Ejercicios propuestos

1 Hallar el término general de las siguientes sucesiones:

  • 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \ldots,
  • \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \ldots
  • -3,-1,-\frac{1}{3}, 0, \frac{1}{5}, \ldots,
  • 1,2,-3,4,-5, \ldots
  • 3,-2, \frac{5}{3},-\frac{3}{2}, \frac{7}{5}, \ldots
  • 1, \frac{1}{2}, 3, \frac{1}{4}, 5, \ldots,
  • -4,9,-16,25,-36, \ldots
  • \frac{1}{4}, 1, \frac{9}{12}, 1, \frac{25}{28}, \ldots

11, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \ldots, : El numerador es constante y el denominador es una progresión aritmética de d= 1 por lo tanto el n-esimo termino seria 1/n:

    \[ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \ldots, \frac{1}{n} \]

2\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \ldots : El numerador es una progresión aritmética con una d= 1 y el denominador también es una progresión aritmética con una d= 1. Y por tanto el n-esimo termino seria \frac{n}{n+1}

     \[ \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \ldots \farc{n}{n+1} \]

3-3,-1,-\frac{1}{3}, 0, \frac{1}{5}, \ldots, : En esta sucesión se han simplificado algunas fracciones,

     \[ \frac{-3}{1}, \frac{-2}{2}, \frac{-1}{3}, \frac{0}{4}, \frac{1}{5}, \ldots \]

Con la progresión de esta manera observamos que el numerador es una progresión aritmética con una d=1 que comienza en -3 y el denominador es una progresión aritmética de d=1, entonces

     \[ -3,-1,-\frac{1}{3}, 0, \frac{1}{5}, \ldots, \frac{n-4}{n} \]

41,2,-3,4,-5, \ldots : Si prescindimos del signo es una progresión aritmética con una d= 1 que inicia en 1. Por ser los términos impares los negativos multiplicamos por (-1)^n y obtenemos

     \[ 1,2,-3,4,-5, \ldots , (-1)^n n \]

5 3,-2, \frac{5}{3},-\frac{3}{2}, \frac{7}{5}, \ldots : Reescribimos la sucesión como

     \[ \frac{3}{1},-\frac{4}{2}, \frac{5}{3},-\frac{6}{4}, \frac{7}{5}, \ldots \]

Si prescindimos del signo, el numerador es una progresión aritmética con una d=1 que inicia en 3 y el denominador es una progresión aritmética de d=1. Por ser los términos pares los negativos multiplicamos por (-1)^{n+1} y obtenemos:

     \[ 3,-2, \frac{5}{3},-\frac{3}{2}, \frac{7}{5}, \ldots,(-1)^{n-1} \frac{n+2}{n} \]

61, \frac{1}{2}, 3, \frac{1}{4}, 5, \ldots, : Notemos que es una sucesión oscilante. Los términos impares forman progresión aritmética con d= 1, si no tenemos en cuenta los términos pares. El denominador de los términos pares forman progresión aritmética con una d= 1. Entonces

     \[ 1, \frac{1}{2}, 3, \frac{1}{4}, 5, \ldots,\left\{\begin{array}{ll}n & \text { si } n \text { es } \operatorname{impar}(n=2 k-1) \\ \frac{1}{n} & \text { si } n \text { es } \operatorname{par}(n=2 k)\end{array}\right. \]

7-4,9,-16,25,-36, \ldots : Reescribimos como

     \[ -2^{2}, 3^{2},-4^{2}, 5^{2},-6^{2}, \ldots, \]

Si prescindimos del signo y del exponente tenemos una progresión aritmética con una d= 1. Por estar los términos al cuadrado, tenemos que elevar el término general al cuadrado. Por ser los términos impares los negativos multiplicamos por (-1)^{n} y obtenemos

     \[ -4,9,-16,25,-36, \ldots,(-1)^{n}(n+1)^{2} \]

8 \frac{1}{4}, 1, \frac{9}{12}, 1, \frac{25}{28}, \ldots, : Reescribimos como

     \[ \frac{1}{1^{2}+3}, 1, \frac{3^{2}}{3^{2}+3}, 1, \frac{5^{2}}{5^{2}+3} \]

Notemos que es una sucesión oscilante. El numerador de los términos impares forman progresión aritmética con una d= 1 , si no tenemos en cuenta los términos pares. Por estar los términos al cuadrado, tenemos que elevar el término general al cuadrado.
El primer sumando del denominador (prescindiendo del cuadrado) es una progresión aritmética de d= 1 (sin contar los términos pares). El término general lo tenemos que elevar al cuadrado y sumarle 3 .Y los términos pares forman una sucesión constante, por tanto

     \[ \frac{1}{4}, 1, \frac{9}{12}, 1, \frac{25}{28}, \ldots,\left\{\begin{array}{rr} \frac{\mathrm{n}^{2}}{\mathrm{n}^{2}+3} & \text { si } \mathrm{n} \text { es } \operatorname{impar}(\mathrm{n}=2 \mathrm{k}-1) \\ 1 &\text { si } \mathrm{n} \text { es } \operatorname{par}(\mathrm{n}=2 \mathrm{k}) \end{array}\right. \]

2 Estudia la monotonía, la convergencia o divergencia y las cotas (si existen) de las siguientes sucesiones:

  •  a_{n}=\frac{n+2}{2 n-1}
  •  a_n =(-1)^{n-1} \cdot 2^{n}
  • 1,-1, \frac{1}{2},-\frac{1}{2}, \frac{1}{3},-\frac{1}{3}, \ldots,

1  a_{n}=\frac{n+2}{2 n-1}: Escribamos primero los primeros términos

     \[ 3,4 / 3,1,6 / 7, \ldots \]

Notemos que la sucesión va decreciendo, entonces

    \begin{align*} a_{n}-a_{n+1} &> 0 \\ \frac{n+2}{2 n-1}-\frac{(n+1)+2}{2(n+1)-1} &>0 \\ \frac{n+2}{2 n-1}-\frac{n+3}{2 n+1} &> 0 \\ \frac{2 n^{2}+n+4 n+2-2 n^{2}-6 n+n+3}{4 n^{2}-1} &> 0 \\ \frac{5}{4 n^{2}-1} &> 0 \end{align*}

Puesto que la desigualdad se cumple para cualquier valor de n, la sucesión es monótona estrictamente decreciente. Ademas, notemos lo siguiente a_1 = 3
 a_3 = 1
 a_{1000}=0.5012506253127
 a_{1000000}=0.5000012500006 Notemos que el límite es 0.5 y por tanto es una sucesión convergente. Por ser decreciente, 3 es una cota superior. Y 0.5$} es una cota inferior, el ínfimo o extremo inferior. Por tanto la sucesión está acotada

     \[ 0.5 < a_{n} \leq 3 \]

2 a_n =(-1)^{n-1} \cdot 2^{n} : Observando los primeros términos

     \[ 2, -4, 8, - 16, ... \]

concluimos que: No es monótona, no es convergente ni divergente y no está acotada.3 1,-1, \frac{1}{2},-\frac{1}{2}, \frac{1}{3},-\frac{1}{3}, \ldots, :Puesto que oscila entre positivos y negativos no es monótona, es convergente porque el límite 0.Ademas ya que esta acotada superiormente por 1 y acotada interiormente por -1, esta acotada

     \[ -1 \leq a_n \leq 1 \]


3 Escribe una sucesión:

  • Monótona no acotada
  • Acotada, no monótona
  • No acotada, no monótona
  • No acotada, convergente
  • Acotada, divergente
  • Acotada, no convergente
  • No monótona, convergente
  • No monótona, divergente

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1Monótona no acotada:

     \[ 3, 5, 7, 9, 11, \dots \]

2 Acotada, no monótona:

     \[2, -2, 2, -2, 2, \dots \]

3No acotada, no monótona:
\ [ 1, -2, 1, -3, 1, \dots \]4No acotada, convergente:
Es imposible5 Acotada, divergente:
Es imposible

6 Acotada, no convergente:

    \[ -5, 5, -5, 5, -5, \dots \]

7 No monótona, convergente:

     \[ 0.1, -0.1, 0.01, -0.01, 0.001, -0.001, \dots \]

8 No monótona, divergente:

    \[ 5, 1, 6, 2, 7, 3, \dots \]

4 Hallar los ángulos de un cuadrilátero convexo, sabiendo que están en progresión aritmética, siendo d= 25^{\circ}

Sabemos que la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360º por lo que sustituyendo en la fórmula de la suma de los primeros términos obtenemos:

     \[ 360= \frac{(a_{1}+a_{4})\cdot4}{2} \]

También, sabemos que entre el primer y cuarto término existe la siguiente relación: \[ a_{4}=a_{1}+3\cdot 25 ] Sustituyendo la segunda expresión en la primera obtenemos:

     \[ 360=\cfrac{(a_{1}+a_{1}+3\cdot 25)\cdot 4}{2} \]

Entonces

     \[ a_{1}=\cfrac{105}{2}=52^{\circ}30' \]

    \[ a_{2}=77^{\circ}30' \]

    \[ a_{3}=102^{\circ}30' \]

    \[ a_{4}=127^{\circ}30' \]

5 El cateto menor de un triángulo rectángulo mide 8 cm. Calcula los otros dos, sabiendo que los lados del triángulo forman una progresión aritmética.

Tenemos que

    \[ a_{2}=8+d \quad \quad \textrm{y} \quad \quad a_{3}=8+2d \]

Aplicamos el teorema de Pitágoras:

    \begin{align*} (8 + 2d)^2 &= (8+d)^2 + (8)^2 \\ 4d^2+32d+ 64 &= (d^2 + 16d + 64) + 64\\ 4d^2 + 32d &= d^2+16d+64 \\ 4d^2-d^2+32d- 16d &= 64 \\ 3d^2+16d-64 &= 0 \end{align*}

Resolvemos mediante la formula general para ecuaciones de segundo grado:

     \[x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a} \]

    \begin{align*} x_1, x_2 &= \frac{-16 \pm \sqrt{256 + 768}}{6}\\ x_1, x_2 &= \frac{-16 \pm 32}{6} \end{align*}

entonces

    \[ x_1 = \frac{-16 + 32}{6} = \frac{16}{6}= \frac{8}{3} \quad \texrm{y} \quad x_2 = \frac{-16 -32}{6} = \frac{-48}{6}= -8 \]

Cómo el resultado no puede ser negativo, obtenemos que d=\cfrac{8}{3} y entonces los lados del triangulo miden  8,\cfrac{32}{3},\cfrac{40}{3} .

6Uniendo los puntos medios de los lados de un cuadrado de lado l, se obtiene otro cuadrado, en el que volvemos a hacer la misma operación, y así se continua indefinidamente. Calcular la suma de las áreas de los infintos cuadrados.

Representación gráfica del ejercicio de cuadrados

 

 

Por el teorema de Pitagoras es que podemos calcular el segundo termino de la sucesión, el cual es:

 

\displaystyle \frac{1}{ \sqrt{2}} \cdot L = \frac{L}{\sqrt{2}}

 

Teniendo \displaystyle 2 términos, podemos calcular la razón:

 

\displaystyle r= \frac { \frac{L}{ \sqrt{2} }} {1L} = \frac{1}{\sqrt{2}}

 

La sucesión es :

 

\displaystyle 1L, \ \ 1L \cdot \frac{1}{ \sqrt{2} }\ \ , \ \ 1L \cdot ( \frac{1}{ \sqrt{2}})^2 \ \ , \ \ 1L \cdot (\frac{1}{ \sqrt{2}})^3 \ \ ,...

 

\displaystyle 1L, \ \ \frac{L}{ \sqrt{2} } \ \ , \ \ \frac{L}{ 2 } \ \ , \ \ \frac{L}{ 2 \cdot \sqrt{2} } \ \ , ...

Elevamos cada termino al cuadrado para poder visualizar la progresión de una forma mas simple:

 

\displaystyle L^2, \ \ \frac{L^2}{ 2 } \ \ , \ \ \frac{L^2}{ 4 } \ \ , \ \ \frac{L^2}{ 8 } \ \ , ...

Aplicamos la formula para la suma de n términos, usando el concepto de limite, recordamos que cuando n tiende a infinito en el denominador, el valor de la fracción tiende a cero.

 

\displaystyle S=\frac{l^{2}}{1-\frac{1}{2}}=\frac{l^{2}}{\frac{1}{2}}=2l^{2}


7 Demuestra que la sucesión a_n = \frac{2n +4}{n} tiene límite 2. Averigua los términos cuya distancia a 2 es menor que 0.1.

Para averiguar los términos de la sucesión {a_n=\frac{2n + 4}{n}}cuya distancia a {2} es menos a {0.1}, tenemos que resolver la siguiente desigualdad:

    \[{\left|\dfrac{2n+4}{n} - 2 \right| < \dfrac{1}{10}}\]

operando, obtenemos que

    \[ {\left|\dfrac{2n+4-2n}{n} \right| < \dfrac{1}{10}} \]

entonces

     \[ \left|\dfrac{4}{n} \right| < \dfrac{1}{10} \quad \Rightarrow \quad \dfrac{4}{n} < \dfrac{1}{10} \quad \Rightarrow n > 40 \]

A partir de {a_{41}} la distancia a {2} será menor que una decima.

8 Probar que la sucesión {a_n = \dfrac{4n + 1}{n}} tiene por limite 4 y averiguar cuántos términos de la sucesión están fuera del entorno {(4 - 0.001, 4 + 0.001)}..

Para averiguar los términos de la sucesión {a_n = \dfrac{4n + 1}{n}}cuya distancia a {4} quedan fuera del entorno {(4 - 0.001, 4 + 0.001)}, resolvemos la siguiente desigualdad:

    \begin{align*} \left|\dfrac{4n + 1}{n} - 4 \right| &< \dfrac{1}{1000} \\ \left|\dfrac{4n + 1-4n}{n} \right| &< \dfrac{1}{1000}\\ \left|\dfrac{1}{n} \right| &< \dfrac{1}{1000}\\ \dfrac{1}{n} &< \dfrac{1}{1000}\end{align*}

entonces

    \[ n > 1000 \]

y por tanto quedan fuera del entorno los mil primeros términos de la sucesión.

9 Demuestra que la sucesión {a_n = \dfrac{n^2}{n^2 + 3}} tiene por limite 1 y averiguar cuántos términos de la sucesión están fuera del entorno {(1 , 0.001)}.

Para averiguar los términos de la sucesión que quedan fuera del entorno {(1 , 0.001)}, resolvemos la siguiente desigualdad

    \[\left|\dfrac{n^2}{n^2 + 3} - 1 \right| < \dfrac{1}{1000}\]

entonces

    \begin{align*} \left|\dfrac{n^2 - n^2 - 3}{n^2 + 3} \right| &< \dfrac{1}{1000}\\ \left|\dfrac{- 3}{n^2 + 3} \right| &< \dfrac{1}{1000}\\ \dfrac{3}{n^2 + 3} &< \dfrac{1}{1000} \end{align*}

por tanto

    \[ n^2 + 3 > 3000 \quad \Rightarrow \quad n^2 > 2997 \quad \Rightarrow \quad n > 54\]

Los primeros {54} términos quedan fuera del entorno.

10 Demuestra que la sucesión {a_n = \dfrac{n^2 + 1}{4}} tiene por limite {+\infty}. Y calcula cuántos términos de la sucesión son menores que un millón.

Para averiguar cuántos son los términos de la sucesión {a_n = \dfrac{n^2 + 1}{4}} que tienen por límite {+\infty}, tenemos que resolver lo siguiente:
{\dfrac{n^2 + 1}{4} > 1,000,000}Operando

    \begin{align*} n^2 + 1 &> 4,000,000\\ n^2 &> 3,999,999\\ n &> \sqrt{3,999,999}\\ n &> 1999 \end{align*}

No llegan al millón los 1999 primeros términos de la sucesión.

Nota: Infinito no es un número, las operaciones que realizamos con ∞ son simplemente un recurso para ayudarnos a resolver límites.

11 Calcula los siguientes límites:

  • {\lim (2n - n^3 + 3n^2)}
  • {\lim \dfrac{3n^2 +4n -6}{n +2} - 3n}
  • {\lim (\dfrac{n^2}{n-1} - \dfrac{n^2 + 1}{n-2})}

1 Tenemos que {\lim (2n + 3n^2- n^3) = \infty -\infty} Factorizando {n^3}: {\lim n^3\cdot(\dfrac{2}{n^2} + \dfrac{3}{n} - 1) = \infty \cdot (-1) = -\infty}2 En principio tenemos que {\lim \dfrac{3n^2 +4n -6}{n +2} - 3n = \infty -\infty} Operando {\lim \dfrac{3n^2 +4n -6-3n^2 - 6n}{n +2} = \lim \dfrac{-2n -6}{n +2} } Dividimos cada factor tanto del numerador como del denominador por {n} {\lim \dfrac{-\dfrac{2n}{n} -\dfrac{6}{n}}{\dfrac{n}{n} +\dfrac{2}{n}}= \lim \dfrac{-2 -\dfrac{6}{n}}{1 +\dfrac{2}{n}} = -2}3 En principio obtenemos que
{\lim (\dfrac{n^2}{n-1} - \dfrac{n^2 + 1}{n-2}) = \infty -\infty} Pero si operamos

    \begin{align*} \lim \dfrac{n^2(n-2) - (n^2+1)(n-1)}{(n-1)(n-2)} &= \lim \dfrac{n^3-2n^2 - n^3 -n + n^2 + 1}{n^2 -3n +2} \\ &= \lim \dfrac{-n^2 -n + 1}{n^2 -3n +2} \end{align*}

Dividimos cada factor tanto del numerador como del denominador por {n^2} obteniendo

    \[ \lim \dfrac{-\dfrac{n^2}{n^2} -\dfrac{n}{n^2} + \dfrac{1}{n^2}}{\dfrac{n^2}{n^2} -\dfrac{3n}{n^2} +\dfrac{2}{n^2}} = \lim \dfrac{-1 -\dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n^2}}{1 -\dfrac{3}{n} +\dfrac{2}{n^2}} = -1\]


12 Calcula los siguientes límites:

  • {\lim \dfrac{-2n^4 -3n +2}{4n^4 - 5}}
  • {\lim \dfrac{(3n^2 + 4n)^2(n^3 - 3)^2(2n-7)}{(n + 2)^3(n^3 -3n)^2(2n^2-17)}}
  • {\lim \dfrac{7n-1}{\sqrt[3]{5n^3 +4n -2}}}
  • {\lim \dfrac{\sqrt{4n^4+n^2+1}}{n^2+1}}
  • {\lim \dfrac{2^{n+1} + 3^{n+1}}{2^n + 3^n}}

1{\lim \dfrac{-2n^4 -3n +2}{4n^4 - 5}}:En principio {\lim \dfrac{-2n^4 -3n +2}{4n^4 - 5} = \dfrac{\infty}{\infty}} Dividimos cada factor tanto del numerador como del denominador por {n^4} {\lim \dfrac{-\dfrac{2n^4}{n^4} - \dfrac{3n}{n^4} + \dfrac{2}{n^4}}{\dfrac{4n^3}{n^4} - \dfrac{5}{n^4}} = \lim \dfrac{-2 - \dfrac{3}{n^3} + \dfrac{2}{n^4}}{\dfrac{4}{n} - \dfrac{5}{n^4}} = \dfrac{-2}{0} = -\infty}2{\lim \dfrac{(3n^2 + 4n)^2(n^3 - 3)^2(2n-7)}{(n + 2)^3(n^3 -3n)^2(2n^2-17)}}:{\lim \dfrac{(3n^2 + 4n)^2(n^3 - 3)^2(2n-7)}{(n + 2)^3(n^3 -3n)^2(2n^2-17)} = \dfrac{\infty}{\infty}} {\lim \dfrac{(9n^4 + 24n^3 + 16n^2)(n^6 - 6n^3 + 9)(2n-7)}{(n^3 + 6n^2 + 12n + 8)(n^6 -6n^4 + 9n^2)(2n^2-17)} = } {\lim \dfrac{9n^4\cdot n^6 \cdot 2n + \dots}{n^3\cdot n^6 \cdot 2n^2 + \dots} = }Dividimos cada factor tanto del numerador como del denominador por {n^{11}} {\lim \dfrac{18n^{11} + \dots}{2n^{11} + \dots} = 9}3{\lim \dfrac{7n-1}{\sqrt[3]{5n^3 +4n -2}}}:{\lim \dfrac{7n-1}{\sqrt[3]{5n^3 +4n -2}} = \dfrac{\infty}{\infty}}Dividimos cada factor tanto del numerador como del denominador por {n}, recuerda que cuando la {n} dentro de la raíz cubica pasa como {n^3} {\lim \dfrac{\dfrac{7n}{n}-\dfrac{1}{n}}{\sqrt[3]{\dfrac{5n^3}{n^3} +\dfrac{4n}{n^3} -\dfrac{2}{n^3}}} = \lim \dfrac{7-\dfrac{1}{n}}{\sqrt[3]{5 +\dfrac{4}{n^2} -\dfrac{2}{n^3}}} = \dfrac{7}{\sqrt[3]{5}}}4{\lim \dfrac{\sqrt{4n^4+n^2+1}}{n^2+1}}:{\lim \dfrac{\sqrt{4n^4+n^2+1}}{n^2+1} = \dfrac{\infty}{\infty}}Dividimos cada factor tanto del numerador como del denominador por {n^2}, recuerda que cuando la {n^2} dentro de la raíz pasa como {n^4} {\lim \dfrac{\sqrt{\dfrac{4n^4}{n^4}+\dfrac{n^2}{n^4}+\dfrac{1}{n^4}}}{\dfrac{n^2}{n^2}+\dfrac{1}{n^2}} = \lim \dfrac{\sqrt{4+\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{1}{n^4}}}{\1+\dfrac{1}{n^2}} = \sqrt{4} = 2}5 {\lim \dfrac{2^{n+1} + 3^{n+1}}{2^n + 3^n}}: {\lim \dfrac{2^{n+1} + 3^{n+1}}{2^n + 3^n} = \dfrac{\infty}{\infty}}Separando {2^{n+1} = 2^n \cdot 2} y lo mismo para {3^{n+1}}, posteriormente dividiendo por {3^n} {\lim \frac{2^n\cdot 2 + 3^n \cdot 3 }{2^n + 3^n} = \lim \dfrac{2\cdot (\frac{2}{3})^n + 3 }{(\dfrac{2}{3})^n + 1} = 3}

13 Calcula los siguientes límites:

  • {\lim (3n \cdot\dfrac{2n}{n^2-7n-5})}
  • {\lim (\sqrt{18n^2 + 1}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{32n^2 - 3}})}

1 {\lim (3n \cdot\dfrac{2n}{n^2-7n-5})}:{\lim (3n \cdot\dfrac{2n}{n^2-7n-5}) = \lim \dfrac{6n^2}{n^2-7n-5}}Dividimos cada factor tanto del numerador como del denominador por {n^2} {\lim \dfrac{\dfrac{6n^2}{n^2}}{\dfrac{n^2}{n^2}-\dfrac{7n}{n^2}-\dfrac{5}{n^2}} = {\lim \dfrac{6}{1-\dfrac{7}{n}-\dfrac{5}{n^2}} = 62{\lim (\sqrt{18n^2 + 1}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{32n^2 - 3}})}: {\lim (\sqrt{18n^2 + 1}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{32n^2 - 3}}) = \lim \dfrac{\sqrt{18n^2 + 1}}{\sqrt{32n^2 - 3}} }Dividimos cada factor tanto del numerador como del denominador dentro de la raíz por {n^2} {\lim \sqrt{\dfrac{18n^2 + 1}{32n^2 - 3}} = \lim \sqrt{\dfrac{\dfrac{18n^2}{n^2} + \dfrac{1}{n^2}}{\dfrac{32n^2}{n^2} - \dfrac{3}{n^2}}}} {\sqrt{\dfrac{18}{32}}} = \sqrt{\dfrac{9}{16}}} = \dfrac{3}{4}}

14 Calcula los siguientes límites:

  • {\lim \left(\dfrac{2n^2}{3n+1}\right)^{\dfrac{3n^2 + 2}{5n - 3}}}
  • {\lim \left(\dfrac{2n^2}{3n+1}\right)^{\dfrac{-3n^2 + 2}{5n - 3}}}
  • {\lim \left(\dfrac{2n^2}{3n+1}\right)^{\dfrac{-3n^2 + 2}{5n^2 - 3}}}
  • {\lim \left(\dfrac{2n^2}{3n^3+1}\right)^{\dfrac{3n^2 + 2}{5n - 3}}}
  • {\lim \left(\dfrac{2n^2}{3n^3+1}\right)^{\dfrac{-3n^2 + 2}{5n - 3}}}

1 {\lim \left(\dfrac{2n^2}{3n+1}\right)^{\dfrac{3n^2 + 2}{5n - 3}}}:Evaluando directamente tanto el límite de la potencia como el límite de la base: {\lim \left(\dfrac{2n^2}{3n+1}\right)^{\dfrac{3n^2 + 2}{5n - 3}} = \infty^\infty = \infty}2{\lim \left(\dfrac{2n^2}{3n+1}\right)^{\dfrac{-3n^2 + 2}{5n - 3}}}:Evaluando directamente tanto el límite de la potencia como el límite de la base: {\lim \left(\dfrac{2n^2}{3n+1}\right)^{\dfrac{-3n^2 + 2}{5n - 3}} = \infty^{-\infty} = \dfrac{1}{\infty} = \dfrac{1}{\infty} = 0}3{\lim \left(\dfrac{2n^2}{3n+1}\right)^{\dfrac{-3n^2 + 2}{5n^2 - 3}}}:Evaluando directamente tanto el límite de la potencia como el límite de la base: {\lim \left(\dfrac{2n^2}{3n+1}\right)^{\dfrac{-3n^2 + 2}{5n^2 - 3}} = \infty^{-\frac{3}{5}} = \dfrac{1}{\sqrt[5]{\infty^3}} = \dfrac{1}{\infty} = 0}4{\lim \left(\dfrac{2n^2}{3n^3+1}\right)^{\dfrac{3n^2 + 2}{5n - 3}}}:Evaluando directamente tanto el límite de la potencia como el límite de la base:{\lim \left(\dfrac{2n^2}{3n^3+1}\right)^{\dfrac{3n^2 + 2}{5n^2 - 3}} =0^{\frac{3}{5}} = 0}5{\lim \left(\dfrac{2n^2}{3n^3+1}\right)^{\dfrac{-3n^2 + 2}{5n - 3}}}:Evaluando directamente tanto el límite de la potencia como el límite de la base: {\lim \left(\dfrac{2n^2}{3n^3+1}\right)^{\dfrac{-3n^2 + 2}{5n^2 - 3}} =0^{-\frac{3}{5}} = \dfrac{1}{0^\frac{3}{5}} = \dfrac{1}{0} = \infty}

 

15 Calcula

    \[ \lim \left(1 + \dfrac{1}{n+2}\right)^{n-1} \]

{\lim \left(1 + \dfrac{1}{n+2}\right)^{n-1} = \lim \left(1 + \dfrac{1}{n+2}\right)^{n+2-2-1} = \lim \left(1 + \dfrac{1}{n+2}\right)^{n-3} =} {\dfrac{\lim \left(1 + \dfrac{1}{n+2}\right)^{n+2}}{\lim \left(1 + \dfrac{1}{n+2}\right)^3} = \dfrac{e}{1} = e}


16 Calcula el siguiente límite:

     \[ \lim \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3 \dots}}}}} \]

{\lim \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3 \dots}}}}} = \lim \left( 3^{\frac{1}{2}}\cdot 3^{\frac{1}{4}} \cdot 3^{\frac{1}{8}} \cdot \dots \right) = } {\lim 3^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots}= 3^{\dfrac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}}} = 3} En este ejercicio aplicamos en el penúltimo paso, la formula de la progresión geométrica infinita.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗