Esfera y superficie esférica

 

Una superficie esférica es la superficie engendrada por una circunferencia que gira sobre su diámetro.

Una esfera es la región del espacio que se encuentra en el interior de una superficie esférica.

 

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Vamos

Elementos de la esfera

 

elementos de la esfera

 

Centro

 

Punto interior que equidista de cualquier punto de la superficie de la esfera.

 

Radio

 

Distancia del centro a un punto de la superficie..

 

Cuerda

 

Segmento que une dos puntos de la superficie esférica.

 

Diámetro

 

Cuerda que pasa por el centro.

 

Polos

 

Son los puntos del eje de giro que quedan sobre la superficie esférica.

 

Circunferencias en una esfera

 

circunferencias de la esfera

 

Paralelos

 

Circunferencias obtenidas al cortar la superficie esférica con planos perpendiculares al eje de revolución.

 

Ecuador

 

Circunferencia obtenida al cortar la superficie esférica con el plano perpendicular al eje de revolución que contiene al centro de la esfera.

 

Meridianos

 

Circunferencias obtenidas al cortar la superficie esférica con planos que contienen el eje de revolución.

 

Cálculo del radio de una esfera

 

radio de un circulo en la esfera

 

Calculamos la radio de la esfera, conociendo la distancia de un plano que corta la esfera y el radio de la sección, aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo sombreado:

 

R^2 = d^2 + r^2 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ R = \sqrt{d^2 + r^2}

 

radio de la esfera

 

Área de la superficie esférica

 

A = 4 \cdot \pi \cdot r^2

 

Volumen de la esfera

 

V = \cfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3

 

Ejemplo: Calcular el área del círculo resultante de cortar una esfera de 35 \ cm de radio mediante un plano cuya distancia al centro es de 21 \ cm.

 

1 Representamos gráficamente la esfera con los datos conocidos

 

ejemplo de circulo en la esfera

 

2 Aplicamos el teorema de Pitágoras para encontrar el radio r

 

r = \sqrt{35^2 - 21^2} = 28 \ cm

 

3 Aplicamos la fórmula del área

 

A = \pi \cdot 28^2 = 2463.01 \ cm^2

 

Ejemplo: Un cubo de 20 \ cm de arista está lleno de agua. ¿Cabría esta agua en una esfera de 20 \ cm de radio?

 

1 Calculamos el volumen del cubo

 

V = 20^3 = 8000 \ cm^3

 

2 Calculamos el volumen de la esfera

 

V = \cfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot 20^3 = 33510.4 \ cm^3

 

3 Comparando los volúmenes, se tiene que el agua si cabe en la esfera

 

Ejemplo: Calcular el área y el volumen de una esfera inscrita en un cilindro de 2 \ m de altura.

 

1 Representamos gráficamente la esfera con los datos conocidos

 

esfera inscrita en un cilindro

Observamos que su radio es igual a 1 \ m

 

2 Aplicamos la fórmula del área

 

A = 4 \cdot \pi \cdot 1^2 = 12.57 \ m^2

 

3 Aplicamos la fórmula del área

 

V = \cfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot 1^3 = 4.19 \ m^3

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗