Temas

 

El límite de una sucesión es el número al cual se van aproximando los términos de una sucesión.

Veamos algunos ejemplos,

Ejemplos:

1 Consideremos los siguientes términos de una sucesión

    $$a_{1}=3.5,\quad a_{2}=3,\quad a_{3}=2.5, $$

    $$a_{100}=-46.5,\quad a_{1000}=-496.5,\quad a_{1000000}=-499996.5$$

La sucesión es divergente y su límite es -\infty.

2 Consideremos los siguientes términos de una sucesión

    $$a_{1}=1,\quad a_{2}=0.5,\quad a_{1000}=0.001, $$

    $$a_{1000000}=0.000001$$

La sucesión se aproxima cada vez más a cero, podemos concluir que su límite es cero.

3  Veamos los siguientes términos de una sucesión de número positivos,

    $$a_{1}=0.5,\quad a_{2}=0.6666,\quad a_{1000}=0.999000999001, $$

    $$a_{1000000}=0.999999000001$$

Estos términos nos indican que la sucesión esta tendiendo a 1. De hecho si continuamos viendo sus valores tendremos que su límite es realmente 1.

Límite finito de una sucesión

 

Una sucesión a_{n} tiene por límite L si y sólo si para cualquiera número positivo

\epsilon que tomemos, existe un término a_{k}, a partir del cual todos los términos de

 a_{n},  siguientes a  a_{k},  cumplen que

    $$|a_{n}-L|<\epsilon.$$

 

También podemos definir el límite de una sucesión mediante entornos:

Una sucesión a_{n} tiene por límite L si y sólo si para cualquier entorno de

L que tomemos, por pequeño que sea su radio \epsilon, existe un término de la sucesión, a

partir del cual, los siguientes términos pertenecen a dicho entorno.

 

Ejemplos:

1 Notemos que la sucesión a_{n}=1/n tiene como límite cero.

Para esto tomemos un número \epsilon muy cercano a cero, sea k un número natural tal que

    $$k>\cfrac{1}{\epsilon},$$

de esta forma para todo número natural n>k tenemos que

    $$\left\vert\cfrac{1}{n}-0\right\vert=\cfrac{1}{n}<\cfrac{1}{k}<\epsilon.$$

Lo cual nos indica que el límite es cero.

2 ¿A partir de que número la sucesión a_{n}=\left(\cfrac{5}{n}\right) es menor que 0.1?Consideremos algunos múltiplos de 10 y calculemos la sucesión para n=20,40,50,

    $$ a_{20}=\cfrac{5}{20}=0.25,\quad a_{40}=\cfrac{5}{40}=0.125,\quad a_{50}=\cfrac{5}{50}=0.1.$$

Para n=50 tenemos que a_{50}=0.1, lo cual implica que para número mayores a 50

la sucesión es menor que 0.1. De hecho podemos ir notando que la sucesión es decreciente y que su  límite es igual a cero.

3 ¿A partir de que número la sucesión

    $$a_{n}=\left(\cfrac{3n+8}{n^{3}+1}\right)$$

es menor que 0.001?

Calculemos el valor de la sucesión para ciertos valores, digamos n=40,50,60,

$$ a_{40}=\left(\cfrac{3(40)+8}{(40)^{3}+1}\right)=0.00199,\quad a_{50}=\left(\cfrac{3(50)+8}{(50)^{3}+1}\right)=0.00126,

    $$a_{60}=\left(\cfrac{3(60)+8}{(60)^{3}+1}\right)=0.00087.$$

De esta forma podemos garantizar que a partir de 60 se satisface la condición pedida. Más aún notemos que para n=61 la sucesión sigue disminuyendo,

    $$a_{61}=\left(\cfrac{3(61)+8}{(61)^{3}+1}\right)=0.00084.$$

Los/las mejores profesores/as de Matemáticas que están disponibles
José arturo
4,9
4,9 (51 opiniones)
José arturo
16€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Francisco javier
5
5 (32 opiniones)
Francisco javier
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Fátima
5
5 (14 opiniones)
Fátima
18€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Alex
5
5 (99 opiniones)
Alex
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
José angel
4,9
4,9 (93 opiniones)
José angel
6€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Santiago
5
5 (28 opiniones)
Santiago
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Julio
5
5 (105 opiniones)
Julio
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Amin
5
5 (121 opiniones)
Amin
10€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
José arturo
4,9
4,9 (51 opiniones)
José arturo
16€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Francisco javier
5
5 (32 opiniones)
Francisco javier
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Fátima
5
5 (14 opiniones)
Fátima
18€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Alex
5
5 (99 opiniones)
Alex
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
José angel
4,9
4,9 (93 opiniones)
José angel
6€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Santiago
5
5 (28 opiniones)
Santiago
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Julio
5
5 (105 opiniones)
Julio
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Amin
5
5 (121 opiniones)
Amin
10€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Vamos

Límite infinito de una sucesión

Una sucesión  a_{n}  tiene por límite  +\infty  cuando para toda M>0 

existe un término  a_{k} , a partir del cual todos los términos de  a_{n} , siguientes a

 a_{k}  cumplen que  a_{n}>M. 

Una fórmula matemática que describe esto, es la siguiente

    $$\lim a_{n}=+\infty \Leftrightarrow \forall M>0\quad\exists k/ \forall n>k, \quad a_{n}>M.$$

Ejemplos:

1 El límite de la sucesión  a_{n}=n^{2}  es  +\infty.

Calculemos algunos valores de la sucesión.

Para n=1,2,3,4,5,6

    $$a_{1}=1,a_{2}=4,a_{3}=9,a_{4}=16,a_{5}=25,a_{6}=36.$$

Para cualquier número natural  M  podemos tomar  k=\sqrt{M+1}-1,  así concluimos quepara cualquier  n>k  se tiene que  a_{n}=n^{2}>M.

Lo cual nos dice que el límite es infinito.

Finalmente, una sucesión a_{n} tiene por límite -\infty  cuando para toda N>0 existe un término a_{k}, a partir del cual todos los términos de a_{n}, siguientes a a_{k} cumplen que a_{n}<-N.

2 El límite de la sucesión a_{n}=-n^{2} es -\infty.

Calculemos algunos valores de la sucesión. Para n=1,2,3,4,5,6

    $$a_{1}=-1,a_{2}=-4,a_{3}=-9,a_{4}=-16,a_{5}=-25,a_{6}=-36.$$

Para cualquier número natural N podemos tomar k=\sqrt{N+1}-1, así concluimos que para cualquier  n>k  se tiene que  a_{n}=-n^{2}<-N.  Lo cual nos dice que el límite es menos infinito.

>

La plataforma que conecta profes particulares y estudiantes

¿Te ha gustado este artículo? ¡Califícalo!

¿Ninguna información? ¿En serio?Ok, intentaremos hacerlo mejor la próxima vezAprobado por los pelos. ¿Puedes hacerlo mejor?Gracias. Haznos cualquier pregunta en los comentar¡Un placer poder ayudarte! :) 4,00 (12 nota(s))
Cargando...

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗