Resumen de números reales

Los números irracionales

Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas, por tanto no se pueden expresar en forma de fracción.

Intervalo abierto

(a, b) = {x / a < x < b}

Intervalo cerrado

[a, b] = {x / a ≤ x ≤ b}

Intervalo semiabierto por la izquierda

(a, b] = {x / a < x ≤ b}

Intervalo semiabierto por la derecha

[a, b) = {x / a ≤ x < b}

x > a

(a, +∞) = {x / a < x < +∞}

x ≥ a

[a, +∞) = {x / a ≤ x < +∞}

x < a

(-∞, a) = {x / -∞ < x < a}

x ≤ a

(-∞, a] = {x / -∞ < x ≤ a}

Propiedades

|a| = |−a|

|a · b| = |a| ·|b|

|a + b| ≤ |a| + |b|

d(a, b) = |b − a|

Se llama entorno de centro a y radio r, y se denota por E_r(a) o E(a,r), al intervalo abierto (a-r, a+r).

E_r(a) = (a-r, a+r)

Entornos laterales:

Por la izquierda

E_r(a^-) = (a-r, a)

Por la derecha

E_r(a⁺) = (a, a+r)

Entorno reducido

E _r^*(a) = { x (a-r, a+r), x ≠ a}

Con exponente entero

Con exponente racional

Propiedades

1a⁰ = 1 · 7.aⁿ : b ⁿ = (a : b) ⁿ

2a¹ = a

.a^m · a ⁿ = a^m+n

4a^m : a ⁿ = a^{m - n}

5(a^m)ⁿ=a^{m · n}

6aⁿ · b ⁿ = (a · b) ⁿ

Un radical es una expresión de la forma , en la que n y a ; con tal que cuando a sea negativo, n ha de ser impar.

Se puede expresar un radical en forma de potencia:

Radicales equivalentes

Simplificación de radicales

Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los exponentes) del radicando, se obtiene un radical simplificado.

Reducción de radicales a índice común

1Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice

2Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes.

Extracción de factores fuera del signo radical

Se descompone el radicando en factores. Si:

Un exponente es menor que el índice, el factor correspondiente se deja en el radicando.

Un exponente es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando.

Un exponente es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el índice. El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando.

Introducción de factores dentro del signo radical

Se introducen los factores elevados al índice correspondiente del radical.

1

Suma de radicales

Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales semejantess, es decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicando.

2

Producto de radicales

3

Cociente de radicales

4

Potencia de radicales

5 Raíz de un radical

Consiste en quitar los radicales del denominador, lo que permite facilitar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones.

Podemos distinguir tres casos.

1Del tipo

Se multiplica el numerador y el denominador por .

2Del tipo

Se multiplica numerador y denominador por .

3Del tipo , y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical.

Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador.

El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número.

Siendo a la base, x el número e y el logarítmo.

De la definición de logaritmo podemos deducir:

No existe el logaritmo de un número con base negativa.

No existe el logaritmo de un número negativo.

No existe el logaritmo de cero.

El logaritmo de 1 es cero.

El logaritmo en base a de a es uno.

El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente.

Propiedades