Gaspar

21 septiembre 2020

Temas

 

Un cilindro es un cuerpo geométrico engendrado por un rectángulo que gira alrededor de uno de sus lados.

cilindro 1

 

Elementos del cilindro

Un cilindro recto consta de distintas partes que a continuación enunciamos

 

cilindro 2

 

Bases del cilindro

Son los círculos que conforman los bordes inferior y superior el cilindro. Estos círculos son iguales y paralelos.

 

Eje del cilindro

Es la recta que pasa por los centros de las bases del cilindro; esta es perpendicular a dichas bases. Observa que el eje contiene al lado del rectángulo que gira sobre si mismo.

 

Altura

Es la longitud del segmento que tiene por extremos los centros de las dos bases. Es igual al lado del rectángulo que gira sobre si mismo.

 

Generatriz

Es el lado opuesto a la altura y es el lado que engendra el cilindro. Observa que {h = g}

 

Área lateral del cilindro

Es igual al área de la superficie del cilindro sin considerar el área de sus bases

{A_L = 2\pi r h}

 

Área del cilindro

Es igual al área total de la superficie del cilindro considerando sus bases

{A_T = 2\pi r(h + r)}

 

Volumen del cilindro

{V = \pi r^2 h}

 

Ejercicios propuestos

1Calcula la cantidad de hojalata que se necesitará para hacer {10} botes de forma cilíndrica de {10 \ cm} de diámetro y {20 \ cm} de altura.

1La cantidad de hojalata requerida es el área total del cilindro

 

 

{\begin{array}{rcl} A_T & = & 2\pi (5)(20 + 5) \\\\ & = & 785.4 \ cm^2 \end{array}}

 

2La cantidad total de hojalata requerida para fabricar {10} botes es

 

{\begin{array}{rcl} 10(785.4) & = & 7,854 \ cm^2 \end{array}}

 

2Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base. Si la altura es de {125.66 \ cm}. Calcular el área total y volumen.

1Primero utilizamos el hecho que la altura es igual a la longitud de la circunferencia de la base para encontrar el valor del radio

 

{\begin{array}{rcl} 2 \pi r & = & 125.66 \\\\ r & = & \displaystyle \frac{125.66}{2 \pi} \\\\ r & = & 20 \ cm \end{array}}

 

2Calculamos el área total

 

{\begin{array}{rcl} A_T & = & 2\pi (20)(125.66 + 20) \\\\ & = & 18,304.2 \ cm^2 \end{array}}

 

3Calculamos el volumen

 

{\begin{array}{rcl} V & = & \pi (20)^2(125.66) \\\\ & = & 157,909.4 \ cm^3 \end{array}}

 

3En una probeta de {6 \ cm} de radio se echan cuatro cubitos de hielo de {4 \ cm} de arista. ¿A qué altura llegará el agua cuando se derritan?

1Calculamos el volumen {V_H} de un cubito de hielo

 

{\begin{array}{rcl} V_H & = & 4^3 \\\\ & = & 64 \ cm^3 \end{array}}

 

El volumen ocupado por los cuatro cubitos de hielo es {4(64) = 256 \ cm^3}

 

2Para encontrar la altura de la probeta, igualamos el volumen de la probeta {V_c} con el volumen de agua de los cuatro cubitos

 

{\begin{array}{rcl} V_c & = & 256 \\\\ \pi (6)^2 h & = & 256 \\\\ h & = & \displaystyle \frac{256}{36 \pi} \\\\ h & = & 2.26 \ cm \end{array}}

 

4Un recipiente cilíndrico de 10 cm de radio y y 5 cm de altura se llena de agua. Si la masa del recipiente lleno es de 2 kg, ¿cuál es la masa del recipiente vacío?

1Calculamos el volumen del recipiente

 

{\begin{array}{rcl} V & = & \pi (10)^2 (5) \\\\ & = & 1,570.8 \ cm^3 \end{array}}

 

2Se sabe que un {kg} es igual a un {dm^3}, por lo que convertimos el volumen a {dm^3}

 

{\begin{array}{rcl} 1,570.8 \ cm^3 & = & 1,570.8 \left( \displaystyle \frac{dm}{10} \right)^3 \\\\ & = & 1.57 \ dm^3 \\\\ & = & 1.57 \ kg \end{array}}

 

3Así, la masa del recipiente vacio es {(2 - 1.57) \ kg = 0.43 \ kg}

 

5Si radio de la base de un cilindro se reduce a la mitad, ¿es su volumen igual a la mitad del volumen original?

1Calculamos el volumen del cilindro de radio {r} y altura {h}

 

{\begin{array}{rcl} V_r & = & \pi r^2 h \end{array}}

 

2Calculamos el volumen para el cilindro con el radio reducido a la mitad

 

{\begin{array}{rcl} V_{r/2} & = & \displaystyle \pi \left( \frac{r}{2} \right)^2 h \\\\ & = & \displaystyle \frac{1}{4} \pi r^2 h \end{array}}

 

3El volumen del cilindro con el radio reducido a la mitad es igual a una cuarta parte del volumen del cilindro original, y no la mitad de este.

 

6Se desea construir una lata cilíndrica cuyo radio sea la cuarta parte de su altura. Expresa el volumen y el área total de la lata en función del radio de la misma.

1Calculamos el volumen del cilindro de radio {r} y altura {h}

 

{\begin{array}{rcl} V_r & = & \pi r^2 h \end{array}}

 

2Utilizamos el hecho de que el radio es igual a un cuarto de la altura, para expresar la altura en término del radio

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{1}{4}h & = & \displaystyle r \\\\ h & = & \displaystyle 4r \end{array}}

 

3Sustituimos el valor {h} en la fórmula del volumen, para expresarlo en términos de {r}

 

{\begin{array}{rcl} V & = & \pi r^2 \left( \displaystyle 4r \right) \\\\ V & = & 4 \pi r^3 \end{array}}

 

4Sustituimos el valor {h} en la fórmula del área total, para expresarlo en términos de {r}

 

{\begin{array}{rcl} A_T & = & 2\pi r \left( \displaystyle h + r \right) \\\\ & = & 2 \pi r (4r + r) \\\\ & = & 10 \pi r^2 \end{array}}

 

7La altura de un cilindro se incrementa {k} unidades, ¿cuál es el incremento en su volumen?

1Calculamos el volumen {V} del cilindro de radio {r} y altura {h}

 

{\begin{array}{rcl} V & = & \pi r^2 h \end{array}}

 

2Calculamos el volumen {V_k} del cilindro con el incremento de {k} unidades en su altura

 

{\begin{array}{rcl} V_k & = & \pi r^2 (h + k) \\\\ & = & \pi r^2 h + k \pi r^2 \\\\ & = & V + k \pi r^2 \end{array}}

 

El volumen se incrementa {k-}veces el área de su base

 

8¿Cuál es el volumen de un cilindro de altura {2 \ m} que se incribe en una esfera de radio {2 \ m}?

1Calculamos el radio {r} del cilindro inscrito en el esfera de radio {2 \ m}, empleando el teorema de Pitágoras

 

{\begin{array}{rcl} r & = & \sqrt{2^2 - 1^2} \\\\ & = & \sqrt{3} \end{array}}

 

cilindro 3

 

2Calculamos el volumen {V} del cilindro

 

{\begin{array}{rcl} V & = & \pi (\sqrt{3})^2 (2) \\\\ & = & 18.85 \ m^3 \end{array}}

 

9Se construye un cilindro de concreto de diámetro {30 \ cm}, espesor {5 \ cm} y altura {90 \ cm}. ¿Cuál es el volumen de concreto empleado para construir el cilindro?

1Calculamos el volumen {V_e} del cilindro exterior de diámetro {30 \ cm} y altura {90 \ cm}

 

{\begin{array}{rcl} V_e & = & \pi (15)^2 (90) \\\\ & = & 63,617.4 \ cm^3 \end{array}}

 

2Calculamos el volumen {V_i} del cilindro interior de diámetro {20 \ cm} y altura {90 \ cm}

 

{\begin{array}{rcl} V_i & = & \pi (10)^2 (90) \\\\ & = & 28,274.4 \ cm^3 \end{array}}

 

3La cantidad {V} de concreto empleado es

 

{\begin{array}{rcl} V & = & V_e - V_i \\\\ & = & 63,617.4 \ cm^3 - 28,274.4 \ cm^3 \\\\ & = & 35,343 \ cm^3 \end{array}}.

 

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Gaspar

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