Marta

27 septiembre 2020

Temas

 

Para elevar una fracción a una potencia se aplica el exponente tanto el numerador como el denominador.

 

{\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}}

 

siempre que {b\neq 0}

 

Ejemplo: Desarrolla la potencia {\displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^4}

 

{\displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{2^4}{3^4} = \frac{16}{81}}

 

Potencias de fracciones con exponente negativo

Una potencia de una fracción con exponente negativo es igual a otra potencia cuya base es la inversa de la fracción original y con exponente positivo

 

{\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \frac{b^n}{a^n}}

 

Ejemplo: Desarrolla la potencia {\displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{-4}}

 

{\displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{-4} = \left(\frac{3}{2}\right)^{4} = \frac{3^4}{2^4} = \frac{81}{16}

 

Propiedades de las potencias de fracciones

 

1Toda fracción elevada a la potencia cero es igual a uno.

 

{\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{0} = 1}

 

2Toda fracción elevada a la potencia uno es igual a la misma fracción.

 

{\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{1} = \frac{a}{b}}

 

3El producto de potencias con la misma base es otra potencia con la misma base y su exponente es igual a la suma de los exponentes.

 

{\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{n} \cdot \left(\frac{a}{b}\right)^{m} = \left(\frac{a}{b}\right)^{n + m}}

 

4La división de potencias con la misma base es otra potencia con la misma base y su exponente es igual a la diferencia de los exponentes.

 

{\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{n} : \left(\frac{a}{b}\right)^{m} = \left(\frac{a}{b}\right)^{n - m}}

 

5La potencia de una potencia es otra potencia con la misma base y su exponente es igual al producto de los exponentes.

 

{\displaystyle \left[ \left(\frac{a}{b}\right)^{n}\right]^m = \left(\frac{a}{b}\right)^{n \cdot m}}

 

6El producto de potencias con el mismo exponente es otra potencia con el mismo exponente y su base es igual al producto de las bases.

 

{\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{n} \cdot \left( \frac{c}{d} \right)^n = \left(\frac{a \cdot c}{b \cdot d}\right)^{n}}

 

7El cociente de potencias con el mismo exponente es otra potencia con el mismo exponente y su base es igual al cociente de las bases.

 

{\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{n} : \left( \frac{c}{d} \right)^n = \left(\frac{a \cdot d}{b \cdot c}\right)^{n}}

 

Ejercicios propuestos

Simplifica las siguientes operaciones con potencias:

1{\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^2 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^3}

Las potencias tienen la misma base, entonces por la propiedad 3 la base es la misma y se suman los exponentes

 

{ \displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^2 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{3} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{2+3} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^5 }

2{\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{-2} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^3}

Las potencias tienen la misma base, entonces por la propiedad 3 la base es la misma y se suman los exponentes

 

{ \displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{-2} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{3} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{-2+3} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^1 }

 

Por la propiedad 2 toda fracción elevada a la potencia uno, es igual a la misma fracción

 

{ \displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{-2} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^3} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{-2+3} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^1 = \frac{2}{3} }

3{\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{2} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{-3}}

Las potencias tienen la misma base, entonces por la propiedad 3 la base es la misma y se suman los exponentes

 

{ \displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{2} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{-3}} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{2+(-3)} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{-1} }

 

Para quitar el signo negativo del exponente, tenemos que escribir la fracción inversa y luego aplicamos la propiedad 2 que nos dice que toda fracción elevada a la potencia uno, es igual a la misma fracción

 

{ \displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{2} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{-3}} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{2+(-3)} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{-1} = \left(\frac{3}{2}\right)^1 = \frac{3}{2} }

4{\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{-2} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{-3}}

Las potencias tienen la misma base, entonces por la propiedad 3 la base es la misma y se suman los exponentes

 

{ \displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{-2} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{-2+(-3)} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{-5} }

 

Para quitar el signo negativo del exponente, tenemos que escribir la fracción inversa

 

{ \displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{-2} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{-2+(-3)} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{-5} = \left(\frac{3}{2}\right)^5 }

5{\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{-2} \cdot \left( \frac{3}{2} \right)^{-3}}

Como las potencias no tienen la misma base, tomamos la fracción inversa de la segunda potencia para obtener un exponente positivo

 

{ \displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{-2} \cdot \left( \frac{3}{2} \right)^{-3} = \left( \frac{2}{3} \right)^{-2} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{3} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{-2 + 3} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{1} }

 

Por la propiedad 2 toda fracción elevada a la potencia uno, es igual a la misma fracción

 

{ \displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{-2} \cdot \left( \frac{3}{2} \right)^{-3} = \left( \frac{2}{3} \right)^{-2} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{3} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{-2 + 3} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{1} = \frac{2}{3}}

6{\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{2} : \left( \frac{2}{3} \right)^{3}}

Las potencias tienen la misma base, entonces por la propiedad 4 la base es la misma y se restan los exponentes

 

{ \displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{2} : \left( \frac{2}{3} \right)^{3} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{2 - 3} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{-1} }

 

Para quitar el signo negativo del exponente, tenemos que escribir la fracción inversa; luego por la propiedad 2 toda fracción elevada a la potencia uno, es igual a la misma fracción

 

{ \displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{2} : \left( \frac{2}{3} \right)^{3} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{2 - 3} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{-1} = \left(\frac{3}{2}\right)^{1} = \frac{3}{2} }

7{\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{-2} : \left( \frac{2}{3} \right)^{3}}

Las potencias tienen la misma base, entonces por la propiedad 4 la base es la misma y se restan los exponentes

 

{ \displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{-2} : \left( \frac{2}{3} \right)^{3} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{-2 - 3} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{-5} }

 

Para quitar el signo negativo del exponente, tenemos que escribir la fracción inversa

 

{ \displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{-2} : \left( \frac{2}{3} \right)^{3} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{-2 - 3} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{-5} = \left(\frac{3}{2}\right)^{5} }

8{\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{2} : \left( \frac{2}{3} \right)^{-3}}

Las potencias tienen la misma base, entonces por la propiedad 4 la base es la misma y se restan los exponentes

 

{ \displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{2} : \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{2 - (-3)} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{5} }

9{\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{-2} : \left( \frac{2}{3} \right)^{-3}}

Las potencias tienen la misma base, entonces por la propiedad 4 la base es la misma y se restan los exponentes

 

{ \displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{-2} : \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{-2 - (-3)} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{1} }

 

Por la propiedad 2 toda fracción elevada a la potencia uno, es igual a la misma fracción

 

{ \displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{-2} : \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{-2 - (-3)} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{1} = \frac{2}{3} }

10{\displaystyle \left( \frac{3}{2} \right)^{-2} : \left( \frac{2}{3} \right)^{-3}}

Tomamos la fracción inversa de la primera potencia para cambiar el signo del exponente

 

{ \displaystyle \left( \frac{3}{2} \right)^{-2} : \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{2} : \left(\frac{2}{3}\right)^{-3} }

 

Las potencias tienen la misma base, entonces por la propiedad 4 la base es la misma y se restan los exponentes

 

{ \displaystyle \left( \frac{3}{2} \right)^{-2} : \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{2} : \left(\frac{2}{3}\right)^{-3} = \left(\frac{2}{3}\right)^{2 - (-3)} = \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{5} }

11{\left[ \displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{2} \right]^3}

Se trata de la potencia de una potencia, entonces por la propiedad 5 la base es la misma y se multiplican los exponentes

 

{ \left[ \displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{2} \right]^3 = \displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{2 \cdot 3} = \left( \frac{2}{3} \right)^{6} }

 

12{ \left\{ \left[ \displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{2} \right]^3 \right\}^{-4} }

Se trata de la potencia de una potencia, entonces por la propiedad 5 la base es la misma y se multiplican los exponentes

 

{ \left\{\left[ \displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{2} \right]^3 \right\}^{-4} = \displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{2 \cdot 3 \cdot (-4)} = \left( \frac{2}{3} \right)^{-24} }

 

Para quitar el signo negativo del exponente, tenemos que escribir la fracción inversa

 

{ \left\{\left[ \displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{2} \right]^3 \right\}^{-4} = \displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{2 \cdot 3 \cdot (-4)} = \left( \frac{2}{3} \right)^{-24} = \left( \frac{3}{2} \right)^{24} }

13{ \displaystyle \left( \frac{4}{9} \right)^{-2} : \left( \frac{27}{8} \right)^{-3} }

Descomponemos los números en factores y aplicamos la propiedad 5 de potencia de una potencia

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \left( \frac{4}{9} \right)^{-2} : \left( \frac{27}{8} \right)^{-3} & = & \displaystyle \left( \frac{2^2}{3^2} \right)^{-2} : \left( \frac{3^3}{2^3} \right)^{-3} \\\\ & = & \displaystyle \left[\left( \frac{2}{3} \right)^2\right]^{-2} : \left[\left( \frac{3}{2} \right)^3\right]^{-3} \\\\ & = & \displaystyle\left( \frac{2}{3} \right)^{-4} : \left( \frac{3}{2} \right)^{-9} \end{array} }

 

Tomamos la fracción inversa de la primera potencia para cambiar el signo del exponente y aplicamos la propiedad 4 de cociente de potencias

 

{ \begin{array}{rcl} \displaystyle \left( \frac{4}{9} \right)^{-2} : \left( \frac{27}{8} \right)^{-3} & = & \displaystyle \left( \frac{2^2}{3^2} \right)^{-2} : \left( \frac{3^3}{2^3} \right)^{-3} \\\\ & = & \displaystyle \left[\left( \frac{2}{3} \right)^2\right]^{-2} : \left[\left( \frac{3}{2} \right)^3\right]^{-3} \\\\ & = & \displaystyle\left( \frac{2}{3} \right)^{-4} : \left( \frac{3}{2} \right)^{-9} \\\\ & = & \displaystyle\left( \frac{3}{2} \right)^{4} : \left( \frac{3}{2} \right)^{-9} \\\\ & = & \displaystyle\left( \frac{3}{2} \right)^{4 - (-9)} \\\\ & = & \displaystyle\left( \frac{3}{2} \right)^{13} \end{array}}

14{ \displaystyle \frac{\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \left( \frac{2}{3} \right)^{0} \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} \left( \frac{81}{16} \right)^{-2} }{\displaystyle \left( \frac{3}{2} \right)^{-5} \left( \frac{2}{3} \right) \left[ \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \right]^2 \left( \frac{8}{27} \right)^{3}} }

Trataremos de poner todas las fracciones con el mismo numerador y denominador, para ello descomponemos en factores los números que no sean primos

 

{ \begin{array}{rcl}\displaystyle \frac{\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \left( \frac{2}{3} \right)^{0} \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} \left( \frac{81}{16} \right)^{-2} }{\displaystyle \left( \frac{3}{2} \right)^{-5} \left( \frac{2}{3} \right) \left[ \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \right]^2 \left( \frac{8}{27} \right)^{3}} & = & \displaystyle \frac{\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \left( \frac{2}{3} \right)^{0} \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} \left[ \left( \frac{3}{2} \right)^{4} \right]^{-2} }{\displaystyle \left( \frac{3}{2} \right)^{-5} \left( \frac{2}{3} \right) \left[ \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \right]^2 \left[ \left( \frac{2}{3} \right)^{3} \right]^3 } \end{array} }

 

Se tienen elementos que son potencias de potencias, por lo que aplicamos la propiedad 5 par escribirlos como una sola potencia

 

{ \begin{array}{rcl}\displaystyle \frac{\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \left( \frac{2}{3} \right)^{0} \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} \left( \frac{81}{16} \right)^{-2} }{\displaystyle \left( \frac{3}{2} \right)^{-5} \left( \frac{2}{3} \right) \left[ \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \right]^2 \left( \frac{8}{27} \right)^{3}} & = & \displaystyle \frac{\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \left( \frac{2}{3} \right)^{0} \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} \left[ \left( \frac{3}{2} \right)^{4} \right]^{-2} }{\displaystyle \left( \frac{3}{2} \right)^{-5} \left( \frac{2}{3} \right) \left[ \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \right]^2 \left[ \left( \frac{2}{3} \right)^{3} \right]^3 } \\\\ & = & \displaystyle \frac{\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \left( \frac{2}{3} \right)^{0} \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} \left( \frac{3}{2} \right)^{-8} }{\displaystyle \left( \frac{3}{2} \right)^{-5} \left( \frac{2}{3} \right) \left( \frac{2}{3} \right)^{10} \left( \frac{2}{3} \right)^{9} } \end{array} }

 

Para las potencias con base {\displaystyle \frac{3}{2}} y exponentes negativos, ponemos la fracción inversa con exponente positivo

 

{ \begin{array}{rcl}\displaystyle \frac{\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \left( \frac{2}{3} \right)^{0} \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} \left( \frac{81}{16} \right)^{-2} }{\displaystyle \left( \frac{3}{2} \right)^{-5} \left( \frac{2}{3} \right) \left[ \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \right]^2 \left( \frac{8}{27} \right)^{3}} & = & \displaystyle \frac{\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \left( \frac{2}{3} \right)^{0} \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} \left[ \left( \frac{3}{2} \right)^{4} \right]^{-2} }{\displaystyle \left( \frac{3}{2} \right)^{-5} \left( \frac{2}{3} \right) \left[ \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \right]^2 \left[ \left( \frac{2}{3} \right)^{3} \right]^3 } \\\\ & = & \displaystyle \frac{\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \left( \frac{2}{3} \right)^{0} \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} \left( \frac{3}{2} \right)^{-8} }{\displaystyle \left( \frac{3}{2} \right)^{-5} \left( \frac{2}{3} \right) \left( \frac{2}{3} \right)^{10} \left( \frac{2}{3} \right)^{9} } \\\\ & = & \displaystyle \frac{\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \left( \frac{2}{3} \right)^{0} \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} \left( \frac{2}{3} \right)^{8} }{\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \left( \frac{2}{3} \right) \left( \frac{2}{3} \right)^{10} \left( \frac{2}{3} \right)^{9} } \end{array} }

 

Tanto en el numerador como en el denominador multiplicamos las potencias con la misma base empleando la propiedad 3 y dividimos los resultados empleando la propiedad 4. Finalmente,  ponemos la fracción inversa con exponente positivo

 

{ \begin{array}{rcl}\displaystyle \frac{\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \left( \frac{2}{3} \right)^{0} \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} \left( \frac{81}{16} \right)^{-2} }{\displaystyle \left( \frac{3}{2} \right)^{-5} \left( \frac{2}{3} \right) \left[ \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \right]^2 \left( \frac{8}{27} \right)^{3}} & = & \displaystyle \frac{\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \left( \frac{2}{3} \right)^{0} \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} \left[ \left( \frac{3}{2} \right)^{4} \right]^{-2} }{\displaystyle \left( \frac{3}{2} \right)^{-5} \left( \frac{2}{3} \right) \left[ \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \right]^2 \left[ \left( \frac{2}{3} \right)^{3} \right]^3 } \\\\ & = & \displaystyle \frac{\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \left( \frac{2}{3} \right)^{0} \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} \left( \frac{3}{2} \right)^{-8} }{\displaystyle \left( \frac{3}{2} \right)^{-5} \left( \frac{2}{3} \right) \left( \frac{2}{3} \right)^{10} \left( \frac{2}{3} \right)^{9} } \\\\ & = & \displaystyle \frac{\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \left( \frac{2}{3} \right)^{0} \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} \left( \frac{2}{3} \right)^{8} }{\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \left( \frac{2}{3} \right) \left( \frac{2}{3} \right)^{10} \left( \frac{2}{3} \right)^{9} } \\\\ & = & \displaystyle \frac{\displaystyle \left( \frac{2}{3}\right)^{10} }{\displaystyle \left( \frac{2}{3}\right)^{25}} \\\\ & = & \displaystyle \left( \frac{2}{3}\right)^{-15} \\\\ & = & \displaystyle \left( \frac{3}{2}\right)^{15} \end{array} }

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗