Marta

4 junio 2019

Temas

 

Problemas de la vida diaria

 

1 Alicia dispone de 300 € para compras. El jueves gastó \displaystyle \frac{2}{5} de esa cantidad y el sábado los \displaystyle \frac{3}{4} de lo que le quedaba. ¿Cuánto gastó cada día y cuánto le queda al final?

 

Gasto del jueves \displaystyle \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{.5cm} \frac{2}{5}\cdot 300=\frac{2\cdot 300}{5}=\frac{600}{5}=120€

Dinero  restante \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{.5cm} 300-120=180€

 

Gasto del sabado \displaystyle \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{.5cm} \frac{3}{4}\cdot 180=\frac{3\cdot 180}{4}=\frac{540}{4}=135€

Dinero restante final \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{.5cm} 180-135=45€

 

2 De los ingresos de una comunidad de vecinos se emplean:

    • \displaystyle \frac{2}{5} en combustible

 

    • \displaystyle \frac{1}{8} se emplea en electricidad

 

    • \displaystyle \frac{1}{12} en la recogida de basuras

 

    • \displaystyle \frac{1}{4} en mantenimiento del edificio

 

  • y el resto se emplea en limpieza.

 

¿Qué fracción de los ingresos se emplea en limpieza?

De acuerdo con la fracción de ingresos empleada, ordena las partidas enumeradas de menor a mayor.

 

1 Encontrar una expresión que relacione los datos y desarrollar

 

Sea x la fracción de dinero usado en limpieza

Se utiliza todo el dinero por lo que las fracciones del dinero empleadas en cada gasto deben sumar 1.

\displaystyle \frac{2}{5}+ \frac{1}{8}+\frac{1}{12}+\frac{1}{4}+x=1

Buscamos el minimo común múltiplo de los denominadores

\text{m.c.m}(5,8,12,4)=120

Se obtienen fracciones equivalentes al dividir el m.c.m entre el denominador, el número resultante multiplicarlo por el numerador, y poner al m.c.m como denominador.

\displaystyle \frac{48}{120}+ \frac{15}{120}+\frac{10}{120}+\frac{30}{120}+x=1

Sumamos las fracciones

\displaystyle \frac{48+15+10+30}{120}+x=1

\displaystyle \frac{103}{120}+x=1

Despejamos la x

\displaystyle x=1-\frac{103}{120}

\displaystyle x=\frac{120}{120}-\frac{103}{120}=\frac{17}{120}

Finalmente, se gastó \displaystyle \frac{17}{120} en limpieza

 

2 Ordenar las fracciones

 

Para ordenar las fracciones tenemos que reducir a común denominador, que ya lo hemos hecho al realizar la suma

\displaystyle \frac{48}{120}, \ \frac{15}{120}, \ \frac{10}{120}, \ \frac{30}{120}, \ \frac{17}{120}

Ordenadas quedarían así

\displaystyle \frac{10}{120}, \ \frac{15}{120}, \ \frac{17}{120}, \ \frac{30}{120}, \ \frac{48}{120}

Simplificamos a las fracciones originales que teníamos

\displaystyle \frac{1}{12}<\frac{1}{8}<\frac{17}{120}< \frac{1}{4}< \frac{2}{5}

 

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Pasar de decimal a fracción

 

3 Realizar las siguientes operaciones:

  • 5.\overline{6}+0.1=
  • 0.1+0.\overline{1}-0.0\overline{1}=
  • 2.\overline{3}:1.5=

 

En este ejercicio tenemos sumas de decimales exactos, peródicos puros y mixtos, que los pasaremos a sus respectivas fracciones.

Si la fracción es decimal exacta, la fracción tiene como numerador el número dado sin la coma, y por denominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga.

Si la fracción es periódica pura, la fracción generatriz tiene cómo numerador el número dado sin la coma, menos la parte entera, y por denominador un número formado por tantos nueves como cifras tenga el período.

Si la fracción es periódica mixta, la fracción generatriz tiene como numerador el número dado sin la coma, menos la parte entera seguida de las cifras decimales no periódicas, y por denominador, un número formado por tantos nueves como cifras tenga el período, seguidos de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal no periódica.

Entonces,

1 5.\overline{6}+0.1=

\displaystyle 5.\overline{6}+0.1=\frac{56-5}{9}+\frac{1}{10}=\frac{51}{9}+\frac{1}{10}=\frac{510+9}{90}=\frac{519}{90}

2 0.1+0.\overline{1}-0.0\overline{1}=

\displaystyle 0.1+0.\overline{1}-0.0\overline{1}=\frac{1}{10}+\frac{1}{9}-\frac{1}{90}=\frac{9+10-1}{90}=\frac{18}{90}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}

3 2.\overline{3}:1.5=

\displaystyle 2.\overline{3}:1.5=\frac{23-2}{9}:\frac{15}{10}=\frac{21}{9}:\frac{3}{2}=\frac{42}{27}=\frac{14}{9}

 

Ejercicios de operaciones combinadas

4 Opera:

\displaystyle \frac{\left(2-\frac{1}{5}\right)^2}{\left(3-\frac{2}{9}\right)^{-1}}:\frac{\left(\frac{6}{7}\cdot \frac{5}{4}-\frac{2}{7}:\frac{1}{2}\right)^3}{\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4}:\frac{1}{5}\right)}-5\frac{1}{7}=

 

Realizamos las operaciones indicadas en los paréntesis. En el paréntesis del segundo denominador tenemos que multiplicar primero y en siguiente paso dividimos.

\displaystyle 5\frac{1}{7} es un número mixto por tanto dejamos el mismo denominador 7 y el numerador es la suma de la multiplicación del entero 5, por el denominador 7 más el numerador del número mixto 1.

\displaystyle \frac{\left(\frac{10-1}{5}\right)^2}{\left(\frac{27-2}{9}\right)^{-1}}:\frac{\left(\frac{30}{28}-\frac{4}{7}\right)^3}{\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{12}:\frac{1}{5}\right)}-\frac{35+1}{7}=

Efectuamos las operaciones indicadas y simplificamos \frac{30}{28}

\displaystyle \frac{\left(\frac{9}{5}\right)^2}{\left(\frac{25}{9}\right)^{-1}}:\frac{\left(\frac{15}{14}-\frac{4}{7}\right)^3}{\left(\frac{1}{2}-\frac{5}{12}\right)}-\frac{36}{7}=

Realizamos las operaciones indicadas y reducimos a común denominador en la segunda  fracción

\displaystyle \frac{\left(\frac{9}{5}\right)^2}{\left(\frac{25}{9}\right)^{-1}}:\frac{\left(\frac{15-8}{14}\right)^3}{\left(\frac{6-5}{12}\right)}-\frac{36}{7}=

Efecuamos la operaciones en la segunda fracción y simplificamos

\displaystyle \frac{\left(\frac{9}{5}\right)^2}{\left(\frac{25}{9}\right)^{-1}}:\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^3}{\left(\frac{1}{12}\right)}-\frac{36}{7}=

Realizamos la potencias y tenemos en cuenta que en una fracción elevada a un número negativo tenemos que cambiar el numerador por el denominador y posteriormente elevar al exponente

\displaystyle \frac{\frac{81}{25}}{\frac{9}{25}}:\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{12}}-\frac{36}{7}=\frac{81}{9}:\frac{12}{8}-\frac{36}{7}

En el paso anterior operamos teniendo en cuenta que:

\displaystyle \frac{\frac{81}{\not{25}}}{\frac{9}{\not{25}}}=\frac{81}{9}\hspace{2cm} \frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{12}}=\frac{1\cdot 12}{8\cdot 1}=\frac{12}{8}

Simplificamos y operamos.

\displaystyle 9: \frac{3}{2}-\frac{36}{7}=\frac{18}{3}-\frac{36}{7}=6-\frac{36}{7}=\frac{42-36}{7}=\frac{6}{7}

 

5 Efectúa:

\displaystyle \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^5\left(\frac{2}{3}\right)^0 \left(\frac{2}{3}\right)^{-3}\left(\frac{81}{16}\right)^{-2}}{\left(\frac{3}{2}\right)^{-5}\left(\frac{2}{3}\right)\left[\left(\frac{2}{3}\right)^5\right]^{2}\left(\frac{8}{27}\right)^3}

 

Trataremos de poner todas las fracciones con el mismo numerador y denominador, para ello descomponemos en factores los números que no sean primos

\displaystyle \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^5\left(\frac{2}{3}\right)^0 \left(\frac{2}{3}\right)^{-3}\left[\left(\frac{3}{2}\right)^{4}\right]^{-2}}{\left(\frac{3}{2}\right)^{-5}\left(\frac{2}{3}\right)\left[\left(\frac{2}{3}\right)^5\right]^{2}\left[\left(\frac{2}{3}\right)^3\right]^{3}}

Aplicamos ley de los exponentes, pues es una potencia de potencia de fracción, los exponentes se multiplican

\displaystyle \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^5\left(\frac{2}{3}\right)^0 \left(\frac{2}{3}\right)^{-3}\left(\frac{3}{2}\right)^{-8}}{\left(\frac{3}{2}\right)^{-5}\left(\frac{2}{3}\right)\left(\frac{2}{3}\right)^{10}\left(\frac{2}{3}\right)^9}

Para pasar de una potencia con exponente negativo a exponente positivo tenemos que hacer la inversa de la fracción

\displaystyle \left(\frac{3}{2}\right)^{-5}=\left(\frac{2}{3}\right)^5

\displaystyle \left(\frac{3}{2}\right)^{-8}=\left(\frac{2}{3}\right)^8

Entonces

\displaystyle \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^5\left(\frac{2}{3}\right)^0 \left(\frac{2}{3}\right)^{-3}\left(\frac{2}{3}\right)^{8}}{\left(\frac{2}{3}\right)^{5}\left(\frac{2}{3}\right)\left(\frac{2}{3}\right)^{10}\left(\frac{2}{3}\right)^9}

Tanto en el numerador como en el denominador multiplicamos las potencias con la misma base y dividimos los resultados

\displaystyle \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^{5+0-3+8}}{\left(\frac{2}{3}\right)^{5+1+10+9}}=\frac{\left(\frac{2}{3}\right)^{10}}{\left(\frac{2}{3}\right)^{25}}=\left(\frac{2}{3}\right)^{10-25}=\left(\frac{2}{3}\right)^{-15}=\left(\frac{3}{2}\right)^{15}

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗