Definiciones básicas

Número mixto

Para pasar de número mixto a fracción impropia, se deja el mismo denominador y el numerador es la suma del producto del entero por el denominador más el numerador, del número mixto.

    $$a\cfrac{b}{c}=\cfrac{ac+b}{c}$$

Fracciones equivalentes

Dos fracciones son equivalentes cuando el producto de extremos es igual al producto de medios.

    $$a\cfrac{a}{b}=\cfrac{c}{d}\quad \text{si}\quad ad=bc$$

Reducción de fracciones a común denominador

1 Se determina el denominador común, que será el mínimo común múltiplo de los denominadores.

2 Este denominador, común, se divide por cada uno de los denominadores, multiplicándose el cociente obtenido por el numerador correspondiente.

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Vamos

Suma y resta de fracciones

Fracciones con el mismo denominador

Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador.

    $$\cfrac{a}{b}+\cfrac{c}{b}=\cfrac{a+c}{b}$$

 

    $$\cfrac{a}{b}-\cfrac{c}{b}=\cfrac{a-c}{b}$$

Fracciones con distinto denominador

En primer lugar se reducen los denominadores a común denominador, y se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.

 

    $$\cfrac{a}{b}+\cfrac{c}{d}=\cfrac{ad+bc}{bd}$$

    $$\cfrac{a}{b}-\cfrac{c}{d}=\cfrac{ad-bc}{bd}$$

 

Multiplicación de fracciones

El producto de dos fracciones es otra fracción que tiene:

Por numerador el producto de los numeradores.

Por denominador el producto de los denominadores.

    $$\cfrac{a}{b}\cdot\cfrac{c}{d}=\cfrac{ac}{bd}$$

División de fracciones

El cociente de dos fracciones es otra fracción que tiene:

Por numerador el producto de los extremos.

Por denominador el producto de los medios.

    $$\cfrac{a}{b}\div\cfrac{c}{d}=\cfrac{ad}{bc}$$

Potencia de fracciones

En lo siguiente vemos como se comportan las fracciones con la potenciación.
Primero la potencia de una fracción es la fracción entre la potencia del numerador y la potencia del denominador,

    $$\left(\cfrac{a}{b}\right)^{n}=\cfrac{a^{n}}{b^{n}}$$

Lo anterior también se cumple para potencias negativas, pero cambiando el order del numerador y el denominador

    $$\left(\cfrac{a}{b}\right)^{-n}=\cfrac{b^{n}}{a^{n}}$$

Cuando n=-1 tenemos lo siguiente,

    $$\left(\cfrac{a}{b}\right)^{-1}=\cfrac{b}{a}$$

Propiedades

En lo siguiente vemos como se comportan las potencias de fracciones con las operaciones básicas,

Primero, dado que la potencia de una fracción es solo la fracción de la potencia del numeror entre la potencia del denominador, entonces al elevar la fracción a cero tenemos como resultado 1,

    $$\left(\cfrac{a}{b}\right)^{0}=1$$

Elevar la fracción a la potencia 1 nos da como resultado la misma fracción

    $$\left(\cfrac{a}{b}\right)^{1}=\cfrac{a}{b}$$

Exponenciación y la multiplicación en fracciones se comportan de la misma forma que en números enteros,

    $$\left(\cfrac{a}{b}\right)^{m}\cdot\left(\cfrac{a}{b}\right)^{n}=\left(\cfrac{a}{b}\right)^{m+n}$$

Exponenciación y la división en fracciones se comportan de la misma forma que en números enteros,

    $$\left(\cfrac{a}{b}\right)^{m}\div\left(\cfrac{a}{b}\right)^{n}=\left(\cfrac{a}{b}\right)^{m-n}$$

Cuando elevamos una fracción a una potencia y luego a otra potencia esto da como resultado la fracción elevada al producto de las potencias

    $$\left(\left(\cfrac{a}{b}\right)^{m}\right)^{n}=\left(\cfrac{a}{b}\right)^{m\cdot n}$$

Cuando tenemos una misma potencia para dos fracción y luego realizamos una multiplicación o división, debemos respetar la jerarquía de las operaciones básicas y primero realizar la exponenciación y luego la operación correspondiente

    $$\left(\cfrac{a}{b}\right)^{n}\cdot\left(\cfrac{c}{d}\right)^{n}=\left(\cfrac{ac}{bd}\right)^{n}$$

 

    $$\left(\cfrac{a}{b}\right)^{n}\div\left(\cfrac{c}{d}\right)^{n}=\left(\cfrac{ad}{bc}\right)^{n}$$

Fracción generatriz

Pasar de decimal exacto a fracción

Si la fracción es decimal exacta, la fracción tiene como numerador el número dado sin la coma, y por denominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga. Algunos ejemplos:

    $$1.13=\cfrac{113}{100},\quad 0,1769=\cfrac{1769}{10000},\quad 2234.1=\cfrac{22341}{10}.$$

Pasar de periódico puro a fracción generatriz

Si la fracción es periódica pura, la fracción generatriz tiene como numerador el número dado sin la coma, menos la parte entera, y por denominador un número formado por tantos nueves como cifras tiene el período. Algunos ejemplos

    $$1.\hat{13}=\cfrac{113-1}{99}=\cfrac{112}{99},\quad 1.\hat{1769}=\cfrac{1769}{9999}.$$

Pasar de periódico mixto a fracción generatriz

Si la fracción es periódica mixta, la fracción generatriz tiene como numerador el número dado sin la coma, menos la parte entera seguida de las cifras decimales no periódicas, y por denominador, un numero formado por tantos nueves como cifras tenga el período, seguidos de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal no periódica. Aqui un ejemplo

    $$1.\hat{13}=\cfrac{113-11}{90}=\cfrac{102}{90}=\cfrac{17}{15}.$$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗