Noción general

 

En ocasiones nos encontramos con que una función tiene una indeterminación de cero por infinito. Es decir, consideremos la función

 

\displaystyle f(x) = g(x)\cdot h(x)

 

tal que \lim_{x \to a}{g(x)} = 0\; y \;\lim_{x \to a}{h(x)} = \infty. Así, nuestra función evaluada en a sería

 

\displaystyle f(a) = g(a) \cdot h(a) = 0 \cdot \infty

 

En este caso, decimos que la función está indeterminada en a, pues no es posible asignarle valor alguno a f(a). Sin embargo, podemos utilizar alguno de los siguientes métodos para encontrar el límite de la función en a —observemos que el límite en a no es lo mismo que el valor de f(a)—:

 

 

La mejor forma para evitar la indeterminación de la forma cero por infinito es transformarla en la indeterminación es transformarla en una indeterminación de la forma infinito dividido por infinito o cero dividido por cero.

 

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Convertir el tipo de indeterminación a infinito dividido por infinito

 

Si tenemos que g(x) tienda a 0 cuando x tienda a a, entonces tenemos que su recíproco, \frac{1}{g(x)} tienda a \infty cuando x tienda a a. O bien, escribiéndolo como ecuaciones

 

\text{Si} \; \lim_{x \to a}{g(x)} = 0 \quad \Rightarrow \quad \lim_{x \to a}{\frac{1}{g(x)} = \infty.

 

y entonces, podemos escribir la función original f(x) como

 

f(x) = g(x) h(x) = \frac{h(x)}{\frac{1}{g(x)}},

en donde, calculando el límite obtenemos

 

     \begin{align*} \lim_{x \to a}{f(x)} &= \lim_{x \to a}{\frac{h(x)}{\frac{1}{g(x)}}}\\ &= \frac{\lim_{x \to a}{h(x)}}{\lim_{x \to a}{\frac{1}{g(x)}}}\\ &= \frac{\infty}{\infty}. \end{align*}

 

Entonces, una vez transformada la indeterminación al escribir f(x) = g(x) h(x) = \frac{h(x)}{\frac{1}{g(x)}}, podemos proceder como se menciona en el artículo Infinito dividido por infinito

 

Ejemplos:

 

1. \lim_{x \to \infty}{e^{-x}\cdot x}

 

En este ejemplo tenemos la función

 

f(x) = e^{-x}\cdot x.

 

Nos interesa calcular el límite \lim_{x \to \infty}{f(x)}. Notemos que podemos identificar a g(x) = e^{-x} y a h(x) = x. Entonces, tenemos que

 

     \begin{align*} \frac{1}{\frac{1}{g(x)}} &= \frac{1}{\frac{1}{e^{-x}}}\\ & = \frac{1}{e^x}. \end{align*}

 

Como tenemos exponencial crece mucho más rápido que cualquier polinomio, tenemos que entonces

 

     \begin{align*} \lim_{x \to \infty}{f(x)} &= \lim_{x \to \infty}{g(x)\cdot h(x)}\\ &=\lim_{x \to \infty}{\frac{h(x)}{\frac{1}{g(x)}}}\\ & = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x}\\ &= 0. \end{align*}

 

2. \lim_{x \to 3}{\frac{x-3}{x^2 + 2x - 15}}

 

En este ejemplo tenemos la función

 

f(x) = \frac{x-3}{x^2 + 2x - 15}.

 

Nos interesa calcular el límite \lim_{x \to 3}{f(x)}. Analizando el denominador de la función f(x), podemos ver que x^2 + 2x - 15 = (x - 3)(x + 5), por lo tanto, podemos reescribir f(x) como

 

f(x) = \frac{x-3}{(x - 3)(x + 5)}.

 

Notemos que podemos identificar a g(x) = x-3 y a h(x) = \frac{1}{(x - 3)(x + 5)}. Entonces, tenemos que

 

     \begin{align*} \frac{1}{\frac{1}{g(x)}} &= \frac{1}{\frac{1}{x-3}}\\ & = \frac{1}{(x-3)^{-1}}. \end{align*}

 

Entonces, tenemos que f(x) sería igual a

 

     \begin{align*} f(x) &= \frac{1}{(x-3)^{-1}} \cdot \frac{1}{(x - 3)(x + 5)}\\ &= \frac{1}{(x-3)^{-1}(x - 3)(x + 5)}\\ &= \frac{1}{x + 5} \end{align*}

 

Entonces, calculando el límite tendríamos

 

     \begin{align*} \lim_{x \to 3}{f(x)} &= \lim_{x \to 3}{\frac{1}{x + 5}}\\ &= \frac{1}{8}. \end{align*}

 

Convertir el tipo de indeterminación a cero dividido por cero

 

Si tenemos que h(x) tienda a \infty cuando x tienda a a, entonces tenemos que su recíproco, \frac{1}{h(x)} tienda a \0 cuando x tienda a a. O bien, escribiéndolo como ecuaciones

 

\text{Si} \; \lim_{x \to a}{h(x)} = \infty \quad \Rightarrow \quad \lim_{x \to a}{\frac{1}{h(x)} = 0.

 

y entonces, podemos escribir la función original f(x) como

 

f(x) = g(x) h(x) = \frac{g(x)}{\frac{1}{h(x)}},

en donde, calculando el límite obtenemos

 

     \begin{align*} \lim_{x \to a}{f(x)} &= \lim_{x \to a}{\frac{g(x)}{\frac{1}{h(x)}}}\\ &= \frac{\lim_{x \to a}{g(x)}}{\lim_{x \to a}{\frac{1}{h(x)}}}\\ &= \frac{0}{0}. \end{align*}

 

Entonces, una vez transformada la indeterminación al escribir f(x) = g(x) h(x) = \frac{g(x)}{\frac{1}{h(x)}}, podemos proceder como se menciona en el artículo Cero dividido por cero

 

Ejemplos:

 

1. \lim_{x \to 0}{\sin(x) \cdot \frac{1}{x}}

 

En este ejemplo tenemos la función

 

f(x) = \sin(x) \cdot \frac{1}{x}.

 

Nos interesa calcular el límite \lim_{x \to 0}{f(x)}. Notemos que podemos identificar a g(x) = \sin(x) y a h(x) = \frac{1}{x}. Notemos que escribiendo f(x) como

 

 f(x) = \frac{\sin(x)}{x}

 

obtenemos una indeterminación de la forma cero dividido por cero. Para resolver este límite, aplicaremos la regla de L'Hôpital. Obteniendo como resultado

 

     \begin{align*} \lim{x \to 0}{f(x)} &= \lim_{x \to 0}{\frac{(\sin(x))'}{(x)'}}\\ &=\lim_{x \to 0}{\frac{\cos(x)}{1}}\\ & = 1 \end{align*}

 

2. \lim_{x \to 1}{(x-1) \cdot \frac{1}{x^2 -1}}

 

En este ejemplo tenemos la función

 

f(x) = (x-1) \cdot \frac{1}{x^2 -1}.

 

Nos interesa calcular el límite \lim_{x \to 1}{f(x)}. Analizando el denominador de la función f(x), podemos ver que x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1), por lo tanto, podemos reescribir f(x) como

 

f(x) = (x-1) \cdot \frac{1}{(x - 1)(x + 1)}.

 

Notemos que podemos identificar a g(x) = (x-1) y a h(x) = \frac{1}{(x - 1)(x + 1)}. Entonces, tenemos que f(x) sería igual a

 

     \begin{align*} f(x) &= \frac{x - 1}{(x - 1)(x + 1)} \\ &= \frac{1}{x + 1}. \end{align*}

 

Calculando el límite tendríamos

 

     \begin{align*} \lim_{x \to 1}{f(x)} &= \lim_{x \to 1}{\frac{1}{x + 1}}\\ &= \frac{1}{1 + 1}\\ &= \frac{1}{2}. \end{align*}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗