Clasificación de números

1Clasifica los números:  \frac{\Pi }{2}, \ \ \ \ \sqrt{36},\ \ \ \ 2.25111...,\ \ \ \ \sqrt{-5},\ \ \ \ \frac{75}{-5}

Clasifica los números:\frac{\Pi }{2}, \ \ \ \ \sqrt{36},\ \ \ \ 2.25111...,\ \ \ \ \sqrt{-5},\ \ \ \ \frac{75}{-5}

Soluciones:
\frac{\Pi }{2}\in \mathbb{R}
\sqrt{36}\in \mathbb{N}
La raíz de 36 es igual a 6, por tanto es un número natural.2.25111...\in \mathbb{Q}[latex]2.25111...= 1.25\widehat{1}[/latex]  es un número periódico mixto, por tanto es un número racional.\sqrt{-5}\in \mathbb{R}En los conjuntos numéricos estudiados hasta ahora no existe una raíz con radicando negativo e índice par.
\displaystyle \frac{75}{-5}\in \mathbb{Z}
\displaystyle \frac{75}{-5}=-15  por tanto es un número entero. 

Recta númerica

2Representa en la recta:  \sqrt{17}

 

Representa en la recta:  \sqrt{17}
Solución:

\sqrt{17}=4^{2}+1^{2}

 

Representación gráfica de raíz de 17

Valor absoluto

3Representa en la recta real los números que verifican las siguientes relaciones:

 

\left | x \right |< 1,\left | x \right |\leq 1,\left | x \right |> 1, \left | x \right |\geq 1

 

 

Representa en la recta real los números que verifican las siguientes relaciones:
\left | x \right |< 1,\left | x \right |\leq 1,\left | x \right |> 1, \left | x \right |\geq 1
Soluciones:

1 \displaystyle \left | x \right |<1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -1< x< 1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  x \in(-1, 1)

Representación gráfica del valor absoluto en el interval abierto (-1, 1)

2 \displaystyle \left | x \right |\leq 1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -1\leq x\leq 1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  x \in[-1, 1]

Representación gráfica del valor absoluto en el interval cerrado -1, 1

3\displaystyle \left | x \right |> 1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -1> x> 1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  x \in(-\infty, -1)\cup (1, +\infty )

Representación gráfica del valor absoluto en el interval (-1, 1) y infinto

4\displaystyle \left | x \right |\geq 1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -1\geq x\geq 1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  x \in(-\infty, -1]\cup [1, +\infty )

Representación gráfica del valor absoluto en el interval (-1, 1) cerado y infinito

Potencias

4Calcula los valores de las siguientes potencias:

1\displaystyle 16^{\frac{3}{2}}=

2\displaystyle8^{\frac{2}{3}}=

3\displaystyle81^{0.75}=

4\displaystyle8^{0.333...}=

 

Calcula los valores de las siguientes potencias:
Soluciones:

1 16^{\frac{3}{2}}=

 

Una potencia con exponente fraccionario es igual a una raíz cuyo índice es el denominador de la fracción (2) y el exponente del radicando es el numerador (3)

Descomponemos 16 en factores, efectuamos las operaciones en el radicando y extraemos factores

 

16^{\frac{3}{2}}=\sqrt{16^{3}}=\sqrt{(2^{4})^{3}}=\sqrt{2^{12}}=2^{6}=64

 

28^{\frac{2}{3}}=

8^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{8^{2}}=\sqrt[3]{(2^{3})^{2}}=\sqrt[3]{2^{6}}=2^{2}=4

 

381^{0.75}=

En este caso pasamos el exponente que es un número decimal exacto a fracción

81^{0.75}=81^{\frac{75}{100}}=81^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{81^{3}}=\sqrt[4]{(3^{4})^{3}}=

=\sqrt[4]{3^{12}}=3^{3}=27

 

48^{0.333...}=

El exponente que es un periódico puro lo pasamos a fracción

 

0.333...=0.\widehat{3}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}

 

8^{0.333...}=8\frac{3}{9}=8\frac{1}{3}=\sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{2^{3}}=2

Sumas de radicales

5Hallar las sumas:

12\sqrt{12}-3\sqrt{75}+\sqrt{27}=

2\sqrt{24}-5\sqrt{6}+\sqrt{486}=

32\sqrt{5}+\sqrt{45}+\sqrt{180}-\sqrt{80}=

4\sqrt[3]{54}-\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{250}=

 

Hallar las sumas:Soluciones:

1 2\sqrt{12}-3\sqrt{75}+\sqrt{27}=
2\sqrt{2^{3}\cdot 3}-3{\sqrt{3\cdot5^{2}}}+\sqrt{3}
4\sqrt{4}-15{\sqrt{3}}+3\sqrt{3}=-8\sqrt{3}

2\sqrt{24}-5\sqrt{6}+\sqrt{486}=
\sqrt{2^{3}\cdot 3}-5\sqrt{6}+\sqrt{2\cdot3^{5}}=
2\sqrt{6}-5\sqrt{6}+9\sqrt{6}=6\sqrt{6}

32\sqrt{5}+\sqrt{45}+\sqrt{180}-\sqrt{80}=
2\sqrt{5}+\sqrt{3^{2}\cdot5}+\sqrt{2^{2}\cdot3^{2}\cdot5}-\sqrt{2^{4}\cdot5}=
2\sqrt{5}+3\sqrt{5}+6\sqrt{5}-4\sqrt{5}=7\sqrt{5}

4\sqrt[3]{54}-\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{250}=

\sqrt[3]{2\cdot3^{3}}-\sqrt[3]{2^{4}}+\sqrt[3]{2\cdot5^{3}}=
3\sqrt[3]{2}-2\sqrt[3]{2}+5\sqrt[3]{2}=6\sqrt[3]{2}

 

Operaciones con radicales

6Realiza las operaciones:

1\left ( \sqrt{7}-\sqrt{2} \right )^{2}=

2\left ( 2-\sqrt{3} \right )^{2}=

3\left ( \sqrt{5}+2\right )\cdot\left ( \sqrt{5}-2\right )=

4\left (2 \sqrt{5}+3\sqrt{2}\right )\cdot\left ( 2\sqrt{5}-3\sqrt{2}\right )=

 

Realiza las operaciones:
Soluciones:

1\left ( \sqrt{7}-\sqrt{2} \right )^{2}=
\left ( \sqrt{7} \right )^{2}-2\cdot \sqrt{7}\cdot\sqrt{2}+\left ( \sqrt{2} \right )^{2}=
7-2\sqrt{14}+2=9-2\sqrt{14}

2\left ( 2-\sqrt{3} \right )^{2}=
2^{2}-2\cdot2\cdot\sqrt{3}+\left ( \sqrt{3} \right )^{2}
4-4\sqrt{3}+3=7-4\sqrt{3}

3\left ( \sqrt{5}+2\right )\cdot\left ( \sqrt{5}-2\right )=
\left ( \sqrt{5} \right )^{2}-2^{2}=5-4=1

4\left (2 \sqrt{5}+3\sqrt{2}\right )\cdot\left ( 2\sqrt{5}-3\sqrt{2}\right )=
\left (2 \sqrt{5}\right )^{2}-\left ( 3\sqrt{2}\right )^{2}=
2^{2}\cdot\left ( \sqrt{5}\right )^{2}-3^{2}\left ( \sqrt{2} \right )^{2}=

4\cdot5-9\cdot2=20-18=2

Radicales y potencias

7Opera:   \displaystyle \sqrt[4]{\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt{\frac{1}{8}}}}

 

Opera:  \displaystyle \sqrt[4]{\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt{\frac{1}{8}}}}
Solución:
\displaystyle \sqrt[4]{\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt{\frac{1}{8}}}}
\displaystyle \sqrt[4]{\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt{\frac{1}{8}}}}=\sqrt[4]{\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt{2^{-3}}}}=\sqrt[4]{\sqrt[6]{\frac{2^{2}}{(2^{-3})^{3}}}}=\sqrt[4]{\sqrt[6]{\frac{2^{2}}{2^{-9}}}}=\sqrt[4]{\sqrt[6]{2^{11}}}=\sqrt[24]{2^{11}}

Más radicales y potencias

8Efectúa:  \displaystyle \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{2\sqrt{2}}}}}=

 

Efectúa:  \displaystyle \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{2\sqrt{2}}}}}=
Solución:
\displaystyle \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{2\sqrt{2}}}}}=\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{2\cdot2^{2}}}}}=\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{2^{3}}}}}=\sqrt[72]{2^{3}}=\sqrt[24]{2}

Operaciones con cocientes de radicales

9Calcular:

1\displaystyle \frac{1}{2-\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{2+\sqrt{3}}=

2\displaystyle \sqrt{\frac{a-b}{(a-b)^{2}}\cdot\frac{a+b}{a^{2}-b^{2}}}=

 

Soluciones:

1\displaystyle \frac{1}{2-\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{2+\sqrt{3}}=
\displaystyle \frac{1}{2^{2}-(\sqrt{3})^{2}}=\frac{1}{4-3}=1

2\displaystyle \sqrt{\frac{a-b}{(a-b)^{2}}\cdot\frac{a+b}{a^{2}-b^{2}}}=
\displaystyle \sqrt{\frac{1}{(a-b)^{2}}}=\frac{1}{a-b}

 

Racionalizar

10Racionalizar

1\displaystyle \frac{5}{2\sqrt{2}}=

2\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{3}}=

3\displaystyle \frac{2}{3+\sqrt {3}}=

4\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=

 

Racionalizar:Soluciones:

1\displaystyle \frac{5}{2\sqrt{2}}=\frac{5\cdot\sqrt{2}}{2\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{5\cdot\sqrt{2}}{2\cdot\sqrt{2^{2}}}=\frac{5\cdot\sqrt{2}}{2\cdot2}=\frac{5\cdot\sqrt{2}}{4}

2\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{3}}=\frac{\sqrt[3]{3^{2}}}{\sqrt[3]{3}\cdot\sqrt[3]{3^{2}}}=\frac{\sqrt[3]{3^{2}}}{\sqrt[3]{3^{3}}}=\frac{\sqrt[3]{9}}{3}

3\displaystyle \frac{2}{3+\sqrt {3}}=\frac{2\cdot(3-\sqrt{3})}{(3+\sqrt{3})\cdot(3-\sqrt{3})}=\frac{6-2\sqrt{3}}{3^{2}-(\sqrt{3})^{2}}=
\displaystyle \frac{6-2\sqrt{3}}{9-3}=\frac{6-2\sqrt{3}}{6}=\frac{3-\sqrt{3}}{3}

4\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}\cdot(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})\cdot(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2^{2}}}{(\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{2})^{2}}=\frac{2+\sqrt{6}}{3-2}=2+\sqrt{6}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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