Propiedades de potencias de racionales

 

1 Potencia de un número racional
En una fracción elevado a un exponente, este último se distribuye como exponente del numerador y denominador.

\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}
 
Ejemplo:

\displaystyle\left(\frac{2}{3}\right)^4=\frac{2^4}{3^4}=\frac{16}{81}
 

2 Potencia de exponente negativo
Un número racional elevado a un exponente negativo se intercambian numerador con denominador y el exponente cambia de signo.

\displaystyle\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^{n}
 

Ejemplo:

\displaystyle\left(\frac{2}{3}\right)^{-4}=\left(\frac{3}{2}\right)^4=\frac{81}{16}

 
3 Potencia de -1
Un número racional elevado al exponente -1, se intercambian numerador con denominador

\displaystyle\left(\frac{a}{b}\right)^{-1}=\left(\frac{b}{a}\right)
 
Ejemplo:

\displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{-1}=\left(\frac{3}{2}\right)

 


 
Las leyes de los exponentes se aplican para todos los números reales, por lo tanto, también son ciertas para los racionales.
 

1 Potencia de 0

Un número racional elevado a 0 es igual a la unidad.

 \displaystyle\left(\frac{a}{b}\right)^0=1

 

2 Potencia de 1

Un número racional elevado a 1 es igual a sí mismo.

 \displaystyle\left(\frac{a}{b}\right)^1=\frac{a}{b}


 

3 Producto de potencias


 

3.1 Potencias con la misma base

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.

\displaystyle\left(\frac{a}{b}\right)^n\cdot \left(\frac{a}{b}\right)^m=\left(\frac{a}{b}\right)^{n+m}

 

Ejemplo:

\displaystyle\left(\frac{2}{3}\right)^2\cdot \left(\frac{2}{3}\right)^3=\left(\frac{2}{3}\right)^{2+3}=\left(\frac{2}{3}\right)^{5}=\frac{2^5}{3^5}=\frac{32}{243}


 

3.2 Potencias con el mismo exponente

Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases.

\displaystyle\left(\frac{a}{b}\right)^n\cdot \left(\frac{c}{d}\right)^n=\left(\frac{a\cdot c}{b\cdot d}\right)^{n}

 

Ejemplo:

\displaystyle\left(\frac{3}{5}\right)^3\cdot \left(\frac{2}{7}\right)^3=\left(\frac{6}{35}\right)^{3}


 

4 Cociente de potencias


 

4.1 Potencias con la misma base

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.

\displaystyle\left(\frac{a}{b}\right)^n : \left(\frac{a}{b}\right)^m=\left(\frac{a}{b}\right)^{n-m}

 

Ejemplo:

\displaystyle\left(\frac{2}{3}\right)^7 : \left(\frac{2}{3}\right)^3=\left(\frac{2}{3}\right)^{7-3}=\frac{2^4}{3^4}=\frac{16}{81}


 

4.2 Potencias con el mismo exponente

Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases.

\displaystyle\left(\frac{a}{b}\right)^n : \left(\frac{c}{d}\right)^n=\left(\frac{a\cdot d}{b\cdot c}\right)^{n}

 

Ejemplo:

\displaystyle\left(\frac{3}{5}\right)^3 : \left(\frac{2}{7}\right)^3=\left(\frac{21}{10}\right)^{3}


 

5 Potencia de una potencia

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.

 \displaystyle\left[\left(\frac{a}{b}\right)^n\right]^m =\left(\frac{a}{b}\right)^{n\cdot m}


 
Ejemplo:

\displaystyle\left[\left(\frac{1}{2}\right)^3\right]^2 =\left(\frac{1}{2}\right)^{6}=\frac{1^{6}}{2^{6}}=\frac{1}{64}

¿Necesitas un profesor de Matemáticas?

¿Te ha gustado el artículo?

¿Ninguna información? ¿En serio?Ok, intentaremos hacerlo mejor la próxima vezAprobado por los pelos. ¿Puedes hacerlo mejor?Gracias. Haznos cualquier pregunta en los comentar¡Un placer poder ayudarte! :) 4,20/5 - 219 vote(s)
Cargando...

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗