Resuelve los siguientes problemas:

 

1 Calcula el volumen de papel higiénico que hay en el siguiente rollo. Redondea a dos cifras decimales.

 

Volumen de un rollo de papel imagen

 

V = cm³

 

En primer lugar observemos que debemos calcular dos volúmenes. El volumen del cilindro formado por el papel y el volumen del cilindro hueco que aparece en el interior.

 

Una vez hecho esto deberemos restar el segundo al primero para calcular el volumen exacto de papel higiénico de que disponemos.

 

 Cilindro completo

 

Como el diámetro mide 10 cm, el radio será de 5 cm.

V=\pi \cdot 5^{2}\cdot 9.5\simeq 746.13\, \textup{cm}^{3}

 

 Hueco

 

Como el diámetro mide 2 cm, el radio será de 1 cm.

V=\pi \cdot 1^{2}\cdot 9.5\simeq 29.85\, \textup{cm}^{3}

 

 Volumen de papel

 

V\cong 746.13-29.85=716.28\, \textup{cm}^{3}

 

2 Volumen y área cilindro circunscrito en un prisma hexagonal de base un hexágono regular cuya apotema es de 2.6 cm y altura de 4 cm. Redondea a dos cifras decimales.

 

Cilindro circunscrito en un prisma hexagonal representación gráfica

 

A = cm²

 

 

V = cm³

 

Para calcular el área y el volumen del cilindro necesitamos la altura (ya la tenemos) y el radio que obtenemos aplicando Pitágoras.

 

\begin{matrix} (2.6)^{2}=r^{2}-\left (\cfrac{r}{2} \right )^{2} & & 6.76=\cfrac{3r^{2}}{4} & & r=3\, \textup{cm} \\ \\ A=2\cdot \pi \cdot 3\cdot (4+3)=131.95\, \textup{cm}^{2} \\ \\ V=\pi \cdot 3^{2}\cdot 4=113.10\, \textup{cm}^{3} \end{matrix}

 

3 Calcular la altura de un cono de helado cuyo diámetro mide 5 cm y su volumen es de \cfrac{125\cdot \pi }{4}\, \textup{m}^{3}. Redondea a dos cifras decimales.

 

Volumen de un cono de helado representación gráfica

 

h =  cm

 

Si en vez de colocar una sola bola de helado en el cono, lo llenásemos entero, ¿qué volumen de helado necesitaríamos?

 

V =  cm³

 

Para no mancharnos el cono se envuelve con un papel con la misma forma pero con 3 cm menos de altura. ¿Qué cantidad de papel es la que usamos?

 

A =  cm²

 

Calculamos la altura del cono a partir del volumen:

 

\cfrac{125\cdot \pi }{4}=\cfrac{\pi \cdot (2.5)^{2}\cdot h}{3}

 

3\cdot 125=4\cdot (2.5)^{2}\cdot h

 

375=25\cdot h h=15\, \textup{cm}

El volumen de helado necesario será el volumen del cono calculado anteriormente más el volumen de la semiesfera que sobresale del cono

 

V_{\textup{semiesfera}}=\cfrac{\cfrac{4\cdot \pi \cdot (2.5)^{3}}{3}}{2}=\cfrac{4\cdot \pi \cdot (2.5)^{3}}{6}=\cfrac{125\cdot \pi }{12}\, \textup{cm}^{3}

 

V_{\textup{helado}}=V_{\textup{cono}}+V_{\textup{semiesfera}}

 

V_{helado}=\cfrac{125\cdot \pi }{12}+\cfrac{125\cdot \pi }{4}=\cfrac{125\cdot \pi }{3}=130.90\, \textup{cm}^{3}

El área del papel será el área del cono pero con una altura de 15 − 3 = 12 cm. Calculamos la generatriz del cono por Pitágoras

 

g^{2}=(2.5)^{2}+12^{2}\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; g=12.26\, \textup{cm}

 

A=\pi \cdot 2.5\cdot (12.26+2.5)=115.92\, \textup{cm}^{2}

 

4 En un cubo de volumen un metro cúbico introducimos un cono cuya base está marcada por la circunferencia inscrita a la base del cubo. Si llenamos de agua el espacio que queda libre en el cubo, ¿qué volumen de agua necesitaríamos? Redondea a dos cifras decimales.

 

Cono dentro de un cubo representación gráfica

 

V =  cm³

 

Para saber el volumen de agua necesario basta con calcular el volumen del cono y restarlo al volumen del cubo. La altura del cono es de 1 m y el radio mide 0.5 m ya que la base del mismo es la circunferencia inscrita en la base del cubo. La generatriz la obtenemos por Pitágoras a partir del radio y de la altura.

 

 

g^{2}=(0.5)^{2}+1^{2}\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; g=1.12\, \textup{m}

 

V_{\textup{cono}}=\cfrac{\pi \cdot (0.5)^{2}\cdot 1}{3}=\cfrac{\pi }{12}\, \textup{m}^{3}

 

V_{\textup{agua}}=1-\cfrac{\pi }{12}=0.74\, \textup{m}^{3}

 

5 ¿Qué cantidad de plástico se ha necesitado para construir la pantalla de la siguiente lámpara cuya altura mide 17 cm?. Redondea a dos cifras decimales.

 

Volumen de una lampara con forma de cilindro truncado representación gráfica

 

A =  cm²

¿Qué volumen ocuparía dicha pantalla si fuese sólida?

 

V =  cm³

 

Para calcular la cantidad de plástico necesario calculamos el área lateral de la pantalla que es un tronco de cono

 

En primer lugar calculamos la generatriz del cono por Pitágoras:

Triangulo rectángulo para obtener la generatriz de un cono representación gráfica

 

g^{2}=17^{2}+(35-20)^{2}\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; g=22.67\, \textup{cm}

 

A_{L}=\pi \cdot (35+20)\cdot 22.67=3917.09\, \textup{cm}

 

V=\cfrac{1}{3}\cdot \pi \cdot 17\cdot (35^{2}+20^{2}+35\cdot 20)=13175\pi =41390.48\, \textup{cm}^{3}

Si tienes dudas puedes consultar la teoría

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Marta

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pedro
pedro
Invité
2 Jun.

están correctos mis resultados y lo toma como malo

Superprof
Superprof
Administrateur
18 Jun.

Hola Pedro, y muchas gracias por el comentario. Nuestra página no tomaba en cuenta las respuestas con «,» en vez de «.» para el decimal. Hemos arreglado el problema y las dos opciones cuentan como correctas. Disculpa las molestias. ¡Un saludo!

owen
owen
Invité
3 Jun.

fue un 50 facil y un 30 dificil

Superprof
Superprof
Administrateur
3 Jun.

Con un poco de practica, te resultara 100% fácil. 😉