Una multiplicación formada por factores iguales se puede escribir en forma de potencia: a^b, donde a, conocida como la base, es el número que se repite y b, conocido como el exponente, es el número de veces que se repite el factor. Por ejemplo, tendríamos que

 

6^5 = 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6

 

Para este ejemplo de potencia tendríamos que la base es 6, mientras que el exponente es 5.

 

Potencias con exponentes enteros

 

Potencia con exponente entero positivo

 

Por notación, cuando en una potencia el exponente es entero positivo, tenemos que

 

    • a^b = \underbrace{a\cdots a}_{b \; \text{veces}},

 

    • -a^b = -(\underbrace{a\cdots a}_{b \; \text{veces}}),

 

  • (-a)^b = \underbrace{(-a)\cdots (-a)}_{b \; \text{veces}}.
 

Para determinar el signo de una potencia con exponente entero tendremos en cuenta que:

 

1 Las potencias con exponente par son siempre positivas. Esto quiere decir que, si tenemos una potencia a^b, entonces:

 

    • Si a es positivo y b es par, entonces a^b es positivo.

 

  • Si a es negativo y b es par, entonces a^b es positivo.

 

Ejemplo:

 

2^2 = 2 \cdot 2 = 4

 

(-2)^2 = (-2) \cdot (-2) = 4

 

(-5)^4 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = 625

 

2 Las potencias con exponente impar siempre tienen el mismo signo que su base. Esto quiere decir que, si tenemos una potencia a^b, entonces:

 

    • Si a es positivo y b es impar, entonces a^b es positivo.

 

  • Si a es negativo y b es impar, entonces a^b es negativo.

 

Ejemplo:

 

2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8

 

(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8

 

(-5)^5 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = 3125

 

Potencia con exponente entero negativo

 

Una potencia con exponente negativo es igual al inverso multiplicativo de la base de la potencia elevado al exponente positivo (siempre que la base sea distinta de cero). Así, tenemos que

 

\displaystyle a^{-b} = \left( \frac{1}{a}\right)^b = \frac{1}{a^b}, \quad a \neq 0.

 

Y para \displaystyle \left( \frac{1}{a}\right)^b se cumplen las mismas propiedades mencionadas anteriormente para exponentes positivos.

 

Ejemplo:

 

\displaystyle 2^{-2} = \left( \frac{1}{2}\right)^2 =\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

 

\displaystyle (-2)^{-3} = \left( -\frac{1}{2}\right)^3 = (-\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{8}

 

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Potencias de números racionales

 

Potencia de número positivo

 

Cuando en una potencia la base es fraccionaria, elevamos tanto el numerador como el denominador al exponente.

 

\displaystyle  \left( \frac{c}{d}\right)^b = \frac{c^b}{d^b}

 

Ejemplo:

 

 \displaystyle \left( \frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27}

 

Potencia con base fraccionaria y exponente negativo

 

Una potencia con base fraccionaria y exponente negativo es igual al inverso multiplicativo de la base elevado al exponente positivo. Recordemos que el inverso de una fracción es igual a cambiar el numerador y el denominador entre sí, esto es, el inverso de \displaystyle\frac{c}{d} = \frac{d}{c}. Por lo tanto, tenemos que

 

\displaystyle \left( \frac{c}{d}\right)^{-b} = \left( \frac{d}{c}\right)^{b} = \frac{d^b}{c^b}

 

Ejemplo:

 

\displaystyle  \left( \frac{2}{5}\right)^{-3} = \left( \frac{5}{2}\right)^{3} = \frac{5^3}{2^3} = \frac{125}{8}

 

Potencia con exponente racional o fraccionario

 

Una potencia con exponente fraccionario es igual a una raíz cuyo índice es el denominador de la fracción y el exponente del radicando es el numerador.

 

Potencia de exponente racional positivo

 

 \displaystyle a^{\frac{n}{m}} = \sqrt[m]{a^{n}}

 

Ejemplos:

 

\displaystyle 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}

 

\displaystyle 2^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4}

 

 \displaystyle 2^{0.25} = 2^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{2}

 

En este caso pasamos el exponente que es un decimal exacto a su fracción equivalente.

 

Potencia de exponente racional negativo

 

Al igual que en los casos anteriores, cuando el exponente es fraccionario negativo, es equivalente a elevar el inverso multiplicativo de la base al exponente positivo. Así, tendríamos que

 

\displaystyle  a^{-\frac{n}{m}} = \left(\frac{1}{a}\right)^{\frac{n}{m}} = \frac{1}{a^{\frac{n}{m}}} = \frac{1}{\sqrt[m]{a^n}}

 

Ejemplo:

 

\displaystyle 2^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}}.

 

Propiedades de potencias

 

Un número elevado a 0 es igual a 1.

 

a^0 = 1.

Por ejemplo: 7^0 = 1.

 

Un número elevado al exponente 1 es igual a sí mismo.

 

a^1 = a.

 

Por ejemplo: 7^1 = 7.

Producto de potencias con la misma base.

 

Cuando multiplicamos dos potencias con la misma base, el resultado es otra potencia con la misma base elevada a la suma de los exponentes originales.

 

a^n \cdot a^m = a^{n + m}.

 

Ejemplo:

 

(-2)^2 \cdot (-2)^3 = (-2)^5 = -32.

 

2^4 \cdot 2^{-1} = 2^{(4+(-1))} = 2^3 = 8.

 

División de potencias con la misma base

 

Cuando tenemos la división de dos potencias con la misma base, el resultado es otra potencia con la misma base elevada al exponente del numerador menos el exponente del denominador.

 

 \displaystyle \frac{a^n}{a^m} = a^{n - m}.

 

Ejemplo:

 

\displaystyle \frac{(-2)^2}{(-2)^3} = (-2)^{(2 - 3)} = (-2)^{-1} = \frac{1}{(-2)^1} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}.

 

\displaystyle \frac{2^2}{2^{-1}} = 2^{(2-(-1))} = 2^3 = 8.

 

Potencia de una potencia

 

Cuando tenemos una potencia de una potencia, el resultado es otra potencia con la misma base elevada al producto de los exponentes.

 

 \left( a^n \right)^m= a^{n\cdot m}.

 

Ejemplo:

 

 \left( 2^2 \right)^3= 2^{2\cdot 3} = 2^6 = 64.

 

\displaystyle  ((-2)^2)^{-2} = (-2)^{2 \cdot (-2)} = (-2)^{-4} = \frac{1}{(-2)^4} = \frac{1}{16}.

 

Producto de potencias con el mismo exponente

 

Cuando tenemos la multiplicación de dos potencias con el mismo exponente, el resultado es una nueva potencia en donde la base es la multiplicación de las bases originales elevada al mismo exponente.

 

 a^n \cdot b^n = \left( a \cdot b \right)^n.

 

Ejemplo:

 

 2 ^2 \cdot 3^2 = \left( 2 \cdot 3\right)^2 = 6^2 = 36.

 

 (-2)^3 \cdot 2^3 = \left( (-2) \cdot 2\right)^3= (-4)^{3} = -64.

 

Cociente de potencias con el mismo exponente

 

Cuando tenemos el cociente de dos potencias con el mismo exponente, el resultado es una nueva potencia en donde la base es el cociente de las bases originales elevada al mismo exponente.

 

 \displaystyle \frac{a^n}{b^n} = \left( \frac{a}{b} \right)^n.

 

Ejemplo:

 

\displaystyle  \frac{(-6)^3}{2^3} = \left( \frac{-6}{3} \right)^3 = (-2)^3 = -8.

 

\displaystyle  \frac{6^2}{2^2} = \left( \frac{6}{2} \right)^2 = 3^2 = 9.

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Marta

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garciaSuperprofMARIA ALMEIDA Recent comment authors
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MARIA ALMEIDA
MARIA ALMEIDA
Guest
17 Oct.

Un número elevado a 1 es igual a sí mismo
a1 = a

Ejemplo: 21 = 5

NO ENTIENDO ESTE

Superprof
Superprof
Admin
17 Oct.

¡Hola Maria! 2^1=2 ¡Gracias por tu comentario!

garcia
garcia
Guest
24 Oct.

gracias me ayudo en mi tarea 😀