1 Hallar el término general de las siguientes sucesiones:
- a
b
c
a Si prescindimos del signo, el numerador es una progresión aritmética con una y el denominador es es una progresión aritmética de
.
Ahora bien, por ser los términos impares los negativos entonces multiplicamos por , obteniendo
b Notemos que el numerador es una progresión aritmética con una y el denominador es una progresión geométrica con una
, por tanto el término general queda
c Si prescindimos del signo, el numerador es una progresion aritmética con una y el denominador es una progresión geométrica con una
.
Por otro lado, por ser los términos pares los negativos multiplicamos por , obteniendo
2 Estudia la monotonia, la convergencia o divergencia y las cotas (si existen) de la siguiente sucesión:
Monotonia:
Veamos como se comportar los primeros términos
Notemos que cada termino es mayor que el anterior , esto nos hace pensar que es monótona estrictamente creciente. Supongamos que en efecto es monótona creciente, entonces se debe cumplir que
Puesto que la desigualdad se cumple para cualquier valor de , es monotona estrictamente creciente.
Convergencia
Notemos que
es decir, el limite es 1 y por tanto sucesión convergente.
Cotas
Por ser creciente, es una cota inferior, el mínimo. Tambien tendremos que
es una cota superior, el supremo o extremo superior.
Por tanto la sucesión está acotada:
3 Probar que .
Debemos mostrar que para todo existe un numero
a partir del cual todo
cumplirá que
Por tanto, tomemos cualquiera y se debe cumplir que
a partir de cierta . Veamos si esto es posible
notemos que siempre podemos encontrar tal que se cumpla la desigualdad anterior, por tanto
4Calcula los siguientes límites:
- a
b
c
Calcula los siguientes límites:
a :
b
c
5Calcula los siguientes límites:
- a
b
c
Nota: Infinito no es un número, las operaciones que realizamos con ∞ son simplemente un recurso para ayudarnos a resolver límites.
a
b :
c :
Siendo el exponente la suma ilimitada de una progresión geométrica decreciente.
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