Término general y propiedades

 

1 Hallar el término general de las siguientes sucesiones:
 

  • \displaystyle 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5},...
  •  

  • \displaystyle \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6},...
  •  

  • \displaystyle -3, -1, -\frac{1}{3}, 0, \frac{1}{5},...
  •  

  • \displaystyle -1, 2, -3, 4,-5,...
  • \displaystyle 3,-2,\frac{5}{3}, -\frac{3}{2},\frac{7}{5},...
  •  

  • \displaystyle 1, \frac{1}{2}, 3, \frac{1}{4},5,...
  •  

  • \displaystyle -4, 9, -16, 25, -36, ...
  •  

  • \displaystyle \frac{1}{4},1, \frac{9}{12},1, \frac{25}{28},...

 

1 \displaystyle 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5},...

 

Numerador

Es constante igual a 1

Denominador

Es una progresión aritmética de d = 1

Comienza en 1 por lo que el denominador está dado por  n

\displaystyle \Rightarrow \hspace{.5cm} 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5},...,\frac{1}{n}

 

2 \displaystyle \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6},...

 

Numerador

Es una progresión aritmética con una d = 1

Comienza en 1 por lo que el númerador está dado por  n

Denominador

Es una progresión aritmética de d = 1

Comienza en 2 por lo que el númerador está dado por  n+1

\displaystyle \Rightarrow \hspace{.5cm} \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6},...,\frac{n}{n+1}

 

3 \displaystyle -3, -1, -\frac{1}{3}, 0, \frac{1}{5},...

 

En esta sucesión se han simplificado algunas fracciones.

\displaystyle -\frac{3}{1}, -\frac{2}{2}, -\frac{1}{3}, \frac{0}{4}, \frac{1}{5},...

Numerador

Es una progresión aritmética con una d = 1

Comienza en -3 por lo que el númerador está dado por  n-4

Denominador

Es una progresión aritmética de d = 1

Comienza en 1 por lo que el númerador está dado por  n

\displaystyle \Rightarrow \hspace{.5cm} -3, -1, -\frac{1}{3}, 0, \frac{1}{5},..., \frac{n-4}{n}

 

4-1, 2, -3, 4,-5,...

 

Si prescindimos del signo es una progresión aritmética con una d = 1

Por ser los términos impares los negativos multiplicamos por (-1)^n

\Rightarrow \hspace{.5cm} -1,2,-3,4,-5,...,(-1)^n n

 

5 \displaystyle 3, -2, \frac{5}{3}, -\frac{3}{2}, \frac{7}{5},...

 

En esta sucesión se han simplificado algunas fracciones.

\displaystyle \frac{3}{1}, -\frac{4}{2}, \frac{5}{3}, -\frac{6}{4}, \frac{7}{5},...

Numerador

Si prescindimos del signo, es una progresión aritmética con una d = 1

Comienza en 3 por lo que el númerador está dado por  n+2

Denominador

Es una progresión aritmética de d = 1

Comienza en 1 por lo que el númerador está dado por  n

Por ser los términos pares los negativos multiplicamos por (–1)n+1

\displaystyle \Rightarrow \hspace{.5cm} 3, -2, \frac{5}{3}, -\frac{3}{2}, \frac{7}{5},..., (-1)^{n+1} \frac{n+2}{n}

 

6 \displaystyle 1, \frac{1}{2}, 3, \frac{1}{4}, 5,...

 

Es una sucesión oscilante

Los términos impares forman progresión aritmética con una d = 1, si no tenemos en cuenta los términos pares

El denominador de los términos pares forman progresión aritmética con una d= 1

\displaystyle \Rightarrow \hspace{.5cm} 1, \frac{1}{2}, 3, \frac{1}{4}, 5,...\left\{\begin{matrix} n \hspace{1cm} \text{si }n \text{ es impar} \hspace{1cm} n=2k+1\\ \hspace{1cm}\\ \frac{1}{n}\hspace{1.1cm} \text{si }n \text{ es par} \hspace{1.5cm} n=2k\hspace{.8cm} \end{matrix}\right.

 

7 -4, 9 ,-16, 25, -36,...

 

Notamos que podemos reescribir la sucesión como

-2^2, 3^3, -4^2, 5^2, -6^2,...

Si prescindimos del signo y del exponente tenemos una progresión aritmética con una d = 1

Por estar los términos al cuadrado, tenemos que elevar el término general al cuadrado

Por ser los términos impares los negativos multiplicamos por (-1)^n

\Rightarrow \hspace{.5cm} -4, 9 ,-16, 25, -36,..., (-1)^n (n+1)^2

 

8 \displaystyle \frac{1}{4}, 1, \frac{9}{12}, 1, \frac{25}{28},...

 

Notamos que podemos reescribir la sucesión de la siguiente manera,

\displaystyle \frac{1^2}{1^2+3}, 1, \frac{3^2}{3^2+3}, 1, \frac{5^2}{5^2+3}, ...

Es una sucesión oscilante

Numerador

El numerador de los términos impares forman progresión aritmética con una d = 1, si no tenemos en cuenta los términos pares.

Por estar los términos al cuadrado, tenemos que elevar el término general al cuadrado

Denominador

El primer sumando del denominador (prescindiendo del cuadrado) es una progresión aritmética de d = 1 (sin contar los términos pares)

El término general lo tenemos que elevar al cuadrado y sumarle 3

Los términos pares forman una sucesión constante.

\displaystyle \Rightarrow \hspace{.5cm} \frac{1}{4}, 1, \frac{9}{12}, 1, \frac{25}{28},...\left\{\begin{matrix} \frac{n^2}{n^2+3} \hspace{.5cm} \text{si }n \text{ es impar} \hspace{.5cm} n=2k+1\\ \hspace{1cm}\\ 1 \hspace{1.1cm} \text{si }n \text{ es par} \hspace{1cm} n=2k\hspace{.7cm} \end{matrix}\right.

 

2 Estudia la monotonia, la convergencia o divergencia y las cotas (si existen) de las siguientes sucesiones:
 

  •  \displaystyle a_n=\frac{n+2}{2n-1}
  •  

  • \displaystyle a_n=(-1)^{n-1}\cdot 2^n
  •  

  • \displaystyle 1, -1, \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, - \frac{1}{3},...

 

1\displaystyle a_n=\frac{n+2}{2n-1}

 

Calculamos los primero términos

\displaystyle 3, \frac{4}{3}, 1, \frac{6}{7},...

Es monótona estrictamente decreciente.

Además, si calculamos para valores muy grandes de n obtenemos

a_1 = 3
a_3= 1
a_{1000} = 0.5012506253127
a_{1000 000} = 0.5000012500006

Por lo tanto, es una sucesión convergente y el límite es 0.5

Por ser decreciente, 3 es una cota superior, el máximo

0.5  es una cota inferior, el ínfimo o extremo inferior

Por tanto la sucesión está acotada

0.5<a_n\leq 3

 

2a_n=(-1)^{n-1}\cdot 2^n

 

Calculamos los primeros términos

2, - 4, 8, - 16, ...

No es monótona

No es convergente ni divergente

No está acotada

 

3\displaystyle 1, -1, \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, - \frac{1}{3},...

 

No es monótona

Es convergente porque el límite = 0

Está acotada superiormente, 1 es el máximo

Está acotada inferiormente, –1 es el mínimo

Está acotada

-1\leq a_n \leq 1

 

Superprof

Encuentra la progresión

 

3 El cuarto término de una progresión aritmética es 10 , y el sexto es 16. Escribir la progresión.
 

 

Los términos que sabemos son

a_4= 10

a_6= 16

Usando la fórmula

 a_n = a_k + (n - k) \cdot d

Podemos calcular d

16 = 10 + (6 - 4) \cdot d

d = 3

Usando la misma fórmula podemos calcular el primer término de la sucesión

a_1= a_4 + (1-4)\cdot d

a_1= a_4 -3 d

a_1 = 10 - 9 = 1

 

\Rightarrow \hspace{.4cm} 1, 4, 7, 10, 13, 16, ...

 

4 El segundo término de una progresión geométrica es 6 , y el quinto es 48. Escribir la progresión

 

Los términos que sabemos son

a_2= 6

a_5= 48

Usando la fórmula

 a_n = a_k\cdot r^{n-k}

Podemos calcular r

48 = 6 r^{5 - 2}

r^3 = 8

r = 2

Usando la misma fórmula calculamos el primer término

\displaystyle a_1= a_2r^{1-2}=\frac{a_2}{r}

a_1=\frac{6}{2}= 3

 

\Rightarrow \hspace{.5cm} 3, 6, 12, 24, 48, ...

 

Encuentra la suma, diferencia o producto de términos

 

5 Hallar la suma de los quince primeros múltiplos de 5

 

Me interesa obtener la suma de los primeros quince términos de la sucesión

5, 10, 15, 20, 25, ...

Los datos que tenemos son

a_1= 5

d= 5

n = 15

Obtenemos el término quince usando la siguiente fórmula

a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d

a_{15} = 5 + (15-1) \cdot 5 = 5 + 14 \cdot 5 = 75

Usando la fórmula

  \displaystyle S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2}

Podemos obtener la suma de los primeros 15 términos

\displaystyle S_{15} = \frac{5\cdot(5 + 75)}{2} = 600

 

6 Hallar la suma de los quince primeros números acabados en 5

 

Me interesa obtener la suma de los primeros quince términos de la sucesión

5,15,25,35,45,...

Los datos que tenemos son

a_1= 5[latex] [latex]d= 10

n= 15

Obtenemos el término quince usando la siguiente fórmula

a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d

a_{15}= 5 + 14 \cdot 10 = 145

Con la fórmula

  \displaystyle S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2}

Podemos obtener la suma de los primeros 15 términos

\displaystyle S_{15} = \frac{15\cdot (5 + 145)}{2} = 1125

 

7 Hallar la suma de los quince primeros números pares mayores que 5

 

Me interesa obtener la suma de los primeros quince términos de la sucesión

6,8,10,12,14,...

Los datos que tenemos son

 a_1= 6

d= 2

n= 15

Obtenemos el término quince usando la siguiente fórmula

 a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d

a_{15} = 6 + 14 \cdot 2 = 34

Con la fórmula

  \displaystyle S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2}

Podemos obtener la suma de los primeros 15 términos

\displaystyle S_{15}= \frac{15\cdot (6 + 34) }{2} =300

 

8 El primer término de una progresión aritmética es -1, y el décimoquinto es 27. Hallar la diferencia y la suma de los quince primeros términos.

 

Los datos que tenemos son

a_1= -1

a_{15}= 27

Usando la fórmula

a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d

Podemos obtener el valor de d

27 = -1 + (15- 1) d

28 = 14d

d = 2

Con la fórmula

  \displaystyle S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2}

Podemos obtener la suma de los primeros 15 términos

S_{15} = \frac{15\cdot (-1 + 27)}{2} = 195

 

9 El primer término de una progresión geométrica es 3, y el octavo es 384. Hallar la razón, y la suma y el producto de los 8 primeros términos

 

Los datos que tenemos son

a_1= 3

a_8= 384

Usando la fórmula

a_n=a_k \cdot r^{n-k}

Podemos obtener el valor de r

384 = 3 \cdot r^{8-1}

r^7 = 128

r^7 = 2^7

r= 2

Con la fórmula

  \displaystyle S_n = \frac{a_n\cdot r -a_1}{r-1}

Podemos obtener la suma de los primeros 8 términos

\displaystyle S_8= \frac{384 \cdot 2 - 3 }{2 - 1} = 765

Ahora consideramos la fórmula de producto

P=\pm \sqrt{(a_1\cdot a_n)^n}

Para obtener el producto de los primeros 8 términos

P_8=\sqrt{(3\cdot 384)^8}=1761205026816

 

Medios aritméticos y geométricos

 

10 Escribir tres medios artméticos entre 3 y 23

 

Tenemos los datos

a = 3

b = 23

Usando la fórmula

 \displaystyle d=\frac{b-a}{m+1}

Podemos obtener el valor de d

\displaystyle d=\frac{23-3}{3+1}=5

Finalmente

 \Rightarrow \hspace{.5cm} 3, 8, 13, 18, 23

11 Interpolar tres medios geométricos entre 3 y 48

 

Tenemos los datos

a = 3

b = 48

Usando la fórmula

\displaystyle r=\sqrt[m+1]{\frac{b}{a}}

Podemos obtener el valor de r

\displaystyle r=\sqrt[3+1]{\frac{48}{3}}=\sqrt[4]{16}=\sqrt[4]{2^4}=2

Finalmente

\Rightarrow \hspace{.5cm}  3,   6, 12, 24,  4

Encuentra la fracción generatriz

12 Encontrar la fracción generatriz de 3.2777777...

 

Reescribimos el número de la siguiente manera

3.2777777...= 3.2 + 0.07 + 0.007 + 0.0007 + ...

Tenemos una progresión geométrica decreciente ilimitada

a_1= 0.07

r= 0.1

Entonces

\displaystyle 3.2 + \frac{0.07}{1 - 0.1} = \frac{32}{10} + \frac{7}{9} = \frac{59}{18}[latex] </section></div> </div>   </div> <!-- fin div.bloque--> <h2 class="tit-sol">Geométricos</h2> <div class="bloque"> <span class="sb">13 </span> Hallar los ángulos de un cuadrilátero convexo, sabiendo que están en progresión aritmética, siendo [latex]d = 25º

 

La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360º

360 = [(a1 + a4) · 4]/2

a4 = a1 + 3 · 25

360= [( a1 + a1 + 3 · 25) · 4]/2

a1 = 105/2 = 52º 30'    
 a2 = 77º 30'

a3 = 102º 30'               
a4 = 127º 30'

14 El cateto menor de un triángulo rectángulo mide 8 cm. Calcula los otros dos, sabiendo que los lados del triángulo forman una progresión aritmética

 

a_2 = 8 + d

a_3 = 8 + 2d

El teorema de Pitágoras nos dice que en un triángulo rectángulo la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los catetos al cuadrado

(8 + 2d)² = (8 + d)² + 66

\displaystyle d=\frac{8}{3} \hspace{2cm} \cancel{d=-8}

La solución negativa no es válida porque no existen lados negativos

\displaystyle 8, \frac{32}{3}, \frac{40}{3}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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