3})^2 }{(3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}) \cdot (3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3})}

 

3En el numerador tenemos un binomio al cuadrado que es igual al cuadrado del primero, menos el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo y en el denominador tenemos una suma por diferencia que es igual a la diferencia de cuadrados

 

=\cfrac{(3\sqrt{2})^2 - 2(3\sqrt{2})(2 \sqrt{3}) + (2 \sqrt{3})^2 }{(3 \sqrt{2})^2 - (2 \sqrt{3})^2}

 

4Realizamos las operaciones

 

=\cfrac{18 - 12 \sqrt{6} + 12 }{18 - 12} = \cfrac{30 - 12 \sqrt{6}}{6}

 

5Simplificamos la fracción

 

= 5 - 2 \sqrt{6}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗