1 Hallar el término general de las siguientes sucesiones:
Con la progresión de esta manera observamos que el numerador es una progresión aritmética con una que comienza en
y el denominador es una progresión aritmética de
, entonces
Si prescindimos del signo, el numerador es una progresión aritmética con una que inicia en
y el denominador es una progresión aritmética de
. Por ser los términos pares los negativos multiplicamos por
y obtenemos:
7: Reescribimos como
Si prescindimos del signo y del exponente tenemos una progresión aritmética con una . Por estar los términos al cuadrado, tenemos que elevar el término general al cuadrado. Por ser los términos impares los negativos multiplicamos por
y obtenemos
8 : Reescribimos como
Notemos que es una sucesión oscilante. El numerador de los términos impares forman progresión aritmética con una , si no tenemos en cuenta los términos pares. Por estar los términos al cuadrado, tenemos que elevar el término general al cuadrado.
El primer sumando del denominador (prescindiendo del cuadrado) es una progresión aritmética de (sin contar los términos pares). El término general lo tenemos que elevar al cuadrado y sumarle 3 .Y los términos pares forman una sucesión constante, por tanto
2 Estudia la monotonía, la convergencia o divergencia y las cotas (si existen) de las siguientes sucesiones:
Notemos que la sucesión va decreciendo, entonces
Puesto que la desigualdad se cumple para cualquier valor de , la sucesión es monótona estrictamente decreciente. Ademas, notemos lo siguiente
Notemos que el límite es
y por tanto es una sucesión convergente. Por ser decreciente,
es una cota superior. Y
es una cota inferior, el ínfimo o extremo inferior. Por tanto la sucesión está acotada
2: Observando los primeros términos
concluimos que: No es monótona, no es convergente ni divergente y no está acotada.3 :Puesto que oscila entre positivos y negativos no es monótona, es convergente porque el límite
.Ademas ya que esta acotada superiormente por
y acotada interiormente por
, esta acotada
3 Escribe una sucesión:
- Monótona no acotada
- Acotada, no monótona
- No acotada, no monótona
- No acotada, convergente
- Acotada, divergente
- Acotada, no convergente
- No monótona, convergente
- No monótona, divergente
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2 Acotada, no monótona:
3No acotada, no monótona:
4No acotada, convergente:
Es imposible5 Acotada, divergente:
Es imposible
6 Acotada, no convergente:
7 No monótona, convergente:
8 No monótona, divergente:
4 Hallar los ángulos de un cuadrilátero convexo, sabiendo que están en progresión aritmética, siendo
También, sabemos que entre el primer y cuarto término existe la siguiente relación:Sustituyendo la segunda expresión en la primera obtenemos:
Entonces
5 El cateto menor de un triángulo rectángulo mide cm. Calcula los otros dos, sabiendo que los lados del triángulo forman una progresión aritmética.
Aplicamos el teorema de Pitágoras:
Resolvemos mediante la formula general para ecuaciones de segundo grado:
entonces
Cómo el resultado no puede ser negativo, obtenemos que y entonces los lados del triangulo miden
.
6Uniendo los puntos medios de los lados de un cuadrado de lado , se obtiene otro cuadrado, en el que volvemos a hacer la misma operación, y así se continua indefinidamente. Calcular la suma de las áreas de los infintos cuadrados.
Por el teorema de Pitagoras es que podemos calcular el segundo termino de la sucesión, el cual es:
Teniendo términos, podemos calcular la razón:
La sucesión es :
Elevamos cada termino al cuadrado para poder visualizar la progresión de una forma mas simple:
Aplicamos la formula para la suma de n términos, usando el concepto de limite, recordamos que cuando n tiende a infinito en el denominador, el valor de la fracción tiende a cero.
7 Demuestra que la sucesión tiene límite 2. Averigua los términos cuya distancia a 2 es menor que 0.1.
operando, obtenemos que
entonces
A partir de la distancia a
será menor que una decima.
8 Probar que la sucesión tiene por limite 4 y averiguar cuántos términos de la sucesión están fuera del entorno
..
entonces
y por tanto quedan fuera del entorno los mil primeros términos de la sucesión.
9 Demuestra que la sucesión tiene por limite 1 y averiguar cuántos términos de la sucesión están fuera del entorno
.
entonces
por tanto
Los primeros términos quedan fuera del entorno.
10 Demuestra que la sucesión tiene por limite
. Y calcula cuántos términos de la sucesión son menores que un millón.
No llegan al millón los 1999 primeros términos de la sucesión.
Nota: Infinito no es un número, las operaciones que realizamos con ∞ son simplemente un recurso para ayudarnos a resolver límites.
11 Calcula los siguientes límites:
Dividimos cada factor tanto del numerador como del denominador por obteniendo
12 Calcula los siguientes límites:
13 Calcula los siguientes límites:
14 Calcula los siguientes límites:
15 Calcula
16 Calcula el siguiente límite:
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Excelente resumen para poder guiarse en las tareas mas, en tiempos de distanciamiento. gracias por su ayuda, saludos Francisco Silva Moran