Marta

29 septiembre 2020

Temas

 

Calcula qué fracción de la unidad representan

 

1 La mitad de la mitad.

2 La mitad de la tercera parte.

3 La tercera parte de la mitad.

4 La mitad de la cuarta parte.

 

Calcula qué fracción de la unidad representan 

1 La mitad de la mitad.

 

\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

 

2 La mitad de la tercera parte.

 

\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}

 

3 La tercera parte de la mitad.

 

\displaystyle \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}

 

4 La mitad de la cuarta parte.

 

\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8}

Problemas de la vida diaria usando fracciones

 

1Para preparar un pastel, se necesita:

\frac{1}{3} de un paquete de 750 \, \text{g} de azúcar.

 

\frac{3}{4} de un paquete de harina de kilo.

 

\frac{3}{5} de una barra de mantequilla de 200 \, \text{g}.

 

Halla, en gramos, las cantidades que se necesitan para preparar el pastel.

 

 

1 Para preparar un pastel, se necesita:

\frac{1}{3} de un paquete de 750 \, \text{g} de azúcar.

 

\frac{3}{4} de un paquete de harina de kilo.

 

\frac{3}{5} de una barra de mantequilla de 200 \, \text{g}.

 

Halla, en gramos, las cantidades que se necesitan para preparar el pastel.

 

    \begin{align*} \frac{1}{3} \cdot 750 &= 250 \, \text{g}\\ \\ \frac{3}{4} \cdot 1000 &= 750 \, \text{g}\\ \\ \frac{3}{5} \cdot 200 &= 120 \, \text{g}\\ \end{align*}

 

2De una pieza de tela de 48 \, \text{m} se cortan \frac{3}{4}. ¿Cuántos metros mide el trozo restante?

 

2 De una pieza de tela de 48 \, \text{m} se cortan \frac{3}{4}. ¿Cuántos metros mide el trozo restante? 

Calculamos a cuántos metros equivalen \frac{3}{4} y se lo restamos a los 48 \, \text{m}.

 

\displaystyle \frac{3}{4} \cdot 48 = 36 \qquad \Rightarrow \qquad 48 \, \text{m} - 36 \, \text{m} = 12 \, \text{m}.

 

3  Una caja contiene 60 bombones. Eva se comió \frac{1}{5} de los bombones y Ana \frac{1}{2}.

 

a)¿Cuántos bombones comió Eva y cuántos Ana?

 

b)¿Qué fracción de bombones se comieron entre las dos?

 

3  Una caja contiene 60 bombones. Eva se comió \frac{1}{5} de los bombones y Ana \frac{1}{2}. 

  1. ¿Cuántos bombones comió Eva y cuántos Ana?

 

Multiplicamos 60 por la fracción correspondiente de Eva y Ana.

 

\displaystyle \frac{1}{5} \cdot 60 = 12 \qquad \text{y} \qquad \frac{1}{2} \cdot 60 = 30

 

Eva ha comido 12 y Ana 30.

 

  1.  ¿Qué fracción de bombones se comieron entre las dos

 

\displaystyle \frac{1}{5} + \frac{1}{2} = \frac{2 + 5}{10} = \frac{7}{10}

 

4Hace unos años Pedro tenía 24 años, que representan los \frac{2}{3} de su edad actual. ¿Qué edad tiene Pedro? 

 

4Hace unos años Pedro tenía 24 años, que representan los \frac{2}{3} de su edad actual. ¿Qué edad tiene Pedro?

 

representacion en tercios de la unidad

 

24 equivale a dos de las tres partes de la edad, entonces calculamos cuánto vale una parte (24:2) y el resultado se multiplica por el número total de partes, o sea, 3.

 

\displaystyle \frac{1}{2} \cdot 24 = 12 \qquad \Rightarrow \qquad 12 \cdot 3 = 36

 

Por lo tanto, Pedro tiene 36 años de edad.

 

5Los \frac{2}{5} de los ingresos de una comunidad de vecinos se emplean en combustible, \frac{1}{8} se emplea en electricidad, \frac{1}{12} en la recogida de basuras, \frac{1}{4} en mantenimiento del edificio y el resto se emplea en limpieza. 

a) ¿Qué fracción de los ingresos se emplea en limpieza?

 

b) De acuerdo con la fracción de ingresos empleada, ordena las partidas enumeradas de menor a mayor.

 

 

5Los \frac{2}{5} de los ingresos de una comunidad de vecinos se emplean en combustible, \frac{1}{8} se emplea en electricidad, \frac{1}{12} en la recogida de basuras, \frac{1}{4} en mantenimiento del edificio y el resto se emplea en limpieza.

 

    • ¿Qué fracción de los ingresos se emplea en limpieza? 

      Para resolver esto, debemos sumar las fracciones de cada una de las demás partidas este resultado restarlo a 1. Así

       

          \begin{align*} \frac{2}{5} + \frac{1}{8} + \frac{1}{12} + \frac{1}{4} &= \frac{(2)(8)(3) + (1)(3)(5) + (1)(2)(5) + (1)(6)(5)}{120}\\ &= \frac{48 + 15 + 10 + 30}{120}\\ &= \frac{103}{120}\\ \end{align*}

       

      Restando nuestro resultado anterior a 1 obtenemos

       

      \displaystyle 1 - \frac{103}{120} = \frac{120}{120} - \frac{103}{120} = \frac{17}{120}

       

      Por lo tanto, se emplearon \frac{17}{120} del ingreso a limpieza.

 

  • De acuerdo con la fracción de ingresos empleada, ordena las partidas enumeradas de menor a mayor 

    \displaystyle \frac{1}{12} < \frac{1}{8} < \frac{17}{120} < \frac{1}{4} < \frac{2}{5}

     

    Tomamos las fracciones con el mismo denominador

     

    \displaystyle \frac{10}{120} < \frac{15}{120} < \frac{17}{120} < \frac{30}{120} < \frac{48}{120}

 

 

6En las elecciones locales celebradas en un pueblo, \frac{3}{11} de los votos fueron para el partido A, \frac{3}{10} para el partido B, \frac{5}{14} para C y el resto para el partido D. El total de votos ha sido de 15400. Calcular: 

a)  El número de votos obtenidos por cada partido.

 

b)  El número de abstenciones sabiendo que el número de votantes representa \frac{5}{8} del censo electoral.

 

6En las elecciones locales celebradas en un pueblo, \frac{3}{11} de los votos fueron para el partido A, \frac{3}{10} para el partido B, \frac{5}{14} para C y el resto para el partido D. El total de votos ha sido de 15400. Calcular: 

    • El número de votos obtenidos por cada partido.

      Partido A:

       

      \displaystyle \frac{3}{11} \cdot 15400 = 4200

       

      Partido B:

       

      \displaystyle \frac{3}{10} \cdot 15400 = 4620

       

      Partido C:

       

      \displaystyle \frac{5}{14} \cdot 15400 = 5500

       

      Partido D:

       

      \displaystyle 154500 - 4200 - 4620 - 5500 = 1080

 

  • El número de abstenciones sabiendo que el número de votantes representa \frac{5}{8} del censo electoral. 

    Notemos que el total de votantes es \frac{8}{8}, es decir, que es 1, por lo tanto, la fracción de abstenciones es

     

    \displaystyle \frac{8}{8} - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}

     

    representacion en octavas partes de la unidad

     

    Así, la cantidad de abstenciones está dada por

     

    \displaystyle \frac{3}{8} \cdot 15400 = 9240

     

    La recta está dividida en 8 partes iguales para saber la cantidad que representa cada parte tenemos en cuenta que las 5 primeras partes (la de los votos) suman 15400 por tanto una parte será 15400 dividido entre 5 que es igual a 3080. Y las otras tres partes (la de las abtenciones) se obtendrán multiplicando 3 por 3080.

 

Problemas de fracciones con litros

 

1 Un depósito contiene 150 \, \text{L} de agua. Se consumen los \frac{2}{5} de su contenido. ¿Cuántos litros de agua quedan?

 

1Un depósito contiene 150 \, \text{L} de agua. Se consumen los \frac{2}{5} de su contenido. ¿Cuántos litros de agua quedan?

 

El contenido total de agua es \frac{5}{5} = 1 y consumimos \frac{2}{5}, por tanto queda:

 

\displaystyle \frac{5}{5} - \frac{2}{5} = \frac{3}{5} \qquad \Rightarrow \qquad \frac{3}{5} \cdot 150 \, \text{L}= 90 \, \text{L}

 

2 Una familia ha consumido en un día de verano: 

Dos botellas de litro y medio de agua.

 

Cuatro botes de \frac{1}{3} de litro de zumo.

 

Cinco limonadas de \frac{1}{4} de litro.

 

¿Cuántos litros de líquido han bebido? Expresa el resultado con un número mixto.

 

2 Una familia ha consumido en un día de verano:

Dos botellas de litro y medio de agua.

 

Cuatro botes de \frac{1}{3} de litro de zumo.

 

Cinco limonadas de \frac{1}{4} de litro.

 

¿Cuántos litros de líquido han bebido? Expresa el resultado con un número mixto.

 

En primer lugar pasamos el litro y medio a fracción.

 

\displaystyle 1\frac{1}{2} = \frac{2 + 1}{2} = \frac{3}{2}

 

Multiplicamos cada número de elementos por su fracción correspondiente. Ponemos a común denominador y sumamos

 

    \begin{align*} 2 \cdot \frac{3}{2} + 4 \cdot \frac{1}{3} + 5 \cdot \frac{1}{4} &= \frac{6}{2} + \frac{4}{3} + \frac{5}{4}\\ &= \frac{36 + 16 + 15}{12}\\ &= \frac{67}{12} \end{align*}

 

Se divide el numerador por el denominador (67 : 12), el cociente (5) es el entero del número mixto, el resto (7) es el numerador de la fracción y el denominador es el mismo de la fracción impropia (12):

 

\displaystyle 67 = 12 \cdot 5 + 7 \qquad \Rightarrow \qquad \frac{67}{12} = 5\frac{7}{12} \, \text{L}

3 ¿Cuántos tercios de litro hay en 4 \, \text{L}?

 

3 ¿Cuántos tercios de litro hay en 4 \, \text{L}?

 

\displaystyle 4 : \frac{1}{3} = 12

 

representacion grafica de cantidad de tercios en 4 litros

 

En 1 \, \text{L} hay tres tercios, por lo que en 4 \, \text{L} habrá: 4 \cdot 3 = 12 \, \text{L}

 

 

Problemas de fracciones con metros y kilómetros

 

1Un cable de 72 \, \text{m} de longitud se corta en dos trozos. Uno tiene las \frac{5}{6} partes del cable. ¿Cuántos metros mide cada trozo?

 

1Un cable de 72 \, \text{m} de longitud se corta en dos trozos. Uno tiene las \frac{5}{6} partes del cable. ¿Cuántos metros mide cada trozo?

 

Calculamos a cuántos metros equivalen \frac{5}{6} y se lo restamos a 72.

 

\displaystyle \frac{5}{6}\cdot 72 = \frac{(5)(72)}{6} = 60

 

Restando a 72

 

\displaystyle 72 - 60 = 12 \, \text{m}

 

2 Ana ha recorrido 600 \, \text{m}, que son los \frac{3}{4} del camino de su casa al instituto. ¿Qué distancia hay de su casa al instituto?

 

2Ana ha recorrido 600 \, \text{m}, que son los \frac{3}{4} del camino de su casa al instituto. ¿Qué distancia hay de su casa al instituto?

 

representacion grafica de tres cuartos de 600

 

600 equivale a las tres partes del camino, entonces calculamos cuánto vale una parte (600 : 3) y el resultado se multplica por el número total de partes (4):

 

\displaystyle 600 : 3 = 200 \qquad \Rightarrow \qquad 4 \cdot 200 = 800 \, \text{m}

 

3Dos automóviles A y B hacen un mismo trayecto de 572 \, \text{km}. El automóvil A lleva recorrido los \frac{5}{11} del trayecto cuando el B ha recorrido los \frac{6}{13} del mismo. ¿Cuál de los dos va primero? ¿Cuántos kilómetros llevan recorridos cada uno?

 

3Dos automóviles A y B hacen un mismo trayecto de 572 \, \text{km}. El automóvil A lleva recorrido los \frac{5}{11} del trayecto cuando el B ha recorrido los \frac{6}{13} del mismo. ¿Cuál de los dos va primero? ¿Cuántos kilómetros llevan recorridos cada uno?

 

Reducimos a común denominador para poder comparar las fracciones

 

\displaystyle \frac{5}{11} = \frac{65}{143}, \frac{6}{13} = \frac{66}{143} \qquad \Rightarrow \qquad \frac{5}{11} < \frac{6}{13}

 

El automovil B va primero.

 

Ahora analicemos ahora la distancia recorrida por cada uno:

 

    • Automovil A 

      \displaystyle \frac{5}{11} \cdot 572 = \frac{(5)(572)}{11} = 260 \, \text{km}

 

  • Automovil B 

    \displaystyle \frac{6}{13} \cdot 572 = \frac{(6)(572)}{13} = 264 \, \text{km}

 

Problemas de fracciones con dinero

 

1 Elena va de compras con 180 euros. Se gasta \frac{3}{5} de esa cantidad. ¿Cuánto le queda?

 

1 Elena va de compras con 180 euros. Se gasta \frac{3}{5} de esa cantidad. ¿Cuánto le queda?

 

Calculamos a cuánto equivalen \frac{3}{5} y se lo restamos a 180.

 

\displaystyle \frac{3}{5}\cdot 180 = \frac{(3)(180)}{5} = 108 \qquad \Rightarrow \qquad 180 - 108 = 72 \, \text{euros}.

 

2 Un padre reparte entre sus hijos 1800 euros. Al mayor le da \frac{4}{9} de esa cantidad, al mediano \frac{1}{3} y al menor el resto. ¿Qué cantidad recibió cada uno? ¿Qué fracción del dinero recibió el tercero?

 

2 Un padre reparte entre sus hijos 1800 euros. Al mayor le da \frac{4}{9} de esa cantidad, al mediano \frac{1}{3} y al menor el resto. ¿Qué cantidad recibió cada uno? ¿Qué fracción del dinero recibió el tercero?

 

    • Mayor: 

      \displaystyle \frac{4}{9} \cdot 1800 = \frac{(4)(1800)}{9} = 800 \, \text{euros}.

 

    • Mediano: 

      \displaystyle \frac{1}{3} \cdot 1800 = \frac{(1)(1800)}{3} = 600 \, \text{euros}.

 

  • Menor: 

    Primero calculemos la fracción dinero correspondiente al menor

     

    \displaystyle 1 - \left(\frac{4}{9} + \frac{1}{3} \right) = 1 - \frac{4}{9} - \frac{1}{3} = \frac{9 - 4 - 3}{9} = \frac{2}{9}.

     

    Ahora calculemos la cantidad

     

    \displaystyle \frac{2}{9} \cdot 1800 = \frac{(2)(1800)}{9} = 400 \, \text{euros}.

 

3 Alicia dispone de 300 euros para compras. El jueves gastó \frac{2}{5} de esa cantidad y el sábado los \frac{3}{4} de lo que le quedaba. ¿Cuánto gastó cada día y cuánto le queda al final?

 

3 Alicia dispone de 300 euros para compras. El jueves gastó \frac{2}{5} de esa cantidad y el sábado los \frac{3}{4} de lo que le quedaba. ¿Cuánto gastó cada día y cuánto le queda al final?

 

    • Jueves:

      \displaystyle \frac{2}{5}\cdot 300 = \frac{(2)(300)}{5} = 120 \; \text{euros}

 

    • Sábado:

      Primero calculemos lo que le quedó después del jueves

       

      \displaystyle 300 - 120 = 180 \; \text{euros}

       

      Ahora a esta cantidad hay que calcular la fracción que se gastó

       

      \displaystyle \frac{3}{4} \cdot 180 = \frac{(3)(180)}{4} = 135 \; \text{euros}

 

  • Restante: 

    Restemos a 180 la cantidad que gastó el sábado, así

     

    \displaystyle 180 - 135 = 45 \; \text{euros}

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗