Definición de fracción

 

Una fracción es el cociente de dos números enteros a y b, que representamos de la siguiente forma:

 

\displaystyle \frac{a}{b}, \qquad b \neq 0

 

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Tipos de fracciones

 

Fracciones propias

 

Son aquellas cuyo numerador es menor que el denominador. Su valor comprendido está entre cero y uno. Ejemplos son

 

\displaystyle \frac{3}{5}, \quad \frac{11}{100}, \quad \frac{3}{7}

 

Fracciones impropias

 

Las fracciones impropias son aquellas cuyo numerador es mayor que el denominador. Su valor es mayor que 1. Ejemplos son

 

\displaystyle \frac{5}{2}, \quad \frac{7}{5}, \quad \frac{100}{10}

 

Fracciones impropias

 

Las fracciones impropias son aquellas cuyo numerador es mayor que el denominador. Su valor es mayor que 1. Ejemplos son

 

\displaystyle \frac{5}{2}, \quad \frac{7}{5}, \quad \frac{100}{10}

 

Clasifica las siguientes fracciones como propias o impropias

 

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1 \displaystyle \frac{2}{3}

 

2 \displaystyle \frac{5}{6}

 

3 \displaystyle \frac{8}{5}

 

4 \displaystyle \frac{17}{9}

 

5 \displaystyle \frac{5}{2}

 

6 \displaystyle \frac{5}{12}

 

7 \displaystyle \frac{3}{4}

 

8 \displaystyle \frac{7}{5}

 

Procedamos a clasificar

1 \displaystyle \frac{2}{3} - Propia

 

2 \displaystyle \frac{5}{6} - Propia

 

3 \displaystyle \frac{8}{5} - Impropia

 

4 \displaystyle \frac{17}{9} - Impropia

 

5 \displaystyle \frac{5}{2} - Impropia

 

6 \displaystyle \frac{5}{12} - Propia

 

7 \displaystyle \frac{3}{4} - Propia

 

8 \displaystyle \frac{7}{5} - Impropia

 

 

Numero mixto

 

Número mixto es el que está compuesto de parte entera y fraccionaria.

 

Para pasar de número mixto a fracción, se deja el mismo denominador y el numerador es la suma del producto del entero por el denominador más el numerador, del número mixto.

 

Para pasar una fracción impropia a número mixto, se divide el numerador por el denominador. El cociente es el entero del número mixto y el resto el numerador de la fracción, siendo el denominador el mismo.

 

Por ejemplo, si tenemos el número misxto \displaystyle 5\frac{1}{2}, para pasar a fracciones debemos de hacer lo siguiente

 

    \begin{align*} 5\frac{1}{2} &= \frac{(5)(2)}{2} + \frac{1}{2}\\&= \frac{(5)(2) + 1}{2}\\&= \frac{10 + 1}{2}\\&= \frac{11}{2}\\\end{align*}

 

Por otro lado, para pasar de la fracción impropia \frac{7}{3} hacemos lo siguiente

 

    \begin{align*} \frac{7}{3} &= \frac{6 + 1}{3}\\&= \frac{(2)(3) + 1}{3}\\&= 2 \frac{1}{3}\\\end{align*}

 

Fracciones unidad y unitarias

 

Las fracciones unidad tienen el numerador igual al denominador. El valor numérico es igual a 1. Ejemplos de fracciones unidad son los siguientes

 

\displaystyle \frac{5}{5}, \quad \frac{123}{123}, \quad \frac{13}{13}

 

Las fracciones unitarias tienen de numerador la unidad. Por ejemplo

 

\displaystyle \frac{1}{5}, \quad \frac{1}{123}, \quad \frac{1}{13}

 

Fracciones decimales

 

Las fracciones decimales tienen como denominador una potencia de 10.

 

\displaystyle \frac{7}{100}, \quad \frac{11}{10}, \quad \frac{67}{1000}

 

Fracciones equivalentes

 

Dos fracciones son equivalentes cuando el producto de extremos es igual al producto de medios, en otras palabras

 

\displaystyle \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \qquad \Leftrightarrow \qquad ad = bc

 

en donde a a y d se les conoce como extremos y a b y c como medios.

 

Un ejemplo de dos fracciones equivalentes son

 

\displaystyle \frac{4}{6} \qquad \text{y} \qquad \frac{8}{12}

 

Lo mismo se muestra en la siguiente imagen

 

Fracción cuatro sextos

 

Fracción ocho doceavos

 

Comprueba si los siguientes pares de fracciones son equivalentes o no

 

1 \displaystyle \frac{4}{3} y \displaystyle \frac{12}{9}

 

Procedamos a analizar si son equivalentes o no.

 

Notemos que el producto de los extremos es

 

\displaystyle (4)(9) = 36

 

mientras que le producto de los medios es

 

\displaystyle (12)(3) = 36

 

En pocas palabras, el producto de los medios es igual al producto de los extremos

 

\displaystyle (4)(9) = (12)(3)

 

por lo tanto sí son fracciones equivalentes.

 

2 \displaystyle \frac{8}{3} y \displaystyle \frac{16}{6}

 

Procedamos a analizar si son equivalentes o no.

 

Notemos que el producto de los extremos es

 

\displaystyle (8)(6) = 48

 

mientras que le producto de los medios es

 

\displaystyle (3)(16) = 48

 

En pocas palabras, el producto de los medios es igual al producto de los extremos

 

\displaystyle (8)(6) = (3)(16)

 

por lo tanto sí son fracciones equivalentes.

 

3 \displaystyle \frac{4}{7} y \displaystyle \frac{8}{21}

 

Procedamos a analizar si son equivalentes o no.

 

Notemos que el producto de los extremos es

 

\displaystyle (4)(21) = 84

 

mientras que le producto de los medios es

 

\displaystyle (7)(8) = 56

 

Como el producto de los medios no es igual al producto de los extremos

 

\displaystyle (4)(21) \neq (7)(8)

 

las fracciones no son equivalentes.

 

4 \displaystyle \frac{5}{7} y \displaystyle \frac{15}{21}

 

Procedamos a analizar si son equivalentes o no.

 

Notemos que el producto de los extremos es

 

\displaystyle (5)(21) = 105

 

mientras que le producto de los medios es

 

\displaystyle (7)(15) = 105

 

En pocas palabras, el producto de los medios es igual al producto de los extremos

 

\displaystyle (5)(21) = (7)(15)

 

por lo tanto sí son fracciones equivalentes.

 

5 \displaystyle \frac{14}{3} y \displaystyle \frac{7}{6}

 

Procedamos a analizar si son equivalentes o no.

 

Notemos que el producto de los extremos es

 

\displaystyle (14)(6) = 84

 

mientras que le producto de los medios es

 

\displaystyle (7)(3) = 21

 

Como el producto de los medios es no igual al producto de los extremos

 

\displaystyle (14)(6) \neq (7)(3)

 

las fracciones no equivalentes.

 

Notemos que si se multiplica o divide el numerador y denominador de una fracción por un número entero, distinto de cero, se obtiene otra fracción equivalente a la dada. Por ejemplo

 

\displaystyle \frac{2}{3}, \qquad \frac{(2)(5)}{(3)(5)} = \frac{10}{15}

 

esta última es una fracción equivalente. A este caso se le llama ampliar, esto debido a que multiplicamos.

 

Otro ejemplo sería

 

\displaystyle \frac{10}{4}, \qquad \frac{10:2}{4:2} = \frac{5}{2}

 

esta última es una fracción equivalente. A este caso se le llama simplificar, esto debido a que dividimos.

 

Fracciones Irreducibles

 

Las fracciones irreducibles son aquellas que no se pueden simplificar, esto sucede cuando el numerador y el denominador no tiene factor común alguno. Por ejemplo, las siguientes fracciones son irreducibles

 

\displaystyle \frac{2}{7}, \qquad \frac{8}{9}, \qquad \frac{13}{50}

 

Sin embargo, las siguiente fracción, \displaystyle \frac{4}{18}, no es irreducible

 

\displaystyle \frac{4}{18} = \frac{4:2}{18:2} = \frac{2}{9}

 

Reducción de fracciones a común denominador

 

Reducir varias fracciones a común denominador consiste en convertirlas en otras equivalentes que tengan el mismo denominador. Para ello:

 

1 Se determina el denominador común, que será el mínimo común múltiplo de los denominadores.

 

2 Este denominador, común, se divide por cada uno de los denominadores, multiplicándose el cociente obtenido por el numerador correspondiente.

 

Por ejemplo, consideremos las fracciones \displaystyle \frac{3}{5} y \displaystyle \frac{8}{6}, su común denominador es

 

\displaystyle \text{MCM}(5, 6) = 30

 

Por lo tanto, podemos expresar ambas fracciones como

 

\displaystyle \frac{3}{5} = \frac{(3)(6)}{(5)(6)} = \frac{18}{30}

 

y

 

\displaystyle \frac{8}{6} = \frac{(8)(5)}{(6)(5)} = \frac{40}{30}

 

Comparación de fracciones

 

Podemos comparar dos fracciones según sus denominador y numerador. En general tenemos estos tres casos:

 

Fracciones con igual denominador

 

De dos fracciones que tienen el mismo denominador es menor el que tiene menor numerador.

 

Por ejemplo, consideremos las fracciones

 

\displaystyle \frac{7}{9}, \qquad \frac{5}{9}

 

ambas tienen el mismo denominador, sin embargo, como 7 > 5, se tiene que

 

\displaystyle \frac{7}{9} > \frac{5}{9}

 

Fracciones con igual numerador

 

De dos fracciones que tienen el mismo numerador es menor el que tiene mayor denominador.

 

Por ejemplo, consideremos las fracciones

 

\displaystyle \frac{3}{9}, \qquad \frac{3}{7}

 

ambas tienen el mismo numerador, sin embargo, como 9 > 7, se tiene que

 

\displaystyle \frac{3}{7} > \frac{3}{9}

 

Con numeradores y denominadores distintos

 

Notemos que este caso no es complicado. En primer lugar las tenemos que poner a común denominador. Una vez hecho esto comparamos directamente los numeradores ya que ahora tendrían mismo común denominador.

 

Por ejemplo, consideremos las fracciones

 

\displaystyle \frac{5}{4}, \qquad \frac{7}{3}

 

Tenemos que el mismo común denominador es MCM(4, 3) = 12. Por lo tanto

 

\displaystyle \frac{5}{4} = \frac{15}{12}, \qquad \frac{7}{3} = \frac{28}{12}

 

Ahora, notemos que 28 > 15, de donde se sigue que

 

\displaystyle \frac{28}{12} > \frac{15}{12}

 

o bien

 

\displaystyle \frac{7}{3} > \frac{5}{4}

 

Números racionales

 

Se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero. Al conjunto de todos los números racionales lo denotamos como \mathbb{Q}.

 

\displaystyle \mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} \; \Big| \; a, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\right\}

 

Operaciones de números raciones

 

Suma y resta de números raciones

 

Cuando se tiene el mismo denominador símplemente se suman (o restan) los numeradores y se mantiene el denominador, por ejemplo, veamos la siguiente suma

 

\displaystyle \frac{2}{7} + \frac{4}{7} = \frac{2 + 4}{7}= \frac{6}{7}

 

o bien, la siguiente resta

 

\displaystyle \frac{6}{5} - \frac{3}{5} = \frac{6 -3}{5}= \frac{3}{5}

 

Cuando se tienen distintos denominadores éstos se reducen a común denominador, y se suman (o restan) los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas. Por ejemplo, consideremos la siguiente suma

 

\displaystyle \frac{2}{7} + \frac{3}{2}

 

mínimo común denominador es MCM(7,2) = 24, por lo tanto

 

\displaystyle \frac{2}{7} + \frac{3}{2} = \frac{4}{14} + \frac{21}{14} = \frac{25}{14}

 

O bien, consideremos la siguiente resta

 

\displaystyle \frac{4}{2} - \frac{1}{3}

 

mínimo común denominador es MCM(2,3) = 6, por lo tanto

 

\displaystyle \frac{4}{2} - \frac{1}{3} = \frac{12}{6} - \frac{2}{6} = \frac{10}{6}

 

La operación de suma de los numéros racionales tiene las siguientes propiedades:

 

1 Cerrada. Se dice que una operación es cerrada cuando al operar dos elementos de un conjunto, sus resultados también pertenece a dicho conjunto. En pocas palabaras, si

 

\displaystyle \frac{a}{b}, \; \frac{c}{d} \in \mathbb{Q}

 

entonces se tiene que

 

\displaystyle \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{e}{f} \in \mathbb{Q}

 

2 Asociatividad. La asociatividad nos dice que siempre se cumple que

 

\displaystyle \left(\frac{a}{b} + \frac{c}{d} \right) + \frac{e}{f} = \frac{a}{b} + \left(\frac{c}{d} + \frac{e}{f}\right)

 

3 Conmutatividad. Esta propiedad nos dice que

 

\displaystyle \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{c}{d} + \frac{a}{b}

 

4 Elemento neutro. Tenemos que 0 es el elemento neutro, esto quiere decir que

 

\displaystyle \frac{a}{b} + 0 = \frac{a}{b}

 

5 Inverso. El inverso nos quiere decir que si

 

\displaystyle \frac{a}{b} \in \mathbb{Q}

 

entonces también existe

 

\displaystyle -\frac{a}{b} \in \mathbb{Q}

 

y se cumple que

 

\displaystyle \frac{a}{b} + \left(-\frac{a}{b} \right) = \frac{a}{b} -\frac{a}{b} = 0

 

Producto de números raciones

 

El producto de dos números racionales es otro número racional el cual tiene por numerador el producto de los numeradores y por denominador el producto de los denominadores. Esto es

 

\displaystyle \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{(a)(c)}{(b)(d)}

 

La operación de producto de los numéros racionales tiene las siguientes propiedades:

 

1 Cerrada. Se dice que una operación es cerrada cuando al operar dos elementos de un conjunto, sus resultados también pertenece a dicho conjunto. En pocas palabaras, si

 

\displaystyle \frac{a}{b}, \; \frac{c}{d} \in \mathbb{Q}

 

entonces se tiene que

 

\displaystyle \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{(a)(c)}{(b)(d)} \in \mathbb{Q}

 

2 Asociatividad. La asociatividad nos dice que siempre se cumple que

 

\displaystyle \left(\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} \right) \cdot \frac{e}{f} = \frac{a}{b} \cdot \left(\frac{c}{d} \cdot \frac{e}{f}\right)

 

3 Conmutatividad. Esta propiedad nos dice que

 

\displaystyle \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{c}{d} \cdot \frac{a}{b}

 

4 Elemento neutro. Tenemos que 1 es el elemento neutro, esto quiere decir que

 

\displaystyle \frac{a}{b} \cdot 1 = \frac{a}{b}

 

5 Inverso. El inverso nos quiere decir que si

 

\displaystyle \frac{a}{b} \in \mathbb{Q},\; a, b \neq 0

 

entonces también existe

 

\displaystyle \frac{b}{a} \in \mathbb{Q}

 

y se cumple que

 

\displaystyle \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = 1

 

6 Distributividad con la suma. Esto nos dice que

 

\displaystyle \left(\frac{a}{b} + \frac{c}{d} \right) \cdot \frac{e}{f} = \frac{e}{f} \cdot \left(\frac{a}{b} + \frac{c}{d} \right) = \frac{e}{f} \cdot \frac{a}{b} + \frac{e}{f} \cdot \frac{c}{d}

 

Cociente de números racionales

 

El cociente de números racionales es otro número racional que tiene por numerador el producto de los extremos y por denominador el producto de los medios. Por ejemplo

 

\displaystyle \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{(a)(d)}{(b)(c)}

 

Potencias de números racionales

 

Se tiene que un número racional elevado a la n-ésima potencia es igual elevar el númerador y el denominador a la n-ésimia protencia. En pocas palabras

 

\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{n} = \frac{a^n}{b^n}

 

Las potencias de números racionales cumplen las siguientres propieades

 

1 \displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{0} = 1

 

2 \displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{1} = \frac{a}{b}

 

3 \displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{n} \cdot \left(\frac{a}{b}\right)^{m} = \left(\frac{a}{b}\right)^{n+ m}

 

4 \displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{n} \div \left(\frac{a}{b}\right)^{m} = \left(\frac{a}{b}\right)^{n - m}

 

5 \displaystyle \left[ \left(\frac{a}{b}\right)^{n}\right]^{m} = \left(\frac{a}{b}\right)^{nm}

 

6 \displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{n} \cdot \left(\frac{c}{d}\right)^{n} = \left(\frac{(a)(c)}{(b)(d)}\right)^{n}

 

7 \displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{n} \div \left(\frac{c}{d}\right)^{n} = \left(\frac{(a)(d)}{(b)(c)}\right)^{n}

 

Jerarquia de operaciones

 

Los números racionales, al ser un subconjunto de los números reales, también cumple con la jerarquia de operaciones, esto es, las operaciones se realizan en el siguiente orden

 

1 Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.

 

2 Calcular las potencias y raíces.

 

3 Efectuar los productos y cocientes.

 

4 Realizar las sumas y restas.

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗