Límites de sucesiones parte III

1: El numerador es constante y el denominador es una progresión aritmética de por lo tanto el n-esimo termino seria :

2: El numerador es una progresión aritmética con una y el denominador también es una progresión aritmética con una .

Y por tanto el n-esimo termino seria

3: En esta sucesión se han simplificado algunas fracciones,

Con la progresión de esta manera observamos que el numerador es una progresión aritmética con una que comienza en y el denominador es una progresión aritmética de , entonces

4: Si prescindimos del signo es una progresión aritmética con una que inicia en .

Por ser los términos impares los negativos multiplicamos por y obtenemos

5 : Reescribimos la sucesión como

Si prescindimos del signo, el numerador es una progresión aritmética con una que inicia en y el denominador es una progresión aritmética de .

Por ser los términos pares los negativos multiplicamos por y obtenemos:

6: Notemos que es una sucesión oscilante. Los términos impares forman progresión aritmética con , si no tenemos en cuenta los términos pares.

El denominador de los términos pares forman progresión aritmética con una . Entonces

7: Reescribimos como Si prescindimos del signo y del exponente tenemos una progresión aritmética con una .

Por estar los términos al cuadrado, tenemos que elevar el término general al cuadrado.

Por ser los términos impares los negativos multiplicamos por y obtenemos

8 : Reescribimos como Notemos que es una sucesión oscilante.

El numerador de los términos impares forman progresión aritmética con una , si no tenemos en cuenta los términos pares. Por estar los términos al cuadrado, tenemos que elevar el término general al cuadrado.

El primer sumando del denominador (prescindiendo del cuadrado) es una progresión aritmética de (sin contar los términos pares).

El término general lo tenemos que elevar al cuadrado y sumarle 3 .

Y los términos pares forman una sucesión constante, por tanto

1 : Escribamos primero los primeros términos Notemos que la sucesión va decreciendo, entonces

Puesto que la desigualdad se cumple para cualquier valor de , la sucesión es monótona estrictamente decreciente.

Ademas, notemos lo siguiente Notemos que el límite es y por tanto es una sucesión convergente.

Por ser decreciente, es una cota superior. Y es una cota inferior, el ínfimo o extremo inferior. Por tanto la sucesión está acotada

2: Observando los primeros términos concluimos que: No es monótona, no es convergente ni divergente y no está acotada.

3 : Puesto que oscila entre positivos y negativos no es monótona, es convergente porque el límite .Ademas ya que esta acotada superiormente por y acotada interiormente por , esta acotada

1Monótona no acotada:

2 Acotada, no monótona:

3No acotada, no monótona:

4No acotada, convergente: Es imposible

5 Acotada, divergente: Es imposible

6 Acotada, no convergente:

7 No monótona, convergente:

8 No monótona, divergente:

Sabemos que la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360º por lo que sustituyendo en la fórmula de la suma de los primeros términos obtenemos:

También, sabemos que entre el primer y cuarto término existe la siguiente relación:

Sustituyendo la segunda expresión en la primera obtenemos:

Entonces

Tenemos que

Aplicamos el teorema de Pitágoras:

Resolvemos mediante la formula general para ecuaciones de segundo grado:

entonces

Cómo el resultado no puede ser negativo, obtenemos que y entonces los lados del triangulo miden .

Por el teorema de Pitagoras es que podemos calcular el segundo termino de la sucesión, el cual es: Teniendo términos, podemos calcular la razón:

La sucesión es :

Elevamos cada termino al cuadrado para poder visualizar la progresión de una forma mas simple:

Aplicamos la formula para la suma de n términos, usando el concepto de limite, recordamos que cuando n tiende a infinito en el denominador, el valor de la fracción tiende a cero.

Para averiguar los términos de la sucesión cuya distancia a es menos a , tenemos que resolver la siguiente desigualdad: operando, obtenemos que entonces

A partir de la distancia a será menor que una decima.

Para averiguar los términos de la sucesión cuya distancia a quedan fuera del entorno , resolvemos la siguiente desigualdad: entonces y por tanto quedan fuera del entorno los mil primeros términos de la sucesión.

Para averiguar los términos de la sucesión que quedan fuera del entorno , resolvemos la siguiente desigualdad entonces por tanto

Los primeros términos quedan fuera del entorno.

Para averiguar cuántos son los términos de la sucesión que tienen por límite , tenemos que resolver lo siguiente: Operando

No llegan al millón los 1999 primeros términos de la sucesión.

1 Tenemos que Factorizando :

2 En principio tenemos que

Operando

Dividimos cada factor tanto del numerador como del denominador por

3 En principio obtenemos que Pero si operamos

Dividimos cada factor tanto del numerador como del denominador por obteniendo

1:

En principio

Dividimos cada factor tanto del numerador como del denominador por

2:

Dividimos cada factor tanto del numerador como del denominador por

3:

Dividimos cada factor tanto del numerador como del denominador por , recuerda que cuando la dentro de la raíz cubica pasa como

4:

Dividimos cada factor tanto del numerador como del denominador por , recuerda que cuando la dentro de la raíz pasa como

5 :

Separando y lo mismo para , posteriormente dividiendo por

1 :

Dividimos cada factor tanto del numerador como del denominador por

2:

Dividimos cada factor tanto del numerador como del denominador dentro de la raíz por

1 :

Evaluando directamente tanto el límite de la potencia como el límite de la base:

2:

Evaluando directamente tanto el límite de la potencia como el límite de la base:

3:

Evaluando directamente tanto el límite de la potencia como el límite de la base:

4:

Evaluando directamente tanto el límite de la potencia como el límite de la base:

5:

Evaluando directamente tanto el límite de la potencia como el límite de la base:

En este ejercicio aplicamos en el penúltimo paso, la formula de la progresión geométrica infinita.