Raíz de un radical

La raíz de un radical es otro radical de igual radicando y cuyo índice es el producto de los dos índices.
{\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n\cdot m]{a}}

Ejemplos:

1 {\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[4]{2}}}}

Multiplicamos los índices

{\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[4]{2}}} = \sqrt[2\cdot 3 \cdot 4]{2} = \sqrt[24]{2}}

2 {\sqrt{2\sqrt[3]{2\sqrt[4]{2}}}}

Introducimos el primer 2 dentro de la raíz cúbica por lo que tendremos que elevarlo al cubo y multiplicamos las potencias con la misma base

 

{\sqrt{2\sqrt[3]{2\sqrt[4]{2}}} = \sqrt{\sqrt[3]{2^3\cdot2\sqrt[4]{2}}} = \sqrt{\sqrt[3]{2^4\sqrt[4]{2}}}}

 

Introducimos el {2^4} en la raíz cuarta por lo que tenemos que elevarlo a la cuarta, realizamos el producto de potencias y por último el producto de los índices

 

{\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[4]{(2^4)^4\cdot2}}} = \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[4]{2^{16}\cdot2}}}= \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[4]{2^{17}}}} = \sqrt[2\cdot 3 \cdot 4]{2^{17}} = \sqrt[24]{2^{17}}}

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Ejemplos de raíz radicales

1 {\sqrt[4]{\dfrac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt{\frac{1}{8}}}}}

En este ejemplo tenemos también una división de radicales por lo tanto aplicaríamos la siguiente propiedad:
{\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[m]{b}} = \sqrt[n\cdot m]{\dfrac{a^m}{b^n}}}, entonces:{\sqrt[4]{\dfrac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt{\frac{1}{8}}}}= \sqrt[4]{\dfrac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt{\frac{1}{2^3}}}}= \sqrt[4]{\dfrac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt{2^{-3}}}} = \sqrt[4]{\sqrt[2\cdot 3]{\dfrac{2^2}{(2^{-3})^3}}} =}[latex]{\sqrt[4]{\sqrt[6]{\dfrac{2^2}{(2^{-3})^3}}} = \sqrt[4]{\sqrt[6]{\dfrac{2^2}{2^{-9}}}} = \sqrt[4]{\sqrt[6]{2^{2-(-9)}}} = \sqrt[4]{\sqrt[6]{2^{11}}}= \sqrt[24]{2^{11}}}[/latex]


2 {\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{2\sqrt{2}}}}}}

Recuerda que introducimos el primer 2 dentro de la raíz cuadrada por lo que tendremos que elevarlo al cuadrado y multiplicamos las potencias con la misma base{\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{2\sqrt{2}}}}} = \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{2^2\cdot 2}}}}} = \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{2^3}}}}} =}En el último paso podemos simplificar la raíz recordando la siguiente propiedad de potencias: {\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}}[latex]{\sqrt[2\cdot 3 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2]{2^3} =\sqrt[72]{2^3}= 2^{\frac{3}{72}} = 2^{\frac{1}{24}} = \sqrt[24]{2}}[/latex]

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗