Antes de empezar, ¿Qué te parece un repaso personalizado a través de unas
clases particulares de matematicas?

Repaso de la ley de exponentes

 

1 \displaystyle x^n \cdot x^m = x^{n+m}

 

2 \displaystyle \cfrac{x^n}{x^m} = x^{n-m}

 

3 \displaystyle x^{-n} = \cfrac{1}{x^n}

 

4 \displaystyle x^0 = 1

 

5 \displaystyle (x^n)^m = x^{n \cdot m}

 

1 \displaystyle \sqrt[m]{x^n}= x^{\frac{n}{m}}

 

 

Ejercicios propuestos

1Simplifica empleando las leyes de los exponentes

 

1  3^3 \cdot 3^4 \cdot 3

 

2 5^7 : 5^3

 

3 \left ( 5^3 \right )^4

 

4 \left ( 5 \cdot 2 \cdot 3 \right )^4

 

5 \left ( 3^4 \right )^4

 

6 \left [ \left ( 5^3 \right )^4 \right ]^2

 

7 \left ( 8^2 )^3

 

8 \left ( 9^3 )^2

 

9 2^5 \cdot 2^4 \cdot 2

 

10 2^7 : 2^6

 

11 \left ( 2^2 \right )^4

 

12 \left ( 4 \cdot 2 \cdot 3 \right )^4

 

13 \left ( 2^5 \right )^4

 

14 \left [ \left ( 2^3 \right )^4 \right ]^0

 

15 \left ( 27^2 \right )^5

 

16 \left ( 4^3 \right )^2

1  3^3 \cdot 3^4 \cdot 3

Para multiplicar potencias con la misma base dejamos la misma base y sumamos los exponentes

 

 3^3 \cdot 3^4 \cdot 3 = 3^{(3 + 4 + 1)} = 3^8

2 5^7 : 5^3

 

Para dividir potencias con la misma base dejamos la misma base y restamos los exponentes

 

 5^7 : 5^3 = 5^{(7 - 3)} = 5^4

3 \left ( 5^3 \right )^4

 

Para hallar la potencia de una potencia multiplicamos los exponentes

 

 \left ( 5^3 \right )^4 = 5^{(3 \cdot 4)} = 5^{12}

4 \left ( 5 \cdot 2 \cdot 3 \right )^4

 

Para hallar la potencia de un producto, elevamos cada alemento a la potencia dada

 

 \left ( 5 \cdot 2 \cdot 3 \right )^4 = 5^4 \cdot 2^4 \cdot 3^4

 

5 \left ( 3^4 \right )^4

 

Para hallar la potencia de una potencia multiplicamos los exponentes

 

 \left ( 3^4 \right )^4 = 3^{(4 \cdot 4)} = 3^{16}

 

6 \left [ \left ( 5^3 \right )^4 \right ]^2

 

Para hallar la potencia de una potencia multiplicamos los exponentes

 

 \left [ \left ( 5^3 \right )^4 \right ]^2 = 5^{(3 \cdot 4 \cdot 2)} = 5^{24}

 

7 \left ( 8^2 )^3

 

Primero expresamos la base como producto de números primo y luego hallamos la potencia de una potencia multiplicando los exponentes

 

 \left ( 8^2 \right )^3 = \left [ \left ( 2^3 \right )^2 \right ]^3 = 2^{(3 \cdot 2 \cdot 3)} = 2^{18}

 

8 \left ( 9^3 )^2

 

Primero expresamos la base como producto de números primo y luego hallamos la potencia de una potencia multiplicando los exponentes

 

 \left ( 9^3 \right )^2 = \left [ \left ( 3^2 \right )^3 \right ]^2 = 3^{(2 \cdot 3 \cdot 2)} = 3^{12}

 

9 2^5 \cdot 2^4 \cdot 2

 

Para multiplicar potencias con la misma base dejamos la misma base y sumamos los exponentes

 

 2^5 \cdot 2^4 \cdot 2 = 2^{(5 + 4 + 1)} = 2^{10}

 

10 2^7 : 2^6

 

Para dividir potencias con la misma base dejamos la misma base y restamos los exponentes

 

 2^7 : 2^6 = 2^{(7 - 6)} = 2^{1} = 2

 

11 \left ( 2^2 \right )^4

 

Hallamos la potencia de una potencia multiplicando los exponentes

 

 \left ( 2^2 \right )^4 = 2^{(2 \cdot 4)} = 2^{8}

 

12 \left ( 4 \cdot 2 \cdot 3 \right )^4

 

Para hallar la potencia de un producto, elevamos cada elemento a la potencia dada

 

 \left ( 4 \cdot 2 \cdot 3 \right )^4 = \left ( 2^2 \cdot 2 \cdot 3 \right )^4 = \left ( 2^3 \cdot 3 \right )^4 = \left ( 2^3 \right )^4 \cdot 3^4 = 2^{12} \cdot 3^4

 

13 \left ( 2^5 \right )^4

 

Para hallar la potencia de una potencia multiplicamos los exponentes

 

 \left ( 2^5 \right )^4 = 2^{(5 \cdot 4)} = 2^{20}

 

14 \left [ \left ( 2^3 \right )^4 \right ]^0

 

Primero hallamos la potencia de una potencia multiplicando los exponentes y aplicamos que todo número distinto de cero elevado a la potencia cero es igual a uno

 

 \left [ \left ( 2^3 \right )^4 \right ]^0 = 2^{(3 \cdot 4 \cdot 0)} = 2^{0} = 1

 

15 \left ( 27^2 \right )^5

 

Primero expresamos la base como producto de números primos y luego hallamos la potencia de una potencia multiplicando los exponentes

 

 \left ( 27^2 \right )^5 = \left [ \left ( 3^3 \right )^2 \right ]^5 = 3^{(3 \cdot 2 \cdot 5)} = 3^{30}

 

16 \left ( 4^3 \right )^2

 

 

Primero expresamos la base como producto de números primos y luego hallamos la potencia de una potencia multiplicando los exponentes

 

 \left ( 4^3 \right )^2 = \left [ \left ( 2^2 \right )^3 \right ]^2 = 2^{(2 \cdot 3 \cdot 2)} = 2^{12}

2Realizar las siguientes operaciones con potencias: 

1 (-2)^2 \cdot (-2)^3 \cdot (-2)^4

 

2 (-8) \cdot (-2)^2 \cdot (-2)^0 \cdot (-2)

 

3 (-2)^{-2} \cdot (-2)^3 \cdot (-2)^4

 

4 2^{-2} \cdot 2^{-3} \cdot 2^4

 

5 2^{2} : 2^3

 

6 2^{-2} : 2^3

 

7 2^{2} : 2^{-3}

 

8 2^{-2} : 2^{-3}

 

9 \left [(-2)^{-2} \right ]^3 \cdot (-2)^3 \cdot (-2)^4

 

10 \left [(-2)^{6} : (-2)^3 \right ]^3 \cdot (-2) \cdot (-2)^{-4}

1 (-2)^2 \cdot (-2)^3 \cdot (-2)^4

Para multiplicar potencias con la misma base dejamos la misma base y sumamos los exponentes

 

 (-2)^2 \cdot (-2)^3 \cdot (-2)^4 = (-2)^{(2 + 3 + 4)} = (-2)^{9} = -512

 

El resultado tendrá signo negativo porque la base es negativa y el exponente es impar

 

2 (-8) \cdot (-2)^2 \cdot (-2)^0 \cdot (-2)

 

Primero hemos descompuesto 8 en factores y luego multiplicamos potencias con la misma base

 

 (-8) \cdot (-2)^2 \cdot (-2)^0 \cdot (-2) = (-2)^3 \cdot (-2)^2 \cdot (-2)^0 \cdot (-2) = (-2)^6 = 64

 

El resultado tendrá signo positivo porque la base es negativa y el exponente es par

 

3 (-2)^{-2} \cdot (-2)^3 \cdot (-2)^4

 

Para multiplicar potencias con la misma base dejamos la misma base y sumamos los exponentes

 

 (-2)^{-2} \cdot (-2)^3 \cdot (-2)^4 = (-2)^{(-2 + 3 + 4)} = (-2)^{5} = -32

 

El resultado tendrá signo negativo porque la base es negativa y el exponente es impar

 

4 2^{-2} \cdot 2^{-3} \cdot 2^4

 

Para multiplicar potencias con la misma base dejamos la misma base y sumamos los exponentes

 

 2^{-2} \cdot 2^{-3} \cdot 2^4 = 2^{(-2 + (-3) + 4)} = 2^{-1}

 

Al ser negativo el exponente, tenemos que tomar el inverso de la base

 

 2^{-1} = \cfrac{1}{2}

 

5 2^{2} : 2^3

 

Para dividir potencias con la misma base dejamos la misma base y restamos los exponentes

 

 2^{2} : 2^3 = 2^{(2 - 3)} = 2^{-1}

 

Al ser negativo el exponente, tenemos que tomar el inverso de la base

 

 2^{-1} = \cfrac{1}{2}

 

6 2^{-2} : 2^3

 

Para dividir potencias con la misma base dejamos la misma base y restamos los exponentes

 

 2^{-2} : 2^3 = 2^{(-2 - 3)} = 2^{-5}

 

Al ser negativo el exponente, tenemos que tomar el inverso de la base con exponente positivo y desarrollamos

 

 2^{-5} = \left (\cfrac{1}{2} \right )^5 = \cfrac{1^5}{2^5} = \cfrac{1}{32}

 

7 2^{2} : 2^{-3}

 

Para dividir potencias con la misma base dejamos la misma base y restamos los exponentes

 

 2^{2} : 2^{-3} = 2^{(2 - (-3))} = 2^{5} = 32

 

8 2^{-2} : 2^{-3}

 

Para dividir potencias con la misma base dejamos la misma base y restamos los exponentes

 

 2^{-2} : 2^{-3} = 2^{(-2 - (-3))} = 2^{1} = 2

 

9 \left [(-2)^{-2} \right ]^3 \cdot (-2)^3 \cdot (-2)^4

 

Para elevar una potencia a una potencia dejamos la misma base y multiplicamos los exponentes

 

 \left [(-2)^{-2} \right ]^3 \cdot (-2)^3 \cdot (-2)^4 = (-2)^{-6} \cdot (-2)^3 \cdot (-2)^4

 

Para dividir potencias con la misma base dejamos la misma base y restamos los exponentes

 

 (-2)^{-6} \cdot (-2)^3 \cdot (-2)^4 = (-2)^{(-6 + 3 + 4)} = (-2)^{1} = -2

 

10 \left [(-2)^{6} : (-2)^3 \right ]^3 \cdot (-2) \cdot (-2)^{-4}

 

Resolvemos los corchetes por lo que para dividir potencias con la misma base dejamos la misma base y restamos los exponentes

 

 \left [(-2)^{6} : (-2)^3 \right ]^3 \cdot (-2) \cdot (-2)^{-4} = \left [(-2)^{3} \right ]^3 \cdot (-2) \cdot (-2)^{-4}

 

Para elevar una potencia a una potencia dejamos la misma base y multiplicamos los exponentes

 

 \left [(-2)^{3} \right ]^3 \cdot (-2) \cdot (-2)^{-4} = (-2)^{9} \cdot (-2) \cdot (-2)^{-4} = (-2)^{6} = 64

 

El resultado tendrá signo positivo porque la base es negativa y el exponente es par

3Realizar las siguientes operaciones con potencias: 

1 (-3)^{1} \cdot (-3)^{3} \cdot (-3)^4

 

2 (-27) \cdot (-3) \cdot (-3)^2 \cdot (-3)^0

 

3 \displaystyle (-3)^2 \cdot (-3)^3 \cdot (-3)^{-4}

 

4 3^{-2} \cdot 3^{-4} \cdot 3^4

 

5 5^{2} : 5^3

 

6 5^{-2} : 5^3

 

7 5^{2} : 5^{-3}

 

8 5^{-2} : 5^{-3}

 

9(-3)^{1} \cdot \left [(-3)^{3} \right ]^2 \cdot (-3)^{-4}

 

10 \left [(-3)^{6} : (-3)^3 \right ]^3 \cdot (-3)^0 \cdot (-3)^{-4}

1 (-3)^{1} \cdot (-3)^{3} \cdot (-3)^4

Para multiplicar potencias con la misma base dejamos la misma base y sumamos los exponentes

 

 (-3)^{1} \cdot (-3)^{3} \cdot (-3)^4 = (-3)^{(1 + 3 + 4)} = (-3)^{8} = 6,561

 

El resultado tendrá signo positivo porque la base es negativa y el exponente es par

 

2 (-27) \cdot (-3) \cdot (-3)^2 \cdot (-3)^0

 

Primero hemos descompuesto 27 en factores y luego multiplicamos potencias con la misma base

 

 (-27) \cdot (-3) \cdot (-3)^2 \cdot (-3)^0 = (-3)^3 \cdot (-3) \cdot (-3)^2 \cdot (-3)^0 = (-3)^6 = 729

 

El resultado tendrá signo positivo porque la base es negativa y el exponente es par

 

3 \displaystyle (-3)^2 \cdot (-3)^3 \cdot (-3)^{-4}

 

Para multiplicar potencias con la misma base dejamos la misma base y sumamos los exponentes

 

 (-3)^2 \cdot (-3)^3 \cdot (-3)^{-4} = (-3)^{(2 + 3 + (-4))} = (-3)^{1} = -3

 

El resultado tendrá signo negativo porque la base es negativa y el exponente es impar

 

4 3^{-2} \cdot 3^{-4} \cdot 3^4

 

Para multiplicar potencias con la misma base dejamos la misma base y sumamos los exponentes

 

 3^{-2} \cdot 3^{-4} \cdot 3^4 = 3^{(-2 + (-4) + 4)} = 3^{-2}

 

Al ser negativo el exponente, tenemos que tomar el inverso de la base con exponente positivo y luego desarrollamos

 

 3^{-2} = \left( \cfrac{1}{3} \right )^2 = \cfrac{1}{9}

 

5 5^{2} : 5^3

 

Para dividir potencias con la misma base dejamos la misma base y restamos los exponentes

 

 5^{2} : 5^3 = 5^{(2 - 3)} = 5^{-1}

 

Al ser negativo el exponente, tenemos que tomar el inverso de la base

 

 5^{-1} = \cfrac{1}{5}

 

6 5^{-2} : 5^3

 

Para dividir potencias con la misma base dejamos la misma base y restamos los exponentes

 

 5^{-2} : 5^3 = 5^{(-2 - 3)} = 5^{-5}

 

Al ser negativo el exponente, tenemos que tomar el inverso de la base con exponente positivo y desarrollamos

 

 5^{-5} = \left (\cfrac{1}{5} \right )^5 = \cfrac{1^5}{5^5} = \cfrac{1}{3125}

 

7 5^{2} : 5^{-3}

 

Para dividir potencias con la misma base dejamos la misma base y restamos los exponentes

 

 5^{2} : 5^{-3} = 5^{(2 - (-3))} = 5^{5} = 3125

 

8 5^{-2} : 5^{-3}

 

Para dividir potencias con la misma base dejamos la misma base y restamos los exponentes

 

 5^{-2} : 5^{-3} = 5^{(-2 - (-3))} = 5^{1} = 5

 

9(-3)^{1} \cdot \left [(-3)^{3} \right ]^2 \cdot (-3)^{-4}

 

Para elevar una potencia a una potencia dejamos la misma base y multiplicamos los exponentes

 

 (-3)^{1} \cdot \left [(-3)^{3} \right ]^2 \cdot (-3)^{-4} = (-3)^{1} \cdot (-3)^{6} \cdot (-3)^{-4}

 

Para dividir potencias con la misma base dejamos la misma base y restamos los exponentes

 

 (-3)^{1} \cdot (-3)^{6} \cdot (-3)^{-4} = (-3)^{(1 + 6 - 4)} = (-3)^{3} = -27

 

El resultado tendrá signo negativo porque la base es negativa y el exponente es impar

 

10 \left [(-3)^{6} : (-3)^3 \right ]^3 \cdot (-3)^0 \cdot (-3)^{-4}

 

Resolvemos los corchetes por lo que para dividir potencias con la misma base dejamos la misma base y restamos los exponentes

 

 \left [(-3)^{6} : (-3)^3 \right ]^3 \cdot (-3)^0 \cdot (-3)^{-4} = \left [(-3)^{3} \right ]^3 \cdot (-3)^0 \cdot (-3)^{-4}

 

Para elevar una potencia a una potencia dejamos la misma base y multiplicamos los exponentes

 

 \left [(-3)^{3} \right ]^3 \cdot (-3)^0 \cdot (-3)^{-4} = (-3)^{9} \cdot (-3)^0 \cdot (-3)^{-4} = (-3)^{5} = -243

 

El resultado tendrá signo negativo porque la base es negativa y el exponente es impar

4Realizar las siguientes operaciones con potencias: 

1{\displaystyle \left(\frac{2}{3} \right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3} \right)^3}

 

2{\displaystyle \left(\frac{2}{3} \right)^{-2} \cdot \left(\frac{2}{3} \right)^3}

 

3{\displaystyle \left(\frac{2}{3} \right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3} \right)^{-3}}

 

4{\displaystyle \left(\frac{2}{3} \right)^{-2} \cdot \left(\frac{2}{3} \right)^{-3}}

 

5{\displaystyle \left(\frac{2}{3} \right)^{-2} \cdot \left(\frac{3}{2} \right)^{-3}}

 

6{\displaystyle \left(\frac{2}{3} \right)^2 : \left(\frac{2}{3} \right)^{3}}

 

7{\displaystyle \left(\frac{2}{3} \right)^{-2} : \left(\frac{2}{3} \right)^{3}}

 

8{\displaystyle \left(\frac{2}{3} \right)^2 : \left(\frac{2}{3} \right)^{-3}}

 

9{\displaystyle \left(\frac{2}{3} \right)^{-2} : \left(\frac{2}{3} \right)^{-3}}

 

10{\displaystyle \left(\frac{3}{2} \right)^{-2} : \left(\frac{2}{3} \right)^{-3}}

 

11{\displaystyle \left[\left(\frac{2}{3} \right)^{2}\right]^3}

 

12{\displaystyle \left\{\left[\left(\frac{2}{3} \right)^{2}\right]^3\right\}^{-4}}

 

13{\displaystyle \left(\frac{4}{9} \right)^{-2} : \left(\frac{27}{8} \right)^{-3}}

1{\displaystyle \left(\frac{2}{3} \right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3} \right)^3}

 

Como se trata de multiplicar potencias con la misma base, se conserva la base y sumamos los exponentes

 

{\displaystyle \left(\frac{2}{3} \right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3} \right)^3 = \left(\frac{2}{3} \right)^{2 + 3} = \left(\frac{2}{3} \right)^5}

 

2{\displaystyle \left(\frac{2}{3} \right)^{-2} \cdot \left(\frac{2}{3} \right)^3}

 

Como se trata de multiplicar potencias con la misma base, se conserva la base y sumamos los exponentes

 

{\displaystyle \left(\frac{2}{3} \right)^{-2} \cdot \left(\frac{2}{3} \right)^3 = \left(\frac{2}{3} \right)^{-2 + 3} = \left(\frac{2}{3} \right)^1}

 

Como la potencia resultante tiene exponente uno, entonces la potencia es igual a la base

 

{\displaystyle \left(\frac{2}{3} \right)^1 = \frac{2}{3}}

 

3{\displaystyle \left(\frac{2}{3} \right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3} \right)^{-3}}

 

Como se trata de multiplicar potencias con la misma base, se conserva la base y sumamos los exponentes

 

{\displaystyle \left(\frac{2}{3} \right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3} \right)^{-3} = \left(\frac{2}{3} \right)^{2 + (-3)} = \left(\frac{2}{3} \right)^{-1}}

 

Como la potencia resultante tiene exponente negativo, entonces la potencia es igual al inverso de la base con exponente positivo. Finalmente la potencia resultante tiene exponente uno, entonces la potencia es igual a la nueva base

 

{\displaystyle \left(\frac{2}{3} \right)^{-1} = \left(\frac{3}{2} \right)^{1} = \frac{3}{2}}

 

4{\displaystyle \left(\frac{2}{3} \right)^{-2} \cdot \left(\frac{2}{3} \right)^{-3}}

 

Como se trata de multiplicar potencias con la misma base, se conserva la base y sumamos los exponentes

 

{\displaystyle \left(\frac{2}{3} \right)^{-2} \cdot \left(\frac{2}{3} \right)^{-3} = \left(\frac{2}{3} \right)^{-2 + (-3)} = \left(\frac{2}{3} \right)^{-5} }

 

Como la potencia resultante tiene exponente negativo, entonces la potencia es igual al inverso de la base con exponente positivo.

 

{\left(\cfrac{2}{3} \right)^{-5} = \left(\cfrac{3}{2} \right)^{5}}

 

5{\displaystyle \left(\frac{2}{3} \right)^{-2} \cdot \left(\frac{3}{2} \right)^{-3}}

 

Cambiamos el segundo elemento a exponente positivo, para ello la base cambia por su inversa y resolvemos la multiplicación de potencias con la misma base

 

{\displaystyle \left(\frac{2}{3} \right)^{-2} \cdot \left(\frac{3}{2} \right)^{-3} = \left(\frac{2}{3} \right)^{-2} \cdot \left(\frac{2}{3} \right)^{3} = \left(\frac{2}{3} \right)^{-2 + 3} = \left(\frac{2}{3} \right)^{1}}

 

La potencia resultante tiene exponente uno, entonces la potencia es igual a la base

 

{\displaystyle \left(\frac{2}{3} \right)^{1} = \frac{2}{3}}

 

6{\displaystyle \left(\frac{2}{3} \right)^2 : \left(\frac{2}{3} \right)^{3}}

 

Como se trata de dividir potencias con la misma base, se conserva la base y restamos los exponentes

 

{\displaystyle \left(\frac{2}{3} \right)^{2} : \left(\frac{2}{3} \right)^{3} = \left(\frac{2}{3} \right)^{2 - 3} = \left(\frac{2}{3} \right)^{-1} }

 

Como la potencia resultante tiene exponente negativo, entonces la potencia es igual al inverso de la base con exponente positivo. Finalmente como la potencia resultante tiene exponente uno, entonces la potencia es igual a la nueva base

 

{\displaystyle \left(\frac{2}{3} \right)^{-1} = \left(\frac{3}{2} \right)^{1} = \frac{3}{2}}

 

7{\displaystyle \left(\frac{2}{3} \right)^{-2} : \left(\frac{2}{3} \right)^{3}}

 

Como se trata de dividir potencias con la misma base, se conserva la base y restamos los exponentes

 

{\displaystyle \left(\frac{2}{3} \right)^{-2} : \left(\frac{2}{3} \right)^{3} = \left(\frac{2}{3} \right)^{-2 - 3} = \left(\frac{2}{3} \right)^{-5} }

 

Como la potencia resultante tiene exponente negativo, entonces la potencia es igual al inverso de la base con exponente positivo.

 

{\displaystyle \left(\frac{2}{3} \right)^{-5} = \left(\frac{3}{2} \right)^{5}}

 

8{\displaystyle \left(\frac{2}{3} \right)^2 : \left(\frac{2}{3} \right)^{-3}}

 

Como se trata de dividir potencias con la misma base, se conserva la base y restamos los exponentes

 

{\displaystyle \left(\frac{2}{3} \right)^{2} : \left(\frac{2}{3} \right)^{-3} = \left(\frac{2}{3} \right)^{2 - (-3)} = \left(\frac{2}{3} \right)^{5} }

 

9{\displaystyle \left(\frac{2}{3} \right)^{-2} : \left(\frac{2}{3} \right)^{-3}}

 

Como se trata de dividir potencias con la misma base, se conserva la base y restamos los exponentes

 

{\displaystyle \left(\frac{2}{3} \right)^{-2} : \left(\frac{2}{3} \right)^{-3} = \left(\frac{2}{3} \right)^{-2 - (-3)} = \left(\frac{2}{3} \right)^{1} }

 

Como la potencia resultante tiene exponente uno, entonces la potencia es igual a la nueva base

 

{\displaystyle \left(\frac{2}{3} \right)^{1} = \frac{2}{3}}

 

10{\displaystyle \left(\frac{3}{2} \right)^{-2} : \left(\frac{2}{3} \right)^{-3}}

 

Cambiamos el primer elemento a exponente positivo, para ello la base cambia por su inversa y resolvemos la división de potencias con la misma base

 

{\displaystyle \left(\frac{3}{2} \right)^{-2} : \left(\frac{2}{3} \right)^{-3} = \left(\frac{2}{3} \right)^{2} : \left(\frac{2}{3} \right)^{-3} = \left(\frac{2}{3} \right)^{2 - (-3)} = \left(\frac{2}{3} \right)^{5}}

 

11{\displaystyle \left[\left(\frac{2}{3} \right)^{2}\right]^3}

 

Como se trata de potencia de una potencias, se conserva la base y multiplicamos los exponentes

 

{\displaystyle \left[\left(\frac{2}{3} \right)^{2}\right]^3 = \left(\frac{2}{3} \right)^{2 \cdot 3} = \left(\frac{2}{3} \right)^{6} }

 

12{\displaystyle \left\{\left[\left(\frac{2}{3} \right)^{2}\right]^3\right\}^{-4}}

 

Como se trata de potencia de una potencias, se conserva la base y multiplicamos los exponentes

 

{\displaystyle \left\{\left[\left(\frac{2}{3} \right)^{2}\right]^3\right\} = \left(\frac{2}{3} \right)^{2 \cdot 3 \cdot (-4)} = \left(\frac{2}{3} \right)^{-24}}

 

Como la potencia resultante tiene exponente negativo, entonces la potencia es igual al inverso de la base con exponente positivo.

 

{\displaystyle \left(\frac{2}{3} \right)^{-24} = \left(\frac{3}{2} \right)^{24}}

 

13{\displaystyle \left(\frac{4}{9} \right)^{-2} : \left(\frac{27}{8} \right)^{-3}}

 

Expresamos como potencias de números primos las bases de las potencias

 

{\displaystyle \left(\frac{4}{9} \right)^{-2} : \left(\frac{27}{8} \right)^{-3} = \left[\left(\frac{2}{3} \right)^2\right]^{-2} : \left[\left(\frac{3}{2} \right)^3\right]^{-3} = \left(\frac{2}{3} \right)^{-4} : \left(\frac{3}{2} \right)^{-9}}

 

Cambiamos el primer elemento a exponente positivo, para ello la base cambia por su inversa y resolvemos la división de potencias con la misma base

 

{\displaystyle \left(\frac{2}{3} \right)^{-4} : \left(\frac{3}{2} \right)^{-9} = \left(\frac{3}{2} \right)^{4} : \left(\frac{3}{2} \right)^{-9} = \left(\frac{3}{2} \right)^{4 - (-9)} = \left(\frac{3}{2} \right)^{13}}

5Simplifica la siguiente expresión:

 

{\displaystyle \frac{\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \left( \frac{2}{3} \right)^{0} \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} \left( \frac{81}{16} \right)^{-2} }{\displaystyle \left( \frac{3}{2} \right)^{-5} \left( \frac{2}{3} \right) \left[ \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \right]^2 \left( \frac{8}{27} \right)^{3}} }

1Ponemos todas las fracciones con el mismo numerador y denominador, para ello descomponemos en factores los números que no sean primos

 

{ \begin{array}{rcl}\displaystyle \frac{\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \left( \frac{2}{3} \right)^{0} \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} \left( \frac{81}{16} \right)^{-2} }{\displaystyle \left( \frac{3}{2} \right)^{-5} \left( \frac{2}{3} \right) \left[ \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \right]^2 \left( \frac{8}{27} \right)^{3}} & = & \displaystyle \frac{\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \left( \frac{2}{3} \right)^{0} \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} \left[ \left( \frac{3}{2} \right)^{4} \right]^{-2} }{\displaystyle \left( \frac{3}{2} \right)^{-5} \left( \frac{2}{3} \right) \left[ \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \right]^2 \left[ \left( \frac{2}{3} \right)^{3} \right]^3 } \end{array} }

 

2Se tienen elementos que son potencias de potencias, entonces se conserva la base y se multiplican los exponentes

 

{ \begin{array}{rcl}\displaystyle \frac{\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \left( \frac{2}{3} \right)^{0} \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} \left( \frac{81}{16} \right)^{-2} }{\displaystyle \left( \frac{3}{2} \right)^{-5} \left( \frac{2}{3} \right) \left[ \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \right]^2 \left( \frac{8}{27} \right)^{3}} & = & \displaystyle \frac{\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \left( \frac{2}{3} \right)^{0} \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} \left[ \left( \frac{3}{2} \right)^{4} \right]^{-2} }{\displaystyle \left( \frac{3}{2} \right)^{-5} \left( \frac{2}{3} \right) \left[ \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \right]^2 \left[ \left( \frac{2}{3} \right)^{3} \right]^3 } \\\\ & = & \displaystyle \frac{\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \left( \frac{2}{3} \right)^{0} \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} \left( \frac{3}{2} \right)^{-8} }{\displaystyle \left( \frac{3}{2} \right)^{-5} \left( \frac{2}{3} \right) \left( \frac{2}{3} \right)^{10} \left( \frac{2}{3} \right)^{9} } \end{array} }

 

3Para las potencias con base {\displaystyle \frac{3}{2}} y exponentes negativos, ponemos la fracción inversa con exponente positivo

 

{ \begin{array}{rcl}\displaystyle \frac{\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \left( \frac{2}{3} \right)^{0} \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} \left( \frac{81}{16} \right)^{-2} }{\displaystyle \left( \frac{3}{2} \right)^{-5} \left( \frac{2}{3} \right) \left[ \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \right]^2 \left( \frac{8}{27} \right)^{3}} & = & \displaystyle \frac{\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \left( \frac{2}{3} \right)^{0} \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} \left[ \left( \frac{3}{2} \right)^{4} \right]^{-2} }{\displaystyle \left( \frac{3}{2} \right)^{-5} \left( \frac{2}{3} \right) \left[ \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \right]^2 \left[ \left( \frac{2}{3} \right)^{3} \right]^3 } \\\\ & = & \displaystyle \frac{\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \left( \frac{2}{3} \right)^{0} \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} \left( \frac{3}{2} \right)^{-8} }{\displaystyle \left( \frac{3}{2} \right)^{-5} \left( \frac{2}{3} \right) \left( \frac{2}{3} \right)^{10} \left( \frac{2}{3} \right)^{9} } \\\\ & = & \displaystyle \frac{\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \left( \frac{2}{3} \right)^{0} \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} \left( \frac{2}{3} \right)^{8} }{\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \left( \frac{2}{3} \right) \left( \frac{2}{3} \right)^{10} \left( \frac{2}{3} \right)^{9} } \end{array} }

 

4Tanto en el numerador como en el denominador multiplicamos las potencias con la misma base y dividimos los resultados. Finalmente, ponemos la fracción inversa con exponente positivo

 

{ \begin{array}{rcl}\displaystyle \frac{\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \left( \frac{2}{3} \right)^{0} \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} \left( \frac{81}{16} \right)^{-2} }{\displaystyle \left( \frac{3}{2} \right)^{-5} \left( \frac{2}{3} \right) \left[ \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \right]^2 \left( \frac{8}{27} \right)^{3}} & = & \displaystyle \frac{\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \left( \frac{2}{3} \right)^{0} \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} \left[ \left( \frac{3}{2} \right)^{4} \right]^{-2} }{\displaystyle \left( \frac{3}{2} \right)^{-5} \left( \frac{2}{3} \right) \left[ \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \right]^2 \left[ \left( \frac{2}{3} \right)^{3} \right]^3 } \\\\ & = & \displaystyle \frac{\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \left( \frac{2}{3} \right)^{0} \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} \left( \frac{3}{2} \right)^{-8} }{\displaystyle \left( \frac{3}{2} \right)^{-5} \left( \frac{2}{3} \right) \left( \frac{2}{3} \right)^{10} \left( \frac{2}{3} \right)^{9} } \\\\ & = & \displaystyle \frac{\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \left( \frac{2}{3} \right)^{0} \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} \left( \frac{2}{3} \right)^{8} }{\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \left( \frac{2}{3} \right) \left( \frac{2}{3} \right)^{10} \left( \frac{2}{3} \right)^{9} } \\\\ & = & \displaystyle \frac{\displaystyle \left( \frac{2}{3}\right)^{10} }{\displaystyle \left( \frac{2}{3}\right)^{25}} \\\\ & = & \displaystyle \left( \frac{2}{3}\right)^{-15} \\\\ & = & \displaystyle \left( \frac{3}{2}\right)^{15} \end{array} }

6Simplifica la siguiente expresión:

 

{\displaystyle \frac{\displaystyle \left( 2 - \frac{1}{5} \right)^2}{\displaystyle \left( 3 - \frac{2}{9} \right)^{-1}} : \frac{\left( \displaystyle \frac{6}{7} \cdot \frac{5}{4} - \frac{2}{7} : \frac{1}{2} \right)^3}{\left( \displaystyle \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} : \frac{1}{5} \right)} - 5\frac{1}{7} }}

1Realizamos primeramente las multiplicaciones y divisiones dentro de los paréntesis

 

\begin{array}{rcl}\displaystyle \frac{\displaystyle \left( 2 - \frac{1}{5} \right)^2}{\displaystyle \left( 3 - \frac{2}{9} \right)^{-1}} : \frac{\left( \displaystyle \frac{6}{7} \cdot \frac{5}{4} - \frac{2}{7} : \frac{1}{2} \right)^3}{\left( \displaystyle \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} : \frac{1}{5} \right)} - 5\frac{1}{7} & = & \displaystyle \frac{\displaystyle \left( 2 - \frac{1}{5} \right)^2}{\displaystyle \left( 3 - \frac{2}{9} \right)^{-1}} : \frac{\left( \displaystyle \frac{30}{28} - \frac{4}{7} \right)^3}{\left( \displaystyle \frac{1}{2} - \frac{1}{12} : \frac{1}{5} \right)} - 5\frac{1}{7} \\\\ & = & \displaystyle \frac{\displaystyle \left( 2 - \frac{1}{5} \right)^2}{\displaystyle \left( 3 - \frac{2}{9} \right)^{-1}} : \frac{\left( \displaystyle \frac{30}{28} - \frac{4}{7} \right)^3}{\left( \displaystyle \frac{1}{2} - \frac{5}{12} \right)} - 5\frac{1}{7} \end{array}}

 

2Simplificamos aquellas fracciones donde sea posible realizarlo, reescribimos las fracciones mixtas y después calculamos la suma en los paréntesis

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{\displaystyle \left( 2 - \frac{1}{5} \right)^2}{\displaystyle \left( 3 - \frac{2}{9} \right)^{-1}} : \frac{\left( \displaystyle \frac{30}{28} - \frac{4}{7} \right)^3}{\left( \displaystyle \frac{1}{2} - \frac{5}{12} \right)} - 5\frac{1}{7} & = & \displaystyle \frac{\displaystyle \left( 2 - \frac{1}{5} \right)^2}{\displaystyle \left( 3 - \frac{2}{9} \right)^{-1}} : \frac{\left( \displaystyle \frac{15}{14} - \frac{4}{7} \right)^3}{\left( \displaystyle \frac{1}{2} - \frac{5}{12} \right)} - \frac{36}{7} \\\\ & = & \displaystyle \frac{\displaystyle \left( \frac{10 - 1}{5} \right)^2}{\displaystyle \left( \frac{27 - 2}{9} \right)^{-1}} : \frac{\left( \displaystyle \frac{15 - 8}{14} \right)^3}{\left( \displaystyle \frac{6 - 5}{12} \right)} - \frac{36}{7} \\\\ & = & \displaystyle \frac{\displaystyle \left( \frac{9}{5} \right)^2}{\displaystyle \left( \frac{25}{9} \right)^{-1}} : \frac{\left( \displaystyle \frac{7}{14} \right)^3}{\left( \displaystyle \frac{1}{12} \right)} - \frac{36}{7} \\\\ & = & \displaystyle \frac{\displaystyle \left( \frac{9}{5} \right)^2}{\displaystyle \left( \frac{25}{9} \right)^{-1}} : \frac{\left( \displaystyle \frac{1}{2} \right)^3}{\left( \displaystyle \frac{1}{12} \right)} - \frac{36}{7} \end{array}}

 

3Reescribimos la última expresión y aplicamos las propiedades de las potencias de números racionales

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{\displaystyle \left( \frac{9}{5} \right)^2}{\displaystyle \left( \frac{25}{9} \right)^{-1}} : \frac{\left( \displaystyle \frac{1}{2} \right)^3}{\left( \displaystyle \frac{1}{12} \right)} - \frac{36}{7} & = & \displaystyle \left[ \left( \frac{9}{5} \right)^2 : \displaystyle \left( \frac{25}{9} \right)^{-1}\right] : \left[ \left( \displaystyle \frac{1}{2} \right)^3 : \left( \displaystyle \frac{1}{12} \right) \right] - \frac{36}{7} \\\\ & = & \displaystyle \left[ \left( \frac{81}{25} \right) : \displaystyle \left( \frac{9}{25} \right)\right] : \left[ \left( \displaystyle \frac{1}{8} \right) : \left( \displaystyle \frac{1}{12} \right) \right] - \frac{36}{7} \end{array}}

 

4Realizamos las divisiones y simplificamos. Finalmente realizamos la rsta de las fracciones resultantes

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \left[ \left( \frac{81}{25} \right) : \displaystyle \left( \frac{9}{25} \right)\right] : \left[ \left( \displaystyle \frac{1}{8} \right) : \left( \displaystyle \frac{1}{12} \right) \right] - \frac{36}{7} & = & \displaystyle \left( \frac{81 \cdot 25}{25 \cdot 9} \right) : \left( \displaystyle \frac{1 \cdot 12}{8 \cdot 1} \right) - \frac{36}{7} \\\\ & = & \displaystyle \left( 9 : \displaystyle \frac{3}{2} \right) - \frac{36}{7} \\\\ & = & \displaystyle \frac{18}{3} -\frac{36}{7} \\\\ & = & 6 - \displaystyle \frac{36}{7} \\\\ & = & \displaystyle \frac{42 - 36}{7} \\\\ & = & \displaystyle \frac{6}{7} \end{array}}

7Calcula los valores de las siguientes potencias:

 

1  \displaystyle 16^{\frac{3}{2}}

 

2  \displaystyle 8^{\frac{2}{3}}

 

3  \displaystyle 81^{0.75}

 

4  \displaystyle 8^{0.333 \dots }

1  \displaystyle 16^{\frac{3}{2}}

Una potencia con exponente fraccionario es igual a una raíz cuyo índice es el denominador de la fracción y el exponente del radicando es el numerador. Descomponemos  16 en factores, efectuamos las operaciones en el radicando y extraemos factores

 

 16^{\frac{3}{2}} = \sqrt{16^3} = \sqrt{\left ( 2^4 \right )^3} = \sqrt{2^{12}} = 2^6 = 64

 

2  \displaystyle 8^{\frac{2}{3}}

 

Descomponemos  8 en factores, efectuamos las operaciones en el radicando y extraemos factores

 

 8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{ \left ( 2^3 \right )^2} = \sqrt[3]{2^6} = 2^2 = 4

 

3  \displaystyle 81^{0.75}

 

En este caso pasamos el exponente que es un número decimal exacto a fracción, efectuamos las operaciones en el radicando y extraemos factores

 

 81^{0.75} = 81^{\frac{75}{100}}= 81^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{81^3} = \sqrt[4]{\left ( 3^4 \right )^3} = \sqrt[4]{3^{12}} = 3^3 = 27

 

4  \displaystyle 8^{0.333 \dots}

 

El exponente que es un periódico puro lo pasamos a fracción.

 

0.333 \dots = \cfrac{1}{3}

 

Sustituimos, efectuamos las operaciones en el radicando y extraemos factores

 

 8^{0.333 \dots} = 8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = \sqrt[3]{2^3} = 2

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗