Fracciones con el mismo denominador

Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador.

 

Ejemplos:

 

\displaystyle \frac{5}{7}+\frac{1}{7}=\frac{5+1}{7}=\frac{6}{7}

 

\displaystyle  \frac{5}{7}-\frac{1}{7}=\frac{5-1}{7}=\frac{4}{7}

 

Para calcular la suma o resta de fracciones con denominadores diferentes, reduciremos al caso anterior, es decir, obtendremos fracciones equivalentes pero con el mismo denominador y así, sólo sumaremos o se restaremos los numeradores de las fracciones obtenidas.

 

Un posible denominador común es el mínimo común múltiplo de los denominadores.

 

Ejemplo:

 

\displaystyle  \frac{5}{4}+\frac{1}{6}

 

El mínimo común multiplo de los denominadores 4 y 6 es 12.

 

Para obtener las fracciones equivalentes llevamos a cabo el siguiente procedimiento:

 

\displaystyle \textbf{3}=\frac{12}{4}\hspace{1cm}\longrightarrow\hspace{1cm}\frac{5}{4}=\frac{5\cdot\textbf{3}}{12}=\frac{15}{12}

 

 \displaystyle  \textbf{2}=\frac{12}{6}\hspace{1cm}\longrightarrow\hspace{1cm} \frac{1}{6}=\frac{1\cdot  \textbf{2}}{12}=\frac{2}{12}

 

Y finalmente sumamos

 

\displaystyle  \frac{5}{4}+\frac{1}{6}=\frac{15}{12}+\frac{2}{12}=\frac{15+2}{12}=\frac{17}{12}

 

Otro ejemplo:

 

\displaystyle  \frac{5}{4}-\frac{1}{6}

 

Como los denominadores son los mismos que en el ejemplo anterior, usaremos la información ya obtenida.

 

\displaystyle  \frac{5}{4}-\frac{1}{6}=\frac{5\cdot 3}{12}-\frac{1\cdot 2}{12}=\frac{15-2}{12}=\frac{13}{12}

 

Propiedades de la suma

 

1 Interna

 

El resultado de sumar dos números racionales es otro número racional.

 

Si a,b\in \mathbb{Q}\hspace{1cm}\Rightarrow \hspace{1cm} a+b\in \mathbb{Q}

 

Ejemplo:

 

\displaystyle  \left(\frac{1}{2} \right)+\left(\frac{7}{4} \right)=\left(\frac{2}{4} \right)+\left(\frac{7}{4} \right)=\left(\frac{2+7}{4} \right)=\left(\frac{9}{4} \right)

 

La suma de los racionales \displaystyle  \frac{1}{2} y \displaystyle \frac{7}{4} me dio como resultado \displaystyle\frac{9}{4}, lo cual es un número racional también.

 

2 Asociativa

 

El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.

 

 (a + b) + c = a + (b + c)

 

Ejemplo:

 

\displaystyle  \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)+\frac{3}{8}=\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}+\frac{3}{8}\right)

 

\displaystyle  \frac{2+1}{4}+\frac{3}{8}=\frac{1}{2}+\frac{2+3}{8} \hspace{1cm}\longrightarrow \hspace{1cm}\frac{3}{4}+\frac{3}{8}=\frac{1}{2}+\frac{5}{8}

 

\displaystyle  \frac{6+3}{8}=\frac{4+5}{8} \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} \frac{9}{8}=\frac{9}{8}

 

3 Conmutativa

 

El orden de los sumandos no varía la suma.

 

a + b = b + a

 

Ejemplo:

 

\displaystyle  \frac{9}{4}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{9}{4}

 

4 Elemento neutro
El 0 es el elemento neutro de la suma, porque todo número sumado con él da el mismo número.
 

a + 0 = a

 

Ejemplo:

 

\displaystyle  \frac{3}{4}+0=\frac{3}{4}

 

5 Elemento opuesto

 

Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el cero.

 

 a + b = 0

 

El opuesto de un número a en la suma se denota como -a

 

Ejemplo:

 

\displaystyle  \frac{3}{4}+\left(-\frac{3}{4}\right)=\frac{3+(-3)}{4}=\frac{3-3}{4}=\frac{0}{4}=0

 

El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.

 

-(-a)=a

 

Ejemplo:

 

\displaystyle  -\left(-\frac{3}{4}\right)=\frac{3}{4}\right)

 

Como consecuencia de estas propiedades, la diferencia de dos números racionales se define como la suma del minuendo más el opuesto del sustraendo.

 

a - a = a + (-a)

 

Ejemplo:

 

\displaystyle \frac{3}{5}-\frac{2}{7}=\frac{3}{5}+\left(-\frac{2}{7}\right)

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗