Temas

Potencias de fracciones con exponente negativo
Propiedades de las potencias de fracciones
Ejercicios propuestos

Para elevar una fracción a una potencia se aplica el exponente tanto el numerador como el denominador.

$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$

siempre que ${b\neq 0}$

Ejemplo: Desarrolla la potencia $\left(\frac{2}{3}\right)^4$

$\left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{2^4}{3^4} = \frac{16}{81}$

Potencias de fracciones con exponente negativo

Una potencia de una fracción con exponente negativo es igual a otra potencia cuya base es la inversa de la fracción original y con exponente positivo

$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \frac{b^n}{a^n}$

Ejemplo: Desarrolla la potencia $\left(\frac{2}{3}\right)^{-4}$

$\left(\frac{2}{3}\right)^{-4} = \left(\frac{3}{2}\right)^{4} = \frac{3^4}{2^4} = \frac{81}{16$

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Propiedades de las potencias de fracciones

1Toda fracción elevada a la potencia cero es igual a uno.

$\left(\frac{a}{b}\right)^{0} = 1$

2Toda fracción elevada a la potencia uno es igual a la misma fracción.

$\left(\frac{a}{b}\right)^{1} = \frac{a}{b}$

3El producto de potencias con la misma base es otra potencia con la misma base y su exponente es igual a la suma de los exponentes.

$\left(\frac{a}{b}\right)^{n} \cdot \left(\frac{a}{b}\right)^{m} = \left(\frac{a}{b}\right)^{n + m}$

4La división de potencias con la misma base es otra potencia con la misma base y su exponente es igual a la diferencia de los exponentes.

$\left(\frac{a}{b}\right)^{n} : \left(\frac{a}{b}\right)^{m} = \left(\frac{a}{b}\right)^{n - m}$

5La potencia de una potencia es otra potencia con la misma base y su exponente es igual al producto de los exponentes.

$\left[ \left(\frac{a}{b}\right)^{n}\right]^m = \left(\frac{a}{b}\right)^{n \cdot m}$

6El producto de potencias con el mismo exponente es otra potencia con el mismo exponente y su base es igual al producto de las bases.

$\left(\frac{a}{b}\right)^{n} \cdot \left( \frac{c}{d} \right)^n = \left(\frac{a \cdot c}{b \cdot d}\right)^{n}$

7El cociente de potencias con el mismo exponente es otra potencia con el mismo exponente y su base es igual al cociente de las bases.

$\left(\frac{a}{b}\right)^{n} : \left( \frac{c}{d} \right)^n = \left(\frac{a \cdot d}{b \cdot c}\right)^{n}$

Ejercicios propuestos

Simplifica las siguientes operaciones con potencias:

1 $\left( \frac{2}{3} \right)^2 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^3$

Las potencias tienen la misma base, entonces por la propiedad 3 la base es la misma y se suman los exponentes

$\left( \frac{2}{3} \right)^2 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{3} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{2+3} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^5$

2 $\left( \frac{2}{3} \right)^{-2} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^3$

Las potencias tienen la misma base, entonces por la propiedad 3 la base es la misma y se suman los exponentes

$\left( \frac{2}{3} \right)^{-2} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{3} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{-2+3} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^1$

Por la propiedad 2 toda fracción elevada a la potencia uno, es igual a la misma fracción

$\left( \frac{2}{3} \right)^{-2} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^3} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{-2+3} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^1 = \frac{2}{3}$

3 $\left( \frac{2}{3} \right)^{2} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{-3}$

Las potencias tienen la misma base, entonces por la propiedad 3 la base es la misma y se suman los exponentes

$\left( \frac{2}{3} \right)^{2} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{-3}} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{2+(-3)} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{-1}$

Para quitar el signo negativo del exponente, tenemos que escribir la fracción inversa y luego aplicamos la propiedad 2 que nos dice que toda fracción elevada a la potencia uno, es igual a la misma fracción

$\left( \frac{2}{3} \right)^{2} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{-3}} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{2+(-3)} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{-1} = \left(\frac{3}{2}\right)^1 = \frac{3}{2}$

4 $\left( \frac{2}{3} \right)^{-2} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{-3}$

Las potencias tienen la misma base, entonces por la propiedad 3 la base es la misma y se suman los exponentes

$\left( \frac{2}{3} \right)^{-2} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{-2+(-3)} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{-5}$

Para quitar el signo negativo del exponente, tenemos que escribir la fracción inversa

$\left( \frac{2}{3} \right)^{-2} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{-2+(-3)} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{-5} = \left(\frac{3}{2}\right)^5$

5 $\left( \frac{2}{3} \right)^{-2} \cdot \left( \frac{3}{2} \right)^{-3}$

Como las potencias no tienen la misma base, tomamos la fracción inversa de la segunda potencia para obtener un exponente positivo

$\left( \frac{2}{3} \right)^{-2} \cdot \left( \frac{3}{2} \right)^{-3} = \left( \frac{2}{3} \right)^{-2} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{3} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{-2 + 3} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{1}$

Por la propiedad 2 toda fracción elevada a la potencia uno, es igual a la misma fracción

6 $\left( \frac{2}{3} \right)^{2} : \left( \frac{2}{3} \right)^{3}$

Las potencias tienen la misma base, entonces por la propiedad 4 la base es la misma y se restan los exponentes

$\left( \frac{2}{3} \right)^{2} : \left( \frac{2}{3} \right)^{3} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{2 - 3} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{-1}$

Para quitar el signo negativo del exponente, tenemos que escribir la fracción inversa; luego por la propiedad 2 toda fracción elevada a la potencia uno, es igual a la misma fracción

$\left( \frac{2}{3} \right)^{2} : \left( \frac{2}{3} \right)^{3} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{2 - 3} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{-1} = \left(\frac{3}{2}\right)^{1} = \frac{3}{2}$

7 $\left( \frac{2}{3} \right)^{-2} : \left( \frac{2}{3} \right)^{3}$

Las potencias tienen la misma base, entonces por la propiedad 4 la base es la misma y se restan los exponentes

$\left( \frac{2}{3} \right)^{-2} : \left( \frac{2}{3} \right)^{3} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{-2 - 3} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{-5}$

Para quitar el signo negativo del exponente, tenemos que escribir la fracción inversa

$\left( \frac{2}{3} \right)^{-2} : \left( \frac{2}{3} \right)^{3} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{-2 - 3} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{-5} = \left(\frac{3}{2}\right)^{5}$

8 $\left( \frac{2}{3} \right)^{2} : \left( \frac{2}{3} \right)^{-3}$

Las potencias tienen la misma base, entonces por la propiedad 4 la base es la misma y se restan los exponentes

$\left( \frac{2}{3} \right)^{2} : \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{2 - (-3)} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{5}$

9 $\left( \frac{2}{3} \right)^{-2} : \left( \frac{2}{3} \right)^{-3}$

Las potencias tienen la misma base, entonces por la propiedad 4 la base es la misma y se restan los exponentes

$\left( \frac{2}{3} \right)^{-2} : \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{-2 - (-3)} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{1}$

Por la propiedad 2 toda fracción elevada a la potencia uno, es igual a la misma fracción

$\left( \frac{2}{3} \right)^{-2} : \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{-2 - (-3)} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{1} = \frac{2}{3}$

10 $\left( \frac{3}{2} \right)^{-2} : \left( \frac{2}{3} \right)^{-3}$

Tomamos la fracción inversa de la primera potencia para cambiar el signo del exponente

$\left( \frac{3}{2} \right)^{-2} : \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{2} : \left(\frac{2}{3}\right)^{-3}$

Las potencias tienen la misma base, entonces por la propiedad 4 la base es la misma y se restan los exponentes

$\left( \frac{3}{2} \right)^{-2} : \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{2} : \left(\frac{2}{3}\right)^{-3} = \left(\frac{2}{3}\right)^{2 - (-3)} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{5}$

11 ${\left[ \displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{2} \right]^3}$

Se trata de la potencia de una potencia, entonces por la propiedad 5 la base es la misma y se multiplican los exponentes

${ \left[ \displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{2} \right]^3 = \displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{2 \cdot 3} = \left( \frac{2}{3} \right)^{6} }$

12 ${ \left\{ \left[ \displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{2} \right]^3 \right\}^{-4} }$

Se trata de la potencia de una potencia, entonces por la propiedad 5 la base es la misma y se multiplican los exponentes

${ \left\{\left[ \displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{2} \right]^3 \right\}^{-4} = \displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{2 \cdot 3 \cdot (-4)} = \left( \frac{2}{3} \right)^{-24} }$

Para quitar el signo negativo del exponente, tenemos que escribir la fracción inversa

${ \left\{\left[ \displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{2} \right]^3 \right\}^{-4} = \displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{2 \cdot 3 \cdot (-4)} = \left( \frac{2}{3} \right)^{-24} = \left( \frac{3}{2} \right)^{24} }$

13 $\left( \frac{4}{9} \right)^{-2} : \left( \frac{27}{8} \right)^{-3}$

Descomponemos los números en factores y aplicamos la propiedad 5 de potencia de una potencia

Tomamos la fracción inversa de la primera potencia para cambiar el signo del exponente y aplicamos la propiedad 4 de cociente de potencias

${ \begin{array}{rcl} \displaystyle \left( \frac{4}{9} \right)^{-2} : \left( \frac{27}{8} \right)^{-3} & = & \displaystyle \left( \frac{2^2}{3^2} \right)^{-2} : \left( \frac{3^3}{2^3} \right)^{-3} \\\\ & = & \displaystyle \left[\left( \frac{2}{3} \right)^2\right]^{-2} : \left[\left( \frac{3}{2} \right)^3\right]^{-3} \\\\ & = & \displaystyle\left( \frac{2}{3} \right)^{-4} : \left( \frac{3}{2} \right)^{-9} \\\\ & = & \displaystyle\left( \frac{3}{2} \right)^{4} : \left( \frac{3}{2} \right)^{-9} \\\\ & = & \displaystyle\left( \frac{3}{2} \right)^{4 - (-9)} \\\\ & = & \displaystyle\left( \frac{3}{2} \right)^{13} \end{array}}$

14 $\frac{\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \left( \frac{2}{3} \right)^{0} \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} \left( \frac{81}{16} \right)^{-2} }{\displaystyle \left( \frac{3}{2} \right)^{-5} \left( \frac{2}{3} \right) \left[ \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \right]^2 \left( \frac{8}{27} \right)^{3}}$

Trataremos de poner todas las fracciones con el mismo numerador y denominador, para ello descomponemos en factores los números que no sean primos

Se tienen elementos que son potencias de potencias, por lo que aplicamos la propiedad 5 par escribirlos como una sola potencia

Para las potencias con base $\frac{3}{2}$ y exponentes negativos, ponemos la fracción inversa con exponente positivo

${ \begin{array}{rcl}\displaystyle \frac{\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \left( \frac{2}{3} \right)^{0} \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} \left( \frac{81}{16} \right)^{-2} }{\displaystyle \left( \frac{3}{2} \right)^{-5} \left( \frac{2}{3} \right) \left[ \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \right]^2 \left( \frac{8}{27} \right)^{3}} & = & \displaystyle \frac{\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \left( \frac{2}{3} \right)^{0} \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} \left[ \left( \frac{3}{2} \right)^{4} \right]^{-2} }{\displaystyle \left( \frac{3}{2} \right)^{-5} \left( \frac{2}{3} \right) \left[ \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \right]^2 \left[ \left( \frac{2}{3} \right)^{3} \right]^3 } \\\\ & = & \displaystyle \frac{\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \left( \frac{2}{3} \right)^{0} \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} \left( \frac{3}{2} \right)^{-8} }{\displaystyle \left( \frac{3}{2} \right)^{-5} \left( \frac{2}{3} \right) \left( \frac{2}{3} \right)^{10} \left( \frac{2}{3} \right)^{9} } \\\\ & = & \displaystyle \frac{\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \left( \frac{2}{3} \right)^{0} \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} \left( \frac{2}{3} \right)^{8} }{\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \left( \frac{2}{3} \right) \left( \frac{2}{3} \right)^{10} \left( \frac{2}{3} \right)^{9} } \end{array} }$

Tanto en el numerador como en el denominador multiplicamos las potencias con la misma base empleando la propiedad 3 y dividimos los resultados empleando la propiedad 4. Finalmente, ponemos la fracción inversa con exponente positivo

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Resumen

Resumen de fracciones y numeros racionales

Definicion de fracciones

Fracciones

Teoría

Concepto de fraccion

Operaciones combinadas con fracciones

La fraccion generatriz de un decimal periodico

Numeros racionales

Potencias de racionales

Suma y resta de numeros racionales

Multiplicacion y division de fracciones

Tipos de fracciones

Multiplicacion de numeros racionales

Definicion de la fraccion

Comparacion de fracciones

Suma y resta de fracciones

Operaciones con fracciones

Operaciones con numeros racionales

Simplificar fracciones

Reduccion de fracciones a comun denominador

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Fórmulas de potencias

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Ejercicios de fracciones

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Esteban palomeque

Abril 2022

Cómo se resuelve este ¾³/⅝ ³

Clara viteri

Mayo 2022

[(−4) 3 +2−3⋅5]−[(4⋅2) 2 −(4⋅10−5) 3 ] 3

harol

Marzo 2022

hola ayudame ( 14 3 ) 2

YaYamilet Colmenares

Marzo 2022

Excelente explicación, una manera sencilla para resolver. Gracias

Clara viteri

Mayo 2022

[(−4) 3+2-3.5]-[(4.2)2-(4.10-5)3]3 Ayúdeme en ese ejercicio

Febrero 2022

El último ejercicio, es posible qué haya algun error? Es muy difícil de hacer. Hay otra forma de hacerlo?

Antonio Tapia

Marzo 2022

No hay error, es largo porque se explica con cada detalle, para hacerlo mas rápido se tendrían que hacer menos pasos y seria mas complicado explicar.