¿Qué es la racionalización de radicales?

 

La racionalización de radicales consiste en quitar los radicales del denominador, lo que permite facilitar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones.

Podemos distinguir tres casos:

 

Superprof

Caso 1

 

Racionalización del tipo \cfrac{a}{b\sqrt{c}}

 

Se multiplica el numerador y el denominador por \sqrt{c}} .

 

\cfrac{a}{b\sqrt{c}}=\cfrac{a\cdot \sqrt{c}}{b\sqrt{c}\cdot \sqrt{c}}=\cfrac{a\cdot \sqrt{c}}{b\left ( \sqrt{c}\, \right )^{2}}=\cfrac{a\cdot \sqrt{c}}{b\cdot c}

 

Ejemplos

 

1 Racionalizarla expresión\cfrac{2}{3\sqrt{2}}

 

Multiplicamos numerador y denominador por la raíz de 2, realizamos los cálculos y simplificamos la fracción

 

\cfrac{2}{3\sqrt{2}}=\cfrac{2\cdot \sqrt{2}}{3\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\cfrac{2\cdot \sqrt{2}}{3\left ( \sqrt{2}\, \right )^{2}}=\cfrac{2\cdot \sqrt{2}}{3\cdot 2}=\cfrac{\sqrt{2}}{3}

 

2 Racionalizar la expresión \sqrt{2}+\cfrac{1}{\sqrt{2}}

 

Para poder realizar la suma racionalizamos el 2º sumando multiplicando y dividiendo por raíz de 2, y realizamos la suma

 

\sqrt{2}+\cfrac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}+\cfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\sqrt{2}+\cfrac{\sqrt{2}}{(\sqrt{2}\, )^{2}}

 

=\sqrt{2}+\cfrac{\sqrt{2}}{2}=\left ( 1+\cfrac{1}{2} \right )\sqrt{2}=\cfrac{3}{2}\, \sqrt{2}

 

Caso 2

 

Racionalización del tipo \cfrac{a}{b\sqrt[n]{c^{m}}}

 

Se multiplica numerador y denominador por \sqrt[n]{c^{n-m}}.

 

\cfrac{a}{b\sqrt[n]{c^{m}}}=\cfrac{a\cdot \sqrt[n]{c^{n-m}}}{b\cdot \sqrt[n]{c^{m}}\cdot \sqrt[n]{c^{n-m}}}=\cfrac{a\cdot \sqrt[n]{c^{n-m}}}{b\cdot \sqrt[n]{c^{m}\cdot c^{n-m}}}=\cfrac{a\cdot \sqrt[n]{c^{n-m}}}{b\cdot \sqrt[n]{c^{n}}}=\cfrac{a\cdot \sqrt[n]{c^{n-m}}}{b\cdot c}

 

Ejemplo

 

Racionalizar la expresión \cfrac{2}{3\sqrt[5]{4}}

 

El radicando 4 lo ponemos en forma de potencia: 2^{2}

Tenemos que multiplicar en el numerador y denominador por la raíz quinta de 2^{5-2}=2^{3}

Multiplicamos los radicales del denominador, extraemos factores del radical y simplificamos la fracción

 

\cfrac{2}{3\sqrt[5]{4}}=\cfrac{2}{3\sqrt[5]{2^{2}}}=\cfrac{2\cdot \sqrt[5]{c^{3}}}{3\cdot \sqrt[5]{2^{2}}\cdot \sqrt[5]{2^{3}}}=\cfrac{2\cdot \sqrt[5]{8}}{3\cdot \sqrt[5]{2^{5}}}=\cfrac{2\cdot \sqrt[5]{8}}{3\cdot 2}=\cfrac{\sqrt[5]{8}}{3}

 

Caso 3

 

Racionalización del tipo \cfrac{a}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}

 

Y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical.

Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador.

El conjugado de un binomio es igual al binomio con el signo central cambiado:

 

\begin{matrix} a+b & \rightarrow & a-b \\ \\ -a+b & \rightarrow & -a-b\\ \\ a-b & \rightarrow & a+b\\ \\ -a-b & \rightarrow & -a+b \end{matrix}

 

También tenemos que tener en cuenta que: "suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados".

 

(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}

 

Ejemplos

 

1 Racionalizar la expresión \cfrac{2}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}

 

Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador, quitamos paréntesis en el numerador y efectuamos la suma por diferencia en el denominador, por lo que obtenemos una diferencia de cuadrados

 

\cfrac{2}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}=\cfrac{2\cdot (\sqrt{2}+\sqrt{3})}{(\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{3})}=\cfrac{2\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{(\sqrt{2}\, )^{2}-(\sqrt{3}\, )^{2}}

 

En el denominador extraemos los radicandos y dividimos por -1, es decir, cambiamos el numerador de signo

 

=\cfrac{2\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{2-3}=\cfrac{2\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{-1}=-2\sqrt{2}-2\sqrt{3}

 

2 Racionalizar la expresión \cfrac{2}{4-2\sqrt{2}}

 

Multiplicamos y dividimos la fracción por el conjugado del denominador

 

\cfrac{2}{4-2\sqrt{2}}=\cfrac{2\cdot (4+2\sqrt{2})}{(4-2\sqrt{2})\cdot (4+2\sqrt{2})}

 

Efectuamos la suma por diferencia en el denominador, realizamos las operaciones y simplificamos la fracción dividiendo por 2

 

=\cfrac{2\cdot (4+2\sqrt{2})}{4^{2}-(2\sqrt{2})^{2}}=\cfrac{2\cdot (4+2\sqrt{2})}{16-4\cdot 2}=\cfrac{2\cdot (4+2\sqrt{2})}{8}=\cfrac{4+2\sqrt{2}}{4}=\cfrac{2+\sqrt{2}}{2}

 

3 Racionalizar la expresión \cfrac{2\sqrt{2}}{5-2\sqrt{6}}

 

Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador, quitamos paréntesis en el numerador y efectuamos la suma por diferencia en el denominador, por lo que obtenemos una diferencia de cuadrados

 

\cfrac{2\sqrt{2}}{5-2\sqrt{6}}=\cfrac{2\sqrt{2}\cdot (5+2\sqrt{6})}{(5-2\sqrt{6})\cdot (5+2\sqrt{6})}=\cfrac{10\sqrt{2}+4\sqrt{12}}{5^{2}-(2\sqrt{6})^{2}}

 

En el numerador descomponemos en factores al 12 y extraemos factores, terminamos realizando las operaciones del denominador

 

=\cfrac{10\sqrt{2}+4\sqrt{2^{2}\cdot 3}}{25-4\cdot 6}=\cfrac{10\sqrt{2}+8\sqrt{3}}{25-24}=10\sqrt{2}+8\sqrt{3}

 

Ejemplos de ejercicios de racionalización radicales

 

1 \cfrac{5}{2\sqrt{2}}=\cfrac{5\cdot 2\sqrt{2}}{2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\cfrac{5\cdot \sqrt{2}}{2\cdot \sqrt{2^{2}}}=\cfrac{5\cdot \sqrt{2}}{4}

 

 

2 \cfrac{1}{\sqrt[3]{3}}=\cfrac{\sqrt[3]{3^{2}}}{\sqrt[3]{3}\cdot \sqrt[3]{3^{2}}}=\cfrac{\sqrt[3]{3^{2}}}{\sqrt[3]{3^{3}}}=\cfrac{\sqrt[3]{9}}{3}

 

3 \cfrac{2}{3+\sqrt{3}}=\cfrac{2}{3+\sqrt{3}}=\cfrac{2\cdot (3-\sqrt{3})}{(3+\sqrt{3})\cdot (3-\sqrt{3})}

 

=\cfrac{6-2\sqrt{3}}{3^{2}-(\sqrt{3})^{2}}=\cfrac{6-2\sqrt{3}}{9-3}=\cfrac{6-2\sqrt{3}}{6}=\cfrac{3-\sqrt{3}}{3}

 

 

4 \cfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\cfrac{\sqrt{2}\cdot (\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})\cdot (\sqrt{3}+\sqrt{2})}

 

=\cfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2^{2}}}{(\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{2})^{2}}=\cfrac{2+\sqrt{6}}{3-2}=2+\sqrt{6}

 

 

5 \cfrac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}=\cfrac{(3\sqrt{2}-2\sqrt{3})\cdot (3\sqrt{2}-2\sqrt{3})}{(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})\cdot (3\sqrt{2}-2\sqrt{3})}=\cfrac{(3\sqrt{2}-2\sqrt{3})^{2}}{(3\sqrt{2})^{2}-(2\sqrt{3})^{2}}

 

=\cfrac{(3\sqrt{2})^{2}-2\cdot 3\cdot \sqrt{2}\cdot 2\sqrt{3}+(2\sqrt{3})^{2}}{(3\sqrt{2})^{2}-(2\sqrt{3})^{2}}

 

=\cfrac{9\cdot 2-12\sqrt{6}+4\cdot 3}{9\cdot 2-4\cdot 3}=\cfrac{18-12\sqrt{6}+12}{18-12}=\cfrac{30-12\sqrt{6}}{6}=5-2\sqrt{6}

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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klk
klk
Invité
18 Oct.

me encanta

Santos
Santos
Invité
3 Nov.

Gracias por lo que haces

macías
macías
Invité
27 Abr.

no entendi nada

Superprof
Superprof
Administrateur
28 Abr.

Hola Macías, lo sentimos. ¿Has intentado leer otros artículos sobre radicales? Si sigues sin entender, quizás la mejor opción es de buscar un profesor particular quien te lo podrá explicar en una clase privada. ¡Suerte!

Del Pino
Del Pino
Invité
17 May.

Muchas gracias Marta

Superprof
Superprof
Administrateur
18 May.

❤️

Gutierrez cervantes
Gutierrez cervantes
Invité
4 Jun.

Eres un crack de cracks

Velázquez
Velázquez
Invité
9 Jun.

Necesito ayudaaaa

Velázquez
Velázquez
Invité
9 Jun.

A mi hija le enviarán unas actividades y no las entiendo alguien que m ayude

Superprof
Superprof
Administrateur
23 Jun.

Hola, escríbenos con los ejercicios de tu hija y intentaremos contestarte lo más rápido posible. Sin embargo, no garantizamos una respuesta en tiempo real. Si hay urgencia en resolver los ejercicios, te aconsejamos contactar con uno de nuestros profesores de matemáticas a través la plataforma. ¡Un saludo!

Rosalía Mitiap
Rosalía Mitiap
Invité
28 Jun.

Me podrían facilitar la referencia o hay en algún libro estos casos, mi profe siempre nos pide con referencia a libros.

Superprof
Superprof
Administrateur
29 Jun.

Hola Rosalía, el contenido que puedes consultar en nuestra página es original entonces no hay una referencia de libro que te podemos aconsejar para citar. Sin embargo, puedes usar «citation machine» poniendo la URL de la página que te interesa para obtener el formato de citation MLA o APA. ¡Un saludo!

MAMANI CH
MAMANI CH
Invité
14 Jul.

gracias, me sirvió de mucho. bendiciones.

Superprof
Superprof
Administrateur
15 Jul.

¡Genial! 🙂