Name: La esfera y sus secciones
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Esfera
Semiesfera
Huso esférico
Casquete esférico
Zona esférica

Esfera

La esfera es el espacio geométrico de puntos que equidistan a un mismo punto que se denomina centro. El radio es la distacia entre el centro y un punto de la esfera, y se denota $r$ .

esfera representación gráfica

Área de una esfera

$\displaystyle A=4\cdot \pi \cdot r^2$

Volumen de una esfera

$\displaystyle V=\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^3$

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Semiesfera

Es cada una de las partes en que queda dividida la superficie esférica por un plano que pasa por el centro de la esfera, llamado plano diametral. También se le conoce como hemisferio.

hemisferio representación gráfica

Área de la semiesfera

$\displaystyle A=2\cdot \pi \cdot r^2$

Volumen de la semiesfera

$\displaystyle V=\frac{2}{3}\pi\cdot r^3$

Ejemplos

La cúpula de una catedral tiene forma semiesférica, de radio 50m. Si restaurarla tiene un coste de 300 € el m², ¿A cuánto ascenderá el presupuesto de la restauración?

1Calcular el área

Necesitaremos la fórmula del área

$A=2\cdot \pi \cdot r^2$

$\text{\'Area}\hspace{.5cm}\rightarrow \hspace{.5cm} A=2\cdot \pi \cdot 50^2= 15\ 707.96\, m^2$

2Calcular el coste

Para calcular el importe total, el área que necesita restaurarse se tiene que multiplicar por lo que cuesta restaurar cada metro cuadrado

$\text{Importe}\hspace{.5cm}\rightarrow \hspace{.5cm} 15\ 707.96 \cdot 300= 4\ 712\ 388.98$ €

Calcular el volumen de una semiesfera de 10 cm de radio.

Necesitaremos la fórmula del volumen

$V=\frac{2}{3}\pi\cdot r^3$

Como el radio es de 10 cm, el volumen es

$V=\frac{2}{3}\pi 10^3=209.44 \text{ cm}^3$

Huso esférico

huso esferico representación gráfica

El huso esférico es la parte de la superficie de una esfera comprendida entre dos planos que se cortan en el diámetro de aquella.

cuña esférica representación gráfica

Área del huso esférico

$\displaystyle A=\frac{4\cdot \pi \cdot r^2}{360}\cdot n$

Volumen de la cuña esférica

$\displaystyle V=\frac{4}{3}\cdot \frac{\pi\cdot r^3}{360}\cdot n$

Casquete esférico

Un casquete esférico es cada una de las partes de la esfera determinada por un plano secante.

$\displaystyle R=\frac{r^2+h^2}{2h}$

Área del casquete

$A=2\cdot \pi \cdot R \cdot h$

Volumen del casquete esférico

$V=\frac{1}{3}\pi\cdot h^2 \cdot (3R-h)$

Ejemplo

Calcula el área y el volumen del siguiente casquete esférico.

1 Calcular el área

$A=2\cdot \pi \cdot 7\cdot 5=219.91 \ \text{cm}^2$

2 Calcular el volumen

$V=\frac{1}{3}\pi\cdot 5^2\cdot (3\cdot 7-5)=418.88\ \text{cm}^3$

Zona esférica

Una zona esférica es la parte de la esfera comprendida entre dos planos secantes paralelos.

Área de la zona esférica

$\displaystyle A=2\cdot \pi \cdot R \cdot h$

Volumen de la zona esférica

$\displaystyle V=\frac{1}{6}\pi \cdot h \cdot (h^2+3\cdot R^2+3r^2)$

Ejemplo

Calcular el área y el volumen de una zona esférica cuyas circunferencias tienen de radio 10 y 8cm, y la distancia entre ellas es de 6 cm.

1 Calcular el área

$A=2\cdot \pi \cdot 10 \cdot 6=376.99 \ \text{cm}^2$

2 Calcular el volumen

$V=\frac{1}{6}\pi \cdot 6 \cdot (6^2+3\cdot 10^2 + 3\cdot 8^2)=1658.76\ \text{cm}^3$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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Esfera, hemisferio, huso, casquete y zona esférica

Esfera

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Esfera, hemisferio, huso, casquete y zona esférica

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