Propiedades de potencias de racionales

 

1 Potencia de un número racional
En una fracción elevado a un exponente, este último se distribuye como exponente del numerador y denominador.

\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}
 
Ejemplo:

\displaystyle\left(\frac{2}{3}\right)^4=\frac{2^4}{3^4}=\frac{16}{81}
 

2 Potencia de exponente negativo
Un número racional elevado a un exponente negativo se intercambian numerador con denominador y el exponente cambia de signo.

\displaystyle\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^{n}
 

Ejemplo:

\displaystyle\left(\frac{2}{3}\right)^{-4}=\left(\frac{3}{2}\right)^4=\frac{81}{16}

 
3 Potencia de -1
Un número racional elevado al exponente -1, se intercambian numerador con denominador

\displaystyle\left(\frac{a}{b}\right)^{-1}=\left(\frac{b}{a}\right)
 
Ejemplo:

\displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{-1}=\left(\frac{3}{2}\right)

 

Superprof

Leyes de los exponentes en racionales


 
Las leyes de los exponentes se aplican para todos los números reales, por lo tanto, también son ciertas para los racionales.
 

1 Potencia de 0

Un número racional elevado a 0 es igual a la unidad.

 \displaystyle\left(\frac{a}{b}\right)^0=1

 

2 Potencia de 1

Un número racional elevado a 1 es igual a sí mismo.

 \displaystyle\left(\frac{a}{b}\right)^1=\frac{a}{b}


 

3 Producto de potencias


 

3.1 Potencias con la misma base

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.

\displaystyle\left(\frac{a}{b}\right)^n\cdot \left(\frac{a}{b}\right)^m=\left(\frac{a}{b}\right)^{n+m}

 

Ejemplo:

\displaystyle\left(\frac{2}{3}\right)^2\cdot \left(\frac{2}{3}\right)^3=\left(\frac{2}{3}\right)^{2+3}=\left(\frac{2}{3}\right)^{5}=\frac{2^5}{3^5}=\frac{32}{243}


 

3.2 Potencias con el mismo exponente

Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases.

\displaystyle\left(\frac{a}{b}\right)^n\cdot \left(\frac{c}{d}\right)^n=\left(\frac{a\cdot c}{b\cdot d}\right)^{n}

 

Ejemplo:

\displaystyle\left(\frac{3}{5}\right)^3\cdot \left(\frac{2}{7}\right)^3=\left(\frac{6}{35}\right)^{3}


 

4 Cociente de potencias


 

4.1 Potencias con la misma base

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.

\displaystyle\left(\frac{a}{b}\right)^n : \left(\frac{a}{b}\right)^m=\left(\frac{a}{b}\right)^{n-m}

 

Ejemplo:

\displaystyle\left(\frac{2}{3}\right)^7 : \left(\frac{2}{3}\right)^3=\left(\frac{2}{3}\right)^{7-3}=\frac{2^4}{3^4}=\frac{16}{81}


 

4.2 Potencias con el mismo exponente

Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases.

\displaystyle\left(\frac{a}{b}\right)^n : \left(\frac{c}{d}\right)^n=\left(\frac{a\cdot d}{b\cdot c}\right)^{n}

 

Ejemplo:

\displaystyle\left(\frac{3}{5}\right)^3 : \left(\frac{2}{7}\right)^3=\left(\frac{21}{10}\right)^{3}


 

5 Potencia de una potencia

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.

 \displaystyle\left[\left(\frac{a}{b}\right)^n\right]^m =\left(\frac{a}{b}\right)^{n\cdot m}


 
Ejemplo:

\displaystyle\left[\left(\frac{1}{2}\right)^3\right]^2 =\left(\frac{1}{2}\right)^{6}=\frac{1^{6}}{2^{6}}=\frac{1}{64}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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carlos
carlos
Invité
10 May.

Me sirvió de mucho, gracias.

Ceballos
Ceballos
Invité
5 Jun.

Eres muy buen profe

Rocabado
Rocabado
Invité
1 Oct.

Lo mejor

paez
paez
Invité
29 Abr.

Me ayudó bastante una buena página

Superprof
Superprof
Administrateur
29 Abr.

¡Gracias! <3

Loaiza
Loaiza
Invité
7 May.

Me gusta mucho estos profes son chéveres

Superprof
Superprof
Administrateur
19 May.

<3

Maestre
Maestre
Invité
19 May.

Buenas tardes Si tengo el producto de varias potencias de igual base y diferente exponente pero uno de ellos es negativo, puedo aplicar la propiedad de sumar los exponentes o debo aplicar la del inverso pata que el exponente quede positivo? Gracias

Superprof
Superprof
Administrateur
5 Jun.

Hola, se puede resolver de ambas maneras:

por suma: 2^(-4) • 2^2 = 2^(-4 + 2) = 2^(-2) = 1/(2^2) = 1/4.
inverso: 2^(-4) • 2^2 = 1/(2^4) • 2^2 = (2^2)/(2^4) = 1/(2^2) = 1/4

¡Un saludo!

Gomez
Gomez
Invité
20 May.

Como resuelvo 2 elevado a la raiz de 3?

Juan Manuel Sanchez Perez
Juan Manuel Sanchez Perez
Editor
28 Jun.

¡Hola!

¿Te refieres al número 2^{\sqrt{3}}? ¿Podrías darnos más información sobre qué es lo que necesitas hacer? Ocurre que esa representación ya es muy «simple» y difícilmente podríamos encontrar otra más sencilla.

Si nos proporcionas más información, con gusto te ayudamos. ¡Un saludo!

Zuñiga
Zuñiga
Invité
2 Jun.

Excelente trabajo que sirve de apoyo y facilita el entendimiento, comprensión e interpretación de los estudiantes

Superprof
Superprof
Administrateur
3 Jun.

¡Muchas gracias!

alessandro
alessandro
Invité
5 Jun.

muchas gracias Marta, la verdad que es un buen sitio para aprender y reforzar la matematica, una vez mas gracias

Superprof
Superprof
Administrateur
6 Jun.

<3

Amezquita
Amezquita
Invité
17 Jun.

hola esto me ayudo mucho, muchas gracias ༼ つ ◕_◕ ༽つ

Superprof
Superprof
Administrateur
17 Jun.

¡Qué bien! Nos alegra mucho leer eso 🙂

Yineth Alejandra Vargas Ortiz
Yineth Alejandra Vargas Ortiz
Invité
18 Jun.

Esta muy bien explicado cada propiedad de la potencia y me sirvio mucho

Superprof
Superprof
Administrateur
1 Jul.

¡Genial! 🙂

marques
marques
Invité
25 Jun.

cual es lapropiedad distributiva con respecto a la multiplicacion de los numerosracionales

Superprof
Superprof
Administrateur
3 Jul.

Hola, para encontrar la respuesta a tu pregunta, te aconsejamos usar el buscador arriba a la derecha y leer nuestro artículo «todo sobre los números racionales». ¡Un saludo!

Restrepo
Restrepo
Invité
29 Jun.

Me encanto me ayudó con la trea de matematicas me encanto este profeee😶❤💖

Superprof
Superprof
Administrateur
3 Jul.

¡Genial! Nos alegramos 🙂

Juan
Juan
Invité
9 Jul.

Me ayudo :>

Superprof
Superprof
Administrateur
15 Jul.

¡Genial! 🙂

Sandra
Sandra
Invité
9 Jul.

Muchas gracias, excelente!!!

Superprof
Superprof
Administrateur
13 Jul.

<3

Ruiz
Ruiz
Invité
19 Jul.

son muy cheveres me encanta

Superprof
Superprof
Administrateur
20 Jul.

<3

valentina
valentina
Invité
21 Jul.

en el último el denominador 3 se equivocaron verdad? era 2 no?

Superprof
Superprof
Administrateur
24 Jul.

Hola, gracias por el comentario y por ayudarnos a mejorar nuestra página. ¡Un saludo!