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Poliedros regulares

Existen 5 poliedros regulares, si suponemos que a es la longitud de su arista, entonces las formulas para área - volumen son:

Área y volumen del tetraedro

    \[ Área: \quad A = a^2 \sqrt{3} \]

    \[ Volumen: \quad V = \frac{\sqrt{2}}{12}a^3 \]

 

Área y volumen del cubo

    \[ Área: \quad A = 6 a^2 \]

    \[ Volumen: \quad V = a^3 \]

 

Área y volumen del octaedro

    \[ Área: \quad A = 2 a^2 \sqrt{3} \]

    \[ Volumen: \quad V = \frac{\sqrt{2}}{3}a^3 \]

 

Área y volumen del dodecaedro

    \[ Área: \quad A = 30(a)(Ap) \]

    \[ Volumen: \quad V = \frac{1}{4}(15 + 7\sqrt{5})a^3 \]

donde: Ap apotema.

 

Área y volumen del icosaedro

    \[ Área: \quad A = 5\sqrt{3}a^2 \]

    \[ Volumen: \quad V = \frac{5}{12}(3 + \sqrt{5})a^3 \]

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Vamos

Otros poliedros: Prismas y pirámides

Área y volumen del prisma recto

    \[A = 2A_b + A_L\]

    \[ V = A_b \cdot h \]

donde :

    \[ A_b = \text{área del polígono base}\]

    \[ A_L = \text{área lateral}, S_L = P \cdot h \]

con P perímetro y h altura.

 

Área y volumen pirámide regular

    \[ A = A_b + A_L \]

    \[ V = \frac{A_b \cdot h}{3} \]

donde:

    \[A_b = \text{área del polígono regular base}\]

    \[A_L = \text{área lateral}, A_L=\frac{P \cdot Ap}{2}\]

,

con P es el perímetro de la base y Ap es la altura de la cara lateral (apotema).

 

Área y volumen del tronco de pirámide

Primero denotemos algunos elementos básicos del tronco

    \[ P = \text{Perímetro de la base mayor} \]

    \[P'= \text{Perímetro de la base menor} \]

    \[ A_p=\text{Apotema del tronco de pirámide}\]

    \[ A=\text{Área de la base mayor} \]

    \[A'=\text{Área de la base menor} \]

Dado esto, ahora presentamos las fórmulas para el área lateral, área total y el volumen de un tronco de pirámide

    \[ A_{lateral}=\cfrac{P+P'}{2}\cdot Ap \]

    \[ A_{total}=A+A'+\cfrac{P+P'}{2}\cdot Ap \]

    \[ V=\cfrac{h}{3}\cdot(A+A'+\sqrt{A\cdot A'}) \]

Cilindro

Área y volumen del cilindro

Sea {g, A_{L}, A_{T}, V} la generatriz, área lateral, área total y volumen de la figura, respectivamente.

Formula de area y volumen del cilindro

 

    \[{g=h}\]

 

    \[{A_{L}=2\pi r h}\]

 

    \[{A_{T}=2\pi r (h+r)}\]

 

    \[{V=\pi r^{2} h}\]

Cono

Nuevamente, sea {g, A_{L}, A_{T}, V} la generatriz, área lateral, área total y volumen de la figura, respectivamente.

Área y volumen del cono

Formula de areay volumen del cono

 

    \[{g^{2}=h^{2}+r^{2}}\]

 

    \[{A_{L}=\pi r g}\]

 

    \[{A_{T}=\pi r (g+r)}\]

 

    \[{V=\displaystyle\frac{\pi r^{2} h}{3}}\]

 

Área y volumen del tronco de cono

Formula de area y volumen del tronco del cono

 

    \[{A_{L}=\pi g(R+r) }\]

 

    \[{A_{T}=\pi [g(R+r)+R^{2}+r^{2}]}\]

 

    \[{V=\displaystyle\frac{1}{3}\pi h (R^{2}+ r^{2}+Rr)}\]

Esfera

Área y volumen de la esfera

El radio es la distancia entre el centro y un punto de la esfera, y se denota r.

esfera representación gráfica

 

Área de una esfera

    \[ A=4\cdot \pi \cdot r^2 \]

Volumen de una esfera

    \[ \displaystyle V=\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^3 \]

Área del huso esférico y volumen de la cuña esférica

huso esferico representación gráfica

 

El huso esférico es la parte de la superficie de una esfera comprendida entre dos planos que se cortan en el diámetro de aquella.
cuña esférica representación gráfica

 

Área del huso esférico

    \[ \displaystyle A=\frac{4\cdot \pi \cdot r^2}{360}\cdot n \]

Volumen de la cuña esférica

    \[ V=\frac{4}{3}\cdot \frac{\pi\cdot r^3}{360}\cdot n\]

 

Área y volumen del casquete esférico

Un casquete esférico es cada una de las partes de la esfera determinada por un plano secante.

casquete esférico representación gráfica

    \[ \displaystyle R=\frac{r^2+h^2}{2h}\]

Área del casquete

    \[ A=2\cdot \pi \cdot R \cdot h\]

Volumen del casquete esférico

    \[ V=\frac{1}{3}\pi\cdot h^2 \cdot (3R-h)\]

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗