El cono truncado o tronco de cono es el cuerpo geométrico que resulta al cortar un cono por un plano paralelo a la base y separar la parte que contiene al vértice.

 

desarrollo del cono truncado

 

Elementos del cono truncado

 

La generatriz del cono truncado

Obtenemos la generatriz del cono truncado aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo sombreado:

generatriz del cono truncado

 

g^2 = h^2 + (R-r)^2

g = \sqrt{h^2 + (R-r)^2}

 

Área lateral de un cono truncado

 

A_L = \pi \cdot (R + r) \cdot g

 

Área de un cono truncado

 

A_T = \pi \left [ g(R + r) + R^2 +r^2\right ]

 

Volumen de un cono truncado

 

\displaystyle V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot h \left ( R^2 +r^2 + R \cdot r \right )

 

Ejemplos de cálculo del cono truncado

 

1Calcular el área lateral, el área total y el volumen de un tronco de cono de radios 6 y 2  y de altura 10 cm .

 

generatriz altura radio del cono truncado

g^2 = 10^2 + (6 - 2)^2

g = \sqrt{10^2 + (6 - 2)^2} = 10.77 cm

A_L = \pi \cdot (6 + 2) \cdot 9.165 = 270.69 cm^2

A_T = 270.69 + \pi \cdot 6^2 + \pi \cdot 2^2 = 396.35 cm^2

\displaystyle V = \frac{1}{3} \pi \cdot 10 \cdot\left ( 6^2 + 2^2 + \sqrt{6^2 \cdot 2^2} \right )= 544.54 cm^3

 

2Calcular el área lateral, el área total y el volumen del tronco de cono de radios 12 y 10 cm, y de generatriz 15 cm.

 

generatriz altura radio del cono truncado 2

A_L = \pi \cdot (12 + 10) \cdot 15 = 1036.73 cm^2

A_T = 1036.72 + \pi \cdot 12^2 + \pi \cdot 10^2 = 1803.27 cm^2

15^2 = h^2 + (12 - 10)^2

h = \sqrt{15^2 - 2^2}= 14.866 cm

\displaystyle V = \frac{1}{3} \pi \cdot 14.866 \cdot\left ( 12^2 + 10^2 + \sqrt{12^2 \cdot 10^2} \right )= 5666.65 cm^3

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗