Un radical es una expresión de la forma , en la que n y a ; con tal que cuando a sea negativo, n ha de ser impar.

 

Potencias y radicales

 

Se puede expresar un radical en forma de potencia:

 

 

Ejemplo:

 

 

Ponemos en forma de potencia 256, 256 = 28

 

El índice del radical (2) se transforma en el denominador y el exponente del radicando (8) en el numerador

 

Efectuamos las operaciones

 

Radicales equivalentes

 

Utilizando la notación de exponente fraccionario y la propiedad de las fracciones que dice que si se multiplica numerador y denominador por un mismo número la fracción es equivalente, obtenemos que:

 

 

Si se multiplican o dividen el índice y el exponente o exponentes del radicando por un mismo número natural, se obtiene otro radical equivalente.

 

Ejemplo:

 

 

Descomponemos en factores 36

 

Divimos por 2 tanto el índice (4) como los exponentes del radicando (2 y 2)

 

Simplificación de radicales

 

Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los exponentes) del radicando, se obtiene un radical simplificado.

 

Ejemplos:

 

1

 

Ponemos en forma de potencia 256, 256 = 28

 

Para simplificar el radical divimos por 2 tanto el índice (6) como el exponente del radicando (8)

 

2

 

Para simplificar el radical divimos por 2 tanto el índice (4) como los exponentes del radicando (6 y 10)

 

Reducción a índice común

 

Para reducir a común índice dos a más radicales:

1 - Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice

2 - Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes

 

Ejemplo:

 

Poner a común índice los radicales:

 

 

En primer lugar hallamos el m.c.m. de los índices: 2, 3 y 4

 

 

Dividimos el común índice (12) por cada uno de los índices (2, 3 y 4) y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes

 

 

Operamos con las potencias

 

 

Extracción de factores en un radical

 

Para extraer factores de un radical se descompone el radicando en factores. Si:

 

1 - Un exponente del radicando es menor que el índice, el factor correspondiente se deja en el radicando.

 

Ejemplos:

 

1

1

 

2 - Un exponente del radicando es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando.

 

Ejemplo:

 

1

 

Descomponemos 12 en factores, como el 2 está elevado a la misma potencia que el índice podemos extraer el 2 del radicando

 

2

 

Descomponemos 8 en factores, como el 2 está elevado a la misma potencia que el índice podemos extraer el 2 del radicando

 

3 - Un exponente del radicando es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el índice. El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando.

 

Ejemplos:

 

1)

 

El exponente del 2 es mayor que el índice, por tanto se divide dicho exponente (4) entre el índice (2).

 

El cociente obtenido (2) es el exponente del factor fuera del radicando y el resto (0) es el exponente del factor dentro del radicando

 

2)

Descomponemos en factores 243 = 35

 

El exponente es mayor que el índice, por tanto se divide dicho exponente (5) entre el índice (3).

 

El cociente obtenido (1) es el exponente del factor fuera del radicando y el resto (2) es el exponente dentro del radicando

 

Como el factor 20 es igual a 1, no es necesario colocarlo en el radicando ya que si se multiplica por otro factor este no varía

 

En general, si el resultado de dividir el exponente de un factor por el índice da como resto cero, no colocaremos ese factor en el radicando

 

3)

 

Hay exponentes en el radicando mayores que el índice, por tanto se dividen dichos exponentes (2 y 5) por el índice (2).

 

Cada uno de los cocientes (1 y 2) obtenidos será el exponente del factor correspondiente fuera del radicando y cada uno de los restos obtenidos (0 y 1) serán los exponentes de los factores correspondientes dentro del radicando

 

4

 

Los exponentes el radicando son mayores que el índice, por tanto se dividen dichos exponentes (7, 14 y 4) por el índice (4).

 

Cada uno de los cocientes (1, 3 y 1) obtenidos será el exponente del factor correspondiente fuera del radicando y cada uno de los restos obtenidos (3, 2 y 0) serán los exponentes de los factores correspondientes dentro del radicando

 

Introducción de factores en un radical

 

Para introducir factores en un radical se elevan los factores al índice del radical.

 

     

 

Ejemplos:

 

1

 

Como el índice es 2, el factor fuera del radical (2) se eleva al cuadrado y realizamos las operaciones

 

 

2

 

Tanto el 2² como el 3³ se introducen elevados al índice (4)

 

 

Quitamos los paréntesis multiplicando los exponentes

 

 

Multiplicamos las potencias con la misma base

 

Suma de radicales

 

Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales semejantes, es decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicando.

 

Para sumar radicales con el mismo índice e igual radicando se se suman los coeficientes de los radicales.

 

 

Ejemplos

 

1)

Sumamos los coeficientes de los radicales

 

2)

Sumamos los coeficientes de los radicales

 

3)

Descomponemos en factores los radicandos:

12 = 2² · 3, 75 = 3 · 5²

Extraemos factores de los radicales y los multiplicamos por el coeficiente del radical correspondiente

Sumamos los coeficientes de los radicales

4

Extraemos factores de los radicales y los multiplicamos por el coeficiente del radical correspondiente

 

4)

= 2², 8 = 2³ y 64 = 28

Simplificamos los radicales. En el primer radical dividimos el índice y el exponente del radicando por 2, en el 2º por 3 y en el 3º por 6

Sumamos los coeficientes de los radicales

Ejemplos de ejercicios de suma y resta de radicales

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Multiplicación de radicales con el mismo índice

 

Para multiplicar radicales con el mismo índice se multiplican los radicandos y se deja el mismo índice.

 

 

Ejemplo:

 

 

 

Cuando terminemos de realizar una operación extraeremos factores del radical, si es posible.

 

Multiplicación de radicales con distinto índice

 

Primero se reducen a común índice y luego se multiplican.

 

Ejemplos:

 

1)

Descomponemos en factores los radicandos

Reducimos a común índice por lo que tenemos que calcular el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice.

Dividimos el común índice (12) por cada uno de los índices (2, 3 y 4) y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes (1, 2 y

 

3)

Realizamos el producto de potencias con la misma base en el radicando y extraemos factores del radicando

2

Calculamos el mínimo común múltiplo de los índices

Dividimos el común índice (6) por cada uno de los índices (2 y 3) y cada resultado obtenido se eleva a los radicandos correspondientes

Descomponemos en factores 12 y 36, realizamos las operaciones con las potencias y extraemos factores

 

División de radicales con el mismo índice

 

Para dividir radicales con el mismo índice se dividen los radicandos y se deja el mismo índice.

 

 

Ejemplo:

 

 

Como los dos radicales tienen el mismo índice lo ponemos todo en un radical con el mismo índice

Descomponemos en factores, hacemos la división de potencias con la misma base

Simplificamos el radical dividiendo el índice y el exponente del radicando por 3

 

División de radicales con distinto índice

 

Primero se reducen a índice común y luego se dividen.

 

Ejemplos:

 

1)

En primer reducimos a común índice por lo que tenemos que calcular el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice. m.c.m.(3, 2) = 6

 

Dividimos el común índice (6) por cada uno de los índices (3 y 2) y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes (1 y 1)

 

Descomponemos el 4 en factores para poder hacer la división de potencias con la misma base y dividimos

 

 

2 )

Realizamos los mismos pasos del ejercicio anterior

 

 

Simplificamos el radical dividiendo por 2 el índice y el exponente del radicando, y por último extraemos factores

 

 

Potencia de un radical

 

Para elevar un radical a una potencia, se eleva a dicha potencia el radicando y se deja el mismo índice.

 

     

 

Ejemplo:

 

1 )

 

Elevamos el radicando al cuadrado, descomponemos 18 en factores y los elevamos al cuadrado y por último extraemos factores

 

 

2 )

 

Elevamos los radicandos a la cuarta, descomponemos en factores los radicandos y extraemos el 18 del radical

 

 

En los radicando realizamos las operaciones con potencias y ponemos a común índice para poder efectuar la división

 

 

Simpificamos el radical dividiendo por 2 el índice y los exponentes del radicando y realizamos una división de potencias con el mismo exponente

 

 

Escribir en forma de radical las potencias:

 

 

 

 

Expresar como potencia fraccionaria

 

 

 

 

 

Raíz de un radical

 

La raíz de un radical es otro radical de igual radicando y cuyo índice es el producto de los dos índices.

 

     

 

Ejemplo:

 

1)

 

Multiplicamos los índices

 

 

2)

 

Introducimos el primer 2 dentro de la raíz cúbica por lo que tendremos que elevarlo al cubo y multiplicamos las potencias con la misma base

 

 

Introducimos el 24 en la raiz cuarta por lo que tenemos que elevarlo a la cuarta, realizamos el producto de potencias y por último el producto de los índices

 

 

Racionalización

 

La racionalización de radicales consiste en quitar los radicales del denominador, lo que permite facilitar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones.

 

Podemos distinguir tres casos:

 

Caso 1

Racionalización del tipo

 

Se multiplica el numerador y el denominador por .

 

 

Ejemplos:

 

 

Multiplicamos numerador y denominador por la raíz de 2, realizamos los cálculos y simplificamos la fracción

 

 

Para poder realizar la suma racionalizamos el 2º sumando multiplicando y dividiendo por raíz de 2, y realizamos la suma

 

 

Caso 2

 

Racionalización del tipo

 

Se multiplica numerador y denominador por .

 

     

 

Ejemplo:

 

 

El radicando 4 lo ponemos en forma de potencia: 2²

 

Tenemos que multiplicar en el numerador y denominador por la raíz quinta de 25 − 2 = 2³

 

Multiplicamos los radicales del denominador, extraemos factores del radical y simplificamos la fracción

 

Caso 3

 

Racionalización del tipo

 

Y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical.

 

Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador.

 

El conjugado de un binomio es igual al binomio con el signo central cambiado:

 

     

 

También tenemos que tener en cuenta que: "suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados".

 

     

 

Ejemplos:

 

 

Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador, quitamos paréntesis en el numerador y efectuamos la suma por diferencia en el denominador, por lo que obtenemos una diferencia de cuadrados

 

 

En el denominador extraemos los radicandos y dividimos por −1, es decir, cambiamos el numerador de signo

 

 

Multiplicamos y dividimos la fracción por el conjugado del denominador

 

 

Efectuamos la suma por diferencia en el denominador, por lo que obtenemos

una diferencia de cuadrados y operamos:

 

Realizamos las operaciones y simplificamos la fracción dividiendo por 2

 

 

Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador, quitamos paréntesis en el numerador y efectuamos la suma por diferencia en el denominador, por lo que obtenemos una diferencia de cuadrados

 

 

En el numerador descomponemos en factores 12 y extraemos factores, terminamos realizando las operaciones del denominador.

 

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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