Una pirámide es un poliedro, cuya base es un polígono cualquiera y cuyas caras laterales son triángulos con un vértice común, al que se le llama vértice de la pirámide.

 

Desarrollo de una pirámide

 

Descomposición de una pirámide
En la figura podemos distinguir las caras laterales de la pirámide, las cuales son triángulos y en este caso la base es un polígono regular de 5 lados. En lo siguiente veremos los elementos de una pirámide, los diferentes tipos que existen y algunos ejemplos concretos de cómo calcular los elementos que la componen.

Elementos de una pirámide

Elementos de una Pirámide

 

  • La altura de la pirámide es el segmento perpendicular a la base, que une la base con el vértice.

 

  • Las aristas de la base se llaman aristas básicas y las aristas que concurren en el vértice, aristas laterales.

 

  • La apotema lateral de una pirámide regular es la altura de cualquiera de sus caras laterales.

 

  • El ápice de una pirámide  regular es el centro de la base de la pirámide.

 

  • El apotema de la base es la distancia del ápice uno de los lados de la base.
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Vamos

Clasificación de pirámides

 

Pirámide regular

 

Pirámide regular
  • La pirámide regular tiene de base un polígono regular y sus caras laterales iguales.

 

Pirámide irregular

 

Pirámide irregular
  • La pirámide irregular tiene de base un polígono irregular.

 

Pirámide convexa

 

Pirámide convexa

 

Pirámide cóncava

 

Pirámide cóncova

 

Pirámide recta

 

Pirámide recta

 

  • En la pirámide recta todas sus caras laterales son triángulos isósceles y la altura cae al punto medio de la base.

 

Pirámide oblicua

 

Pirámide oblicua
  • En la pirámide oblicua alguna de sus caras laterales no es un triángulo isósceles.

 

Pirámide triangular

 

Pirámide triángular
  • Su base es un triángulo.

 

Pirámide cuadrangular

 

Pirámide cuadrangular
  • Su base es un cuadrado.

 

Pirámide pentagonal

 

Pirámide pentagonal
  • Su base es un pentágono.

 

Pirámide hexagonal

 

Pirámide hexagonal
  • Su base es un hexágono.

 

Cálculo de la apotema lateral de una pirámide

 

Como calcular el apotema lateral

 

Podemos calcular la apotema lateral de la pirámide, conociendo la altura y la apotema de la base, aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo sombreado:

 

    $$Ap^{2}=h^{2}+(ap)^{2},$$

    $$Ap=\sqrt{h^{2}+(ap)^{2}}$$

Cálculo de la arista lateral de una pirámide

 

Cálculo del las aristas laterales

 

Calculamos la arista lateral de la pirámide, conociendo la altura y el radio de la base o radio de la circunferencia circunscrita, aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo sombreado:

 

    $$a^{2}=h^{2}+r^{2},$$

    $$a=\sqrt{h^{2}+r^{2}}.$$

 

Además del apotema y las aristas laterales también es necesario conocer el área, área lateral y volumen de una piramide.

Área lateral de una pirámide

Digamos que P_{B}=\text{Perímetro de la base}, entonces

    $$A_{L}=\cfrac{P_{B}\cdot Ap}{2}.$$

Área de una pirámide

El área total de una pirámide es la suma del área de la base más el área lateral de la pirámide,

    $$A_{T}=A_{L}+A_{B}.$$

    $$A_{T}=\text{Área total},$$

    $$A_{B}=\text{Área de la base},$$

    $$A_{L}=\text{Área lateral}.$$

 

Volumen de una pirámide

 

Conociendo el volumen de la base de la pirámide podemos calcular su volumen,

    $$V=\cfrac{A_{B}\cdot h}{3}.$$

Ejemplos

 

  1. Calcula el área lateral, total y el volumen de una pirámide cuadrangular de 10 cm de arista básica y 12 cm de altura.

 

Volumen de una pirámide cuadrangular

 

Ya que la base es cuadrangular de lado 10cm, entonces el área de la base es A_{B}=10^{2}=100cm^{2}. También podemos concluir que la apotema de la base es 10/2=5cm, entonces con la altura y el apotema de la base tenemos que el apotema lateral es

 

    $$(Ap)^{2}=(12)^{2}+(5)^{2},$$

 

    $$(Ap)=\sqrt{(12)^{2}+(5)^{2}}=13cm.$$

 

Ya que el perímetro de la base es  P_{B}=4\cdot 10=40cm, se sigue que el área lateral es

    $$A_{L}=\cfrac{40\cdot 13}{2}=260cm^{2}.$$

Finalmente sumando el área lateral y el área de la base tenemos que el área total es

    $$A_{T}=260+10^{2}=360cm^{2}.$$

El volumen simplemente lo calculamos con la altura y el área de la base,

    $$V=\cfrac{100\cdot 12}{3}=400cm^{3}.$$

 

2. Calcula el área lateral, total y el volumen de una pirámide hexagonal de 16 cm de arista básica y 28 cm de arista lateral.

 

Pirámide de 16 cm de arista básica y 28 cm de arista lateral.
Primero calculamos la apotema lateral, la cual se sigue del triángulo sombreado, notemos que el lado de la base es solo la mitad de la arista básica

    $$(28)^{2}=(Ap)^{2}+8^{2},$$

 

    $$(Ap)^{2}=\sqrt{(28)^{2}-8^{2}}=26.83cm.$$

Luego es sencillo calcular el área lateral de la pirámide, usando la arista básica y la apotema lateral. El perímetro de la base es simplemente 6 por el valor de la arista basica,

    $$A_{L}=\cfrac{6\cdot 16\cdot (26.83)}{2}=1287.84cm^{2}$$

 

Perímetro del hexágono
Ahora precisamos calcular el apotema de la base. Ya que la base es hexagonal de lado 16cm, entonces podemos formar un triángulo rectángulo de catetos 8cmap e hipotenusa 16cm, al aplicar el teorema de Pitagoras tenemos que

 

    $$(16)^{2}=(ap)^{2}+8^{2},$$

 

    $$(ap)^{2}=\sqrt{(16)^{2}-8^{2}}=13.86cm.$$

Luego, el área de la base es  \cfrac{6\cdot 16\cdot (13.86)}{2} cm^{2}  y el área total es

    $$A_{T}=1287.84+\cfrac{6\cdot 16\cdot (13.86)}{2}=1953.12cm^{2}$$

 

 

Altura de una pirámide

Del triángulo formado por la altura, la apotema lateral y el apotema de la base  podemos inferir la altura de la pirámide

    $$(26.83)^{2}=(h)^{2}+(13.86)^{2},$$

 

    $$(h)^{2}=\sqrt{(26.83)^{2}-(13.86)^{2}}=22.97cm.$$

Y finalmente ya tenemos todos los ingredientes para calcular el área lateral  y volumen de la pirámide,

    $$A_{L}=\cfrac{6\cdot 16\cdot (26.83)}{2}=1287.84cm^{2}.$$

    $$V=\cfrac{1}{3}\cdot\cfrac{16\cdot 6\cdot 13.86}{2}\cdot 22.97=5093.83cm^{3}.$$

 

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗