Clasificación de números

 

1Clasifica los números:

 

\displaystyle \frac{\pi}{2}, \qquad \sqrt{36}, \qquad 2.25111..., \qquad \sqrt{-5}, \qquad \frac{75}{-5}

 

Clasifica los números: 

\displaystyle \frac{\pi}{2}, \qquad \sqrt{36}, \qquad 2.25111..., \qquad \sqrt{-5}, \qquad \frac{75}{-5}

 

Soluciones

 

1. \displaystyle \frac{\pi}{2}

 

Notemos que \displaystyle \pi es un número irracional, esto es, \pi \in \mathbb{R} - \mathbb{Q} = \mathbb{Q}^C, en donde \mathbb{Q} son los números racionales. Se sabe que el producto, división, suma o resta entre un número irracional y uno racional es un número irracional, por lo tanto, tenemos que \displaystyle \frac{\pi}{2} es irracional

 

\displaystyle \frac{\pi}{2} \in \mathbb{Q}^C

 

2. \displaystyle \sqrt{36}

 

Observemos que podemos resolver esta raíz de manera exacta, esto es, \displaystyle \sqrt{36} = \pm 6 , en donde 6 y -6 son números enteros, por lo tanto

 

\displaystyle \sqrt{36} = \pm 6 \in \mathbb{Z}

 

3. \displaystyle 2.25111...

 

Todo número que tenga decimal periódico se puede expresar como fracción, esto significa que todo número con decimal periódico es un número racional. De hecho, tenemos que, \displaystyle 2.25111... = \frac{1013}{450} esto comprueba que se trata de un número racional

 

\displaystyle 2.25111... = \frac{1013}{450 }\in \mathbb{Q}

 

4. \displaystyle \sqrt{-5}

 

Las raíces de números negativos nunca han pertenecido a los números reales, estos numeros pertenecen a una extensión de los números reales conocido como los números complejos \displaystyle \mathbb{C}. Dicho lo anterior, este número es un número complejo.

 

\displaystyle \sqrt{-5} = i \sqrt{5} \in \mathbb{C}

 

5. \displaystyle \frac{\pi}{2}

 

Al tener una fracción entre números enteros es claro que tenemos con número racional, sin embargo, si efectuamos la división, tenemos que esta fracción es equivalente al número entero \displaystyle \frac{75}{-5} = -15. Dicho lo anterior, tenemos que

 

\displaystyle \frac{75}{-5} = -15 \in \mathbb{Z}

 

 

Valor absoluto

 

3Representa en la recta real los números que verifican las siguientes relaciones:

 

\left | x \right |< 1, \qquad \left | x \right |\leq 1, \qquad\left | x \right |> 1, \qquad \left | x \right |\geq 1

 

 

Representa en la recta real los números que verifican las siguientes relaciones:

 

\left | x \right |< 1, \qquad \left | x \right |\leq 1, \qquad\left | x \right |> 1, \qquad \left | x \right |\geq 1

 

Soluciones:

 

1. \displaystyle \left | x \right |<1

 

Notemos que por definición de valor absoluto, las siguientes igualdades son equivalentes

 

\displaystyle \left| x \right| < 1 \quad \Rightarrow \quad -1 < x < 1

 

En donde la última desigualdad implica que x \in (-1, 1).

 

Representación gráfica del valor absoluto en el interval abierto (-1, 1)

 

2. \displaystyle \left | x \right |\leq 1

 

Notemos que por definición de valor absoluto, las siguientes igualdades son equivalentes

 

\displaystyle \left| x \right| \leq 1 \quad \Rightarrow \quad -1 \leq x \leq 1

 

En donde la última desigualdad implica que x \in [-1, 1].

 

Representación gráfica del valor absoluto en el interval cerrado -1, 1

 

3.\displaystyle \left | x \right |> 1

 

Notemos que por definición de valor absoluto, las siguientes igualdades son equivalentes

 

\displaystyle \left| x \right| > 1 \quad \Rightarrow \quad x < -1 \quad \text{o} \quad x > 1 .

 

En donde la última desigualdad implica que x \in (-\infty, -1) o x \in (1, \infty), lo cual lo podemos expresar en términos de la unión de conjuntos como x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty).

 

Representación gráfica del valor absoluto en el interval (-1, 1) y infinto

 

4.\displaystyle \left | x \right |\geq 1

 

Notemos que por definición de valor absoluto, las siguientes igualdades son equivalentes

 

\displaystyle \left| x \right| \geq 1 \quad \Rightarrow \quad x \leq -1 \quad \text{o} \quad x \geq 1 .

 

En donde la última desigualdad implica que x \in (-\infty, -1] o x \in [1, \infty), lo cual lo podemos expresar en términos de la unión de conjuntos como x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty).

 

Representación gráfica del valor absoluto en el interval (-1, 1) cerado y infinito

 

Potencias

 

4Calcula los valores de las siguientes potencias:

 

a)\displaystyle 16^{\frac{3}{2}}

 

b)\displaystyle8^{\frac{2}{3}}

 

c)\displaystyle81^{0.75}

 

d)\displaystyle8^{0.333...}

Calcula los valores de las siguientes potencias:

 

Soluciones:

 

a) 16^{\frac{3}{2}}

 

Una potencia con exponente fraccionario es igual a una raíz cuyo índice es el denominador de la fracción (2) y el exponente del radicando es el numerador (3).

 

Descomponemos 16 en factores, efectuamos las operaciones en el radicando y extraemos factores:

 

     \begin{align*} 16^{\frac{3}{2}} &= \left( 16^3 \right)^{\frac{1}{2}}\\ &= \sqrt{16^{3}}\\ & =\sqrt{(2^{4})^{3}}\\ &=\sqrt{2^{12}}=2^{6}\\ &=64 \end{align*}

 

b)8^{\frac{2}{3}}

 

Una potencia con exponente fraccionario es igual a una raíz cuyo índice es el denominador de la fracción (3) y el exponente del radicando es el numerador (2).

 

Descomponemos 8 en factores, efectuamos las operaciones en el radicando y extraemos factores:

 

     \begin{align*} 8^{\frac{2}{3}} &= \left( 8^2\right)^{\frac{1}{3}}\\ &= \sqrt[3]{8^{2}}\\ &= \sqrt[3]{(2^{3})^{2}}\\ &= \sqrt[3]{2^{6}}\\ &=2^{2}\\ &=4 \end{align*}

 

c)81^{0.75}

 

En este caso pasamos el exponente que es un número decimal exacto a fracción:

 

     \begin{align*} 81^{0.75} &= 81^{\frac{75}{100}}\\ &= 81^{\frac{3}{4}}\\ &= \left( 81^3 \right)^{\frac{1}{4}}\\ &=\sqrt[4]{81^{3}}\\ &=\sqrt[4]{(3^{4})^{3}}\\ &=\sqrt[4]{3^{12}}\\ &= 3^{3}\\ &=27 \end{align*}

 

d)8^{0.333...}

 

El exponente que es un periódico puro, por lo tanto lo podemos expresar como fracción: 0.333... = 0.\overline{3} = \frac{1}{3}. Por lo tanto

 

     \begin{align*} 8^{0.333...} & = 8^{\frac{1}{3}}\\ &=\sqrt[3]{8}\\ &=\sqrt[3]{2^{3}}\\ &=2 \end{align*}

 

Sumas de radicales

 

5Hallar las sumas:

 

a)2\sqrt{12}-3\sqrt{75}+\sqrt{27}

 

b)\sqrt{24}-5\sqrt{6}+\sqrt{486}

 

c)2\sqrt{5}+\sqrt{45}+\sqrt{180}-\sqrt{80}

 

d)\sqrt[3]{54}-\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{250}

 

Hallar las sumas: 

Solucionaremos los ejercicios simplemente descomponiendo el radicando en potencias de números primos. Después con simple álgebra, sumas, y restas, resolveremos los problemas.

 

a) 2\sqrt{12}-3\sqrt{75}+\sqrt{27}

 

     \begin{align*} 2\sqrt{12}-3\sqrt{75}+\sqrt{27} &= 2\sqrt{2^{2}\cdot 3}-3{\sqrt{3\cdot5^{2}}}+\sqrt{3^{3}}\\ &= 4\sqrt{3}-15{\sqrt{3}}+3\sqrt{3}\\ &= -8\sqrt{3} \end{align*}

 

b)\sqrt{24}-5\sqrt{6}+\sqrt{486}

 

     \begin{align*} \sqrt{24}-5\sqrt{6}+\sqrt{486} &= \sqrt{2^{3}\cdot 3}-5\sqrt{6}+\sqrt{2\cdot3^{5}}\\ &= 2\sqrt{6}-5\sqrt{6}+9\sqrt{6}\\ &=6\sqrt{6}\\ \end{align*}

 

c)2\sqrt{5}+\sqrt{45}+\sqrt{180}-\sqrt{80}

 

     \begin{align*} 2\sqrt{5}+\sqrt{45}+\sqrt{180}-\sqrt{80} &= 2\sqrt{5}+\sqrt{3^{2}\cdot 5}\\ &+\sqrt{2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5}-\sqrt{2^{4}\cdot 5}\\ &= 2\sqrt{5}+3\sqrt{5}+6\sqrt{5}-4\sqrt{5}\\ &= 7\sqrt{5}\\ \end{align*}

 

d)\sqrt[3]{54}-\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{250}

 

     \begin{align*} \sqrt[3]{54}-\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{250} &= \sqrt[3]{2\cdot3^{3}}-\sqrt[3]{2^{4}}+\sqrt[3]{2\cdot5^{3}}\\ &= 3\sqrt[3]{2}-2\sqrt[3]{2}+5\sqrt[3]{2}\\ &= 6\sqrt[3]{2}\\ \end{align*}

 

 

Operaciones con radicales

 

6Realiza las operaciones:

a)\left ( \sqrt{7}-\sqrt{2} \right )^{2}

 

b)\left ( 2-\sqrt{3} \right )^{2}

 

c)\left ( \sqrt{5}+2\right )\cdot\left ( \sqrt{5}-2\right )

 

d)\left (2 \sqrt{5}+3\sqrt{2}\right )\cdot\left ( 2\sqrt{5}-3\sqrt{2}\right)

 

Soluciones:

 

Para resolver este ejercicio simplemente aplicaremos la teoría que sabemos sobre potencias y multiplicación de binomios

 

a)\left ( \sqrt{7}-\sqrt{2} \right )^{2}

     \begin{align*} \left ( \sqrt{7}-\sqrt{2} \right )^{2} &= \left ( \sqrt{7} \right )^{2}-2\cdot \sqrt{7}\cdot\sqrt{2}+\left ( \sqrt{2} \right )^{2}\\ &= 7-2\sqrt{14}+2\\ &=9-2\sqrt{14}\\ \end{align*}

 

b)\left ( 2-\sqrt{3} \right )^{2}

 

     \begin{align*} \left ( 2-\sqrt{3} \right )^{2} &= 2^{2}-2\cdot2\cdot\sqrt{3}+\left ( \sqrt{3} \right )^{2}\\ &= 4-4\sqrt{3}+3\\ &=7-4\sqrt{3}\\ \end{align*}

 

c)\left ( \sqrt{5}+2\right )\cdot\left ( \sqrt{5}-2\right )

 

     \begin{align*} \left ( \sqrt{5}+2\right )\cdot\left ( \sqrt{5}-2\right ) &= \left ( \sqrt{5} \right )^{2}-2^{2}\\ &=5-4\\ &=1 \end{align*}

 

d)\left (2 \sqrt{5}+3\sqrt{2}\right )\cdot\left ( 2\sqrt{5}-3\sqrt{2}\right )

 

     \begin{align*} \left (2 \sqrt{5}+3\sqrt{2}\right )\cdot\left ( 2\sqrt{5}-3\sqrt{2}\right ) &= \left (2 \sqrt{5}\right )^{2}-\left ( 3\sqrt{2}\right )^{2}\\ &= 2^{2}\cdot\left ( \sqrt{5}\right )^{2}-3^{2}\left ( \sqrt{2} \right )^{2}\\ &=4\cdot5-9\cdot2\\ &=20-18\\ &=2 \end{align*}

 

Radicales y potencias

 

7Opera:
\displaystyle \sqrt[4]{\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt{\frac{1}{8}}}}

 

Opera:

 

\displaystyle \sqrt[4]{\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt{\frac{1}{8}}}}

 

Solución:

 

Para resolver este ejercicio aplicaremos gran parte de la teoría de exponentes que conocemos. Jugaremos con las fracciones en los exponentes hasta simplificar de manera adecuada nuestra expresión

 

     \begin{align*} \sqrt[4]{\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt{\frac{1}{8}}}} &=\sqrt[4]{\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt{2^{-3}}}}\\ &=\sqrt[4]{\frac{2^{\frac{1}{3}}}{2^{-\frac{3}{2}}}}\\ &=\sqrt[4]{\frac{2^{\frac{2}{6}}}{2^{\frac{-9}{6}}}}\\ &=\sqrt[4]{\sqrt[6]{\frac{2^{2}}{2^{-9}}}}\\ &=\sqrt[4]{\sqrt[6]{2^{11}}}\\ &=\sqrt[24]{2^{11}} \end{align*}

Más radicales y potencias

 

8Efectúa:

 

\displaystyle \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{2\sqrt{2}}}}}

 

Efectúa:

 

\displaystyle \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{2\sqrt{2}}}}}

 

Solución:

 

Para resolver este ejercicio aplicaremos equivalencia de potencias fraccionarias con radicales para poder simplificar:

 

     \begin{align*} \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{2\sqrt{2}}}}} &= \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{2 \cdot 2^2}}}}}\\ &=\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{2^3}}}}}\\ &=\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[6]{2^3}}}}\\ &=\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{2}}}}\\ &=\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{2}}}}\\ &=\sqrt[24]{2}\\ \end{align*}

Operaciones con cocientes de radicales

9Calcular:

a)\displaystyle \frac{1}{2-\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{2+\sqrt{3}}

 

b)\displaystyle \sqrt{\frac{a-b}{(a-b)^{2}}\cdot\frac{a+b}{a^{2}-b^{2}}}

 

Soluciones: 

Utilizaremos lo que sabemos de álgebra para realizar estas operaciones:

 

a)\displaystyle \frac{1}{2-\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{2+\sqrt{3}}

 

     \begin{align*} \frac{1}{2-\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{2+\sqrt{3}} &= \frac{1}{2^{2}-(\sqrt{3})^{2}}\\ &=\frac{1}{4-3}\\ &=1 \end{align*}

 

b)\displaystyle \sqrt{\frac{a-b}{(a-b)^{2}}\cdot\frac{a+b}{a^{2}-b^{2}}}

 

     \begin{align*} \sqrt{\frac{a-b}{(a-b)^{2}}\cdot\frac{a+b}{a^{2}-b^{2}}} &= \sqrt{\frac{a-b}{(a-b)^{2}}\cdot\frac{a+b}{(a+b)(a-b)}}\\ &= \sqrt{\frac{(a - b)(a + b)}{(a-b)^{2}(a+b)(a-b)}}\\ &= \sqrt{\frac{1}{(a-b)^{2}}}\\ &=\frac{1}{a-b} \end{align*}

 

Racionalizar

10Racionalizar

a)\displaystyle \frac{5}{2\sqrt{2}}

 

b)\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{3}}

 

c)\displaystyle \frac{2}{3+\sqrt {3}}

 

d)\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}

 

Racionalizar:
Soluciones: 

Recordemos que racionalizar consiste en eliminar los radicales del denominador de una fracción, para esto multiplicamos la fracción por un uno multiplicativo adecuado.

a)\displaystyle \frac{5}{2\sqrt{2}}

 

     \begin{align*} \displaystyle \frac{5}{2\sqrt{2}} &= \frac{5\cdot\sqrt{2}}{2\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}\\ &=\frac{5\cdot\sqrt{2}}{2\cdot\sqrt{2^{2}}}\\ &=\frac{5\cdot\sqrt{2}}{2\cdot2}\\ &=\frac{5\cdot\sqrt{2}}{4} \end{align*}

b)\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{3}}

 

     \begin{align*} \frac{1}{\sqrt[3]{3}} &= \frac{\sqrt[3]{3^{2}}}{\sqrt[3]{3}\cdot\sqrt[3]{3^{2}}}\\ &= \frac{\sqrt[3]{3^{2}}}{\sqrt[3]{3^{3}}}\\ &=\frac{\sqrt[3]{9}}{3} \end{align*}

c)\displaystyle \frac{2}{3+\sqrt {3}}

 

     \begin{align*} \frac{2}{3+\sqrt {3}} &= \frac{2\cdot(3-\sqrt{3})}{(3+\sqrt{3})\cdot(3-\sqrt{3})}\\ &= \frac{6-2\sqrt{3}}{3^{2}-(\sqrt{3})^{2}}\\ &= \frac{6-2\sqrt{3}}{9-3}\\ &=\frac{6-2\sqrt{3}}{6}\\ &=\frac{3-\sqrt{3}}{3}\\ \end{align*}

 

d)\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}

 

     \begin{align*} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} &= \frac{\sqrt{2}\cdot(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})\cdot(\sqrt{3}+\sqrt{2})}\\ &=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2^{2}}}{(\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{2})^{2}}\\ &=\frac{2+\sqrt{6}}{3-2}\\ &=2+\sqrt{6} \end{align*}

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗