Los números irracionales

 

Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas, por tanto no se pueden expresar en forma de fracción.

 

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Vamos

Los números reales

 

El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el conjunto de los números reales, se designa por \mathbb{R}.

 

Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto la radicación de índice par y radicando negativo y la división por cero.

 

Los intervalos están determinados por dos números que se llaman extremos. En un intervalo se encuentran todos los números comprendidos entre ambos y también pueden estar los extremos.

 

Intervalos

 

Intervalo abierto

 

No se consideran los extremos del intervalo

 

(a, b) = \{ x \in \mathbb{R} | a < x < b \}

 

Intervalo cerrado

 

Se consideran los extremos del intervalo

 

[a, b] = \{ x \in \mathbb{R} | a \leq x \leq b \}

 

Intervalo semiabierto por la izquierda

 

Se considera el extremo derecho y no se considera el extremo izquierdo del intervalo

 

(a, b] = \{ x \in \mathbb{R} | a < x \leq b \}

 

Intervalo semiabierto por la derecha

 

Se considera el extremo izquierdo y no se considera el extremo derecho

 

[a, b) = \{ x \in \mathbb{R} | a \leq x < b \}

 

Semirrectas

 

Semirrecta por la derecha

 

1 x > a

 

No se considera el extremo izquierdo

 

(a, + \infty) = \{ x \in \mathbb{R} | a < x < + \infty \}

 

2 x \geq a

 

Se considera el extremo izquierdo

 

[a, + \infty) = \{ x \in \mathbb{R} | a \leq x < + \infty \}

 

Semirrecta por la izquierda

 

1 x < a

 

No se considera el extremo derecho

 

(- \infty, a) = \{ x \in \mathbb{R} | - \infty < x < a \}

 

2 x \leq a

 

Se considera el extremo derecho

 

(- \infty, a] = \{ x \in \mathbb{R} | - \infty < x \leq a \}

 

Valor absoluto

 

|a| = \left \{ \begin{array}{rcl} -a & & si \ a < 0 \\ a & & si \ a \geq 0 \end{array} \right.

 

Propiedades

 

1 |a| = |-a|

 

2 |a \cdot b| = |a| \cdot |b|

 

3 |a + b| \leq |a| + |b|

 

Distancia

 

d(a, b) = |b - a|

 

Entornos

 

Se llama entorno de centro a y radio r, y se denota por E_r (a) o E(a, r) al intervalo abierto (a - r, a + r).

 

Entornos laterales

 

Por la izquierda

 

E_r (a^-) = (a - r, a)

 

Por la derecha

 

E_r (a^+) = (a, a + r)

 

Entorno reducido

 

E_r (a^*) = \{ x \in (a - r, a + r) | x \neq a \}

 

Propiedades de las potencias

 

1 a^0 = 1, \ \ \ \ \ a \neq 0

 

2 a^1 = a

 

3 a^m \cdot a^n = a^{m + n}

 

4 a^m : a^n = a^{m - n}

 

5 \left ( a^m \right )^n = a^{m \cdot n}

 

6 a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n

 

7 a^n : b^n = (a : b)^n

 

8 a^{-n} = \cfrac{1}{a^n}, \ \ \ \ \ a \neq 0

 

Radicales

 

Un radical es una expresión de la forma \sqrt[n]{a}, en la que n \in \mathbb{N} y a \in \mathbb{R}; con tal que cuando a sea negativo, n ha de ser impar.

 

Se puede expresar un radical en forma de potencia:

 

\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}

 

Radicales equivalentes

 

1\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n \cdot k]{a^{m \cdot k}}

 

2a^{\frac{m}{n}} = a^{\frac{m \cdot k}{n \cdot k}}

 

Simplificación de radicales

 

Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los exponentes) del radicando, se obtiene un radical simplificado.

 

Reducción de radicales a índice común

 

1Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice.

 

2Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes.

 

Extracción de factores fuera del signo radical

 

Se descompone el radicando en factores si:

 

1Un exponente es menor que el índice, el factor correspondiente se deja en el radicando.

 

2Un exponente es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando.

 

3Un exponente es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el índice. El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando.

 

Introducción de factores dentro del signo radical

 

1Se introducen los factores elevados al índice correspondiente del radical.

 

Operaciones con radicales

 

Suma de radicales

 

Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales semejantess, es decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicando.

 

Producto de radicales

 

1 Radicales del mismo índice

 

\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}

 

2 Radicales de distinto índice

 

Primero se reducen a índice común y luego se multiplican.

 

Cociente de radicales

 

1 Radicales del mismo índice

 

\cfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\cfrac{a}{b}}

 

2 Radicales de distinto índice

 

Primero se reducen a índice común y luego se dividen.

 

Potencia de radicales

 

\left ( \sqrt[n]{a} \right )^m = \sqrt[n]{a^m}

 

Raíz de un radical

 

\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a}

 

Racionalizar

 

Consiste en quitar los radicales del denominador, lo que permite facilitar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones.

 

Podemos distinguir tres casos.

 

1Del tipo \cfrac{a}{b \sqrt{c}}

 

Se multiplica el numerador y el denominador por \sqrt{c}.

 

\cfrac{a}{b \sqrt{c}} = \cfrac{a \cdot \sqrt{c}}{b \sqrt{c} \cdot \sqrt{c}} = \cfrac{a \cdot \sqrt{c}}{b \left ( \sqrt{c} \right )^2} = \cfrac{a \cdot \sqrt{c}}{b \cdot c}

 

2Del tipo \cfrac{a}{b \sqrt[n]{c^m}}

 

Se multiplica numerador y denominador por \sqrt[n]{c^{n - m}}.

 

\cfrac{a}{b \sqrt[n]{c^m}} = \cfrac{a \cdot \sqrt[n]{c^{n - m}}}{b \sqrt[n]{c^m} \cdot \sqrt[n]{c^{n - m}}} = \cfrac{a \cdot \sqrt[n]{c^{n - m}}}{b \sqrt[n]{c^m \cdot c^{n - m}}} = \cfrac{a \cdot \sqrt[n]{c^{n - m}}}{b \cdot \sqrt[n]{c^n}} = \cfrac{a \cdot \sqrt[n]{c^{n - m}}}{b \cdot c}

 

3Del tipo \cfrac{a}{\sqrt{b} + \sqrt{c}} , y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical.

 

Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗