Definición de cono

 

Es el cuerpo de revolución obtenido al hacer girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos.

 

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Vamos

Elementos de un cono

 

 

Elementos del cono

Desarrollo del cono

cono

Desarrollo del tronco de cono

 

Cono truncado

Eje

Es el cateto fijo alrededor del cual gira el triángulo.

 

Bases

Es el círculo que forma el otro cateto.

 

Generatriz

Es la hipotenusa del triángulo rectángulo.

 

generatriz del cono

Por el teorema de Pitágoras la generatriz del cono será igual a:

{g^2 = h^2 + r^2}

{g = \sqrt{h^2 + r^2}}

 

Altura

Es la distancia del vértice a la base.

 

Área y volumen del cono

 

área y volumen del cono

{g^2 = r^2 + h^2}

Área lateral de un cono

{A_L=\pi\cdot r\cdot g}

 

Área de un cono

{A_T=\pi \cdot r\cdot (g+r)}

 

Volumen de un cono

{V=\dfrac{\pi \cdot r^2 \cdot h}{3}}

 

Tronco de un cono

 

Es el cuerpo geométrico que resulta al cortar un cono por un plano paralelo a la base y separar la parte que contiene al vértice.

 

Elementos del cono truncado

 

La sección determinada por al corte es la base menor.

 

Área y volumen del tronco de cono

 

Área y volumen del cono truncado

{A_L=\pi \cdot(R +r)\cdot g}

{A_T= \pi[g(R +r) + R^2 + r^2]}

{V = \frac{1}{3}\cdot \pi \cdot h(R^2 + r^2 + R\cdot r)}

Ejercicios para practicar

1

Para una fiesta, Luís ha hecho 10 gorros de forma cónica con cartón. ¿Cuánto cartón habrá utilizado si las dimensiones del gorro son 15 cm de radio y 25 cm de generatriz?

área del cono

Solo necesitamos calcular el área lateral para saber cuanto cartón será utilizado.

{A_L = \pi \cdot 15 \cdot 25 = 1178.097 cm^2}

Luego lo multiplicamos por 10, ya que necesitamos 10 gorros.

{1178097\cdot 10 = 11780.97 cm^2}


2

Calcula el área lateral, total y el volumen de un cono cuya generatriz mide 13 cm y el radio de la base es de 5 cm.

altura del cono

Comenzamos por calcular el área lateral,

{A_l = \pi \cdot 13 \cdot 5 = 204.20 cm^2}

Ahora calculamos el área total,

{A_T = \pi\cdot 13 \cdot 5 + \pi\cdot 5^2 = 282.74 cm^2}

Usando la fórmula de la generatriz encontramos la altura del cono

{13^2 = h^2 + 5^2}

{h = \sqrt{13^2 -5^2} = 12 cm}

Finalmente, calculamos el volumen del cono

{V = \dfrac{\pi \cdot 5^2 \cdot 12}{3} = 314.159 cm^3}


3

Calcula el área lateral, total y el volumen de un cono cuya altura mide 4 cm y el radio de la base es de 3 cm.

generatriz del cono

Comenzamos por encontrar el valor de la generatriz

{g^2 = 4^2 +3^2}

{g = \sqrt{4^2 +3^2} = 5 cm}

Calculamos el área lateral,

{A_L = \pi\cdot 3 \cdot 5 = 47.12 cm^2}

Ahora calculamos el área total,

{A_T = \pi \cdot 3\cdot 5 + \pi\cdot 3^2 = 75.39 cm^2}

Finalmente calculamos el volumen del cono.

{V = \dfrac{\pi \cdot 3^2 \cdot 4}{3} = 37.70 cm^3}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗