Propiedades y operaciones con radicales
Un radical es una expresión de la forma 
, en la que 
y 
. Además, si 
es par, entonces 
no puede ser negativo 
.
Por ejemplo, tenemos que 
es par. Por lo tanto, 
; mientras que 
.
Asimismo, como 
es impar, entonces 
y 
. Es decir, la raíz cúbica está definida para cualquier número real.
Las partes que componen un radical son: coeficiente, índice y radicando
Potencias y radicales
Se puede expresar un radical en forma de potencia:
Radicales equivalentes
Utilizando la notación de exponente fraccionario y la propiedad de las fracciones que dice que si se multiplica numerador y denominador por un mismo número la fracción es equivalente, obtenemos que:
Si se multiplican o dividen el índice y el exponente o exponentes del radicando por un mismo número natural, se obtiene otro radical equivalente.
Simplificación de radicales
Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los exponentes) del radicando, se obtiene un radical simplificado.
Reducción a índice común
Para reducir a común índice dos a más radicales:
1 Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice
2 Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes
Extracción de factores en un radical
Para extraer factores de un radical se descompone el radicando en factores. Si:
1 Un exponente del radicando es menor que el índice: El factor correspondiente se deja en el radicando.
2Un exponente del radicando es igual al índice: El factor correspondiente sale fuera del radicando.
3Un exponente del radicando es mayor que el índice: Se divide dicho exponente por el índice. El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando.
Introducción de factores en un radical
Para introducir factores en un radical se elevan los factores al índice del radical.
Operaciones con radicales
Para los radicales se tienen las operaciones de suma, resta, multiplicación, divisón y otras que veremos a continuación:
1Suma y resta de radicales
Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales semejantes, es decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicando.
Para sumar radicales con el mismo índice e igual radicando se se suman los coeficientes de los radicales.
2Multiplicación de radicales.En la multiplicación tenemos dos casos: con el mismo índice o con distinto índice.
aMultiplicación de radicales con el mismo índice. Para multiplicar radicales con el mismo índice se multiplican los radicandos y se deja el mismo índice.
bMultiplicación de radicales con distinto índice. Primero se reducen a común índice y luego se multiplican.
3División de radicales. En la división tenemos dos casos: con el mismo índice o con distinto índice
aDivisión de radicales con el mismo índice. Para dividir radicales con el mismo índice se dividen los radicandos y se deja el mismo índice.
bDivisión de radicales con distinto índice. Primero se reducen a índice común y luego se dividen.
4Potencia de un radical. Para elevar un radical a una potencia, se eleva a dicha potencia el radicando y se deja el mismo índice.
4Racionalización. Consiste en quitar los radicales del denominador, lo que permite facilitar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones
Podemos distinguir tres casos:
aRacionalización del tipo 
Se multiplica el numerador y el denominador por 
bRacionalización del tipo 
Se multiplica numerador y denominador por 
bRacionalización del tipo 
y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical.
Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador.
El conjugado de un binomio es igual al binomio con el signo central cambiado:
También tenemos que tener en cuenta que: "suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados".
Ejercicios con radicales
Escribir en forma de potencia 
Ponemos en forma de potencia al radicando
El índice del radical 
se transforma en el denominador y el exponente del radicando 
en el numerador y efectuamos las operaciones:
Un radical equivalente de 
es 
Multiplicamos el índice y el exponente del radicando por un entero positivo, por ejemplo
Simplificar:
1 
2 
1
Ponemos en forma de potencia al 
Para simplificar el radical dividimos por tanto el índice 
como el exponente del radicando
2
Para simplificar el radical dividimos por tanto el índice 
como los exponentes del radicando 
Poner a común índice los radicales: 
En primer lugar hallamos el m.c.m. de los índices: 
y 
Dividimos el común índice 
por cada uno de los índices 
y 
y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes
Operamos con las potencias
Verificar si es posible extraer los factores de:
1
2 
1
puesto que 
y los exponentes de los factores es 1, el cual es menor que el índice 2; así
2 
Puesto que 
y el exponente 2 es menor que el índice 3; así
Extraer los factores de:
1 
2 
1
Descomponemos 
en factores, como el está elevado a la misma potencia que el índice podemos extraer el del radicando; así se obtiene
2
Descomponemos 
en factores, como el está elevado a la misma potencia que el índice podemos extraer el del radicando; así se obtiene
Extraer los factores de:
1 
2 
3 
4 
1
El exponente del 2 es mayor que el índice, por tanto se divide dicho exponente entre el índice
El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto 
es el exponente del factor dentro del radicando.
Como el factor 
es igual a 1, no es necesario colocarlo en el radicando ya que si se multiplica por otro factor este no varía
En general, si el resultado de dividir el exponente de un factor por el índice da como resto cero, no colocaremos ese factor en el radicando
2
Descomponemos en factores: 
El exponente es mayor que el índice, por tanto se divide dicho exponente 
entre el índice 
.
El cociente obtenido 
es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente dentro del radicando
3
Hay exponentes en el radicando mayores que el índice, por tanto se dividen dichos exponentes 
y 
por el índice .
Cada uno de los cocientes 
y obtenidos será el exponente del factor correspondiente fuera del radicando y cada uno de los restos obtenidos 
y serán los exponentes de los factores correspondientes dentro del radicando
4
Los exponentes el radicando son mayores que el índice, por tanto se dividen dichos exponentes 
y por el índice .
Cada uno de los cocientes 
obtenidos será el exponente del factor correspondiente fuera del radicando y cada uno de los restos obtenidos 
serán los exponentes de los factores correspondientes dentro del radicando
Introducir los factores en el radical:
1 
2 
1
Como el índice es , el factor fuera del radical se eleva al cuadrado y realizamos las operaciones
2
Tanto el 
como el 
se introducen elevados a la cuarta potencia, es decir,
Quitamos los paréntesis multiplicando los exponentes y multiplicamos las potencias con la misma base
Realizar las sumas:
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
1
Sumamos y restamos (dependiendo de los signos) los coeficientes de los radicales y tenemos
2
Sumamos los coeficientes de los radicales
3
Descomponemos en factores los radicandos:
De manera que las raíces son
Extraemos factores de los radicales y los multiplicamos por el coeficiente del radical correspondiente
Sumamos los coeficientes de los radicales
4
Extraemos factores de los radicales y los multiplicamos por el coeficiente del radical correspondiente
De manera que
Simplificamos los radicales. En el primer radical dividimos el índice y el exponente del radicando por , en el segundo por y en el tercero por 
Sumamos los coeficientes de los radicales
5
Expresamos los radicandos en factores
Extraemos factores del radicando
Sumamos los coeficentes y tenemos
6
Expresamos los radicandos en factores
Extraemos factores del radicando
Sumamos los coeficentes y tenemos
7
Expresamos los radicandos en factores
Extraemos factores del radicando
Sumamos los coeficentes y tenemos
8
Expresamos los radicandos en factores
Extraemos factores del radicando
Sumamos los coeficentes y tenemos
Realizar la multiplicación 
Multiplicamos los radicandos
Cuando terminemos de realizar una operación extraeremos factores del radical, si es posible.
Realizar las multiplicaciones:
1
2 
1
Descomponemos en factores los radicandos
Reducimos a común índice por lo que tenemos que calcular el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice.
Dividimos el común índice por cada uno de los índices 
y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes 
. Realizamos el producto de potencias con la misma base en el radicando y extraemos factores del radicando
2
Calculamos el mínimo común múltiplo de los índices
Dividimos el común índice por cada uno de los índices 
y cada resultado obtenido se eleva a los radicandos correspondientes
Descomponemos en factores y 
, realizamos las operaciones con las potencias y extraemos factores
Realizar la división 
Como los dos radicales tienen el mismo índice lo ponemos todo en un radical con el mismo índice
Descomponemos en factores, hacemos la división de potencias con la misma base
Simplificamos el radical dividiendo el índice y el exponente del radicando por
Realiza las divisiones:
1 
2 
3
1
En primer reducimos a común índice por lo que tenemos que calcular el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice 
.
Dividimos el común índice por cada uno de los índices ( y ) y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes ( y )
2
Descomponemos el en factores para poder hacer la división de potencias con la misma base y dividimos
3
Realizamos los mismos pasos del ejemplo anterior
Simplificamos el radical dividiendo por el índice y el exponente del radicando, y por último extraemos factores
Simplifica:
1 
2 
1
Elevamos el radicando al cuadrado, descomponemos 
en factores y los elevamos al cuadrado y por último extraemos factores
2
Elevamos los radicandos a la cuarta, descomponemos en factores los radicandos y extraemos el del radical
En los radicando realizamos las operaciones con potencias y ponemos a común índice para poder efectuar la división
Simplificamos el radical dividiendo por el índice y los exponentes del radicando y realizamos una división de potencias con el mismo exponente
Simplificar:
1 
2 
1
Multiplicamos los índices
2
Introducimos el primer dentro de la raíz cúbica por lo que tendremos que elevarlo al cubo y multiplicamos las potencias con la misma base
Introducimos el 
en la raíz cuarta por lo que tenemos que elevarlo a la cuarta, realizamos el producto de potencias y por último el producto de los índices
Racionalizar 
Multiplicamos el numerador y el denominador por
Simplificamos
Racionalizar 
El radicando lo ponemos en forma de potencia: 
Tenemos que multiplicar en el numerador y denominador por la raíz quinta de 
Multiplicamos los radicales del denominador, extraemos factores del radical y simplificamos la fracción
Racionalizar:
1 
2 
3 
1
Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador, quitamos paréntesis en el numerador y efectuamos la suma por diferencia en el denominador, por lo que obtenemos una diferencia de cuadrados
2
Multiplicamos y dividimos la fracción por el conjugado del denominador
3
Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador, quitamos paréntesis en el numerador y efectuamos la suma por diferencia en el denominador, por lo que obtenemos una diferencia de cuadrados
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hola…como racionalizo 48-6m / la raiz de 4 (dentro de la misma raiz )-raiz de 2m
Hola con gusto te ayudamos, multiplica por la raíz de 4 (dentro de la misma raíz )-raíz de 2m/ la raíz de 4 (dentro de la misma raíz )-raíz de 2m y después por 4 (dentro de la misma raíz )-raíz de 2m/4 (dentro de la misma raíz )-raíz de 2m.
tiene mal la respuesta del 9
Hola revise el ejercicio 9 del artículo y no encontré el error, podrías dar mas detalles por favor para poder corregirlo.
Cómo se resuelve 1/4-3/4÷4/5² todo la operación dentro de una raíz cúbica
No sé que es disyuntiva, comnutativa
Hola con gusto te ayudamos, con la propiedad disyuntiva significa que si tienes dos opciones y se cumpla una entonces es suficiente por ejemplo «puedes comer en tu casa o en el centro comercial» como puedes ver la propiedad disyuntiva te da opciones, en el caso de la propiedad conmutativa no importa el orden en que hagas una operación puedes sumar «5+4» o «4+5».
Hola analizamos tu observación, si te refieres a (√8+√5)+0=√8+(√5+0) la respuesta es lo que tu comentas «propiedad asociativa de la suma», si me equivoco por favor menciónalo y lo rectificamos con gusto.