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1El conjunto de números \left\lbrace x\in\mathbb{R}\:|\:|x|<3\right\rbrace está formado por todos los números

Debemos analizar la desigualdad |x|<3. Por definición de valor absoluto esta inecuación es igual a

    $$-3<x<3.$$

Esto nos dice que el conjunto \left\lbrace x\in\mathbb{R}\:|\:|x|<3\right\rbrace es igual a todos los números entre -3 y 3 sin incluirlos ya que la desigualdad es estricta.

2El conjunto \left\lbrace x\in\mathbb{R}\:|\:|x|\geq 1\right\rbrace está formado por todos los números...

Debemos analizar la desigualdad |x|\geq 1. Por definición de valor absoluto esta inecuación es igual a

    $$x\leq -1,$$

    $$x\geq 1.$$

Esto nos dice que el conjunto \left\lbrace x\in\mathbb{R}\:|\:|x|\geq 1\right\rbrace es igual a todos los números menores o iguales a -1 y mayores o iguales 1.

3La expresión |x-3|>4 se reduce a...

Al analizar la desigualdad |x-3|>4. Obtenemos por definición de valor absoluto que esta inecuación es igual a x-3>4 y x-3<-4. Ahora resolvemos estas dos desigualdades sumando 3 en cada lado de las desigualdades,

    $$x-3>4\Rightarrow x>3+4\Rightarrow x>7,$$

    $$x-3<-4\Rightarrow x<-4+3\Rightarrow x<-1.$$

Esto nos dice que la desigualdad |x-3|>4 se reduce a x<-1, x>7.

4La representación de |x|>8 es...

Al analizar la desigualdad |x|>8. Por definición de valor absoluto esta inecuación es igual a

    $$x>8,$$

    $$x<-8.$$

Esto nos dice que los valores que satisfacen |x|>8 son aquellos mayores que ocho y menores que menos ocho sin incluirlos, es decir, la primera figura.

5La expresión |2x+18|<2 se representa por...

Por definición de valor absoluto la inecuación |2x+18|<2 se reescribe de la siguiente forma

    $$-2<2x+18<2$$

Ahora al restar 18 en ambos lados y dividiendo por 2 se sigue que

    $$-20<2x<-16,$$

    $$-10=\cfrac{-20}{2}<x<\cfrac{-16}{2}=-8.$$

Esto nos dice que los valores que satisfacen |2x+18|<2 son aquellos entre menos diez y menos ocho sin incluirlos, es decir, la segunda figura.

6La solución de la expresión |x-5|>2 se puede escribir como...

Por definición de valor absoluto la inecuación |x-5|>2 se reescribe de las siguientes forma

    $$x-5>2,$$

    $$x-5<-2,$$

Ahora al sumar 5 en ambos lados se sigue que

    $$x>2+5=7,$$

    $$x<-2+5=3.$$

Esto nos dice que los valores que satisfacen |x-5|>2 son aquellos mayores que siete y los menores que tres sin incluirlos, es decir, la primera figura.

7|-8|\cdot|9|=...

Debemos analizar cada uno de los valores que estan dentro de la función valor absoluto. Para |-8| tenemos que

    $$|-8|=8,$$

pues el número es negativo. En el caso de |9|

    $$|9|=9,$$

pues el número es positivo. Finalmente concluimos que

    $$|-8|\cdot|9|=8\cdot9=72.$$

8|x+3| ...

Este problema sugiere utilizar la desigualdad del triángulo. La cual nos dice básicamente que el todo es menor que la suma de sus parte, es decir,

    $$|x+3|\leq |x|+|3|\quad (\text{Desigualdad del triángulo.}) $$

Dado que no sabemos el signo del valor x este se queda tal y como esta. Ya que 3 tiene valor positivo, entonces el valor absoluto nos da el mismo valor. Por tanto obtenemos

    $$|x+3|\leq |x|+3$$

 

9|2x-5|\leq...

Primero agrupamos los signos y valores dentro del valor absoluto

    $$|2x-5|=|2x+(-5)|.$$

Ahora aplicamos la desigualdad del triángulo para obtener

    $$|2x-5|=|2x+(-5)|\leq |2x|+|-5|.$$

Ya que 5 tiene signo negativo entonces su valor absoluto es positivo, así

    $$|2x-5|=|2x+(-5)|\leq |2x|+|-5|=|2x|+5.$$

 

10d(-5, -2) =...

Recordemos que la definición de distancia en los reales es

    $$d(x, y) =|x-y|.$$

Para nuestro caso particular tenemos que

    $$d(-5, -2) =|(-5)-(-2)|.$$

Desarrollando los parentesis se sigue que

    $$d(-5, -2) =|(-5)-(-2)|=|-5-(-2)|=|-5+2|=|-3|=3.$$

Lo que nos dice que la respuesta correcta es

    $$|-5-(-2)|=3.$$

Si tienes dudas puedes consultar la teoría

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗