Definición de los números racionales

 

Se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero. En otras palabras, un número racional tiene la forma

 

\displaystyle \frac{a}{b},

 

en donde \quad a \quad y \quad b \quad son números enteros.

 

Ejemplos

 

    • \quad \frac{10}{5} \quad

 

    • \quad \frac{7}{9} \quad

 

    • \quad \frac{1}{100} \quad

 

  • Todo número entero es racional, esto ya que si \quad a \quad es entero, entonces podemos expresarlo como \quad a = \frac{a}{1} \quad, por ejemplo, \quad 7 \quad es racional por que

     

    \displaystyle 7 = \frac{7}{1}

 

Los números racionales se representan en la recta junto a los números enteros.

 

1 Tomamos un segmento de longitud la unidad, por ejemplo.

 

2 Trazamos un segmento auxiliar desde el origen y lo dividimos en las partes que deseemos. En nuestro ejemplo, lo dividimos en \quad 4 \quad partes.

 

3 Unimos el último punto del segmento auxiliar con el extremo del otro segmento y trazamos segmentos paralelos en cada uno de los puntos, obtenidos en la partición del segmento auxiliar.

 

representación gráfica de partición del segmento auxiliar

 

En la práctica se utilizan número racional y fracción como sinónimos.

 

Operaciones en los números racionales

 

Las operaciones aritméticas en los números racionales se definen de la siguiente manera

 

1. Suma de fracciones

 

Dadas dos fracciones \quad \frac{a}{b}\quad y \quad \frac{c}{d}, definimos la suma como

 

\displaystyle \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + cb}{bd}.

 

Cuando el denominador es el mismo en ambas fracciones, \quad \frac{a}{b}\quad y \quad \frac{c}{b}, la suma es más sencilla

 

\displaystyle \frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a + c}{b}.

 

Ejemplos

 

\displaystyle \frac{1}{7} + \frac{8}{9} = \frac{(9)(1) + (7)(8)}{(7)(9)} = \frac{65}{63}.

 

\displaystyle \frac{3}{4} + \frac{8}{4} = \frac{3 + 8}{4} = \frac{11}{4}.

 

 

2. Resta de fracciones

 

Dadas dos fracciones \quad \frac{a}{b}\quad y \quad \frac{c}{d}, definimos la resta como

 

\displaystyle \frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - cb}{bd}.

 

Cuando el denominador es el mismo en ambas fracciones, \quad \frac{a}{b}\quad y \quad \frac{c}{b}, la resta es más sencilla

 

\displaystyle \frac{a}{b} - \frac{c}{b} = \frac{a - c}{b}.

 

Ejemplos

 

\displaystyle \frac{3}{11} - \frac{2}{3} = \frac{(3)(3) - (2)(11)}{(11)(3)} = -\frac{13}{33}.

 

\displaystyle \frac{7}{5} - \frac{1}{5} = \frac{7 - 1}{5} = \frac{6}{5}.

 

 

3. Multiplicación de fracciones

 

Dadas dos fracciones \quad \frac{a}{b}\quad y \quad \frac{c}{d}, definimos la multiplicación como

 

\displaystyle \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}.

 

Ejemplos

 

\displaystyle \frac{4}{9} \cdot \frac{7}{3} = \frac{(4)(7)}{(9)(3)} = \frac{28}{27}.

 

\displaystyle \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{(3)(2)}{(5)(5)} = \frac{6}{25}.

 

 

4. División de fracciones

 

Dadas dos fracciones \quad \frac{a}{b}\quad y \quad \frac{c}{d}, definimos la división como

 

\displaystyle \frac{a}{b} \div\frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}.

 

Ejemplos

 

\displaystyle \frac{4}{9} \div \frac{7}{3} = \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{7} = \frac{(4)(3)}{(9)(7)} = \frac{12}{63}.

 

\displaystyle \frac{3}{5} \div\frac{5}{9} = \frac{(3)(9)}{(5)(5)} = \frac{27}{25}.

 

 

 

Propiedades de los números racionales

 

Los números raciones tienen algunas propiedades, por ejemplo

 

    • \quad \frac{a}{b} = \frac{c}{d}\quad si y solo si se cumple que \quad ad = bc \quad

 

    • \quad \frac{a}{b} < \frac{c}{d}\quad si y solo si se cumple que \quad ad < bc \quad

 

    • \quad \frac{-a}{-b} = \frac{a}{b}\quad

 

    • \quad \frac{-a}{b} = \frac{a}{-b} = - \frac{a}{b}\quad

 

    • \quad \left( \frac{a}{b} \right)^m \div \left( \frac{a}{b} \right)^n = \left( \frac{a}{b} \right)^{m-n} \quad

 

  • \quad \left( \frac{a}{b} \right)^n \div \left( \frac{c}{d} \right)^n = \left( \frac{a \cdot d}{b \cdot c} \right)^{n} \quad

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗