¿Cómo simplificar una fracción?

 

Simplificar una fracción es transformarla en una fracción equivalente más simple.

 

Para simplificar una fracción dividimos numerador y denominador por un mismo número.

 

Empezaremos a simplificar probando por los primeros números primos: 2, 3, 5, 7, ... Es decir, probamos a dividir numerador y denominador entre 2 mientras se pueda, después pasamos al 3 y así sucesivamente.

 

Se repite el proceso hasta que no haya más divisores comunes.

 

Ejemplo: Simplificar {\displaystyle \frac{36}{60}}

 

1 Primero dividimos el numerador y el denominador por {2}

 

{\displaystyle \frac{36}{60} = \frac{36 : 2}{60 : 2} = \frac{18}{30}}

 

2 El numerador y el denominador del resultado obtenido tienen como divisor común nuevamente el {2}

 

{\displaystyle \frac{18}{30} = \frac{18 : 2}{30 : 2} = \frac{9}{15}}

 

3 El nuevo numerador y denominador del resultado obtenido tienen como divisor común el {3}

 

{\displaystyle \frac{9}{15} = \frac{9 : 3}{15 : 3} = \frac{3}{5}}

 

4 Como el nuevo numerador y denominador del resultado obtenido no tienen divisores comunes, se tiene que la simplificación de {\displaystyle \frac{36}{60}} es {\displaystyle \frac{3}{5}}, esto es,

 

{\displaystyle \frac{36}{60} = \frac{3}{5}}

 

Si los términos de la fracción terminan en ceros, empezaremos quitando los ceros comunes finales del numerador y denominador.

 

Ejemplo: Simplificar {\displaystyle \frac{20}{300}}

 

1 Dividimos el numerador y el denominador por {10}

 

{\displaystyle \frac{20}{300} = \frac{20 : 10}{300 : 10} = \frac{2}{30}}

 

2 El nuevo numerador y denominador del resultado obtenido tienen como divisor común el {2}

 

{\displaystyle \frac{2}{30} = \frac{2 : 2}{30 : 2} = \frac{1}{15}}

 

3 Como el nuevo numerador y denominador del resultado obtenido no tienen divisores comunes, se tiene que la simplificación de {\displaystyle \frac{20}{300}} es {\displaystyle \frac{1}{15}}, esto es,

 

{\displaystyle \frac{20}{300} = \frac{1}{15}}

 

Si el número por el que dividimos es el máximo común divisor del numerador y denominador llegamos a una fracción irreducible.

 

Ejemplo: Simplificar {\displaystyle \frac{8}{36}}

 

1 Dividimos el numerador y el denominador por {m.c.d.(8, 36) = 4}

 

{\displaystyle \frac{8}{36} = \frac{8 : 4}{36 : 4} = \frac{2}{9}}

 

2 Como el nuevo numerador y denominador del resultado obtenido no tienen divisores comunes, se tiene que la simplificación de {\displaystyle \frac{8}{36}} es {\displaystyle \frac{2}{9}}, esto es,

 

{\displaystyle \frac{8}{36} = \frac{2}{9}}

 

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Ejercicios propuestos de simplificación de fracciones

Simplificar las siguientes fracciones

1{\displaystyle \frac{6}{12}}

1 Primero dividimos el numerador y el denominador por {2}

 

{\displaystyle \frac{6}{12} = \frac{6 : 2}{12 : 2} = \frac{3}{6}}

 

2 El numerador y el denominador del resultado obtenido tienen como divisor común el {3}

 

{\displaystyle \frac{3}{6} = \frac{3 : 3}{6 : 3} = \frac{1}{2}}

 

3 Como el nuevo numerador y denominador del resultado obtenido no tienen divisores comunes, se tiene que la simplificación de {\displaystyle \frac{6}{12}} es {\displaystyle \frac{1}{2}}, esto es,

 

{\displaystyle \frac{6}{12} = \frac{1}{2}}

2{\displaystyle \frac{54}{81}}

1 Primero dividimos el numerador y el denominador por {3}

 

{\displaystyle \frac{54}{81} = \frac{54 : 3}{81 : 3} = \frac{18}{27}}

 

2 El numerador y el denominador del resultado obtenido tienen nuevamente como divisor común el {3}

 

{\displaystyle \frac{18}{27} = \frac{18 : 3}{27 : 3} = \frac{6}{9}}

 

3 El numerador y el denominador del resultado obtenido tienen nuevamente como divisor común el {3}

 

{\displaystyle \frac{6}{9} = \frac{6 : 3}{9 : 3} = \frac{2}{3}}

 

4 Como el nuevo numerador y denominador del resultado obtenido no tienen divisores comunes, se tiene que la simplificación de {\displaystyle \frac{54}{81}} es {\displaystyle \frac{2}{3}}, esto es,

 

{\displaystyle \frac{54}{81} = \frac{2}{3}}

3{\displaystyle \frac{40}{320}}

1 Primero dividimos el numerador y el denominador por {10}

 

{\displaystyle \frac{40}{320} = \frac{40 : 10}{320 : 10} = \frac{4}{32}}

 

2 El numerador y el denominador del resultado obtenido tienen como divisor común el {2}

 

{\displaystyle \frac{4}{32} = \frac{4 : 2}{32 : 2} = \frac{2}{16}}

 

3 El numerador y el denominador del resultado obtenido tienen nuevamente como divisor común el {2}

 

{\displaystyle \frac{2}{16} = \frac{2 : 2}{16 : 2} = \frac{1}{8}}

 

4 Como el nuevo numerador y denominador del resultado obtenido no tienen divisores comunes, se tiene que la simplificación de {\displaystyle \frac{40}{320}} es {\displaystyle \frac{1}{8}}, esto es,

 

{\displaystyle \frac{40}{320} = \frac{1}{8}}

4{\displaystyle \frac{180}{640}}

1 Primero dividimos el numerador y el denominador por {10}

 

{\displaystyle \frac{180}{640} = \frac{180 : 10}{640 : 10} = \frac{18}{64}}

 

2 El numerador y el denominador del resultado obtenido tienen como divisor común el {2}

 

{\displaystyle \frac{18}{64} = \frac{18 : 2}{64 : 2} = \frac{9}{32}}

 

3 Como el nuevo numerador y denominador del resultado obtenido no tienen divisores comunes, se tiene que la simplificación de {\displaystyle \frac{180}{640}} es {\displaystyle \frac{9}{32}}, esto es,

 

{\displaystyle \frac{180}{640} = \frac{9}{32}}

Ejercicios propuestos de simplificación de fracciones con m.c.d.

Simplificar las siguientes fracciones empleando el máximo común divisor

5{\displaystyle \frac{12}{15}}

1 Primero expresamos el numerador y el denominador como producto de números primos

 

{\begin{array}{rcl}\displaystyle 12 & = & 2^2 \cdot 3 \\\\  15 & = & 3 \cdot 5 \end{array}}

 

2 Para obtener el {m.c.d} de ambos números, multiplicamos los factores comunes con menor exponente

 

{\displaystyle m.c.d.(12, 15) = 3}

 

3 Dividimos el numerador y denominador por el {\displaystyle m.c.d.(12, 15)

 

{\displaystyle \frac{12}{15} = \frac{12 : 3}{15 : 3} = \frac{4}{5}}

6{\displaystyle \frac{33}{72}}

1 Primero expresamos el numerador y el denominador como producto de números primos

 

{\begin{array}{rcl}\displaystyle 33 & = & 3 \cdot 11 \\\\ 72 & = & 2^3 \cdot 3^2 \end{array}}

 

2 Para obtener el {m.c.d} de ambos números, multiplicamos los factores comunes con menor exponente

 

{\displaystyle m.c.d.(33, 72) = 3}

 

3 Dividimos el numerador y denominador por el {\displaystyle m.c.d.(33, 72)

 

{\displaystyle \frac{33}{72} = \frac{33 : 3}{72 : 3} = \frac{11}{24}}

7{\displaystyle \frac{180}{126}}

1 Primero expresamos el numerador y el denominador como producto de números primos

 

{\begin{array}{rcl}\displaystyle 180 & = & 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \\\\ 126 & = & 2 \cdot 3^2 \cdot 7 \end{array}}

 

2 Para obtener el {m.c.d} de ambos números, multiplicamos los factores comunes con menor exponente

 

{\displaystyle m.c.d.(180, 126) = 2 \cdot 3^2 = 18}

 

3 Dividimos el numerador y denominador por el {\displaystyle m.c.d.(180, 126)

 

{\displaystyle \frac{180}{126} = \frac{180 : 18}{126 : 18} = \frac{10}{7}}

8{\displaystyle \frac{480}{105}}

1 Primero expresamos el numerador y el denominador como producto de números primos

 

{\begin{array}{rcl}\displaystyle 480 & = & 2^5 \cdot 3 \cdot 5 \\\\ 105 & = & 3 \cdot 5 \cdot 7 \end{array}}

 

2 Para obtener el {m.c.d} de ambos números, multiplicamos los factores comunes con menor exponente

 

{\displaystyle m.c.d.(480, 105) = 3 \cdot 5 = 15}

 

3 Dividimos el numerador y denominador por el {\displaystyle m.c.d.(480, 105)

 

{\displaystyle \frac{480}{105} = \frac{480 : 15}{105 : 15} = \frac{32}{7}}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗