Suma de números reales

 

1 Interna:

 

El resultado de sumar dos números reales es otro número real.

Es decir, si a y b pertenecen a los números reales, en lenguaje matemático esto mismo se expresa:

\rightarrow \hspace{.5cm} a\in \mathbb{R}

Entonces la suma resultará un número real también.

a+b\in \mathbb{R}

Ejemplo:

\pi+\sqrt{2}\in \mathbb{R}

 

2 Asociativa:

 

El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.

Es decir,

(a + b) + c = a + (b + c)

Ejemplo:

\sqrt{2}+(\sqrt{3}+\sqrt{5})=(\sqrt{2}+\sqrt{3})+\sqrt{5}

 

 

3 Conmutativa:

 

El orden de los sumandos no varía la suma.

 

a+b=b+a

Ejemplo:

\sqrt{3}+\sqrt{5}=\sqrt{5}+\sqrt{3}

 

 

4 Elemento neutro:

El elemento neutro e es un número que cumple que

a+e=e+a=a

para cualquier número a

En el caso de los números reales, el 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número.

a+0=a=0+a

Ejemplo:

\pi+0=\pi

 

5 Elemento opuesto:

 

Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el elemento neutro, en este caso, cero.

Al opuesto de un número a se le denota como -a. Entonces,

a-a=0

El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.

-(-a)=a

 

La diferencia de dos números reales se define como la suma del minuendo más el opuesto del sustraendo.

 

a - b = a + (-b)

Producto de números reales

 

Propiedades:

 

1 Interna:

 

El resultado de multiplicar dos números reales es otro número real.

 

 

a\cdot b\in \mathbb{R}

2 Asociativa:

 

El modo de agrupar los factores no varía el resultado. Si a, b y c son números reales cualesquiera, se cumple que:

 

(a\cdot b)\cdot c= a\cdot (b\cdot c)

Ejemplo:

(\sqrt{2}\cdot \pi)\cdot e =\sqrt{2}\cdot(\pi\cdot e)

3 Conmutativa:

 

El orden de los factores no varía el producto.

a\cdot b=b\cdot a

Ejemplo:

\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{3}= \sqrt[3]{3}\cdot \sqrt{2}

4 Elemento neutro:

 

El 1 es el elemento neutro de la multiplicación, porque todo número multiplicado por él da el mismo número.

 

a\cdot 1=1\cdot a=a

Ejemplo:

\pi\cdot 1=\pi

5 Elemento opuesto:

 

Un número es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento unidad.

 

a\cdot \frac{1}{a}=1

Ejemplo:

\pi\cdot \frac{1}{\pi}=1

 

6 Distributiva:

 

El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos.

 

 

a\cdot (b+ c)=a\cdot b+ a\cdot c

\sqrt{2}\cdot (\sqrt{2}+ 1)=\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}+ \sqrt{2}\cdot 1=2+\sqrt{2}

 

7 Sacar factor común:

 

Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.

 

Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.

 

a\cdot b+ a\cdot c=a\cdot (b+ c)

Ejemplo:

\pi e^2+ e^3=e^2\cdot (\pi + e)

 

Regla de los signos

La regla de los signos del producto de los números enteros y racionales se sigue manteniendo con los números reales.

 

\begin{align*} {\color{Red} + } \text{ por } {\color{Red} + } &= {\color{Red} + } \\ {\color{Red} - } \text{ por } {\color{Red} - } &= {\color{Red} + } \\ {\color{Blue} + } \text{ por } {\color{Blue} - } &= {\color{Blue} -} \\ {\color{Blue} - } \text{ por } {\color{Blue} + } &= {\color{Blue} - } \end{align*}

Ejemplos:

  • -\left( 3\sqrt{2} \right )\left( -\pi \right )=3\pi\sqrt{2}
  • \left( e-\sqrt{5} \right )\left( -\sqrt{5} \right )=-e\sqrt{5}+5

División de números reales

 

La división de dos números reales se define como el producto del dividendo por el inverso del divisor.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗