1Dado un cubo de Rubik cuya área lateral es de 9 cuadrados y cada cuadrado tiene 0.8 \ cm de lado. Calcular su área y su volumen.

A =  cm^2

 

V =  cm^3

1Para calcular el área y el volumen necesitamos conocer el valor de la arista

 

Cada cara del cubo contiene 9 cuadrados, por lo que cada arista está formada por tres lados de los cuadrados de lado 0.8 \ cm

 

arista = 0.8 \cdot 3 = 2.4 \ cm

 

2Para calcular el área total, calculamos el área de cada cara y multiplicamos por 6

 

A_T = 6 \cdot arista^2 = 6 \cdot (2.4)^2 = 34.56 \ cm^2

 

3Calculamos el volumen

 

V = arista^3 = (2.4)^3 = 13.824 \ cm^3

 

2Dado un dado cuya diagonal mide 2.5 \ cm, indica el área y el volumen del dado redondeando a dos cifras decimales.

A = cm^2

 

V = cm^3

1Para calcular el área y el volumen necesitamos conocer el valor de la arista

 

La diagonal D del cubo tiene por extremos vértices diametralmente opuestos del dado y es la hipotenusa del triángulo rectángulo que tiene por catetos la diagonal d de una de las caras del dado y una arista a del mismo

 

Calculamos la diagonal de una de las caras

 

d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2}a

 

A partir de conocer la diagonal D obtenemos la medida de la arista

 

2.5^2 = (\sqrt{2}a)^2 + a^2 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ a = \sqrt{\cfrac{2.5^2}{3}} = 1.44 \ cm

 

2Para calcular el área total, calculamos el área de cada cara y multiplicamos por 6

 

A_T = 6 \cdot a^2 = 6 \cdot (1.44)^2 = 12.44 \ cm^2

 

3Calculamos el volumen

 

V = a^3 = (1.44)^3 = 2.99 \ cm^3

 

3Dado un depósito de agua en forma de cubo con capacidad de 900 \ l, indica el área y el volumen del depósito redondeando a dos cifras decimales.

A = m^2

 

V = m^3

1Como un litro equivale a un decímetro cúbico, primero calculamos el volumen

 

V = 900 \ l = 900 \ dm^3 = 900 : 1000 = 0.90 \ m^3

 

2Para calcular la arista empleamos la fórmula de volumen

 

a = \sqrt[3]{V} = \sqrt[3]{0.90} = 0.97 \ m

 

3Calculamos el área total

 

A_T = 6 \cdot a^2 = 6 \cdot (0.97)^3 = 5.65 \ m^2

 

4Hallar el área y el volumen de la siguiente figura:

ejercicio de area y volumen 1

A = cm^2

 

V = cm^3

1Para calcular el área notamos que se tienen 6 cruces y 8 huecos. En cada hueco se tienen 3 caras del cubo de lado 2 \ cm, por lo que el área total de la figura es igual al área total del cubo de lado 6 \ cm

 

A_T = 6 \cdot 6^2 = 216 \ cm^2

 

2Calculamos el volumen

 

El volumen de la figura será el volumen del cubo completo cuya arista medirá 3 · 2 = 6 cm, menos el volumen de los huecos.

 

V = 6^3 - 8 \cdot 2^3 = 152 \ cm^3

 

5Un mueble como el de la figura tiene forma de ortoedro 80 \ cm, \ 35 \ cm, \ 2 \ m. Calcular su volumen y su área

ejercicio de area y volumen 2

A = cm^2

 

V = cm^3

1Pasamos a las mismas unidades

 

80 \ cm = 80 : 100 \ m = 0.80 \ m

35 \ cm = 35 : 100 \ m = 0.35 \ m

 

2Calculamos el área total

 

A_T = 2 \cdot (0.35 \cdot 0.80 + 0.35 \cdot 2 + 0.80 \cdot 2) = 5.16 \ cm^2

 

3Calculamos el volumen

 

V = 0.35 \cdot 0.80 \cdot 2 = 0.56 \ cm^3

 

6Dado un ortoedro de lados 3 \ m, \ 5 \ m, y volumen 105 \ m^3, calcular el lado faltante y su área

A = m

 

V = m^2

1Calculamos el lado faltante, empleando la fórmula de volumen

 

105 \ m^3 = 3 \cdot 5 \cdot c \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ c = 7 \ m

 

2Calculamos el área total

 

A_T = 2 \cdot (3 \cdot 5 + 3 \cdot 7 + 5 \cdot 7) = 142 \ m^2

 

7Sabemos que una habitación de una casa común tiene forma de octoedro, si las medidas de la habitación son 3.5 \ m, \ 3 \ m, \ 2.5 \ m, ¿cabría en dicha habitación una viga de acero de 5 m? Responde: si o no.

1Si intentamos meter la viga a lo largo o a lo ancho de la habitación es evidente que no cabe ya que su medida es mayor que las anteriores. Sin embargo podemos ver si cabe diagonalmente calculando lo que mide la diagonal de la habitación.

 

D = \sqrt{(3.5)^2 + 3^2 + (2.5)^2} = 5.24 \ m

 

Como la diagonal mide 5.24 \ m sí es posible meter la viga en la habitación.

 

8Un contenedor en forma de ortoedro con medidas 2 \ m, \ 5 \ m, \ 3 \ m. El fabricante quiere reforzar las paredes del contenedor con barras de acero colocadas en forma diagonal en cada una de las paredes, por lo que cada pared tiene dos refuerzos. ¿Qué cantidad de barras de acero se requieren?

m

1 Calculamos la diagonal de la cara 2 \ m y 5 \ m

 

d_1 = \sqrt{2^2 + 5^2} = 5.39 \ m

 

se tienen dos paredes iguales, por lo que se requieren 4 refuerzos diagonales, es decir, 4 \cdot d_1 = 21.56 \ m

 

2 Calculamos la diagonal de la cara 2 \ m y 3 \ m

 

d_2 = \sqrt{2^2 + 3^2} = 3.61 \ m

 

se tienen dos paredes iguales, por lo que se requieren 4 refuerzos diagonales, es decir, 4 \cdot d_2 = 14.44 \ m

 

3 Calculamos la diagonal de la cara 3 \ m y 5 \ m

 

d_3 = \sqrt{3^2 + 5^2} = 5.83 \ m

 

se tienen dos paredes iguales, por lo que se requieren 4 refuerzos diagonales, es decir, 4 \cdot d_3 = 23.32 \ m

 

4 La cantidad de barras de acero a emplear es de

 

 21.56 + 14.44 + 23.32 \ m = 59.32 \ m

 

9Las dimensiones de un paquete de leche son 19.2 \ cm, \ 5.9 \ cm, \ 9 \ cm. El fabricante quiere cambiar el envase reduciendo el área de la base un 15\% y aumentando la altura un 10\%.

ejercicio de area y volumen 3

Calcular el volumen del nuevo envase redondeando a dos cifras decimales

 m^3

¿El nuevo envase traerá menos leche?

Si el precio del paquete es de 0.90 € y se venden 95000 litros de leche al mes, ¿Cuánto gana la empresa con el nuevo envase?

1 Para calcular el volumen del nuevo envase calculamos el área de la base y la nueva altura, ya que el volumen del ortoedro es el área de la base por la altura. Multiplicaremos el área de la nueva base por 0.85 ya que hemos hecho una reducción del 15\% y la altura por 1.1 ya que se incrementa un 10\%

 

A_B = 5.9 \cdot 9 = 53. 1\ cm^2 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ A'_B = 0.85 \cdot 53.1 = 45.14  \ cm^2

 

h = 19.2 \ cm \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ h' = 1.1 \cdot 19.2 = 21.12 \ cm

 

V' = A'_B \cdot h' = 45.14 \cdot 21.12 = 953.36 \ cm^3

 

2Para calcular si el paquete trae menos leche calculamos el volumen del mismo antes de hacerle los cambios

 

V = A_B \cdot h = 53.1 \cdot 19.2 = 1019.52 \ cm^3

 

El volumen del nuevo paquete es menor que el del antiguo, por lo que el nuevo si trae menos leche.

 

3 Pasamos los centímetros cúbicos a decímetros cúbicos redondeando a dos cifras decimales

 

V' = 953.36 \ cm^3 = 0.95 \ dm^3  \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 95000 : 0.95 = 100000 \ envases

 

Calculamos la ganancia

 

100000 \cdot 0.90 = 90000

 

Si tienes dudas puedes consultar la teoría

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗