Marta

2 junio 2019

Temas

 

 

Volumen y area del prisma

 

1Hallar el área total y el volumen de un prisma triangular de altura 6 cm y base un triángulo equilátero de lado 5 cm. Redondea a dos cifras decimales.

Ejercicio interactivo area volumen 1

{A_T =}    {cm^2,}

 

 

 

 

{V=} {cm^3}

 

1En primer lugar calculamos el perímetro de la base, que por ser un triángulo equilátero es

 

{P_B=3(5 \, cm)=15 \, cm}

 

2El área total está dado por la suma del área lateral y el doble del área de la base, esto es, {A_T=A_L+2A_B}. Calculamos el área lateral

 

{A_L=(6 \, cm)(15 \, cm)=90 \, cm^2}

 

3Para calcular el área de la base {A_B} necesitamos la altura {h_T} del triángulo equilátero, la cual obtenemos empleando el Teorema de Pitágorasbase prisma 1

 

{h_T=\sqrt{(5\, cm)^2+(2.5\, cm)^2}=4.33 \, cm}

 

4Calculamos el área de la base

 

{A_B=\displaystyle \frac{(5\, cm)(4.33\, cm)}{2}=10.83 \, cm^2}

 

5Tenemos los valores del área lateral y de la base, con ellos calculamos el área total

 

{A_T=90 \, cm^2 + 2(10.83 \, cm^2)= 111.66 \, cm^2}

 

6Por último calculamos el volumen, cuya fórmula viene dada por {V=A_B \cdot h}

 

{V=(10.83 \, cm^2)(6 \, cm)= 64.98 \, cm^3}

 

 

2María regala a su padre un best seller por su cumpleaños. Elige la encuadernación de tapas duras que tiene forma de prisma rectangular, siendo sus medidas 18 cm de largo, 12 cm de ancho y 6 cm de grosor. Si sabemos que al envolverlo un 10% del envoltorio queda oculto por sí mismo, ¿cuál es la cantidad de papel de regalo empleada?

ejercicio volumen libro

{cm^2}

1En primer lugar calculamos el perímetro de la base del libro, que por ser un rectángulo es  debemos calcular la superficie del libro, como el libro es un prisma rectangular hallamos su área total, para ello requerimos conocer el perímetro de la base , el área lateral y el área de la base

 

{P_B=2(12\, cm) + 2(18\, cm) = 60\, cm}

 

2El área total está dado por la suma del área lateral y el doble del área de la base, esto es, {A_T=A_L+2A_B}. Calculamos el área lateral

 

{A_L=(6\, cm)(60\, cm)=360 \, cm^2}

 

3Calculamos el área de la base

 

{A_B=(12\, m)(18\, cm)=216 \, cm^2}

 

4Tenemos los valores del área lateral y de la base, con ellos calculamos el área total

 

{A_T=360\, cm^2+2(216\, cm^2)=792\, cm^2}

 

5El área del libro es de {792 \, cm^2,} lo cual representa el {90 \, /%} del papel empleado, mientras que el total del papel es el [latex]{100\, \%}. Aplicando proporcionalidad (también conocida como regla de tres) se tiene

 

{\displaystyle\frac{792 \, cm^2}{90\%}=\displaystyle\frac{x}{100\%} \longrightarrow x=\displaystyle\frac{(792\, cm^2)(100\%)}{90\%}=880\, cm^2}

 

Por lo tanto, la cantidad de papel utilizada es de {880 \, cm^2}.

 

1El volumen que ocupa la casa lo obtenemos sumando el volumen del ortoedro con el volumen de la pirámide. Calculamos el área de la base {A_B} de la pirámide

 

{A_B=(10\, m)(8.5\, m)=85\, m^2}

 

2Calculamos el volumen {V=P} de la pirámide

 

{V_P=\displaystyle\frac{(85\, m^2)(1.5\, m)}{3}=42.5\, m^3}

 

3Calculamos el volumen del ortoedro

 

{V_O=(10\, m)(3\, m)(8.5\, m)=255\, m^3}

 

4Tenemos los valores del volumen de la pirámide y del ortoedro, sumándolos obtenemos el volumen total

 

{V_T=42.5\, m^3+255\, m^3=297.5\, m^3}

 

5Para calcular el área de la fachada, calculamos el área lateral del ortoedro

 

{A_L=2[(10\, m)(3\, m)+(8.5\, m)(3\, m)]=111\, m^2 \\}

 

 

 

4Calcula el área total, el volumen y apotema de una pirámide pentagonal de altura 7 cm cuya base es un pentágono regular de 3 cm de lado y apotema 2.6 cm. Redondea a dos cifras decimales.

 

{A_{T} =} {cm^2,}

 

 

{V =} {cm^3,}

 

 

{A_{P} =} {cm}

 

1Aplicamos el Teorema de Pitágoras para calcular la apotema de la pirámide y con ello encontrar el área total y el volumen para la pirámide.ejercicio piramide pentagonal 2

 

{A_P=\sqrt{(7\, cm)^2+(2.6\, cm)^2}=7.47\, cm}

 

2Para obtener el área total, necesitamos el área lateral y el área de la base. En ambos casos requerimos el perímetro de la base

 

{P_B=5(3\, cm)=15\ cm}

 

3La base es un pentágono, por lo que su área es la mitad del producto de su apotema por el perímetro de la base

 

{A_B=\displaystyle\frac{(15\, cm)(2.6\, cm)}{2}=19.5\, cm^2}

 

4El área lateral está formada por triángulos, por lo que su área es la mitad del producto del apotema de la pirámide por el perímetro de la base

 

{A_L=\displaystyle\frac{(15\, cm)(7.47\, cm)}{2}=56.03\, cm^2}

 

5El área total es igual a la suma del área lateral con el área de la base

 

{A_T=A_L+A_B=56.03\, cm^2+19.5\, cm^2=75.53\, cm^2}

 

6Calculamos el volumen el cual es la tercera parte del producto

 

{V=\displaystyle\frac{(19.5\, cm^2)(7\, cm)}{3}=45.5\, cm^3}

 

 

 

 

 

5Una pirámide triangular cuya base es un triángulo equilátero de lado 1.5 cm, tiene una altura de 3.6 cm y la apotema de la base mide 0.43 cm. Calcula el volumen y el área total de dicha pirámide redondeando a dos cifras decimales.

 

ejercicio volumen piramide triangular 1

{A_{T} =} {cm^2,}

 

 

{V =} {cm^3}

 

1Para calcular el área y el volumen necesitamos calcular primero la apotema de la pirámide, puesto que conocemos la apotema de la base y la altura, aplicamos el Teorema de Pitágoras

 

{A_{P}=\sqrt{(3.6\, cm)^2+(0.43\, cm)^2}=3.63\, cm}

 

2La base es un triángulo equilátero, por lo que para encontrar su área requerimos su altura

 

{h_B=\sqrt{(1.5\, cm)^2-(0.75\, cm)^2}=1.30\, cm}

 

3Calculamos el área de la base

 

{A_B=\displaystyle\frac{(1.5\, cm)(1.30\, cm)}{2}=0.98\, cm^2}

 

4Calculamos el perímetro de la base

 

{P_B=3(1.5\, cm)=4.5\, cm}

 

5Calculamos el área total

 

{A_T=A_L+A_B=8.17\, cm^2+0.98\, cm^2=9.15\, cm^2}

 

6Calculamos el volumen

 

{V=\displaystyle\frac{(0.98\, cm^2)(3.6\, cm)}{3}=1.18\, cm^3}

 

 

 

6Por lo general las famosas pirámides de Egipto son pirámides cuadrangulares. La pirámide de Keops es una de las más famosas. Aproximando sus medidas podemos afirmar que tiene por base un cuadrado de lado 230.35 m y una altura de 146.61 m, calcula el volumen que ocupa dicha pirámide. Redondea a dos cifras decimales en los casos que sea necesario.

ejercicio volumen piramide de egipto 1

{V =} {m^3}

Si quisiésemos cubrir la pirámide de Keops con una tela, ¿qué cantidad de la misma necesitaríamos?

{A_{T} =} {m^2}

1Se trata de una pirámide cuadrangular, por tanto la apotema del cuadrado mide la mitad del lado, es decir {115.18 \, m}

 

2Calculamos el área de la base

 

{A_B=(230.35\, m)^2=53,061.12\, m^2}

 

3Para encontrar el área lateral requerimos el perímetro de la base y la apotema de la pirámide

 

{P_{B}=4(230.35\, m)=921.4\, m, }

 

{A_{P}=\sqrt{(146.61\, m)^2 + (115.18\, m)^2}=186.44\, m}

 

4Calculamos el área lateral

 

{A_L=\displaystyle\frac{(921.4\, m)(186.44\, m)}{2}=85,892.91\, m^2}

 

5Calculamos el área total

 

{A_T=85,892.91\, m^2+ 53,061.12\, m^2=138,954.03\, m^2}

 

6Calculamos el volumen

 

{V=\displaystyle\frac{(53,061.12\, m^2)(146.61)}{3}=2,593,096.93\, m^3}

 

 

 

7Calcular la arista de de la pirámide de la siguiente figura.
ejercicio arista de una piramide 1

{a =} {cm}

 

1En primer lugar calculamos la diagonal del cuadrado empleando el Teorema de Pitágorasejercicio arista de una piramide 3

 

{d=\sqrt{(5\, cm)^2+(5\, cm)^2}=7.07\, cm}

 

2Para calcular la arista volvemos a utilizar el Teorema de Pitágoras con el triángulo rectángulo cuyos catetos son la altura de la pirámide y la mitad de la diagonal

 

{a=\sqrt{(10\, cm)^2+(3.54\, cm)^2}=10.61\, cm}

 

Volumen y área del tronco de piramide

 

 

8El cajón del escritorio de Sandra tiene poco espacio y quiere meter una cajita como la de la figura para guardar pendientes. Si el espacio que queda en el escritorio es de 12 cm de ancho, 10 de profundidad y 11 de alto, ¿cabrá la cajita en el escritorio? Responde Si o No.

ejercicio area total y volumen de piramide truncada 1

Si la parte de la caja del tronco de pirámide es la que corresponde a la tapadera, calcular la cantidad de tela necesaria para forrarla por fuera.

{A =} {cm^2}

1Calculamos el volumen del espacio que queda libre y el de la cajita para luego compararlos

 

{V_{espacio}=(11\, cm)(12\, cm)(10\, cm)=1,320 \, cm^3}

 

2Para calcular el volumen de la cajita calculamos el volumen del prima hexagonal y le sumamos el volumen del tronco de pirámide, para esto requerimos el perímetro y la apotema de la base mayor

 

{P_{base \, mayor}=6(5\, cm)=30\, cm, }

 

{a_{p \, base \, mayor}=\sqrt{(5\, cm)^2-(2.5\, cm)^2}=4.33\, cm}

 

3Calculamos el área de la base mayor

 

{A_{base \, mayor}=\displaystyle\frac{(30\, cm)(4.33\, cm)}{2}=64.95\, cm^2}

 

4Calculamos el volumen del prisma

 

{V_{prisma}=(4\, cm)(64.95\, cm^2)=259.8 \, cm^3}

 

5Calculamos el perímetro y la apotema de la base menor

 

{P_{base \, menor}=6(3\, cm)=18\, cm,}

 

{a_{p \, base \, menor}=\sqrt{(3\, cm)^2-(1.5\, cm)^2}=2.60\, cm}

 

6Calculamos el área de la base menor

 

{A_{base \, menor}=\displaystyle\frac{(18\, cm)(2.60\, cm)}{2}=23.4\, cm^2}

 

7Calculamos el volumen del tronco de la pirámide

 

{V_{tronco}=\displaystyle\frac{(2\, cm)}{3}(23.4\, cm^2+83.85\, cm^2 + \sqrt{(23.4\, cm^2)(83.85\, cm^2)})=101.03 \, cm^3}

 

8Sumamos el volumen del tronco con el volumen del prisma

 

{V_{caja}=101.03 \, cm^3+259.8\, cm^3 = 360.83\, cm^3}

 

Como el volumen de la caja es menor que el volumen del espacio del cajón la cajita sí cabe.

 

9Para saber la cantidad de tela necesaria hay que calcular el área del tronco de pirámide, por tanto hay que calcular la apotema del tronco de pirámide aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo que se observa en el dibujo.apotema de piramide truncada

 

{A_p=\sqrt{(2\, cm)^2+((4.33-2.60)cm)^2}=2.64\, cm}

 

10Con los datos que tenemos podemos calcular el área teniendo en cuenta que sólo queremos conocer la superficie lateral de la tapadera y la parte superior (área de la base menor)

 

{A=\displaystyle\frac{30\, cm +18\, cm}{2}\cdot (2.64\, cm)+23.4 \, cm^2 =86.76\, cm^2}

 

 

Si tienes dudas puedes consultar la teoría

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗