Ejercicios propuestos

1 Hallar el término general de las siguientes sucesiones:

    a -5, \frac{7}{2},-\frac{9}{3}, \frac{11}{4},-\frac{13}{5}, \dots
    b \frac{5}{6}, \frac{7}{12}, \frac{9}{24}, \frac{11}{48}, \frac{13}{96}, \dots
    c \frac{1}{2},-\frac{2}{6}, \frac{3}{18},-\frac{4}{54}, \frac{5}{162}, \dots

a Si prescindimos del signo, el numerador es una progresión aritmética con una d= 2 y el denominador es es una progresión aritmética de d= 1.

Ahora bien, por ser los términos impares los negativos entonces multiplicamos por (-1)^n, obteniendo
 

    \[ -5, \frac{7}{2},-\frac{9}{3}, \frac{11}{4},-\frac{13}{5}, \dots,(-1)^{n} \frac{2 n+3}{n} \]

 

b Notemos que el numerador es una progresión aritmética con una d= 2 y el denominador es una progresión geométrica con una r= 2, por tanto el término general queda
 

    \[ \frac{5}{6}, \frac{7}{12}, \frac{9}{24}, \frac{11}{48}, \frac{13}{96}, \ldots, \frac{2 n+3}{3\cdot 2^{n}} \]

 

c Si prescindimos del signo, el numerador es una progresion aritmética con una d= 1 y el denominador es una progresión geométrica con una r= 3.

Por otro lado, por ser los términos pares los negativos multiplicamos por (-1)^{n+1}, obteniendo
 

    \[ \frac{1}{2},-\frac{2}{6}, \frac{3}{18},-\frac{4}{54}, \frac{5}{162}, \cdots, \frac{(-1)^{n-1} \cdot n}{\frac{2}{3} \cdot 3^{n}} \]

2 Estudia la monotonia, la convergencia o divergencia y las cotas (si existen) de la siguiente sucesión: a_n = \frac{n}{n+1}

Monotonia:

Veamos como se comportar los primeros términos
 

    \[ \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6},\dots \]

 
Notemos que cada termino es mayor que el anterior , esto nos hace pensar que es monótona estrictamente creciente. Supongamos que en efecto es monótona creciente, entonces se debe cumplir que
 

    \[ \begin{align*} a_{n+1}-a_{n}&>0 \\ \frac{(n+1)}{(n+1)+1}-\frac{n}{n+1}&>0 \\ \frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1}&>0 \\ \frac{n^{2}+2 n+1-n^{2}-2 n}{(n+2) \cdot(n+1)}&>0 \\ \frac{1}{(n+2) \cdot(n+1)}&>0 \end{align*} \]

 
Puesto que la desigualdad se cumple para cualquier valor de n, es monotona estrictamente creciente.
 
Convergencia

Notemos que
 

    \[ \begin{aligned} &a_{1}=0.5 \\ &a_{3}=0.6666 \\ &a_{1000}=0.999000999001 \\ &a_{1000000}=0.999999000001 \end{aligned}\]

 
es decir, el limite es 1 y por tanto sucesión convergente.

 
Cotas

Por ser creciente,1/2 es una cota inferior, el mínimo. Tambien tendremos que 1 es una cota superior, el supremo o extremo superior.

Por tanto la sucesión está acotada:

    \[ 0.5 \leq a_{n} < 1 \]

3 Probar que \lim_{n \to \infty} \frac{3 n-8}{4 n+1} = \frac{3}{4} .

Debemos mostrar que para todo \epsilon > 0 existe un numero n_0 \in \mathbb{N} a partir del cual todo n > n_0 cumplirá que
 

    \[ | \frac{3 n-8}{4 n+1} - \frac{3}{4} | < \epsilon \]

 
Por tanto, tomemos \epsilon > 0 cualquiera y se debe cumplir que
 

    \[ | \frac{3 n-8}{4 n+1} - \frac{3}{4} | < \epsilon \]

 
a partir de cierta n. Veamos si esto es posible
 

    \begin{align*} | \frac{3 n-8}{4 n+1} - \frac{3}{4} | &< \epsilon \\ \left|\frac{12 n-32-12 n-3}{16 n+4}\right| &< \epsilon \\ \left|\frac{-35}{16 n+4}\right| &< \epsilon \\ \frac{35}{16 n+4} &< \epsilon \end{align*}

 
notemos que siempre podemos encontrar n tal que se cumpla la desigualdad anterior, por tanto
 

    \[ \lim_{n \to \infty} \frac{3 n-8}{4 n+1} = \frac{3}{4} \]


 

4Calcula los siguientes límites:

    a \lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{n^{2}+3 n}-\sqrt{n^{2}+n}\right)
    b \lim_{n \to \infty} \frac{\left(n^{2}+1\right)^{2}-3 n^{2}+3}{n^{3}-5}
    c \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3}{n^{2}+2}}{\sqrt{\frac{7}{n^{2}-1}}}

Calcula los siguientes límites:

a \lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{n^{2}+3 n}-\sqrt{n^{2}+n}\right) :
 

    \[ \begin{aligned} &= \lim \frac{\left(\sqrt{n^{2}+3 n}-\sqrt{n^{2}+n}\right) \cdot\left(\sqrt{n^{2}+3 n}+\sqrt{n^{2}+n}\right)}{\left(\sqrt{n^{2}+3 n}+\sqrt{n^{2}+n}\right)} \\ &=\lim \frac{n^{2}+3 n-n^{2}-n}{\left(\sqrt{n^{2}+3 n}+\sqrt{n^{2}+n}\right)} \\ &=\lim \frac{2 n}{\left(\sqrt{n^{2}+3 n}+\sqrt{n^{2}+n}\right)} \\ &=\lim \frac{\frac{2 n}{n}}{\sqrt{\frac{n^{2}}{n^{2}}+\frac{3}{n^{2}}}+\sqrt{\frac{n^{2}}{n^{2}}+\frac{n}{n^{2}}}} \\ &=\lim \frac{2}{\sqrt{1+\frac{3}{n^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{n}}}\\ &=\frac{2}{2}=1 \end{aligned} \]

 

b \lim_{n \to \infty} \frac{\left(n^{2}+1\right)^{2}-3 n^{2}+3}{n^{3}-5}
 

    \[ \begin{aligned} \lim \frac{\left(n^{2}+1\right)^{2}-3 n^{2}+3}{n^{3}-5} &= \lim \frac{n^{4}+2 n+1-3 n^{2}+3}{n^{3}-5} \\ &=\lim \frac{n^{4}-3 n^{2}+2 n+4}{n^{3}-5} \\ &=\lim \frac{\frac{n^{4}}{n^{4}}-\frac{3 n^{2}}{n^{4}}+\frac{2 n}{n^{4}}+\frac{4}{n^{4}}}{\frac{n^{3}}{n^{4}}-\frac{5}{n^{4}}} \\ &=\lim \frac{1-\frac{3}{n^{2}}+\frac{2}{n^{3}}+\frac{4}{n^{4}}}{\frac{1}{n}-\frac{5}{n^{4}}}\\ &=\frac{1}{0}=\infty \end{aligned} \]

 

c \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3}{n^{2}+2}}{\sqrt{\frac{7}{n^{2}-1}}}
 

    \[ \lim \frac{\frac{3}{n^{2}+2}}{\sqrt{\frac{7}{n^{2}-1}}} &= \lim \frac{3 \sqrt{n^{2}-1}}{\sqrt{7}\left(n^{2}+2\right)}=0 \]

 

5Calcula los siguientes límites:

    a \lim \left(\frac{-2 n^{2}}{3 n+1}\right)^{\frac{-3 n^{2}+2}{5 n-3}}
    b \lim \left(\frac{2 n+1}{2 n+4}\right)^{\frac{n^{2}}{n+1}}
    c \sqrt{3}, \sqrt{3 \sqrt{3}}, \sqrt{3 \sqrt{3 \sqrt{3}}}, \ldots

Nota: Infinito no es un número, las operaciones que realizamos con ∞ son simplemente un recurso para ayudarnos a resolver límites.

a \lim \left(\frac{-2 n^{2}}{3 n+1}\right)^{\frac{-3 n^{2}+2}{5 n-3}}

    \[ \lim \left(\frac{-2 n^{2}}{3 n+1}\right)^{\frac{-3 n^{2}+2}{5 n-3}}=-\infty^{-\infty}=\frac{1}{-\infty}=\frac{1}{-\infty}=0 \]

 

b \lim \left(\frac{2 n+1}{2 n+4}\right)^{\frac{n^{2}}{n+1}} :

    \[ \begin{aligned} \lim \left(\frac{2 n+1}{2 n+4}\right)^{\frac{n^{2}}{n+1}} &=\lim \left(1+\frac{-3}{2 n+4}\right)^{\frac{n^{2}}{n+1}} \\ &=\lim \left(1+\frac{1}{\frac{2 n+4}{-3}}\right)^{\frac{n^{2}}{n+1}} \\ &=\left[\lim \left(1+\frac{1}{\frac{2 n+4}{-3}}\right)^{\frac{2 n+4}{-3}}\right]^{\lim \frac{-3}{2 n+4} \cdot \frac{n^{2}}{n+1}} \\ &=e ^{\frac{-3}{2}}=\frac{1}{\sqrt{e^{3}}} \end{aligned} \]

 
c \sqrt{3}, \sqrt{3 \sqrt{3}}, \sqrt{3 \sqrt{3 \sqrt{3}}}, \ldots:
 

    \[ \begin{aligned} &\sqrt{3}=3^{\frac{1}{2}} \\ &\sqrt{3 \sqrt{3}}=3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{4}}=3^{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}} \\ &\sqrt{3 \sqrt{3 \sqrt{3}}}=3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{4}} \cdot 3^{\frac{1}{8}}=3^{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}} \\ &a_{n}=3^{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots} \end{aligned}\]

 
Siendo el exponente la suma ilimitada de una progresión geométrica decreciente.
 

    \[ 3^{\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}}=3 \]

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗