El límite de una sucesión es el número al cual se van aproximando los términos de una sucesión.

Veamos algunos ejemplos,

Ejemplos:

1 Consideremos los siguientes términos de una sucesión

    $$a_{1}=3.5,\quad a_{2}=3,\quad a_{3}=2.5, $$

    $$a_{100}=-46.5,\quad a_{1000}=-496.5,\quad a_{1000000}=-499996.5$$

La sucesión es divergente y su límite es -\infty.

2 Consideremos los siguientes términos de una sucesión

    $$a_{1}=1,\quad a_{2}=0.5,\quad a_{1000}=0.001, $$

    $$a_{1000000}=0.000001$$

La sucesión se aproxima cada vez más a cero, podemos concluir que su límite es cero.

3  Veamos los siguientes términos de una sucesión de número positivos,

    $$a_{1}=0.5,\quad a_{2}=0.6666,\quad a_{1000}=0.999000999001, $$

    $$a_{1000000}=0.999999000001$$

Estos términos nos indican que la sucesión esta tendiendo a 1. De hecho si continuamos viendo sus valores tendremos que su límite es realmente 1.

Límite finito de una sucesión

 

Una sucesión a_{n} tiene por límite L si y sólo si para cualquiera número positivo

\epsilon que tomemos, existe un término a_{k}, a partir del cual todos los términos de

 a_{n},  siguientes a  a_{k},  cumplen que

    $$|a_{n}-L|<\epsilon.$$

 

También podemos definir el límite de una sucesión mediante entornos:

Una sucesión a_{n} tiene por límite L si y sólo si para cualquier entorno de

L que tomemos, por pequeño que sea su radio \epsilon, existe un término de la sucesión, a

partir del cual, los siguientes términos pertenecen a dicho entorno.

 

Ejemplos:

1 Notemos que la sucesión a_{n}=1/n tiene como límite cero.

Para esto tomemos un número \epsilon muy cercano a cero, sea k un número natural tal que

    $$k>\cfrac{1}{\epsilon},$$

de esta forma para todo número natural n>k tenemos que

    $$\left\vert\cfrac{1}{n}-0\right\vert=\cfrac{1}{n}<\cfrac{1}{k}<\epsilon.$$

Lo cual nos indica que el límite es cero.

2 ¿A partir de que número la sucesión a_{n}=\left(\cfrac{5}{n}\right) es menor que 0.1?Consideremos algunos múltiplos de 10 y calculemos la sucesión para n=20,40,50,

    $$ a_{20}=\cfrac{5}{20}=0.25,\quad a_{40}=\cfrac{5}{40}=0.125,\quad a_{50}=\cfrac{5}{50}=0.1.$$

Para n=50 tenemos que a_{50}=0.1, lo cual implica que para número mayores a 50

la sucesión es menor que 0.1. De hecho podemos ir notando que la sucesión es decreciente y que su  límite es igual a cero.

3 ¿A partir de que número la sucesión

    $$a_{n}=\left(\cfrac{3n+8}{n^{3}+1}\right)$$

es menor que 0.001?

Calculemos el valor de la sucesión para ciertos valores, digamos n=40,50,60,

$$ a_{40}=\left(\cfrac{3(40)+8}{(40)^{3}+1}\right)=0.00199,\quad a_{50}=\left(\cfrac{3(50)+8}{(50)^{3}+1}\right)=0.00126,

    $$a_{60}=\left(\cfrac{3(60)+8}{(60)^{3}+1}\right)=0.00087.$$

De esta forma podemos garantizar que a partir de 60 se satisface la condición pedida. Más aún notemos que para n=61 la sucesión sigue disminuyendo,

    $$a_{61}=\left(\cfrac{3(61)+8}{(61)^{3}+1}\right)=0.00084.$$

Una sucesión  a_{n}  tiene por límite  +\infty  cuando para toda M>0 

existe un término  a_{k} , a partir del cual todos los términos de  a_{n} , siguientes a

 a_{k}  cumplen que  a_{n}>M. 

Una fórmula matemática que describe esto, es la siguiente

    $$\lim a_{n}=+\infty \Leftrightarrow \forall M>0\quad\exists k/ \forall n>k, \quad a_{n}>M.$$

Ejemplos:

1 El límite de la sucesión  a_{n}=n^{2}  es  +\infty.

Calculemos algunos valores de la sucesión.

Para n=1,2,3,4,5,6

    $$a_{1}=1,a_{2}=4,a_{3}=9,a_{4}=16,a_{5}=25,a_{6}=36.$$

Para cualquier número natural  M  podemos tomar  k=\sqrt{M+1}-1,  así concluimos quepara cualquier  n>k  se tiene que  a_{n}=n^{2}>M.

Lo cual nos dice que el límite es infinito.

Finalmente, una sucesión a_{n} tiene por límite -\infty  cuando para toda N>0 existe un término a_{k}, a partir del cual todos los términos de a_{n}, siguientes a a_{k} cumplen que a_{n}<-N.

2 El límite de la sucesión a_{n}=-n^{2} es -\infty.

Calculemos algunos valores de la sucesión. Para n=1,2,3,4,5,6

    $$a_{1}=-1,a_{2}=-4,a_{3}=-9,a_{4}=-16,a_{5}=-25,a_{6}=-36.$$

Para cualquier número natural N podemos tomar k=\sqrt{N+1}-1, así concluimos que para cualquier  n>k  se tiene que  a_{n}=-n^{2}<-N.  Lo cual nos dice que el límite es menos infinito.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗