Name: Ejercicios de fracciones
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Operaciones básicas con fracciones
Conversiones de expresiones decimales a fracciones
Operaciones con fracciones y decimales periódicos

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Operaciones básicas con fracciones

1 Expresa cada una de las siguientes fracciones de hora en minutos:

$\begin{equation*}\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{1}{10},\frac{1}{12},\frac{1}{3}\end{equation*}$

Rercordemos que $\;1\;$ hora $=\;60\;$ minutos. Por lo cual para convertir cada fracción en minutos se puede utilizar una regla de tres simple.

1 Conversión de $\frac{1}{2}$ hora en minutos:

$\begin{equation*} \begin{aligned} &1\; \mathrm{hora} \longrightarrow \mathrm{60}\; \mathrm{minutos} \\ & \frac{1}{2}\;\mathrm{hora} \longrightarrow x \;\mathrm{minutos} \end{aligned} \quad x=60\cdot\frac{1}{2}=30\; \mathrm{minutos} \end{equation*}$

2 Conversión de $\frac{1}{4}$ hora en minutos:

$\begin{equation*} \begin{aligned} &1\; \mathrm{hora} \longrightarrow \mathrm{60} \;\mathrm{minutos} \\ & \frac{1}{4}\;\mathrm{hora} \longrightarrow x \;\mathrm{minutos} \end{aligned} \quad x=60\cdot\frac{1}{4}=15 \;\mathrm{minutos} \end{equation*}$

3 Conversión de $\frac{3}{4}$ hora en minutos:

$\begin{equation*} \begin{aligned} &1\; \mathrm{hora} \longrightarrow \mathrm{60} \;\mathrm{minutos} \\ & \frac{3}{4}\; \mathrm{hora} \longrightarrow x \;\mathrm{minutos} \end{aligned} \quad x=60\cdot\frac{3}{4}=45 \;\mathrm{minutos} \end{equation*}$

4 Conversión de $\frac{1}{10}$ hora en minutos:

$\begin{equation*} \begin{aligned} &1\; \mathrm{hora} \longrightarrow \mathrm{60} \;\mathrm{minutos} \\ & \frac{1}{10}\; \mathrm{hora} \longrightarrow x \;\mathrm{minutos} \end{aligned} \quad x=60\cdot\frac{1}{10}=6 \;\mathrm{minutos} \end{equation*}$

5 Conversión de $\frac{1}{12}$ hora en minutos:

$\begin{equation*} \begin{aligned} &1\; \mathrm{hora} \longrightarrow \mathrm{60} \;\mathrm{minutos} \\ & \frac{1}{12}\; \mathrm{hora} \longrightarrow x \;\mathrm{minutos} \end{aligned} \quad x=60\cdot\frac{1}{12}=5 \;\mathrm{minutos} \end{equation*}$

6 Conversión de $\frac{1}{12}$ hora en minutos:

$\begin{equation*} \begin{aligned} &1\; \mathrm{hora} \longrightarrow \mathrm{60} \;\mathrm{minutos} \\ & \frac{1}{3}\; \mathrm{hora} \longrightarrow x \;\mathrm{minutos} \end{aligned} \quad x=60\cdot\frac{1}{3}=20 \;\mathrm{minutos} \end{equation*}$

2 Halla los pares de fracciones equivalentes y colócalas en parejas:

$\begin{equation*}\frac{4}{3},\frac{5}{7},\frac{8}{3},\frac{2}{11},\frac{6}{9}\end{equation*}$

$\begin{equation*}\frac{16}{6},\frac{15}{21},\frac{4}{22},\frac{2}{3},\frac{12}{9}\end{equation*}$

Para resolver este ejercicio, por practicidad utilizaremos la reducción de fracciones. Así notemos que las fracciones:

$\begin{equation*}\frac{16}{6},\frac{15}{21},\frac{4}{22},\frac{6}{9},\frac{12}{9}\end{equation*}$

son reducibles.

1 Reducimos la fracción $\frac{16}{6}$ :

$\begin{equation*}\frac{16}{6}=\frac{8\cdot 2}{3\cdot 2}=\frac{8}{3}\end{equation*}$

Por tanto el par equivalente de la fracción $\frac{16}{6}$ es $\frac{8}{3}$ .

2 Reducimos la fracción $\frac{16}{6}$ :

$\begin{equation*}\frac{15}{21}=\frac{5\cdot 3}{7\cdot 3}=\frac{5}{7}\end{equation*}$

Por tanto el par equivalente de la fracción $\frac{15}{21}$ es $\frac{5}{7}$ .

3 Reducimos la fracción $\frac{4}{22}$ :

$\begin{equation*}\frac{4}{22}=\frac{2\cdot 2}{2\cdot 11}=\frac{2}{11}\end{equation*}$

Por tanto el par equivalente de la fracción $\frac{4}{22}$ es $\frac{2}{11}$ .

4Reducimos la fracción $\frac{6}{9}$ :

$\begin{equation*}\frac{6}{9}=\frac{2\cdot 3}{3\cdot 3}=\frac{2}{3}\end{equation*}$

Por tanto el par equivalente de la fracción $\frac{6}{9}$ es $\frac{2}{3}$ .

5Reducimos la fracción $\frac{12}{9}$ :

$\begin{equation*}\frac{12}{9}=\frac{4\cdot 3}{3\cdot 3}=\frac{4}{3}\end{equation*}$

Por tanto el par equivalente de la fracción $\frac{12}{9}$ es $\frac{4}{3}$ .

3 Escribe los inversos de:

$\begin{equation*}\frac{2}{3}, \frac{5}{2}, -\frac{3}{7}, 5, \frac{4}{11}\end{equation*}$

Primero, recordemos que un número y su inverso satisfacen que su producto es igual a 1.

1 El inverso $\; \frac{a}{b}\;$ de $\;\frac{2}{3}\;$ debe satisfacer que $\;\frac{2}{3}\cdot\frac{a}{b}=1\;$ , por lo tanto $\;\frac{a}{b}=\frac{3}{2}$ .

2 El inverso $\; \frac{a}{b}\;$ de $\;\frac{5}{2}\;$ debe satisfacer que $\;\frac{5}{2}\cdot\frac{a}{b}=1\;$ , por lo tanto $\;\frac{a}{b}=\frac{2}{5}$ .

3 El inverso $\; \frac{a}{b}\;$ de $\;-\frac{3}{7}\;$ debe satisfacer que $\;-\frac{3}{7}\cdot\frac{a}{b}=1\;$ , por lo tanto $\;\frac{a}{b}=-\frac{7}{3}$ .

4 El inverso $\; \frac{a}{b}\;$ de $\;5\;$ debe satisfacer que $\;5\cdot\frac{a}{b}=1\;$ , por lo tanto $\;\frac{a}{b}=\frac{1}{5}$ .

5 El inverso $\; \frac{a}{b}\;$ de $\;\frac{4}{11}\;$ debe satisfacer que $\;\frac{4}{11}\cdot\frac{a}{b}=1\;$ , por lo tanto $\;\frac{a}{b}=\frac{11}{4}$ .

4 Compara las fracciones dadas y escribe el signo " $>$ " o " $<$ " donde corresponda.

$\begin{equation*} \frac{3}{7} \square \frac{3}{9}, \quad \frac{2}{5} \square \frac{6}{5}, \quad \frac{3}{9} \square \frac{3}{4}, \quad \frac{2}{7} \square \frac{5}{7} \end{equation*}$

Para resolver este ejercicio, utilizaremos los siguientes dos resultados:

De dos fracciones que tienen el mismo numerador es menor el que tiene mayor denominador.
De dos fracciones que tienen el mismo denominador es menor la que tiene menor numerador.

De tal manera que de lo anterior se sigue:

$\begin{equation*} \frac{3}{7} >\frac{3}{9}, \quad \frac{2}{5}<\frac{6}{5}, \quad \frac{3}{9}<\frac{3}{4}, \quad \frac{2}{7}<\frac{5}{7} \end{equation*}$

5 Compara las siguientes fracciones:

$\begin{equation*} \frac{2}{3} \square \frac{3}{5}, \quad \frac{2}{5} \square \frac{3}{7}, \quad \frac{5}{7} \square \frac{6}{8}, \quad \frac{4}{3} \square \frac{5}{4} \end{equation*}$

Para resolver este ejercicio necesitamos calcular el común denominador de cada una de las fracciones que se están comparando. Recordemos que será menor la de numerador más pequeño. Así bien tenemos lo siguiente:

$\begin{equation*} \frac{2}{3} \square \frac{3}{5}, \quad \frac{2}{5} \square \frac{3}{7}, \quad \frac{5}{7} \square \frac{6}{8}, \quad \frac{4}{3} \square \frac{5}{4} \end{equation*}$

Calculando un común denominador para cada uno de los casos tenemos lo siguiente:

$\begin{equation*} \frac{10}{15} \square \frac{9}{15}, \quad \frac{14}{35} \square \frac{15}{35}, \quad \frac{40}{56} \square \frac{42}{56}, \quad \frac{16}{12} \square \frac{15}{12} \end{equation*}$

Por lo tanto se satisfacen las siguientes desigualdades:

$\begin{equation*}\frac{10}{15} >\frac{9}{15}, \quad \frac{14}{35} < \frac{15}{35}, \quad \frac{40}{56} < \frac{42}{56}, \quad \frac{16}{12} > \frac{15}{12}\end{equation*}$

Es decir:

$\begin{equation*} \frac{2}{3} > \frac{3}{5}, \quad \frac{2}{5} < \frac{3}{7}, \quad \frac{5}{7} < \frac{6}{8}, \quad \frac{4}{3}> \frac{5}{4} \end{equation*}$

6 Ordenar de menor o mayor:

$\begin{equation*}\frac{5}{12}, \frac{2}{15}, \frac{5}{4}, \frac{7}{5}\end{equation*}$

En primer lugar tenemos que calcular el m.c.m.de los denominadores para poder poner las fracciones a común denominador, es menor la que tiene menor numerador.

$m.c.m. (12, 15, 4, 5) = 60$

El mínimo común múltiplo 60, nos indica que es un número que divide a cada uno de los denominadores. Reescribimos cada una de las fracciones, de tal manera que obtengamos una fracción equivalente a las iniciales pero con denominador 60:

$\begin{equation*}\frac{5\cdot 5}{12\cdot 5}, \frac{2\cdot 4}{15\cdot 4}, \frac{5\cdot 15}{4\cdot 15}, \frac{7\cdot 12}{5\cdot 12}\end{equation*}$

$\begin{equation*}\frac{25}{60}, \frac{8}{60}, \frac{75}{60}, \frac{84}{60}\end{equation*}$

$\begin{equation*}\frac{8}{60}< \frac{25}{60}< \frac{75}{60}< \frac{84}{60}\end{equation*}$

$\begin{equation*}\frac{2}{15}< \frac{5}{12}< \frac{5}{4}<\frac{7}{5}\end{equation*}$

7 Desarrolla de dos formas distintas la siguiente operación:

$\begin{equation*}\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{3}{4}+\frac{1}{8}\right)=\end{equation*}$

1 Aplicando primero la propiedad distributiva:

$\begin{equation*} \frac{1}{2} \cdot\left(\frac{3}{4}+\frac{1}{8}\right)=\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}+\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8}=\frac{3}{8}+\frac{1}{16}=\frac{6+1}{16}=\frac{7}{16} \end{equation*}$

2 Desarrollando primero la suma:

$\begin{equation*} \frac{1}{2} \cdot\left(\frac{3}{4}+\frac{1}{8}\right)=\frac{1}{2} \cdot\left(\frac{6+1}{8}\right)=\frac{1}{2} \cdot \frac{7}{8}=\frac{7}{16} \end{equation*}$

8 Calcula el resultado de cada una de las sumas, apoyándote en la factorización del factor común.

$\begin{equation*}1.\;\;\;\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{6}+\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6}=\end{equation*}$

$\begin{equation*}2.\;\;\;\frac{1}{5} \cdot \frac{3}{7}+\frac{1}{5} \cdot \frac{4}{7}=\end{equation*}$

Factorizar es el proceso inverso a la propiedad distributiva, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor, es decir:

$\begin{equation*}a\cdot b+ a\cdot c=a\cdot \left(b+c\right)\end{equation*}$

1 Para calcular $\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{6}+\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6}=$ factorizamos $\frac{1}{6}$ y después resolvemos:

$\begin{equation*}=\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{6}+\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{6}\cdot\left(\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{6} \cdot \frac{4}{4}=\frac{1}{6}\end{equation*}$

2 Para calcular $\frac{1}{5} \cdot \frac{3}{7}+\frac{1}{5} \cdot \frac{4}{7}=$ factorizamos $\frac{1}{5}$ y después resolvemos:

$\begin{equation*}=\frac{1}{5} \cdot \frac{3}{7}+\frac{1}{5} \cdot \frac{4}{7}=\frac{1}{5}\cdot\left(\frac{3}{7}+\frac{4}{7}\right)=\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{7}=\frac{1}{5}\end{equation*}$

9 Clasifica las siguientes fracciones en propias o impropias:

$\begin{equation*}\frac{2}{3},\frac{5}{6},\frac{8}{5},\frac{7}{9},\frac{5}{2},\frac{5}{12}, \frac{3}{4}, \frac{7}{5}\end{equation*}$

Para responder recordemos dos cosas:

En las fracciones propias el denominador es mayor que el numerador.
En las fracciones impropias el denominador es menor que el numerador.

1 Fracciones propias:

$\begin{equation*}\frac{2}{3},\frac{5}{6},\frac{7}{9},\frac{5}{12}, \frac{3}{4}\end{equation*}$

2 Fracciones impropias:

$\begin{equation*}\frac{8}{5},\frac{5}{2},\frac{7}{5}\end{equation*}$

10 Calcula la suma de las siguientes fracciones:

$\begin{equation*} 5 \frac{1}{4}+1 \frac{1}{6}= \end{equation*}$

Reescribimos y desarrollamos la suma:

$\begin{equation*} 5 +\frac{1}{4}+1 +\frac{1}{6}=6+\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{4}\right)=6+\frac{2+3}{12}=6+\frac{5}{12}=6\frac{5}{12} \end{equation*}$

Conversiones de expresiones decimales a fracciones

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11 Convertir en fracción las siguientes expresiones decimales:

$\begin{equation*}0.0051, 0.\overline{051}, 0.05\bar{1}\end{equation*}$

1 Conversión en fracción de $0.0051$ :

Al ser un número decimal exacto en el numerador escribimos el número sin la coma y en denominador la unidad seguida de 4 ceros porque hay 4 cifras decimales, como se muestra a continuación:

$\begin{equation*}0.0051=\frac{51}{10000}\end{equation*}$

2 Conversión en fracción de $0.\overline{051}$ :

Al ser un número periódico puro en el numerador escribimos el número sin la coma y en denominador 3 nueves porque hay 3 cifras periódicas:

$\begin{equation*}0.\overline{051}=\frac{51}{999}\end{equation*}$

3 Conversión en fracción de $0.05\bar{1}$ :

Al ser un número periódico mixto en el numerador escribimos el número sin la coma y restamos la parte que queda fuera del periodo. En denominador hay un nueve y dos ceros porque tenemos una cifra en el período y hay dos cifras decimales:

$\begin{equation*}0.05\bar{1}=\frac{51-5}{900}=\frac{46}{900}=\frac{23}{450}\end{equation*}$

12 Convierte en fracción las siguientes expresiones decimales:

$\begin{equation*}0.037, 0.\overline{037}, 0.03\overline{7}, 1.\overline{0001}, 1.0001, 1.0\overline{001}\end{equation*}$

1 Conversión a fracción de $0.037$ :

Al ser un número decimal exacto en el numerador escribimos el número sin la coma y en denominador la unidad seguida de 3 ceros porque hay 3 cifras decimales:

$\begin{equation*}0.037=\frac{37}{1000}\end{equation*}$

2 Conversión a fracción de $0.\overline{037}$ :

Al ser un número periódico puro en el numerador escribimos el número sin la coma y en denominador 3 nueves porque hay 3 cifras periódicas.

$\begin{equation*} 0.\overline{037}=\frac{37}{999}\end{equation*}$

3 Conversión a fracción de $0.03\overline{7}$ :

Al ser un número periódico mixto en el numerador escribimos el número sin la coma menos los números que están fuera del periodo. En denominador hay un nueve y dos ceros porque tenemos una cifra en el período y hay dos cifras decimales.

$\begin{equation*} 0.03\overline{7}=\frac{37-3}{900}=\frac{34}{900}=\frac{34}{900}=\frac{17}{450}\end{equation*}$

4 Conversión a fracción de $1.\overline{0001}$ :

Al ser un número periódico puro en el numerador escribimos el número sin la coma menos la parte que queda fuera del periodo. En denominador 4 nueves porque hay 4 cifras periódicas.

$\begin{equation*} 1.\overline{0001}=\frac{10001-1}{9999}=\frac{1000}{9999}\end{equation*}$

5 Conversión a fracción de $1.0001$ :

Al ser un número decimal exacto en el numerador escribimos el número sin la coma y en denominador la unidad seguida de 4 ceros porque hay 4 cifras decimales.

$\begin{equation*} 1.0001=\frac{10001}{10000}\end{equation*}$

6 Conversión a fracción de $1.0\overline{001}$ :

Al ser un número periódico mixto en el numerador escribimos el número sin la coma menos la parte de fuera del periodo. En denominador hay 3 nueves y un cero porque tenemos tres cifras en el período y hay una cifra decimal.

$\begin{equation*}1.0\overline{001}=\frac{10001-10}{9990}=\frac{9991}{9990}\end{equation*}$

Operaciones con fracciones y decimales periódicos

13 Realizar las siguientes operaciones:

$\begin{equation*}5.\overline{6}+0.1\end{equation*}$

$\begin{equation*}2.\overline{3}:1.5\end{equation*}$

1 Para calcular la suma de $5.\overline{6}+0.1$ .

Primero, convertiremos en fracción ambas expresiones decimales y luego desarrollaremos la suma:

$\begin{equation*}5.\overline{6}+0.1=\frac{56-5}{9}+\frac{1}{10}=\frac{51}{9}+\frac{1}{10}=\frac{519}{90}\end{equation*}$

2 Para calcular $2.\overline{3}:1.5$

Primero, convertiremos en fracción ambas expresiones decimales y luego desarrollaremos la razón:

$\begin{equation*}2.\overline{3}:1.5=\frac{23-2}{9}:\frac{15}{10}=\frac{21}{9}:\frac{3}{2}=\frac{42}{27}=\frac{14}{9}\end{equation*}$

14 Resuelve las siguientes operaciones con fracciones:

$\begin{equation*} \begin{aligned} &1)\;\;\left(3+\frac{1}{4}\right)-\left(2+\frac{1}{6}\right)= \\ &2)\;\;\frac{1}{2}:\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{3}\right)= \\ &3)\;\;\left(\frac{5}{3}-1\right) \cdot\left(\frac{7}{2}-2\right)= \\ &4)\;\;\left(\frac{3}{4}+\frac{1}{2}\right):\left(\frac{5}{3}+\frac{1}{6}\right)= \end{aligned} \end{equation*}$

Resuelve:

1 Resolvemos $\left(3+\frac{1}{4}\right)-\left(2+\frac{1}{6}\right)$ :

Quitamos paréntesis, en el 2º como tenemos el signo menos delante tomamos el opuesto, es decir, que cambiamos todo de signo.

$\begin{equation*} \left(3+\frac{1}{4}\right)-\left(2+\frac{1}{6}\right)=3+\frac{1}{4}-2-\frac{1}{6}=1+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}=\frac{12+3-2}{12}=\frac{13}{12} \end{equation*}$

2Resolvemos $\frac{1}{2}:\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{3}\right)$

En primer lugar efectuamos la suma del interior del paréntesis, posteriormente dividimos las fracciones y por último simplificamos.

$\begin{equation*} \frac{1}{2}:\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{2}:\left(\frac{3+4}{12}\right)=\frac{1}{2}: \frac{7}{12}=\frac{12}{14}=\frac{6}{7} \end{equation*}$

3 Resolvemos $\left(\frac{5}{3}-1\right) \cdot\left(\frac{7}{2}-2\right)$

Realizamos las operaciones de los paréntesis, efectuamos el producto de los resultados y simplificamos

$\begin{equation*} \left(\frac{5}{3}-1\right) \cdot\left(\frac{7}{2}-2\right)=\left(\frac{5-3}{3}\right) \cdot\left(\frac{7-4}{2}\right)=\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}=\frac{6}{6}=1 \end{equation*}$

4Resolvemos $\left(\frac{3}{4}+\frac{1}{2}\right):\left(\frac{5}{3}+\frac{1}{6}\right)$ :

Realizamos las operaciones de los paréntesis, efectuamos la división de los resultados y simplificamos.

$\begin{equation*} \left(\frac{3}{4}+\frac{1}{2}\right):\left(\frac{5}{3}+\frac{1}{6}\right)=\left(\frac{3+2}{4}\right):\left(\frac{10+1}{6}\right)=\frac{5}{4}: \frac{11}{6}=\frac{30}{44}=\frac{15}{22} \end{equation*}$

15 Efectúa las siguientes divisiones:

$\begin{equation*}1)\;\; \frac{\frac{1}{2}}{3}\end{equation*}$

$\begin{equation*}2)\;\; \frac{3}{\frac{1}{2}}\end{equation*}$

$\begin{equation*}3)\;\; \frac{\frac{3}{5}}{\frac{1}{2}}\end{equation*}$

Para resolver cada una de las divisiones recordemos que se multiplican los valores extremos (arriba y abajo) el producto es el numerador, mientras que el producto de los valores internos es el denominador. De tal manera que obtenemos los siguientes resultados:

$\begin{equation*}1)\;\; \frac{\frac{1}{2}}{3}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{1}}=\frac{1\cdot 1}{2\cdot 3}=\frac{1}{6}\end{equation*}$

$\begin{equation*}2)\;\; \frac{3}{\frac{1}{2}}=\frac{\frac{3}{1}}{\frac{1}{2}}=6\end{equation*}$

$\begin{equation*}3)\;\; \frac{\frac{3}{5}}{\frac{1}{2}}=\frac{6}{5}\end{equation*}$

16 Realiza las operaciones correspondientes:

$\begin{equation*} \begin{aligned} &1)\;\;\frac{\frac{3}{2}+\frac{1}{4}}{\frac{5}{6}-\frac{1}{3}}= \\ \\ &2)\;\;\frac{-1+\frac{3}{4}-\frac{1}{3}}{2-\frac{1}{4}}= \end{aligned} \end{equation*}$

1Para calcular la suma de $\frac{\frac{3}{2}+\frac{1}{4}}{\frac{5}{6}-\frac{1}{3}}=$ , primero:

Realizamos las operaciones en el numerador y denominador.
La fracción resultante la ponemos como un división de dos fracciones, simplificamos, realizamos la división y volvemos a simplificar.

$\begin{equation*} \frac{\frac{3}{2}+\frac{1}{4}}{\frac{5}{6}-\frac{1}{3}}=\frac{\frac{6+1}{4}}{\frac{5-2}{6}}=\frac{\frac{7}{4}}{\frac{3}{6}}=\frac{7}{4}: \frac{3}{6}=\frac{7}{4}: \frac{1}{2}=\frac{14}{4}=\frac{7}{2} \end{equation*}$

2Para realizar la suma de $\frac{-1+\frac{3}{4}-\frac{1}{3}}{2-\frac{1}{4}}$ :

Operamos igual que el ejercicio anterior:

$\begin{equation*} \frac{-1+\frac{3}{4}-\frac{1}{3}}{2-\frac{1}{4}}=\frac{\frac{-12+9-4}{12}}{\frac{8-1}{4}}=\frac{\frac{-7}{12}}{\frac{7}{4}}=\frac{-7}{12}: \frac{7}{4}=-\frac{28}{84}=-\frac{7}{21}=-\frac{1}{3} \end{equation*}$

17 Efectúa esta operación:

$\begin{equation*}1-\frac{1}{1-\frac{1}{1-\frac{1}{2}}}\end{equation*}$

En primer lugar efectuamos $1- \frac{1}{2}$
Hacemos el inverso de $\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$ , de tal manera que obtenemos lo que se muestra a continuación:

$\begin{equation*} 1-\frac{1}{1-\frac{1}{1-\frac{1}{2}}}=1-\frac{1}{1-\frac{1}{\frac{2-1}{2}}}=1-\frac{1}{1-\frac{1}{\frac{1}{2}}}=1-\frac{1}{1-2}=1-\frac{1}{-1}=1+1=2 \end{equation*}$

18 Realiza las siguientes operaciones con potencias:

$\begin{equation*} \begin{aligned} &1)\;\;\left(\frac{2}{3}\right)^{2} \cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{3}= \\ &2)\;\;\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} \cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{3}= \\ &3)\;\;\left(\frac{2}{3}\right)^{2} \cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}= \\ &4)\;\;\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} \cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}=\\ &5)\;\;\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} \cdot\left(\frac{3}{2}\right)^{-3}=\\ &6)\;\;\left(\frac{2}{3}\right)^{2} \cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{3}=\\ &7)\;\;\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} \cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{3}=\\ &8)\;\;\left(\frac{2}{3}\right)^{2} \cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}=\\ &9)\;\;\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} \cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}=\\ &10)\;\;\left(\frac{3}{2}\right)^{-2} \cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}=\\ \end{aligned} \end{equation*}$

$\begin{equation*} \begin{aligned} &11){\;\;\left[\left(\frac{2}{3}\right)^{2}\right]^{3}=} \\ &12)\;\;\left\{\left[\left(\frac{2}{3}\right)^{2}\right]^{3}\right\}^{-4}= \\ &13)\;\;\left(\frac{4}{9}\right)^{-2}:\left(\frac{27}{8}\right)^{-3}= \end{aligned} \end{equation*}$

1Para el ejercicio 1), utilizamos que tenemos la misma base y sumamos las potencias:

$\begin{equation*} \left(\frac{2}{3}\right)^{2} \cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{3}=\left(\frac{2}{3}\right)^{2+3}=\left(\frac{2}{3}\right)^{5} \end{equation*}$

2Para el ejercicio 2), usamos que tenemos la misma base y restamos las potencias:

$\begin{equation*} \left(\frac{2}{3}\right)^{-2} \cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{3}=\left(\frac{2}{3}\right)^{-2+3}=\frac{2}{3} \end{equation*}$

3Para el ejercicio 3) usamos que tenemos la misma base y restamos las potencias:

$\begin{equation*} \left(\frac{2}{3}\right)^{2} \cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}=\left(\frac{2}{3}\right)^{-2+3}=\frac{3}{2} \end{equation*}$

4Para el ejercicio 4) usamos que tenemos la misma base y restamos las potencias:

$\begin{equation*} \left(\frac{2}{3}\right)^{-2} \cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}=\left(\frac{2}{3}\right)^{-2-3}=\left(\frac{2}{3}\right)^{-5} \end{equation*}=\left(\frac{3}{2}\right)^{5}$

5Para el ejercicio 5) realizamos el siguiente procedimiento:

$\begin{equation*} \left(\frac{2}{3}\right)^{-2} \cdot\left(\frac{3}{2}\right)^{-3}=\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} \cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{3}=\left(\frac{2}{3}\right)^{-2+3}=\frac{2}{3} \end{equation*}$

6Para el ejercicio 6), necesitamos dividir potencias con la misma base restamos los exponentes:

$\begin{equation*} \left(\frac{2}{3}\right)^{2}:\left(\frac{2}{3}\right)^{3}=\left(\frac{2}{3}\right)^{2-3}=\left(\frac{2}{3}\right)^{-1}=\frac{3}{2} \end{equation*}$

7Para el ejercicio 7), hacemos un procedimiento similar al anterior:

$\begin{equation*} \left(\frac{2}{3}\right)^{-2}:\left(\frac{2}{3}\right)^{3}=\left(\frac{2}{3}\right)^{-2-3}=\left(\frac{2}{3}\right)^{-5}=\left(\frac{3}{2}\right)^{5} \end{equation*}$

8Para el ejercicio 8):

$\begin{equation*} \left(\frac{2}{3}\right)^{2}:\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}=\left(\frac{2}{3}\right)^{2-(-3)}=\left(\frac{2}{3}\right)^{2+3}=\left(\frac{2}{3}\right)^{5} \end{equation*}$

9Para el ejercicio 9):

$\begin{equation*} \left(\frac{2}{3}\right)^{-2}:\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}=\left(\frac{2}{3}\right)^{-2-(-3)}=\left(\frac{2}{3}\right)^{-2+3}=\frac{2}{3} \end{equation*}$

10Para el ejercicio 10):

$\begin{equation*} \left(\frac{3}{2}\right)^{-2}:\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}=\left(\frac{2}{3}\right)^{2}:\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}=\left(\frac{2}{3}\right)^{2-(-3)}=\left(\frac{2}{3}\right)^{5} \end{equation*}$

11Para el ejercicio 11), recordemos que para multiplicar potencias con la misma base se multiplican los exponentes:

$\begin{equation*} \left[\left(\frac{2}{3}\right)^{2}\right]^{3}=\left(\frac{2}{3}\right)^{2 \cdot 3}=\left(\frac{2}{3}\right)^{6} \end{equation*}$

12Para el ejercicio 12), aplicamos un procedimiento similar al ejercicio anterior, considerando al final la fracción inversa para cambiar el signo del exponente de la fracción a positivo:

$\begin{equation*} \left\{\left[\left(\frac{2}{3}\right)^{2}\right]^{3}\right\}^{-4}=\left(\frac{2}{3}\right)^{2 \cdot 3 \cdot(-4)}=\left(\frac{2}{3}\right)^{-24}=\left(\frac{3}{2}\right)^{24} \end{equation*}$

13Para el ejercicio 13), descomponemos los números en factores, dentro de cada paréntesis dividimos potencias con el mismo exponente, por tanto dividimos las bases y dejamos el mismo exponente, de la siguiente manera:

$\begin{equation*} \left(\frac{4}{9}\right)^{-2}:\left(\frac{27}{8}\right)^{-3}=\left(\frac{2^{2}}{3^{3}}\right)^{-2}:\left(\frac{3^{3}}{2^{3}}\right)^{-3}=\left[\left(\frac{2}{3}\right)^{2}\right]^{2}:\left[\left(\frac{3}{2}\right)^{3}\right]^{-3}= \end{equation*}$

$\begin{equation*} =\left(\frac{2}{3}\right)^{-4}:\left(\frac{3}{2}\right)^{-9}=\left(\frac{2}{3}\right)^{-4}:\left(\frac{2}{3}\right)^{9}=\left(\frac{2}{3}\right)^{-4-9}=\left(\frac{2}{3}\right)^{-13}=\left(\frac{3}{2}\right)^{13} \end{equation*}$

19 Efectúa:

$\begin{equation*} \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^{5}\left(\frac{2}{3}\right)^{0}\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}\left(\frac{81}{16}\right)^{-2}}{\left(\frac{3}{2}\right)^{-5}\left(\frac{2}{3}\right)\left[\left(\frac{2}{3}\right)^{5}\right]^{2}\left(\frac{8}{27}\right)^{3}}= \end{equation*}$

Trataremos de poner todas las fracciones con el mismo numerador y denominador, para ello descomponemos en factores los números que no sean primos

$\begin{equation*} =\frac{\left(\frac{2}{3}\right)^{5}\left(\frac{2}{3}\right)^{0}\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}\left[\left(\frac{3}{2}\right)^{4}\right]^{-2}}{\left(\frac{3}{2}\right)^{-5}\left(\frac{2}{3}\right)\left[\left(\frac{2}{3}\right)^{5}\right]^{2}\left[\left(\frac{2}{3}\right)^{3}\right]^{3}}= \end{equation*}$

Para pasar de una potencia con exponente negativo a exponente positivo tenemos que hacer la inversa de la fracción $\left(\frac{3}{2}\right)^{-5}=\left(\frac{2}{3}\right)^{5}$ :

$\begin{equation*} =\frac{\left(\frac{2}{3}\right)^{5}\left(\frac{2}{3}\right)^{0}\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}\left(\frac{3}{2}\right)^{-8}}{\left(\frac{3}{2}\right)^{5}\left(\frac{2}{3}\right)\left(\frac{2}{3}\right)^{10}\left(\frac{2}{3}\right)^{9}}= \end{equation*}$

Volvemos a poner la fracción inversa con exponente positivo $\left(\frac{3}{2}\right)^{-8}=\left(\frac{2}{3}\right)^{8}$ :

$\begin{equation*} =\frac{\left(\frac{2}{3}\right)^{5}\left(\frac{2}{3}\right)^{0}\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}\left(\frac{2}{3}\right)^{8}}{\left(\frac{2}{3}\right)^{5}\left(\frac{2}{3}\right)\left(\frac{2}{3}\right)^{10}\left(\frac{2}{3}\right)^{9}}= \end{equation*}$

Tanto en el numerador como en el denominador multiplicamos las potencias con la misma base y dividimos los resultados:

$\begin{equation*} =\frac{\left(\frac{2}{3}\right)^{10}}{\left(\frac{2}{3}\right)^{25}}=\left(\frac{2}{3}\right)^{-15}=\left(\frac{3}{2}\right)^{15} \end{equation*}$

20 Desarrolla la siguiente operación:

$\begin{equation*} \frac{\left(2-\frac{1}{5}\right)^{2}}{\left(3-\frac{2}{9}\right)^{-1}}: \frac{\left(\frac{6}{7} \cdot \frac{5}{4}-\frac{2}{7}: \frac{1}{2}\right)^{3}}{\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}: \frac{1}{5}\right)}-5 \frac{1}{7}= \end{equation*}$

Realizamos las operaciones indicadas en los paréntesis, en el paréntesis del 2º denominador tenemos que multiplicar primero y en siguiente paso dividimos. $5 \frac{1}{7}$ es un número mixto por tanto dejamos el mismo denominador (7) y el numerador es la suma de la multiplicación del entero (5) por el denominador (7) más el numerador del número mixto (1).

$\begin{equation*} =\frac{\left(\frac{10-1}{5}\right)^{2}}{\left(\frac{27-2}{9}\right)^{-1}}: \frac{\left(\frac{30}{28}-\frac{4}{7}\right)^{3}}{\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{12}: \frac{1}{5}\right)}-\frac{35+1}{7}= \end{equation*}$

Efectuamos las operaciones indicadas y simplificamos $\frac{30}{28}$ :

$\begin{equation*}=\frac{\left(\frac{9}{5}\right)^{2}}{\left(\frac{25}{9}\right)^{-1}}: \frac{\left(\frac{15}{14}-\frac{4}{7}\right)^{3}}{\left(\frac{1}{2}-\frac{5}{12}\right)}-\frac{36}{7}=\end{equation*}$

Realizamos las operaciones indicadas y reducimos a común denominador en la 2ª fracción:

$\begin{equation*} =\frac{\left(\frac{9}{5}\right)^{2}}{\left(\frac{25}{9}\right)^{-1}}: \frac{\left(\frac{15-8}{14}\right)^{3}}{\left(\frac{6-5}{12}\right)}-\frac{36}{7}= \end{equation*}$

Efectuamos la operaciones en la segunda fracción y simplificamos:

$\begin{equation*} =\frac{\left(\frac{9}{5}\right)^{2}}{\left(\frac{25}{9}\right)^{-1}}: \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{3}}{\frac{1}{12}}-\frac{36}{7}= \end{equation*}$

Realizamos la potencias y tenemos en cuenta que en una fracción elevada a un número negativo tenemos que cambiar el numerador por el denominador y posteriormente elevar al exponente:

$\begin{equation*} =\frac{\frac{81}{25}}{\frac{9}{25}}: \frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{12}}-\frac{36}{7}=\frac{81}{9}: \frac{12}{8}-\frac{36}{7}= \end{equation*}$

Simplificamos y operamos:

$\begin{equation*} =9: \frac{3}{2}-\frac{36}{7}=\frac{18}{3}-\frac{36}{7}=6-\frac{36}{7}=\frac{42-36}{7}=\frac{6}{7} \end{equation*}$

21 Resuelve:

$\begin{equation*} \frac{2}{3}:\left[5:\left(\frac{2}{4}+1\right)-3\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)\right]= \end{equation*}$

Efectuamos las operaciones en los dos paréntesis:

$\begin{equation*} =\frac{2}{3}:\left[5:\left(\frac{2+4}{4}\right)-3\left(\frac{2-1}{4}\right)\right]= \end{equation*}$

Como hemos quitado los paréntesis el corchete se convierte en paréntesis:

$\begin{equation*} =\frac{2}{3}:\left(5: \frac{6}{4}-3 \cdot \frac{1}{4}\right)= \end{equation*}$

Realizamos la división y multiplicación del paréntesis y simplificamos los resultados:

$\begin{equation*} =\frac{2}{3}:\left(\frac{10}{3}-\frac{3}{4}\right)= \end{equation*}$

Dividimos 2/3 por el resultado del paréntesis y simplificamos

$\begin{equation*} \frac{2}{3}:\left(\frac{40-9}{12}\right)=\frac{2}{3}: \frac{31}{12}=\frac{24}{93}=\frac{8}{31} \end{equation*}$

22 Opera:

$\begin{equation*} \left[\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{9}\right)+13\left(\frac{2}{3}-1\right)^{2}\right]:\left[\left(\frac{1}{2}-1\right): 2 \frac{1}{2}\right]= \end{equation*}$

Pasamos a fracción el número mixto $2 \frac{1}{2}$ . Dejamos el mismo denominador (2) y el numerador es la suma de la multiplicación del entero (2) por el denominador (2) más el numerador del número mixto (1). Reducimos las fracciones de cada paréntesis a su común denominador.

$\begin{equation*} =\left[\left(\frac{6-1}{9}\right)+13\left(\frac{2-3}{3}\right)^{2}\right]:\left[\left(\frac{1-2}{2}\right): \frac{2 \cdot 2+1}{2}\right]= \end{equation*}$

Realizamos las operaciones en los numeradores, como dentro del 2º corchete quitamos los paréntesis, el corchete se convierte en paréntesis:

$\begin{equation*} =\left[\frac{5}{9}+13\left(\frac{-1}{3}\right)^{2}\right]:\left(-\frac{1}{2}: \frac{5}{2}\right)= \end{equation*}$

Realizamos la potencia y como no quedan paréntesis en el primer corchete, sustituimos este por un paréntesis

$\begin{equation*} =\left(\frac{5}{9}+13 \cdot \frac{1}{9}\right):\left(-\frac{1}{2}: \frac{5}{2}\right)= \end{equation*}$

Multiplicamos en el primer paréntesis y dividimos en el 2º

$\begin{equation*} =\left(\frac{5}{9}+\frac{13}{9}\right):\left(-\frac{2}{10}\right)= \end{equation*}$

Hacemos la suma del primer paréntesis, simplificamos en el 2º y dividimos:

$\begin{equation*} =\frac{18}{9}:\left(-\frac{1}{5}\right)=2:\left(-\frac{1}{5}\right)=-\frac{10}{1}=-10 \end{equation*}$

23 Efectúa:

$\begin{equation*} \left[\left(2-1 \frac{3}{5}\right)^{2}+\left(\frac{5}{8}-\frac{3}{4}\right)-\left(\frac{6}{5} \cdot \frac{1}{3}\right)^{4} \cdot\left(7 \frac{1}{2}\right)^{3}\right]:\left(5-\frac{6}{5}\right)= \end{equation*}$

Primero operamos con las productos y números mixtos de los paréntesis:

$\begin{equation*} 1 \frac{3}{5}=\frac{1 \cdot 5+3}{5}=\frac{8}{5} \end{equation*}$

$\begin{equation*} 7 \frac{1}{2}=\frac{7 \cdot 2+1}{2}=\frac{15}{2} \end{equation*}$

Sustituimos los resultados:

$\begin{equation*} =\left[\left(2-\frac{8}{5}\right)^{2}+\left(\frac{5}{8}-\frac{3}{4}\right)-\left(\frac{6}{15}\right)^{4} \cdot\left(\frac{15}{2}\right)^{3}\right]:\left(5-\frac{6}{5}\right)= \end{equation*}$

Operamos en el primer paréntesis, quitamos el segundo, simplificamos en el tercero y operamos en el último:

$\begin{equation*} =\left[\left(\frac{2}{5}\right)^{2}+\frac{5}{8}-\frac{3}{4}-\left(\frac{2}{5}\right)^{4} \cdot\left(\frac{15}{2}\right)^{3}\right]: \frac{19}{5}= \end{equation*}$

Realizamos el producto y lo simplificamos, cambiamos el corchete por un paréntesis

$\begin{equation*} =\left(\frac{4}{25}+\frac{5}{8}-\frac{3}{4}-\frac{54000}{5000}\right): \frac{19}{5}=\left(\frac{4}{25}+\frac{5}{8}-\frac{3}{4}-\frac{54}{5}\right): \frac{19}{5}= \end{equation*}$

Realizamos las operaciones del paréntesis

$\begin{equation*} =\frac{32+125-150-2160}{200}: \frac{19}{5}= \end{equation*}$

Hacemos las operaciones del numerador, dividimos y simplificamos el resultado

$\begin{equation*} =\frac{-2153}{200}: \frac{19}{5}=-\frac{10765}{3800}=-\frac{2153}{760} \end{equation*}$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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camila

Abril 2022

respóndanme Multiplicar 7x 3/5 Escribir su respuesta como una fracción en su forma más simple.

Brian

Marzo 2022

Muy clara la explicación. Al igual que la forma de resolverlos.
Gracias

Steven

Febrero 2022

Cuando voy con mi familia al supermercado y yo quiero adquirir algún alimento como medio litro de jugo 1/2, un cuarto de kilo de café 1/4, tres cuarto de kilo de queso 3/4

Reinaldo Marín Montoya

Febrero 2022

Excelente ocasión para que estudiantes de Educación Básica en colombia se ejerciten en el manejo de estos temas de las matématicas elementales.

anonimo

Febrero 2022

Maravilloso 👏 👏 👏 me ha servido de gran ayuda

Vanessa

Febrero 2022

Me ha gustado mucho, pero hay algunos pequeños errores en enunciados que sería bueno los pusierais bien, gracias

Antonio Tapia

Octubre 2022

Las personas encargadas de realizar los artículos por lo general se concentran mas en los cálculos que en los enunciados, así que a veces se dan estos errores, por lo cuál nos disculpamos, en este articulo se hizo una revisión pero no pudimos ver cuales fueron los errores a los que te refieres, podrías hacer el favor se señalárnoslo mas directamente.

Mariana

Noviembre 2021

Genial para estudiar
Gracias

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