Name: Ejercicios de progresiones geometricas
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Encuentra la progresión conociendo el 2° y 5° termino
Encuentra la progresión , conociendo el primer y octavo termino
Calcula términos intermedios en una progresión
Suma de n-términos
Suma de n-términos de una progresión decreciente
Producto de los primeros n-términos
Calcular costo de 20 libros
Suma en progresiones infinitas
Sucesión racional
Sucesión racional generadora

Encuentra la progresión conociendo el 2° y 5° termino

El 2º término de una progresión geométrica es $\displaystyle 6$ , y el 5º es $\displaystyle 48$ .

Escribir la progresión.

El 2º término de una progresión geométrica es $\displaystyle 6$ , y el 5º es $\displaystyle 48$ .

Escribir la progresión.

$\displaystyle a_{2}=6$ $\displaystyle a_{5}=48$

$\displaystyle a_{n}=a_{k}\cdot r^{n-k}$

$\displaystyle 48=6\cdot r^{5-2}$

$\displaystyle r^{3}=8$

$\displaystyle r=2$

$\displaystyle a_{1}=\frac{a_{2}}{r}$

$\displaystyle a_{1}=\frac{6}{2}=3$

$\displaystyle 3, 6, 12, 24, 48, ...$

Encuentra la progresión , conociendo el primer y octavo termino

El 1^er término de una progresión geométrica es $\displaystyle 3$ , y el 8º es $\displaystyle 384$ .

Hallar la razón, y la suma y el producto de los 8 primeros términos.

El 1^er término de una progresión geométrica es $\displaystyle 3$ , y el 8º es $\displaystyle 384$ .

Hallar la razón, y la suma y el producto de los 8 primeros términos.

$\displaystyle a_{1}=3$ $\displaystyle a_{8}= 384$ ;

Calculando la razón

$\displaystyle \frac{a_n}{a_{n-1}}$

$\displaystyle 384=3\cdot r^{8-1}$

$\displaystyle r^{7}=128$

$\displaystyle r^{7}=2^{7}$

$\displaystyle r=2$

Suma de n- términos:

$\displaystyle S_n = \frac{(a_n \cdot r) - a_1 }{r-1}=$

$\displaystyle S_8=\frac{(384 \cdot 2)-3}{2-1} = 765$

Producto de n-términos:

$\displaystyle P_n= \sqrt{(a_1 \cdot a_n)^n}$

$\displaystyle P_{8}=\sqrt{\left ( 3\cdot 384 \right )^{8}}=1 761 205 026 816$

Calcula términos intermedios en una progresión

Interpolar tres medios geométricos entre $\displaystyle 3$ y $\displaystyle 48$ .

$\displaystyle a=3$

$\displaystyle b=48$

Calculando la razón:

$\displaystyle r=3+\sqrt[1]{\frac{48}{3}}=\sqrt[4]{16}=\sqrt[4]{2^{4}}=2$

Escribir los términos:

$\displaystyle 3, 6, 12, 24, 48$

Suma de n-términos

Calcular la suma de los primeros $\displaystyle 5$ términos de la progresión :

$\displaystyle 3, 6, 12, 24, 48, ...$

Calcular la suma de los primeros $\displaystyle 5$ términos de la progresión :

$\displaystyle 3, 6, 12, 24, 48, ...$

$\displaystyle S_5 = \frac{(48 \cdot 2) - 3}{2-1}= 93$

Suma de n-términos de una progresión decreciente

Calcular la suma de los términos de la progresión geométrica decreciente ilimitada:

$\displaystyle 1, \frac{1}{2},\frac{1}{4}, \frac{1}{8},\frac{1}{16}, ...$

Calcular la suma de los términos de la progresión geométrica
decreciente ilimitada:

Calculamos la razón :

$\displaystyle r=\frac {a_n}{a_{n-1}}$

$\displaystyle r=\frac {\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}$

$\displaystyle r=\frac {2}{a_{4}}= \frac{1}{2}$

$\displaystyle r=\frac {1}{2}$

Usamos la formula para la suma de n términos.

$\displaystyle S_n = \frac{(a_n \cdot r) - a_1 }{r-1}=$

$\displaystyle S_5 = \frac{(\frac{1}{16} \cdot \frac{1}{2}) - 1}{\frac{1}{2}-1}=$

$\displaystyle S_5 = \frac{(\frac{1}{32}) - 1}{-\frac{1}{2}}=$

$\displaystyle S_5 = \frac{(\frac{1}{32}) - \frac{32}{32}}{-\frac{1}{2}}=$

$\displaystyle S_5 = \frac{(-\frac{31}{32}) }{-\frac{1}{2}}=$

$\displaystyle S_5 = \frac{(\frac{31}{32})}{\frac{1}{2}}=$

$\displaystyle S_5 = \frac{62}{32}= \frac{31}{16}$

Producto de los primeros n-términos

Calcular el producto de los primeros 5 términos de la progresión:

$\displaystyle 3, 6, 12, 24, 48, ...$

Calcular el producto de los primeros 5 términos de la progresión:

$\displaystyle 3, 6, 12, 24, 48, ...$

Usamos la formula para el producto de n términos:

$\displaystyle P_n= \sqrt{(a_1 \cdot a_n)^n}$

$\displaystyle P_5= \sqrt{(3 \cdot 48)^5}= \sqrt{144^5} = 248832$

Calcular costo de 20 libros

Juan ha comprado 20 libros. Por el 1º ha pagado 1€ por el 2º 2 €, por el 3º 4 €, por el 4º 8 € y así sucesivamente. ¿Cuánto ha pagado por los libros?

$\displaystyle a_1=1$

$\displaystyle r=2$

$\displaystyle n=20$

$\displaystyle S_n = \frac{(a_n \cdot r) - a_1 }{r-1}=$

Calculamos el termino numero $\displaystyle 20$ :

$\displaystyle a_n =a_1 \cdot r^{n-1}$

$\displaystyle a_20 =1 \cdot 2^{19}$

$\displaystyle a_20 =524288$

$\displaystyle S_20 = \frac{(524288 \cdot 2) - 1 }{2-1}=$

$\displaystyle S_20 = \frac{(1048576) - 1 }{1}=$

$\displaystyle S_20 = 1048575$

Suma en progresiones infinitas

Uniendo los puntos medios de los lados de un cuadrado de lado $\displaystyle l$ , se obtiene otro, en el que volvemos a hacer la misma operación, y así se continua indefinidamente.

Calcular la suma de las áreas de los infinitos cuadrados.

Uniendo los puntos medios de los lados de un cuadrado de lado $\displaystyle l$ , se obtiene otro, en el que volvemos a hacer la misma operación, y así se continua indefinidamente.

Calcular la suma de las áreas de los infinitos cuadrados.

Representación gráfica del ejercicio de cuadrados

Por el teorema de Pitagoras es que podemos calcular el segundo termino de la sucesión, el cual es:

$\displaystyle \frac{1}{ \sqrt{2}} \cdot L = \frac{L}{\sqrt{2}}$

Teniendo $\displaystyle 2$ términos, podemos calcular la razón:

$\displaystyle r= \frac { \frac{L}{ \sqrt{2} }} {1L} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

La sucesión es :

$\displaystyle 1L, \ \ 1L \cdot \frac{1}{ \sqrt{2} }\ \ , \ \ 1L \cdot ( \frac{1}{ \sqrt{2}})^2 \ \ , \ \ 1L \cdot (\frac{1}{ \sqrt{2}})^3 \ \ ,...$

$\displaystyle 1L, \ \ \frac{L}{ \sqrt{2} } \ \ , \ \ \frac{L}{ 2 } \ \ , \ \ \frac{L}{ 2 \cdot \sqrt{2} } \ \ , ...$

Elevamos cada termino al cuadrado para poder visualizar la progresión de una forma mas simple:

$\displaystyle L^2, \ \ \frac{L^2}{ 2 } \ \ , \ \ \frac{L^2}{ 4 } \ \ , \ \ \frac{L^2}{ 8 } \ \ , ...$

Aplicamos la formula para la suma de n términos, usando el concepto de limite, recordamos que cuando n tiende a infinito en el denominador, el valor de la fracción tiende a cero.

$\displaystyle S=\frac{l^{2}}{1-\frac{1}{2}}=\frac{l^{2}}{\frac{1}{2}}=2l^{2}$