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Las sucesiones y progresiones son herramientas fundamentales en el estudio de las matemáticas, especialmente en el análisis de patrones numéricos y el desarrollo del pensamiento lógico. Comprender cómo se comportan estas secuencias nos permite resolver problemas que involucran crecimiento, cambio constante y relaciones entre términos.
A continuación encontrarás una serie de ejercicios resueltos paso a paso, que abarcan tanto sucesiones aritméticas como geométricas, así como otros tipos de progresiones y patrones numéricos. Cada ejercicio ha sido seleccionado con el objetivo de reforzar los conceptos teóricos, mostrar métodos de resolución y ayudarte a desarrollar habilidades prácticas para enfrentar problemas similares por tu cuenta.
Término general y propiedades
Numerador
Es constante igual a 
Denominador
Es una progresión aritmética de 
Comienza en 1 por lo que el denominador está dado por 
Numerador
Es constante igual a 
Denominador
Es una progresión aritmética de
Comienza en 1 por lo que el denominador está dado por
Numerador
Es una progresión aritmética con una
Comienza en por lo que el númerador está dado por
Denominador
Es una progresión aritmética de
Comienza en por lo que el númerador está dado por 
En esta sucesión se han simplificado algunas fracciones.
Numerador
Es una progresión aritmética con una
Comienza en 
por lo que el númerador está dado por 
Denominador
Es una progresión aritmética de
Comienza en por lo que el númerador está dado por
Si prescindimos del signo es una progresión aritmética con una
Por ser los términos impares los negativos multiplicamos por 
Si prescindimos del signo es una progresión aritmética con una
Por ser los términos impares los positivos multiplicamos por 
En esta sucesión se han simplificado algunas fracciones.
Numerador
Si prescindimos del signo, es una progresión aritmética con una
Comienza en 
por lo que el númerador está dado por 
Denominador
Es una progresión aritmética de
Comienza en 1 por lo que el númerador está dado por
Por ser los términos pares los negativos multiplicamos por (–1)n+1
Es una sucesión oscilante
Los términos impares forman progresión aritmética con una , si no tenemos en cuenta los términos pares
El denominador de los términos pares forman progresión aritmética con una 
Notamos que podemos reescribir la sucesión como
Si prescindimos del signo y del exponente tenemos una progresión aritmética con una
Por estar los términos al cuadrado, tenemos que elevar el término general al cuadrado
Por ser los términos impares los negativos multiplicamos por
Notamos que podemos reescribir la sucesión de la siguiente manera,
Es una sucesión oscilante
Numerador
El numerador de los términos impares forman progresión aritmética con una , si no tenemos en cuenta los términos pares.
Por estar los términos al cuadrado, tenemos que elevar el término general al cuadrado
Denominador
El primer sumando del denominador (prescindiendo del cuadrado) es una progresión aritmética de (sin contar los términos pares)
El término general lo tenemos que elevar al cuadrado y sumarle
Los términos pares forman una sucesión constante.
Monotonía
Calculamos los primero términos
Es monótona estrictamente decreciente.
Además, si calculamos para valores muy grandes de obtenemos
Por lo tanto, es una sucesión convergente y el límite es 0.5
Por ser decreciente, 3 es una cota superior, el máximo
0.5 es una cota inferior, el ínfimo o extremo inferior
Por tanto la sucesión está acotada
$$0.5 < a_n \leq 3$$[/latex]
Calculamos los primero términos
Es monótona estrictamente decreciente.
Además, si calculamos para valores muy grandes de obtenemos
Por lo tanto, es una sucesión convergente y el límite es 0.5
Por ser decreciente, 2 es una cota superior, el máximo
0.5 es una cota inferior, el ínfimo o extremo inferior
Por tanto la sucesión está acotada
$$0.5 < a_n \leq 2$$[/latex]
Calculamos los primeros términos
No es monótona
No es convergente ni divergente
No está acotada
Calculamos los primeros términos
No es monótona
No es convergente ni divergente
Si está acotada
No es monótona
Es convergente porque el límite = 0
Está acotada superiormente, 1 es el máximo
Está acotada inferiormente, –1 es el mínimo
Está acotada
Encuentra la progresión
El cuarto término de una progresión aritmética es 10 , y el sexto es 16. Escribir la progresión.
Usando la fórmula
Podemos calcular
Usando la misma fórmula podemos calcular el primer término de la sucesión
El quinto término de una progresión aritmética es 14 , y el sexto es 26. Escribir la progresión.
Usando la fórmula
Podemos calcular
Usando la misma fórmula podemos calcular el primer término de la sucesión
El segundo término de una progresión geométrica es 6 , y el quinto es 48. Escribir la progresión
Los términos que sabemos son
Usando la fórmula
Podemos calcular 
Usando la misma fórmula calculamos el primer término
El tercer término de una progresión geométrica es 6 , y el quinto es 48. Escribir la progresión
Los términos que sabemos son
Usando la fórmula
Podemos calcular
Usando la misma fórmula calculamos el primer término
El cuarto término de una progresión geométrica es 6 , y el quinto es 48. Escribir la progresión
Los términos que sabemos son
Usando la fórmula
Podemos calcular
Usando la misma fórmula calculamos el primer término
Encuentra la suma, diferencia o producto de términos
Hallar la suma de los quince primeros múltiplos de 5
Me interesa obtener la suma de los primeros quince términos de la sucesión
Los datos que tenemos son
Obtenemos el término quince usando la siguiente fórmula
Usando la fórmula
Podemos obtener la suma de los primeros 
términos
Hallar la suma de los quince primeros números acabados en 
Me interesa obtener la suma de los primeros quince términos de la sucesión
Los datos que tenemos son
Obtenemos el término quince usando la siguiente fórmula
Con la fórmula
Podemos obtener la suma de los primeros
términos
Hallar la suma de los quince primeros números pares mayores que
Me interesa obtener la suma de los primeros quince términos de la sucesión
Los datos que tenemos son
Obtenemos el término quince usando la siguiente fórmula
Con la fórmula
Podemos obtener la suma de los primeros
términos
El primer término de una progresión aritmética es 
, y el décimoquinto es 
. Hallar la diferencia y la suma de los quince primeros términos.
Los datos que tenemos son
Usando la fórmula
Podemos obtener el valor de
Con la fórmula
Podemos obtener la suma de los primeros
términos
El primer término de una progresión geométrica es , y el octavo es 
. Hallar la razón, y la suma y el producto de los 
primeros términos
Los datos que tenemos son
Usando la fórmula
Podemos obtener el valor de
Con la fórmula
Podemos obtener la suma de los primeros 8 términos
Ahora consideramos la fórmula de producto
Para obtener el producto de los primeros
términos
Medios aritméticos y geométricos
Escribir tres medios artméticos entre y 
Tenemos los datos
Usando la fórmula
Podemos obtener el valor de
Finalmente
Escribir tres medios artméticos entre y 
Tenemos los datos
Usando la fórmula
Podemos obtener el valor de
Finalmente
Escribir tres medios artméticos entre 
y
Tenemos los datos
Usando la fórmula
Podemos obtener el valor de
Finalmente
Interpolar tres medios geométricos entre y 
Tenemos los datos
Usando la fórmula
Podemos obtener el valor de
Finalmente
Interpolar tres medios geométricos entre y 
Tenemos los datos
Usando la fórmula
Podemos obtener el valor de
Finalmente
Encuentra la fracción generatriz
Encontrar la fracción generatriz de 
Reescribimos el número de la siguiente manera
Tenemos una progresión geométrica decreciente ilimitada
Entonces
Encontrar la fracción generatriz de 
Reescribimos el número de la siguiente manera
Tenemos una progresión geométrica decreciente ilimitada
Entonces
Encontrar la fracción generatriz de 
Reescribimos el número de la siguiente manera
Tenemos una progresión geométrica decreciente ilimitada
Entonces
Encontrar la fracción generatriz de 
Reescribimos el número de la siguiente manera
Tenemos una progresión geométrica decreciente ilimitada
Entonces
Encontrar la fracción generatriz de 
Reescribimos el número de la siguiente manera
Tenemos una progresión geométrica decreciente ilimitada
Entonces
Geométricos
Hallar los ángulos de un cuadrilátero convexo, sabiendo que están en progresión aritmética, siendo 
La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360º
360 = [(a1 + a4) · 4]/2
a4 = a1 + 3 · 25
360= [( a1 + a1 + 3 · 25) · 4]/2
a1 = 105/2 = 52º 30'
a2 = 77º 30'
a3 = 102º 30'
a4 = 127º 30'
Hallar los ángulos de un cuadrilátero convexo, sabiendo que están en progresión aritmética, siendo 
La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360º
360 = [(a1 + a4) · 4]/2
a4 = a1 + 3 · 25
360= [( a1 + a1 + 3 · 25) · 4]/2
a1 = 105/2 = 52º 30'
a2 = 77º 30'
a3 = 102º 30'
a4 = 127º 30'
Hallar los ángulos de un hexágono convexo, sabiendo que están en progresión aritmética, siendo 
La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360º
360 = [(a1 + a4) · 4]/2
a4 = a1 + 3 · 25
360= [( a1 + a1 + 3 · 25) · 4]/2
a1 = 105/2 = 52º 30'
a2 = 77º 30'
a3 = 102º 30'
a4 = 127º 30'
El cateto menor de un triángulo rectángulo mide 8 cm. Calcula los otros dos, sabiendo que los lados del triángulo forman una progresión aritmética
El teorema de Pitágoras nos dice que en un triángulo rectángulo la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los catetos al cuadrado
(8 + 2d)² = (8 + d)² + 8^2
La solución negativa no es válida porque no existen lados negativos
El cateto menor de un triángulo rectángulo mide 5 cm. Calcula los otros dos, sabiendo que los lados del triángulo forman una progresión aritmética
El teorema de Pitágoras nos dice que en un triángulo rectángulo la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los catetos al cuadrado
(5 + 2d)² = (5 + d)² + 5^2
La solución negativa no es válida porque no existen lados negativos
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Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
en el ejercicio Nro. 5 hay una inconsistencia: para hallar a 1 seria 479 = a1 + 39(5) entonces 39*5 = 195 —- al despejar 479 -195 = a1 el resultado seria a1 = 284 ___ que seria el primer termino de la progresion …. entonces la progresion quedaria, así:
284 , 289 , 294 , 299 , 304 , 309 ,314 ,319, 324, 329, 334…
Hola agradecemos tus observaciones, pero no encontré el ejercicio que mencionas para poder corregirlo, podrías ser mas especifico seria de mucha ayuda.
Calcula los tres términos que siguen en estas sucesiones a partir de los datos que se dan.
a) a_1 = 3 a n + 1 =3+a n
b) a_1 = – 1 a n + 1 =n-2a n
hola podrias darme una idea de como podria hacer este ejercicio aplicando al formula CORRECTA Pedro ha decidido tomar un tour en sus vacaciones, para lo cual decide ahorrar de tal forma que el primer mes ahorra $ 300 y, luego, cada mes ahorra 3 veces lo ahorrado el mes anterior y así sucesivamente. ¿Cuánto ahorra al noveno mes?
Una disculpa, pero hubo una confusión con los artículos y se corrigió otro, te agradecemos tu paciencia y ahora si se corrigió, si no fuera así puedes mencionarlo otra vez y trabajaremos en ello.
50,45,39,32,
No se corrigió nada