El límite de una sucesión es el número al cual se van aproximando los términos de una sucesión.
Ejemplos:
1
a1 = 1
a2 = 0.5
a1000 = 0.001
a1000 000 = 0.000001
El límite es 0
2
a1 = 0.5
a2 = 0.6666....
a1000 = 0.999000999001
a1000 000 = 0.999999000001
El límite es 1.
3
a1 = 5
a2 = 7
a1000 = 2 003
a1000 000 = 2 000 003
Ningún número sería el límite de esta sucesión, el límite es ∞.
Límite finito de una sucesión
Una sucesión an tiene por límite L si y sólo si para cualquiera número positivo ε que tomemos, existe un término ak, a partir del cual todos los términos de an, siguientes a ak cumplen que |an − L| < ε.
La sucesión an = 1/n tiene por límite 0.
Se puede determinar a partir de que término de la sucesión, su distancia a 0 es menor que un número positivo (ε), por pequeño que éste sea.
Como k>10 a partir del a11 se cumplirá que su distancia a 0 es menor que 0.1.
Vamos a determinar a partir de que término la distancia a 0 es menor que 0.001.
A partir del a1001 se cumplirá que su distancia a 0 es menor que 0.001.
También podemos definir el límite de una sucesión mediante entornos:
Una sucesión an tiene por límite L si y sólo si para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeño que sea su radio ε, existe un término de la sucesión, a partir del cual, los siguientes términos pertenecen a dicho entorno.
Límite infinito de una sucesión
Una sucesión an tiene por límite +∞ cuando para toda M > 0 existe un término ak, a partir del cual todos los términos de an, siguientes a ak cumplen que an > M.
El límite de la sucesión an= n² es +∞.
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...
Si M es igual a 10 000, su raíz cuadrada es 100, por tanto a partir de a101 superará a 10 000.
a101= 101² = 10 201
Una sucesión an tiene por límite −∞ cuando para toda N > 0 existe un término ak, a partir del cual todos los términos de an, siguientes a ak cumplen que an < −N.
Vamos a comprobar que el límite de la sucesión an= −n² es −∞.
−1, −4, −9, −16, −25, −36, −49, ...
Si N = 10 000, su raíz cuadrada es 100, por tanto a partir de a101 superará a −10 000.
a101= −101² = −10 201
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