1 Calcula el área y el volumen de un tetraedro de 5 cm de arista.

 

Calcula el área y el volumen de un tetraedro de 5 cm de arista.

 

1 Para calcular el área total de un tetraedro usamos A_{T}=\sqrt{3}\cdot a^{2}

 

A_{T}=\sqrt{3}\cdot 5^{2}=43.30\; \textup{cm}^{2}

 

2 Para calcular el volumen de un tetraedro usamos V=\cfrac{\sqrt{2}}{12}\cdot a^{3}

 

V=\cfrac{\sqrt{2}}{12}\cdot 5^{3}=14.73\; \textup{cm}^{3}

 

 

2 Calcular la diagonal, el área lateral, el área total y el volumen de un cubo de 5 cm de arista.

 

Calcular la diagonal, el área lateral, el área total y el volumen de un cubo de 5 cm de arista

 

grafica cubo

 

1 Para calcular la diagonal usamos D= \sqrt{3}\cdot a

 

D= \sqrt{3}\cdot 5=8.66\; \textup{cm}

 

2 Para calcular el área lateral usamos A_{L}=4\cdot a^{2}

 

A_{L}=4\cdot 5^{2}=100\; \textup{cm}^{2}

 

3 Para calcular el área total usamos A_{T}=6\cdot a^{2}

 

A_{T}=6\cdot 5^{2}=150\; \textup{cm}^{2}

 

4 Para calcular el volumen usamos V=a^{3}

 

V=5^{3}=125\; \textup{cm}^{3}

 

3 Calcula el área y el volumen de un octaedro de 5 cm de arista.

 

Calcula el área y el volumen de un octaedro de 5 cm de arista.

 

1 Para calcular el área total de un octaedro usamos A=2\sqrt{3}\cdot a^{2}

 

A=2\sqrt{3}\cdot 5^{2}=86.60\; \textup{cm}^{2}

 

2 Para calcular el volumen de un octaedro usamos V=\frac{\sqrt{2}}{3}\cdot a^{3}

 

V=\frac{\sqrt{2}}{3}\cdot 5^{3}=58.92\; \textup{cm}^{3}

 

4 Calcula el área y el volumen de un dodecaedro de 10 cm de arista, sabiendo que la apotema de una de sus caras mide 6.88 cm.

 

Calcula el área y el volumen de un dodecaedro de 10 cm de arista, sabiendo que la apotema de una de sus caras mide 6.88 cm.

 

1 Para calcular el área total de un dodecaedro usamos A=30\cdot a\cdot a_{p}

 

A=30\cdot 10\cdot 6.88=2064\; \textup{cm}^{2}

 

2 Para calcular el volumen de un dodecaedro usamos V=\cfrac{1}{5}\left ( 15+7\sqrt{5} \right )\cdot a^{3}

 

V=\cfrac{1}{5}\left ( 15+7\sqrt{5} \right )\cdot 10^{3}=7663.12\; \textup{cm}^{3}

 

5 Calcula el área y el volumen de un icosaedro de 5 cm de arista.

 

Calcula el área y el volumen de un icosaedro de 5 cm de arista.

 

1 Para calcular el área total de un icosaedro usamos A=5\sqrt{3}\cdot a^{2}

 

A=5\sqrt{3}\cdot 5^{2}=216.51\; \textup{cm}^{2}

 

2 Para calcular el volumen de un icosaedro usamos V=\cfrac{5}{12}\cdot \left ( 3+\sqrt{5} \right )\cdot a^{3}

 

V=\cfrac{5}{12}\cdot \left ( 3+\sqrt{5} \right )\cdot 5^{3}=272.71 \textup{cm}^{3}

 

6 Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un prisma cuya base es un rombo de de diagonales 12 y 18 cm.

 

Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un prisma cuya base es un rombo de de diagonales 12 y 18 cm.

 

grafica prisma

 

1 Al trazar las diagonales en la base se forman triángulos rectángulos por lo que podemos calcular las medidas de las aristas de la base

 

l^{2}=9^{2}+6^{2}

 

l=\sqrt{9^{2}+6^{2}}= 10.82\; \textup{cm}

 

2 El área lateral es el área de los 4 rectángulos laterales

 

A_{L}=4\cdot \left ( 24\cdot 10.82 \right )=1038.72\; \textup{cm}^{2}

 

3 El área total es la suma del área lateral con las áreas de las bases

 

A_{T}=1038.72+2\cdot \cfrac{18\cdot 12}{2}=1254.72 \; \textup{cm}^{2}

 

4 El volumen es igual a el área de la base multiplicada por la altura

 

V=A_{b}\cdot h=\cfrac{18\cdot 12}{2}\cdot 24=2592\; \textup{cm}^{3}

 

7 Calcula el área lateral, total y el volumen de una pirámide cuadrangular de 10 cm de arista básica y 12 cm de altura.

Calcula el área lateral, total y el volumen de una pirámide cuadrangular de 10 cm de arista básica y 12 cm de altura.

 

grafica piramide

 

1 Calculamos la altura, A_{p}, de uno de los triángulos laterales

 

A_{p}^{2}=12^{2}+5^{2}

 

A_{p}=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=13 \; \textup{cm}

 

2 El área lateral es el área de los 4 triángulos laterales

 

A_{L}=4\cdot \cfrac{10\cdot 13}{2}=260\; \textup{cm}^{2}

 

3 El área total es la suma del área lateral con el área de la base

 

A_{T}=260 + 10^{2}=360\; \textup{cm}^{3}

 

4 El volumen de una pirámide se calcula con: V=\cfrac{1}{3}A_{b}\cdot h

 

V=\cfrac{1}{3}\cdot 100\cdot 12=400\; \textup{cm}^{3}

 

8 Calcula el área lateral, total y el volumen de una pirámide hexagonal de 16 cm de arista básica y 28 cm de arista lateral.

 

Calcula el área lateral, total y el volumen de una pirámide hexagonal de 16 cm de arista básica y 28 cm de arista lateral.

 

grafica piramide hexagonal

 

1 Calculamos la altura, A_{p}, de uno de los triángulos laterales

 

28^{2}=A_{p}^{2}+8^{2}

 

A_{p}=\sqrt{28^{2}-8^{2}}=26.83 \; \textup{cm}

 

2 El área lateral es el área de los 6 triángulos laterales

 

A_{L}=6\cdot \cfrac{16\cdot 28.63}{2}=1287.84\; \textup{cm}^{2}

 

3 El área total es la suma del área lateral con el área de la base, así que debemos calcular el apotema del hexágono y luego sustituimos en la fórmula del área del hexágono

 

a_{p}=\sqrt{16^{2}-8^{2}}=13.85 \textup{cm}

 

A_{b}=\cfrac{P\cdot a_{p}}{2}=\cfrac{6\cdot 16\cdot 13.85}{2}=664.8\; \textup{cm}^{2}

 

A_{T}=1287.84+664.8=1952.64\; \textup{cm}^{3}

 

4 El volumen de una pirámide se calcula con: V=\cfrac{1}{3}A_{b}\cdot h. Debemos calcular primero la altura de la pirámide:

 

h=\sqrt{26.83^{2}-13.85^{2}}=22.97\; \textup{cm}

 

V=\cfrac{1}{3}\cdot 664.8\cdot 22.97=5090.15\; \textup{cm}^{3}

 

9 Calcular el área lateral, el área total y el volumen de un tronco de pirámide cuadrangular de aristas básicas 24 y 14 cm, y de arista lateral 13 cm.

 

Calcular el área lateral, el área total y el volumen de un tronco de pirámide cuadrangular de aristas básicas 24 y 14 cm, y de arista lateral 13 cm.

 

grafica tronco de piramide

 

1 La apotema coincide con la altura del trapecio lateral:

 

A_{p}=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=12\; \textup{cm}

 

2 La altura del tronco de pirámide se calcula con el teorema de Pitágoras:

 

12^{2}=h^{2}+5^{2}

 

h=\sqrt{12^{2}-5^{2}}=10.91 \; \textup{cm}

 

3 Calculamos el Perímetro, P, de la base mayor y el Perímetro, P', de la base menor:

 

P=24\cdot 4=96\; \textup{cm}

 

P'=14\cdot 4=56\; \textup{cm}

 

4 El área lateral se obtiene con A_{L}=\cfrac{\left (P+P' \right )\cdot h}{2}, que es equivalente a la suma de las áreas de los 4 trapecios laterales

 

A_{L}=\cfrac{96+59}{2}\cdot 12=912\; \textup{cm}^{2}

 

5 Calculamos el Área, A, de la base mayor y el Área, A', de la base menor y las sumamos con el área lateral para obtener el área total

 

A=24^{2}=576\; \textup{cm}^{2}

 

A'=14^{2}=196\; \textup{cm}^{2}

 

A_{T}=912+576+196=1684\; \textup{cm}^{2}

 

6 El volumen se calcula con V=\cfrac{h}{3}\cdot \left ( A+A'+\sqrt{A\cdot A'} \right )

 

V=\cfrac{10.91}{3}\cdot \left ( 576+196+\sqrt{576+196} \right )=4029.43\; \textup{cm}^{3}

 

10 Calcula el área lateral, total y el volumen de un cono cuya generatriz mide 13 cm y el radio de la base es de 5 cm.

 

Calcula el área lateral, total y el volumen de un cono cuya generatriz mide 13 cm y el radio de la base es de 5 cm.

 

grafica cono

 

1 El área lateral se calcula con A_{L}=\pi \cdot g\cdot r

 

A_{L}=\pi \cdot 13\cdot 5=204.20\; \textup{cm}^{2}

 

2 El área total la calculamos sumando el área lateral con el área de la base

 

A_{T}=204.20+\pi \cdot 5^{2}=282.74\; \textup{cm}^{2}

 

3 El volumen se calcula con V=\cfrac{1}{3}\cdot A_{b}\cdot h, la altura se calcula con el teorema de pitágoras

 

h=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=12\; \textup{cm}

 

V=\cfrac{\pi \cdot 5^{2}\cdot 12}{3}=314.159\; \textup{cm}^{3}

 

11 Calcula el área lateral, total y el volumen de un cono cuya altura mide 4 cm y el radio de la base es de 3 cm.

 

Calcula el área lateral, total y el volumen de un cono cuya altura mide 4 cm y el radio de la base es de 3 cm.

 

grafica cono 2

 

1 Calculamos la generatriz con el teorema de Pitágoras:

 

g=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5\; \textup{cm}

 

2 Calculamos el área lateral

 

A_{L}=\pi \cdot 3\cdot 5=47.12\; \textup{cm}^{2}

 

3 Calculamos el área total:

 

A_{T}=47.12+\pi \cdot 3^{2}=75.39\; \textup{cm}^{2}

 

4 Calculamos el volumen

 

V=\cfrac{\pi \cdot 3^{2}\cdot 4}{3}=37.70\; \textup{cm}^{3}

 

12 Calcular el área lateral, el área total y el volumen de un tronco de cono de radios 6 y 2 cm, y de altura 10 cm.

 

Calcular el área lateral, el área total y el volumen de un tronco de cono de radios 6 y 2 cm, y de altura 10 cm.

 

grafica tronco de cono

 

1 Calculamos la generatriz con el teorema de Pitágoras:

 

g=\sqrt{10^{2}+\left (6-2 \right )^{2}}=10.77\; \textup{cm}

 

2 Calculamos el área lateral

 

A_{L}=\pi \cdot \left (6+2 \right )\cdot 10.77=270.68\; \textup{cm}^{2}

 

3 Calculamos el área total:

 

A_{T}=270.68+\pi \cdot 6^{2}+\pi \cdot 2^{2}=396.35 \; \textup{cm}^{2}

 

4 Calculamos el volumen

 

V=\cfrac{1}{3}\pi \cdot 10\cdot \left ( 6^{2}+2^{2}+6\cdot 2 \right )=544.54\; \textup{cm}^{3}

 

13 Calcular el área lateral, el área total y el volumen del tronco de cono de radios 12 y 10 cm, y de generatriz 15 cm.

 

Calcular el área lateral, el área total y el volumen del tronco de cono de radios 12 y 10 cm, y de generatriz 15 cm.

 

grafica tronco de cono 2

 

1 Calculamos la altura con el teorema de Pitágoras:

 

h=\sqrt{15^{2}-2^{2}}=14.866\; \textup{cm}

 

2 Calculamos el área lateral

 

A_{L}=\pi \cdot \left (12+10 \right )\cdot 15=1036.73\; \textup{cm}^{2}

 

3 Calculamos el área total:

 

A_{T}=1036.73+\pi \cdot 12^{2}+\pi \cdot 10^{2}=1803.27 \; \textup{cm}^{2}

 

4 Calculamos el volumen

 

V=\cfrac{1}{3}\pi \cdot 14.866\cdot \left ( 12^{2}+10^{2}+12\cdot 10 \right )=5666.65\; \textup{cm}^{3}

 

14 Calcular el área del círculo resultante de cortar una esfera de 35 cm de radio mediante un plano cuya distancia al centro de la esfera es de 21 cm.

 

Calcular el área del círculo resultante de cortar una esfera de 35 cm de radio mediante un plano cuya distancia al centro de la esfera es de 21 cm.

 

grafica circulo

 

1 Calculamos el radio con el teorema de Pitágoras:

 

r=\sqrt{35^{2}-21^{2}}=28\; \textup{cm}

 

2 Calculamos el área

 

A=\pi \cdot r^{2}=\pi \cdot 28^{2}=2463\; \textup{cm}^{2}

 

 

15 Calcular el área y el volumen de una esfera inscrita en un cilindro de 2 m de altura.

 

Calcular el área y el volumen de una esfera inscrita en un cilindro de 2 m de altura.

 

grafica esfera inscrita en un cilindro

 

1 El radio de la esfera sería la mitad de la altura del cilindro, r=1 m, por lo que procedemos a calcular el área:

 

A=4\cdot \pi \cdot r^{2}=4\cdot \pi \cdot 1^{2}=12.57\; \textup{m}^{2}

 

2 Calculamos el volumen:

 

V=\cfrac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^{3}=\cfrac{4}{3}\cdot \pi \cdot 1^{3}=4.19\; \textup{m}^{3}

 

16 Calcular el volumen de una semiesfera de 10 cm de radio.

 

Calcular el volumen de una semiesfera de 10 cm de radio.

 

1 Una semiesfera es la mitad de una esfera por lo que su volumen sería:

 

V=\frac{2}{3}\cdot \pi \cdot r^{3}=\frac{2}{3}\cdot \pi \cdot 10^{3}=209.44\; \textup{cm}^{3}

 

17 Calcula el área y el volumen del siguiente casquete esférico.

 

grafica casquete esferico

 

Calcula el área y el volumen del siguiente casquete esférico.

grafica casquete esferico 2

1 El área de un casquete esférico se calcula con: A=2\cdot \pi \cdot R\cdot h

 

A=2\cdot \pi \cdot 7\cdot 5=219.91\; \textup{cm}^{2}

 

2 El volumen de un casquete esférico se calcula con: V=\cfrac{1}{3}\cdot \pi \cdot h^{2}\cdot \left ( 3r-h \right )

 

V=\cfrac{1}{3}\cdot \pi \cdot 5^{2}\cdot \left ( 3\cdot 7-5 \right )=418.88\; \textup{cm}^{3}

 

18 Calcular el área y el volumen de una zona esférica cuyas circunferencias tienen de radio 10 y 8 cm, y la distancia entre ellas es de 6 cm.

 

Calcular el área y el volumen de una zona esférica cuyas circunferencias tienen de radio 10 y 8 cm, y la distancia entre ellas es de 6cm.

 

grafica zona esferica

 

1 El área de un superficie esférica se calcula con: A=2\cdot \pi \cdot R\cdot h

 

A=2\cdot \pi \cdot 10\cdot 6=379.99\; \textup{cm}^{2}

 

2 El volumen de un superficie esférica se calcula con: V=\cfrac{1}{6}\cdot \pi \cdot h\cdot \left ( h^{2}+3R^{2}+3r^{2} \right )

 

V=\cfrac{1}{6}\cdot \pi \cdot 6\cdot \left ( 6^{2}+3\cdot 10^{2}+3\cdot 8^{2} \right )=1658.76\; \textup{cm}^{3}

 

19 Un cubo de 20 cm de arista está lleno de agua. ¿Cabría esta agua en una esfera de 20 cm de radio?

 

Un cubo de 20 cm de arista está lleno de agua. ¿Cabría esta agua en una esfera de 20 cm de radio?

 

1 Calculamos el volumen del cubo y de la esfera y los comparamos:

 

V_{C}=20^{3}=8000\; \textup{cm}^{3}

 

V_{E}=\cfrac{4}{3}\cdot \pi \cdot 20^{3}=33510.32\; \textup{cm}^{3}

 

Ya que el volumen de la esfera es mayor que la del cubo, si cabe el agua en ella.

 

20 La cúpula de una catedral tiene forma semiesférica, de diámetro 50 m. Si restaurarla tiene un coste de 300 € el m2, ¿A cuánto ascenderá el presupuesto de la restauración?

 

La cúpula de una catedral tiene forma semiesférica, de diámetro 50 m. Si restaurarla tiene un coste de 300 € el m2, ¿A cuánto ascenderá el presupuesto de la restauración?

 

1 Calculamos la superficie de la semiesfera

 

S_{SE}=2\cdot \pi \cdot 50^{2}=15707.96\; \textup{m}^{2}

 

2 Multiplicamos la superficie por el costo de cada \textup{m}^{2}

 

\textup{Importe}=15707.96\cdot 300=4712388.98\; \euro

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗