Name: Radicales, sus propiedades y sus operaciones
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Temas

Partes de un radical
Potencias y radicales
Radicales equivalentes
Simplificación de radicales
Reducción a índice común
Extracción de factores en un radical
Introducción de factores en un radical
Suma de radicales
Multiplicación de radicales con el mismo índice
Multiplicación de radicales con distinto índice
División de radicales con el mismo índice
División de radicales con distinto índice
Potencia de un radical
Raíz de un radical
Racionalización

Un radical es una expresión de la forma $\sqrt[n]{a}$ , en la que $n \in \mathbb{N}$ y $a \in \mathbb{R}$ . Además, si $n$ es par, entonces $a$ no puede ser negativo $(a \geq 0)$ .

Por ejemplo, tenemos que $2$ es par. Por lo tanto, $\sqrt{64} = 8$ ; mientras que $\sqrt{-64} \notin \mathbb{R}$ .

Asimismo, como $3$ es impar, entonces $\sqrt[3]{8} = 2$ y $\sqrt[3]{-8} = -2$ . Es decir, la raíz cúbica está definida para cualquier número real.

Partes de un radical

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Potencias y radicales

Se puede expresar un radical en forma de potencia:

$\displaystyle \sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$

Ejemplo:

Ponemos en forma de potencia al $256$ , $256 = 2^8$

El índice del radical $(2)$ se transforma en el denominador y el exponente del radicando $(8)$ en el numerador y efectuamos las operaciones:

$\displaystyle \sqrt{256} = \sqrt{2^8} = 2^{8/2} = 2^4 = 16$

Radicales equivalentes

Utilizando la notación de exponente fraccionario y la propiedad de las fracciones que dice que si se multiplica numerador y denominador por un mismo número la fracción es equivalente, obtenemos que:

$\displaystyle a^{m/n} = a^{(km)/(kn)} \qquad \to \qquad \sqrt[n]{a^m} = \sqrt[nk]{a^{mk}}$

Si se multiplican o dividen el índice y el exponente o exponentes del radicando por un mismo número natural, se obtiene otro radical equivalente.

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Ejemplo

$\sqrt{2}=\sqrt[3\cdot 2]{2^{3\cdot 1}}=\sqrt[6]{2^{3}}$

Simplificación de radicales

Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los exponentes) del radicando, se obtiene un radical simplificado.

Ejemplos

1 Simplificar $\sqrt[6]{256}$

Ponemos en forma de potencia al $256$ , $256 = 2^8$

Para simplificar el radical dividimos por $2$ tanto el índice $(6)$ como el exponente del radicando $(8)$

$\sqrt[6]{256}= \sqrt[6]{2^8} = \sqrt[3]{2^4}$

2 Simplificar $\displaystyle \sqrt[4]{2^6 \cdot 3^{10} }$

Para simplificar el radical dividimos por $2$ tanto el índice $(4)$ como los exponentes del radicando $(6 \textup{ y }10)$

$\displaystyle \sqrt[4]{2^6 \cdot 3^{10} }= \sqrt{2^3 \cdot 3^5}$

Reducción a índice común

Para reducir a común índice dos a más radicales:

1 Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice

2 Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes

Ejemplo:

Poner a común índice los radicales:

$\displaystyle \sqrt{2}, \quad \sqrt[3]{2^2 \cdot 3^2}, \quad \sqrt[4]{2^2 \cdot 3^3}$

En primer lugar hallamos el m.c.m. de los índices: $2, 3$ y $4$

$\displaystyle \text{mcm}(2, 3, 4) = 12$

Dividimos el común índice $(12)$ por cada uno de los índices $(2, 3$ y $4)$ y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes

$\displaystyle \sqrt[12]{2^6}, \quad \sqrt[12]{(2^2)^4 \cdot (3^2)^4}, \quad \sqrt[12]{(2^2)^3 \cdot (3^3)^3}$

Operamos con las potencias

$\displaystyle \sqrt[12]{2^6}, \quad \sqrt[12]{2^8 \cdot 3^8}, \quad \sqrt[12]{2^6 \cdot 3^9}$

Extracción de factores en un radical

Para extraer factores de un radical se descompone el radicando en factores. Si:

Un exponente del radicando es menor que el índice

El factor correspondiente se deja en el radicando.

Ejemplos:

1 $\displaystyle \sqrt{6} = \sqrt{2 \cdot 3}$

2 $\displaystyle \sqrt[3]{9} = \sqrt[3]{3^2}$

Un exponente del radicando es igual al índice

El factor correspondiente sale fuera del radicando.

Ejemplos:

1 $\displaystyle \sqrt{12} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = 2 \sqrt{3}$

Descomponemos $12$ en factores, como el $2$ está elevado a la misma potencia que el índice podemos extraer el $2$ del radicando

2 $\displaystyle \sqrt[3]{8} = \sqrt[3]{2^3} = 2$

Descomponemos $8$ en factores, como el $2$ está elevado a la misma potencia que el índice podemos extraer el $2$ del radicando

Un exponente del radicando es mayor que el índice

Se divide dicho exponente por el índice. El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando

Ejemplos:

1 $\sqrt{48}$

El exponente del 2 es mayor que el índice, por tanto se divide dicho exponente $(4)$ entre el índice $(2)$

$\sqrt{48}= \sqrt{2^4 \cdot 3} = 2^2\sqrt{3} = 4 \sqrt{3}$

El cociente obtenido $(2)$ es el exponente del factor fuera del radicando y el resto $(0)$ es el exponente del factor dentro del radicando.

Como el factor $2^0$ es igual a 1, no es necesario colocarlo en el radicando ya que si se multiplica por otro factor este no varía

En general, si el resultado de dividir el exponente de un factor por el índice da como resto cero, no colocaremos ese factor en el radicando

2 $\sqrt[3]{243}$

Descomponemos en factores: $243 = 3^5$

El exponente es mayor que el índice, por tanto se divide dicho exponente $(5)$ entre el índice $(3)$ .

El cociente obtenido $(1)$ es el exponente del factor fuera del radicando y el resto $(2)$ es el exponente dentro del radicando

$\sqrt[3]{243}= \sqrt[3]{3^5} = 3\sqrt[3]{3^2} = 3 \sqrt[3]{9}$

3 $\sqrt{2 \cdot 3^2 \cdot 5^5}$

Hay exponentes en el radicando mayores que el índice, por tanto se dividen dichos exponentes $(2$ y $5)$ por el índice $(2)$ .

Cada uno de los cocientes $1$ y $2$ obtenidos será el exponente del factor correspondiente fuera del radicando y cada uno de los restos obtenidos $0$ y $1$ serán los exponentes de los factores correspondientes dentro del radicando

$\sqrt{2 \cdot 3^2 \cdot 5^5} = 3 \cdot 5^2 \cdot \sqrt{2 \cdot 5} = 75 \sqrt{10}$

4 $\displaystyle \sqrt[4]{2^7 \cdot 3^{14} \cdot 5^4} = 2 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot \sqrt[4]{2^3 \cdot 3^2} = 270\sqrt[4]{72}$

Los exponentes el radicando son mayores que el índice, por tanto se dividen dichos exponentes $(7, 14$ y $4)$ por el índice $(4)$ .

Cada uno de los cocientes $(1, 3, 1)$ obtenidos será el exponente del factor correspondiente fuera del radicando y cada uno de los restos obtenidos $(3, 2, 0)$ serán los exponentes de los factores correspondientes dentro del radicando

Introducción de factores en un radical

Para introducir factores en un radical se elevan los factores al índice del radical.

$\displaystyle a \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a^n b}$

Ejemplos:

1 $\displaystyle 2\sqrt{3}$

Como el índice es $2$ , el factor fuera del radical $(2)$ se eleva al cuadrado y realizamos las operaciones

$\displaystyle 2\sqrt{3} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = \sqrt{12}$

2 $\displaystyle 2^2 \cdot 3^3 \sqrt[4]{6}$

Tanto el $2^2$ como el $3^3$ se introducen elevados a la cuarta potencia, es decir,

$\displaystyle \sqrt[4]{(2^2)^4 \cdot (3^3)^4 \cdot 2 \cdot 3}$

Quitamos los paréntesis multiplicando los exponentes

$\displaystyle 2^2 \cdot 3^3 \sqrt[4]{2 \cdot 3} = \sqrt[4]{2^9 \cdot 3^{13} }$

Multiplicamos las potencias con la misma base

Suma de radicales

Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales semejantes, es decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicando.

Para sumar radicales con el mismo índice e igual radicando se se suman los coeficientes de los radicales.

$\displaystyle a\sqrt[n]{k} + b\sqrt[n]{k} + c\sqrt[n]{k} = (a + b + c)\sqrt[n]{k}$

Ejemplos:

1 $\displaystyle 2\sqrt{2} - 4\sqrt{2} + \sqrt{2}$

Sumamos los coeficientes de los radicales

$\displaystyle (2 - 4 + 1)\sqrt{2} = -\sqrt{2}$

2 $\displaystyle 3\sqrt[4]{5} - 2\sqrt[4]{5} - \sqrt[4]{5}$

Sumamos los coeficientes de los radicales

$\displaystyle (3 - 2 - 1)\sqrt[4]{5} = 0$

3 $\displaystyle \sqrt{12} - 3\sqrt{3} + 2\sqrt{75}$

Descomponemos en factores los radicandos:

$\displaystyle 12 = 2^2 \cdot 3, \quad 75 = 3 \cdot 5^2$

De manera que las raíces son

$\displaystyle \sqrt{2^2 \cdot 3} - 3 \sqrt{3} + 2\sqrt{5^2 \cdot 3}$

Extraemos factores de los radicales y los multiplicamos por el coeficiente del radical correspondiente

$\displaystyle 2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + 10\sqrt{3}$

Sumamos los coeficientes de los radicales

$\displaystyle 9\sqrt{3}$

4 $\displaystyle \sqrt[4]{4} + \sqrt[6]{8} - \sqrt[12]{64}$

Extraemos factores de los radicales y los multiplicamos por el coeficiente del radical correspondiente

$\displaystyle 4 = 2^2, \quad 8 = 2^3, \quad 64 = 2^8$

De manera que

$\displaystyle \sqrt[4]{2^2} + \sqrt[6]{2^3} - \sqrt[12]{2^6}$

Simplificamos los radicales. En el primer radical dividimos el índice y el exponente del radicando por $2$ , en el segundo por $3$ y en el tercero por $6$

$\displaystyle \sqrt{2} + \sqrt{2} - \sqrt{2}$

Sumamos los coeficientes de los radicales

$\displaystyle \sqrt{2}$

Ejemplos de ejercicios de suma y resta de radicales

$\displaystyle 2\sqrt{12} - 3\sqrt{75} + \sqrt{27}$

$\displaystyle 2\sqrt{2^2 \cdot 3} - 3\sqrt{3 \cdot 5^2} + \sqrt{3^3} = 4\sqrt{3} - 15\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = -8\sqrt{3}$

$\displaystyle \sqrt{24} - 5 \sqrt{6} + \sqrt{486} = \sqrt{2^3 \cdot 3} - 5\sqrt{6} + 2\sqrt{2 \cdot 3^5} = 2\sqrt{6} - 5\sqrt{6} + 9\sqrt{6} = 6\sqrt{6}$

$\displaystyle 2\sqrt{5} + \sqrt{45} + \sqrt{180} - \sqrt{80} = 2\sqrt{5} + \sqrt{3^2 \cdot 5} + \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 5} - \sqrt{2^4 \cdot 5} =$

$\displaystyle \sqrt[3]{54} - \sqrt[3]{16} + \sqrt[3]{250} = \sqrt[3]{2 \cdot 3^3} - \sqrt[3]{2^4} + \sqrt[3]{2 \cdot 5^3} =$

$\displaystyle = 3 \sqrt[3]{2} - 2\sqrt[3]{2} + 5\sqrt[3]{2} = 6\sqrt[3]{2}$

$\displaystyle \sqrt[3]{16} + \sqrt[3]{250} + \sqrt[6]{4} - \frac{1}{\sqrt[3]{4}} =$

$\displaystyle = \sqrt[3]{2^4} + \sqrt[3]{2 \cdot 5^3} + \sqrt[6]{2^2} - \frac{1}{\sqrt[3]{2^2}}$

$\displaystyle = 2\sqrt[3]{2} + 5\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2} - \frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2^2 \cdot \sqrt[3]{2}}}$

$\displaystyle = 2\sqrt[3]{2} + 5\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} = \frac{15}{2} \sqrt[3]{2}$

Multiplicación de radicales con el mismo índice

Para multiplicar radicales con el mismo índice se multiplican los radicandos y se deja el mismo índice.

$\displaystyle \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$

Ejemplo:

$\displaystyle \sqrt{2} \cdot \sqrt{6}$

$\displaystyle \sqrt{2} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{12} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$

Cuando terminemos de realizar una operación extraeremos factores del radical, si es posible.

Multiplicación de radicales con distinto índice

Primero se reducen a común índice y luego se multiplican.

Ejemplos:

1 $\displaystyle \sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[4]{27} =$

Descomponemos en factores los radicandos

$\displaystyle = \sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{3^2} \cdot \sqrt[4]{3^3}$

Reducimos a común índice por lo que tenemos que calcular el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice.

$\displaystyle \text{m.c.m.}(2, 3, 4) = 12$

Dividimos el común índice $(12)$ por cada uno de los índices $(2, 3 ,4)$ y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes $(1, 2 ,3)$ . Realizamos el producto de potencias con la misma base en el radicando y extraemos factores del radicando

$\displaystyle = \sqrt[12]{3^6} \cdot \sqrt[12]{\left( 3^2 \right)^4} \cdot \sqrt[12]{\left( 3^3 \right)^3} = \sqrt[12]{3^6 \cdot 3^8 \cdot 3^9} = \sqrt[12]{3^{23}} = 3 \sqrt[12]{3^{11}}$

2 $\displaystyle \sqrt{12} \cdot \sqrt[3]{36} =$

Calculamos el mínimo común múltiplo de los índices

$\displaystyle \text{m.c.m.}(2, 3) = 6$

Dividimos el común índice $(6)$ por cada uno de los índices $(2 , 3)$ y cada resultado obtenido se eleva a los radicandos correspondientes

$\displaystyle \sqrt[6]{12^3} \cdot \sqrt[6]{36^2} = \sqrt[6]{\left( 2^2 \cdot 3 \right)^3 \cdot \left( 2^2 \cdot 3^2 \right)^2} = \sqrt[6]{2^6 \cdot 3^3 \cdot 2^4 \cdot 3^4} = \sqrt[6]{2^{10} \cdot 3^7} = 6\sqrt[6]{2^4 \cdot 3}$

Descomponemos en factores $12$ y $36$ , realizamos las operaciones con las potencias y extraemos factores

División de radicales con el mismo índice

Para dividir radicales con el mismo índice se dividen los radicandos y se deja el mismo índice.

$\displaystyle \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$

Ejemplo:

$\displaystyle \frac{\sqrt[6]{128}}{\sqrt[6]{16}} = \sqrt[6]{\frac{128}{16}} = \sqrt[6]{\frac{2^7}{2^4}} = \sqrt[6]{2^3} = \sqrt{2}$

Como los dos radicales tienen el mismo índice lo ponemos todo en un radical con el mismo índice

Descomponemos en factores, hacemos la división de potencias con la misma base

Simplificamos el radical dividiendo el índice y el exponente del radicando por $3$

División de radicales con distinto índice

Primero se reducen a índice común y luego se dividen.

Ejemplos:

1 $\displaystyle \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt{2}} =$

En primer reducimos a común índice por lo que tenemos que calcular el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice. $\text{m.c.m.}(3, 2) = 6$ .

Dividimos el común índice $(6)$ por cada uno de los índices ( $3$ y $2$ ) y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes ( $1$ y $1$ )

Descomponemos el $4$ en factores para poder hacer la división de potencias con la misma base y dividimos

$\displaystyle \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt{2}} = \sqrt[6]{\frac{4^2}{2^3}} = \sqrt[6]{\frac{\left(2^2 \right)^2}{2^3}} = \sqrt[6]{\frac{2^4}{2^3}} = \sqrt[6]{2}$

2 $\displaystyle \frac{\sqrt{256}}{\sqrt[3]{16}} =$

Realizamos los mismos pasos del ejercicio anterior

$\displaystyle \frac{\sqrt{256}}{\sqrt[3]{16}} = \sqrt[6]{\frac{256^3}{16^2}} = \sqrt[6]{\frac{\left( 2^8 \right)^3}{\left( 2^4 \right)^2}} = \sqrt[6]{\frac{2^{24}}{2^8}}$

Simplificamos el radical dividiendo por $2$ el índice y el exponente del radicando, y por último extraemos factores

$\displaystyle = \sqrt[6]{2^{16}} = \sqrt[3]{2^8} = 2^2 \sqrt[3]{2^2} = 4 \sqrt[3]{4}$

Potencia de un radical

Para elevar un radical a una potencia, se eleva a dicha potencia el radicando y se deja el mismo índice.

$\displaystyle \left( \sqrt[n]{a} \right)^m = \sqrt[n]{a^m}$

Ejemplo:

1 $\displaystyle \left( \sqrt[3]{18} \right)^2 =$

Elevamos el radicando al cuadrado, descomponemos $18$ en factores y los elevamos al cuadrado y por último extraemos factores

$\displaystyle\left(\sqrt[3]{18} \right)^{2}=\sqrt[3]{18^{2}}=\sqrt[3]{(2\cdot 3^2)^2}=\sqrt[3]{2^2\cdot 3^4}=3\sqrt[3]{12}$

2 $\displaystyle \left( \frac{\sqrt[3]{12}\cdot \sqrt[4]{18}}{\sqrt{6}}\right)^4 =$

Elevamos los radicandos a la cuarta, descomponemos en factores los radicandos y extraemos el $18$ del radical

$\displaystyle \left( \frac{\sqrt[3]{12}\cdot \sqrt[4]{18}}{\sqrt{6}}\right)^4 =\frac{\sqrt[3]{(12)^4}\cdot \sqrt[4]{(18)^4}}{\sqrt{(6)^4}}=\frac{\sqrt[3]{(2^2 \cdot 3)^4}\cdot 18}{\sqrt{(2\cdot 3)^4}}$

En los radicando realizamos las operaciones con potencias y ponemos a común índice para poder efectuar la división

$= \displaystyle \frac{18 \sqrt[3]{2^8 \cdot 3^4}}{\sqrt{2^4 \cdot 3^4}}=18 \sqrt[6]{\frac{(2^8 \cdot 3^4)^2}{(2^4 \cdot 3^4)^3}}=18 \sqrt[6]{\frac{2^{16} \cdot 3^8}{2^{12} \cdot 3^{12}}}$

Simplificamos el radical dividiendo por $2$ el índice y los exponentes del radicando y realizamos una división de potencias con el mismo exponente

$\displaystyle 18\sqrt[6]{\frac{2^4}{3^4}}=18\sqrt[3]{\frac{2^2}{3^2}}=18\sqrt[3]{\left(\frac{2}{3}\right)^2}$

3 Escribir en forma de radical las potencias:

$\displaystyle 9^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{9}$

$\displaystyle 5^{\frac{1}{2}}=\sqrt{5}$

$\displaystyle 12^{0.2}=12^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{12}$

4 Expresar como potencia fraccionaria

$\displaystyle \frac{1}{\sqrt[5]{x}}=\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}=x^{-\frac{1}{5}}$

$\displaystyle \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x}}=\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{3}}}=x^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}=x^{\frac{1}{6}}$

$\displaystyle \sqrt{x}\cdot \sqrt[3]{x}\cdot \sqrt[5]{x^{2}}=x^{\frac{1}{2}}\cdot x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{2}{5}}=x^{\frac{15+10+12}{30}}=x^{\frac{37}{30}}$

Raíz de un radical

La raíz de un radical es otro radical de igual radicando y cuyo índice es el producto de los dos índices.

$\displaystyle \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\dot m]{a}$

Ejemplo:

1 $\displaystyle \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[4]{2}}}$

Multiplicamos los índices

$\displaystyle \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[4]{2}}}=\sqrt[24]{2}$

2 $\displaystyle \sqrt{2\sqrt[3]{2\sqrt[4]{2}}}$

Introducimos el primer $2$ dentro de la raíz cúbica por lo que tendremos que elevarlo al cubo y multiplicamos las potencias con la misma base

$\displaystyle \sqrt{2\sqrt[3]{2\sqrt[4]{2}}}=\sqrt{\sqrt[3]{2^{3}\cdot 2\sqrt[4]{2}}}=\sqrt{\sqrt[3]{2^{4}\sqrt[4]{2}}}$

Introducimos el $2^4$ en la raíz cuarta por lo que tenemos que elevarlo a la cuarta, realizamos el producto de potencias y por último el producto de los índices

$\displaystyle \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[4]{(2^{4})^{4}\cdot 2}}}=\sqrt[24]{2^{17}}$

Racionalización

La racionalización de radicales consiste en quitar los radicales del denominador, lo que permite facilitar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones

Podemos distinguir tres casos:

Caso 1

Racionalización del tipo $\displaystyle \frac{a}{b\sqrt{c}}$

Se multiplica el numerador y el denominador por $\displaystyle \sqrt{c}$

$\displaystyle \frac{a}{b\sqrt{c}}=\frac{a\cdot \sqrt{c}}{b\sqrt{c}\cdot \sqrt{c}}=\frac{a\cdot \sqrt{c}}{b\left(\sqrt{c}\right)^{2}}=\frac{a\cdot \sqrt{c}}{b\cdot c}$

Ejemplos:

$\displaystyle \frac{2}{3\sqrt{2}}=\frac{2\cdot \sqrt{2}}{3\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{2\cdot \sqrt{2}}{3\left(\sqrt{2}\right)^{2}}=\frac{2\cdot \sqrt{2}}{3\cdot 2}=\frac{\sqrt{2}}{3}$

Caso 2

Racionalización del tipo $\displaystyle \frac{a}{b\sqrt[n]{c^{m}}}$

Se multiplica numerador y denominador por $\displaystyle \sqrt[n]{c^{n-m}}$

$\displaystyle \frac{a}{b\sqrt[n]{c^{m}}}=\frac{a\cdot \sqrt[n]{c^{n-m}}}{b\sqrt[n]{c^{m}}\cdot \sqrt[n]{c^{n-m}}}=\frac{a\cdot \sqrt[n]{c^{n-m}}}{b \sqrt[n]{c^{m}\cdot c^{n-m}}}=\frac{a\cdot \sqrt[n]{c^{n-m}}}{b\cdot c}$

Ejemplo:

$\displaystyle \frac{2}{3\sqrt[5]{4}}=\frac{2}{3\sqrt[5]{2^{2}}}=\frac{2\cdot \sqrt[5]{2^{3}}}{3\sqrt[5]{2^{2}}\cdot \sqrt[5]{2^{3}}}=\frac{2\cdot \sqrt[5]{2^{3}}}{3 \sqrt[5]{2^{2}\cdot 2^{3}}}=\frac{2\cdot \sqrt[5]{2^{3}}}{3\cdot 2}=\frac{\sqrt[5]{8}}{3}$

El radicando $4$ lo ponemos en forma de potencia: $2^{2}$

Tenemos que multiplicar en el numerador y denominador por la raíz quinta de $2^{5-2} = 2^{3}$

Multiplicamos los radicales del denominador, extraemos factores del radical y simplificamos la fracción

Caso 3

Racionalización del tipo $\displaystyle \frac{a}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}$

Y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical.

Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador.

El conjugado de un binomio es igual al binomio con el signo central cambiado:

$\begin{array}{rcl} a+b & \longrightarrow & a-b \\ && \\ -a+b & \longrightarrow & -a-b \\ && \\ a-b & \longrightarrow & a+b \\ && \\ -a-b & \longrightarrow & -a+b \end{array}$

También tenemos que tener en cuenta que: "suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados".

$\displaystyle (a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$

Ejemplos:

1 $\displaystyle \frac{2}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$

Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador, quitamos paréntesis en el numerador y efectuamos la suma por diferencia en el denominador, por lo que obtenemos una diferencia de cuadrados

$\displaystyle \frac{2}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}=\frac{2(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{(\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{3})}=\frac{2(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{(\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2}=-2(\sqrt{2}+\sqrt{3})$

2 $\displaystyle \frac{2}{4-2\sqrt{2}}$

Multiplicamos y dividimos la fracción por el conjugado del denominador

$\displaystyle \frac{2}{4-2\sqrt{2}}=\frac{2(4+2\sqrt{2})}{(4-2\sqrt{2})(4+2\sqrt{2})}=\frac{2(4+2\sqrt{2})}{16-4\cdot 2}=\frac{2(4+2\sqrt{2})}{8}=\frac{4+2\sqrt{2}}{4}$

3 $\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{5-2\sqrt{6}}$

$\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{5-2\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{2}(5+2\sqrt{6})}{(5-2\sqrt{6})(5+2\sqrt{6})}=\frac{2\sqrt{2}(5+2\sqrt{6})}{5^2-(2\sqrt{6})^2}=\frac{10\sqrt{2}+4\sqrt{12}}{25-4\cdot 6}=10\sqrt{2}+8\sqrt{3}$

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4,28 (71 nota(s))

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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Vasquez

Septiembre 2019

Gracias Marta

clemente

Octubre 2019

ha perro traes el ocmitrix

Carlos

Octubre 2019

El ocnitrix y el valdor para lo que se ofrezca

Esperamos que el contenido te haya sido útil

Tigre Lucero

Octubre 2019

gracias, muy bien explicadas…

Carlos

Octubre 2019

Lo hacemos con todo el gusto, nos alegra haberte ayudado

CCHachero Anónimo

Octubre 2019

Este artículo está muy bien explicado, se entiende a la perfección, tengo que hacer una trabajo sobre esto, y siento que esto ya está tan resumido que si lo resumo más me siento mal jajaja.
Amé este artículo.
5 estrellas.

Superprof

Octubre 2019

¡Gracias!

Riczabeth

Noviembre 2020

Me encanto este articulo muy bien explicado y con muchos ejemplos, de verdad que me ayudo a entender, gracias por facilitar mi tarea de mates 😺

García

Mayo 2020

¡Excelente! El mejor que he encontrado y eso que busqué demasiado. Está muy bien resumido y explicado.

Superprof

Mayo 2020

¡Muchas gracias por el comentario! Es un verdadero placer leer que nuestra web le gusta. ¡Un saludo!

Vilma conde

Noviembre 2020

Muy buena la explicación, estructuración del contenido, pasos a seguir y ejemplos. ,,¡Excelente!

Superprof

Noviembre 2020

¡Gracias!

Fernandez

Junio 2020

Un artículo magnífico. Muchas gracias

Superprof

Junio 2020

¡Gracias! Nos alegra que te guste 🙂

Butrón

Junio 2020

Me encantó

Superprof

Junio 2020

¡Genial!

mat

Julio 2020

me ayudo a reforzar mis conocimientos gracias

Superprof

Julio 2020

¡Genial! 🙂

Gerjim

Octubre 2020

Hola
Me gusto mucho pero es demasiado largo y tenia que copiar todo eso en un solo dia asi que para la proccima pongalo un poco mas corto porfavor y gracias

Mamo

Julio 2020

Se puede sumar o restar radicales con diferente indice? necesito saber, es para mi modulo

Superprof

Julio 2020

Hola Mamo, no se puedes sumar o restar radicales con indice diferente. ¡Un saludo!

Cristina Rodriguez Reyes

Septiembre 2020

Me ayudas al reforzar mi conocimiento y aprenden más sobres lo numero muy buen vídeo

Superprof

Septiembre 2020

yuli

Octubre 2020

muchasss graciassss, muy buena explicacion.

Superprof

Octubre 2020

yajid

Octubre 2020

Gracias esta bien explicado

Antonio

Noviembre 2020

¿Hay un ejemplo de suma y restas de radicales que no está terminado?
El que empieza por 2 raíz(5)

Gracias.

ari

Noviembre 2020

buenos dias , disculpe como hago este ejercicio
rais cuadrada de 3 que multiplica a 2 raiz cuadrada de 3 menos 3 raiz cuadrada de 2

MIRIAM

Diciembre 2020

Buenos dais perquisite me ayuden a resolver el siguiente ejercicio, es una multiplicación de radicales con distintos indices: indice 10 raiz de Q a la 3 B a la 6 A la 2 . inidice 5 raiz de B a la 2 Q a la 6=

Si me pueden ayudar por favor muchas gracias

pedrougueto

Enero 2021

Buenas Noches, Excelente material didactico. me sirve muchicimo, gracias mi prof.

Adolfo

Enero 2021

En el tercer caso de la racionalización, el último caso de conjugado -a-b tiene una errata, si no me equivoco, sería -a+b. Yo no sabía lo que eran los conjugados, al inducirme al despiste he tenido que contrastarlo con otra página, creo que estaría bien que lo cambiaran. Por lo demás todo súper bien explicado, ¡¡Muchas gracias!!

Jose Gabriel Rosales Castañeda

Enero 2021

Hola Adolfo.

Ya hemos corregido el error. Gracias por tomarte el tiempo de señalar esto, nos ayuda mucho a mejorar el servicio que ofrecemos.

Saludos.

Evelyn

Enero 2021

Agradecida con la informacion que colocan en su pagina, excelente explicacion y una ayuda necesaria en este tiempo de estudio a distancia.

Superprof

Enero 2021

¡Gracias Evelyn!

Zuny Zabala

Febrero 2021

Buenas noche quisiera q me ayudarán con estas preguntas por favor.
1… Explicar las propiedades de radicación
2… Explicar los diferentes cambios en los radicales utilizando las propiedades.
3…cómo reducir radicales con cantidad subradical racional a otro con cantidad subradical

Adrian

Febrero 2021

Hola! Gracias por este estupendo material me ha servido para refrescar conceptos que tenia un poco olvidados.
Quería decir también que hay una errata en el material, justo en la sección «Suma de Radicales» en el Ejemplo 4, donde pone que 64 es igual a 2⁸ debería poner 2⁶.
Un saludo

Alix maria

Marzo 2021

Cuales son las reglas para operar con radicales de diferentes índice ( producto y cociente

Deivid

Abril 2021

Una pregunta, si tengo Raiz de una suma de cuadrados se puede cancelar el radical? es decir Raiz=(x)^2+(y)^2 es igual a tener x+y?

AUGUSTO RICO

Abril 2021

MUY UTIL. GRACIAS. FALTAN MAS EJEMPLOS DE INDOLE ALGEBRAICA.

jose becerra

Junio 2021

buena explicación paso a paso, gracias. publiquen video en youtube.

Cris

Octubre 2021

muy bueno, me podrían proporcionar el nombre del autor y fecha de publicación?

Radicales, sus propiedades y operaciones con radicales

Partes de un radical

Potencias y radicales

Radicales equivalentes

Simplificación de radicales

Reducción a índice común

Extracción de factores en un radical

Un exponente del radicando es menor que el índice

Un exponente del radicando es igual al índice

Un exponente del radicando es mayor que el índice

Introducción de factores en un radical

Suma de radicales

Multiplicación de radicales con el mismo índice

Multiplicación de radicales con distinto índice

División de radicales con el mismo índice

División de radicales con distinto índice

Potencia de un radical

Raíz de un radical

Racionalización

Caso 1

Caso 2

Caso 3

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Resumen

Numeros reales y radicales. Resumen

Resumen de números reales

Teoría

Los números reales

Suma, resta, multiplicacion y division con numeros reales

Semirrectas

Valor absoluto de un numero real teoria

Potencias de numeros

Potencia de radicales

¿Como racionalizar radicales?

Intervalos: abierto y cerrado

Numeros irracionales

Reducir radicales a indice comun

Representacion de un numero iracional en la recta real

¿Como operamos con radicales?

Producto de radicales

Raiz de un radical

Cociente de radicales

Entornos

Ejercicios interactivos

Ejercicios interactivos de números reales I

Ejercicios interactivos de números reales II

Ejercicios interactivos: valor absoluto de un numero real

Ejercicios interactivos de radicales

Ejercicios interactivos: propiedades de los numeros reales

Ejercicios interactivos de intervalos

Ejercicios interactivos de entornos

Ejercicios interactivos de potencias con exponente fraccionario

Ejercicios interactivos de radicales equivalentes y simplificacion de radicales

Ejercicios interactivos de raíz de un radical

Ejercicios interactivos: racionalizacion de radicales

Ejercicios interactivos de valor absoluto

Ejercicios interactivos de suma de radicales

Ejercicios interactivos de potencias y radicales

Ejercicios interactivos de reduccion de radicales a indice comun I

Ejercicios interactivos: multiplicacion de radicales

Ejercicios interactivos de division de radicales

Ejercicios interactivos de semirrectas

Ejercicios interactivos de extraccion e introduccion de factores dentro del signo radical

Ejercicios interactivos de reduccion de radicales a indice comun II

Otros ejercicios

Ejercicios y problemas resueltos de números reales II

Ejercicios y problemas resueltos de números reales III

Ejercicios resueltos sobre radicales

Ejercicios de radicales equivalentes

Ejercicios y problemas resueltos de numeros reales I