Problemas interactivos: valor absoluto de un número real

Debemos analizar la desigualdad . Por definición de valor absoluto esta inecuación es igual a Esto nos dice que el conjunto es igual a todos los números entre y sin incluirlos ya que la desigualdad es estricta.

Debemos analizar la desigualdad . Por definición de valor absoluto esta inecuación es igual a Esto nos dice que el conjunto es igual a todos los números menores o iguales a y mayores o iguales .

Al analizar la desigualdad . Obtenemos por definición de valor absoluto que esta inecuación es igual a y . Ahora resolvemos estas dos desigualdades sumando en cada lado de las desigualdades, Esto nos dice que la desigualdad se reduce a , .

Al analizar la desigualdad . Por definición de valor absoluto esta inecuación es igual a Esto nos dice que los valores que satisfacen son aquellos mayores que ocho y menores que menos ocho sin incluirlos, es decir, la primera figura.

Por definición de valor absoluto la inecuación se reescribe de la siguiente forma Ahora al restar en ambos lados y dividiendo por se sigue que Esto nos dice que los valores que satisfacen son aquellos entre menos diez y menos ocho sin incluirlos, es decir, la segunda figura.

Por definición de valor absoluto la inecuación se reescribe de las siguientes forma Ahora al sumar en ambos lados se sigue que Esto nos dice que los valores que satisfacen son aquellos mayores que siete y los menores que tres sin incluirlos, es decir, la primera figura.

Debemos analizar cada uno de los valores que estan dentro de la función valor absoluto. Para tenemos que pues el número es negativo. En el caso de pues el número es positivo. Finalmente concluimos que

Este problema sugiere utilizar la desigualdad del triángulo. La cual nos dice básicamente que el todo es menor que la suma de sus parte, es decir, Dado que no sabemos el signo del valor este se queda tal y como esta. Ya que tiene valor positivo, entonces el valor absoluto nos da el mismo valor. Por tanto obtenemos

Primero agrupamos los signos y valores dentro del valor absoluto Ahora aplicamos la desigualdad del triángulo para obtener Ya que tiene signo negativo entonces su valor absoluto es positivo, así

Recordemos que la definición de distancia en los reales es Para nuestro caso particular tenemos que Desarrollando los parentesis se sigue que Lo que nos dice que la respuesta correcta es