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Estudia la monotonía, la convergencia o divergencia y las cotas de las sucesiones
Hallar el término general de las siguientes sucesiones
Calcular el término general de las siguientes sucesiones

Estudia la monotonía, la convergencia o divergencia y las cotas de las sucesiones

1 $a_{n}=1,2,3,4,5,...,n$

2 $a_{n}=-1,-2,-3,-4,-5,...-n$

3 $\displaystyle a_{n}=2,\cfrac{3}{2},\cfrac{4}{3},\cfrac{5}{4},...,\cfrac{n+1}{n}$

4 $a_{n}=2,-4,8,-16,32,...,\left ( -1 \right )^{n-1}\cdot 2^{n}$

5 $\displaystyle a_{n}=\cfrac{n+2}{2n+1}$

6 $a_{n}=\left ( -1 \right )^{n-1}\cdot 2^{n}$

7 $\displaystyle 1,-1,\cfrac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{3},-\frac{1}{3},...$

8 $\displaystyle a_{n}=\cfrac{n}{n+1}$

Estudia la monotonía, la convergencia o divergencia y las cotas de las sucesiones

Soluciones:

1 $a_{n}=1,2,3,4,5,...,n$

Es creciente

Está acotada inferiormente

Cotas inferiores: $1,0,-1,...$

El mínimo es $1$

No está acotada superiormente

Divergente

2 $a_{n}=-1,-2,-3,-4,-5,...-n$

Es decreciente

Está acotada superiormente

Cotas superiores: $-1,0,-1,...$

El máximo es $-1$

No está acotada inferiormente

Divergente

3 $\displaystyle a_{n}=2,\cfrac{3}{2},\cfrac{4}{3},\cfrac{5}{4},...,\cfrac{n+1}{n}$

Es decreciente

Está acotada superiormente

Cotas superiores: $2, 3, 4,...$

El máximo es $2$

Está acotada inferiormente

Cotas inferiores: $1,0,-1,...$

El ínfimo es $1$

Convergente, $\lim_{n\rightarrow \infty }=1$

4 $a_{n}=2,-4,8,-16,32,...,\left ( -1 \right )^{n-1}\cdot 2^{n}$

No es monótona

No está acotada

No es convergente ni divergente

5 $\displaystyle a_{n}=\cfrac{n+2}{2n+1}$

Los primeros términos de esta sucesión son:

$\displaystyle 1,\cfrac{4}{5},\cfrac{5}{7},\frac{2}{3},...$

Es monótona estrictamente decreciente

$a_{1}=1$

$a_{3}=\cfrac{5}{7}$

$a_{1.000}=0,5007496251874$

$a_{1.000.000}=0,5000007499996$

$\Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty }=0,5$

Nuestro profesor matematicas puede ayudarte.

Sucesión convergente

Por ser decreciente, $1$ es una cota superior, el máximo.

$0,5$ es una cota inferior, el ínfimo o extremo inferior.

Por tanto la sucesión está acotada

$0,5< a_{n}\leq 1$

6 $a_{n}=\left ( -1 \right )^{n-1}\cdot 2^{n}$

Los primeros términos de la sucesión son:

$2,-4,8,-16$

No es monótona

No es convergente ni divergente

No está acotada

7 $\displaystyle 1,-1,\cfrac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{3},-\frac{1}{3},...$

No es monótona

Es convergente porque $\lim_{n\rightarrow \infty }=0$

Está acotada superiormente, $1$ es el máximo

Está acotada inferiormente, $-1$ es el mínimo

Está acotada

$-1\leq a_{n}\leq 1$

8 $\displaystyle a_{n}=\cfrac{n}{n+1}$

Los primeros términos de la sucesión son:

$\displaystyle \cfrac{1}{2},\cfrac{2}{3}, \cfrac{3}{4}, \cfrac{4}{5},\cfrac{5}{6},...$

Es monotona estrictamente creciente

$a_{1}=0,5$

$a_{3}=0,6666...$

$a_{1.000}=0,999000999001$

$a_{1.000.000}=0,999999000001$

$\Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty }=1$

Sucesión convergente

Está acotada inferiormente, $\displaystyle \cfrac{1}{2}$ es el mínimo

Está acotada superiormente. $1$ es el supremo

Por tanto la sucesión está acotada

$0,5\leq a_{n}< 1$

Hallar el término general de las siguientes sucesiones

1 $8,3,-2,-7,-12,...$

2 $3,6,12,24,48,...$

3 $4,9,16,25,36,49,...$

4 $5,10,17,26,37,50,...$

5 $6,11,18,27,38,51,...$

6 $3,8,15,24,35,48,...$

7 $-4,9,-16,25,-36,49,...$

8 $4,-9,16,-25,36,-49,...$

9 $\displaystyle \cfrac{2}{4},\cfrac{5}{9},\cfrac{8}{16},\cfrac{11}{25},\cfrac{14}{36},...$

10 $\displaystyle -5,\cfrac{7}{2},-\cfrac{9}{3},\cfrac{11}{4},-\cfrac{13}{5}...$

Hallar el término general de las siguientes sucesiones

1 $8,3,-2,-7,-12,...$

Podemos obtener la diferencia entre los términos consecutivos:

$3-8=-5$

$-2-3=-5$

$-7-\left ( -2 \right )=-5$

$-12-\left ( -7 \right )=-5$

Debido a que la diferencia es constante, $d=-5$

Es una progresión aritmética

$a_{n}=8+\left ( n-1 \right )\left ( -5 \right )=8-5n+5=-5n+13$

2 $3,6,12,24,48,...$

Podemos dividir cada termino por su antecesor:

$6\div 3=2$

$12\div 6=2$

$24\div 12=2$

$48\div 24=2$

Como el cociente es constante, $r=2$

se trata de una progresión geométrica

$a_{n}=3\cdot \left (2 \right )^{n-1}$

3 $4,9,16,25,36,49,...$

La sucesión se puede reescribir como:

$2^{2},3^{2},4^{3},5^{3},6^{3},7^{3},...$

Observamos que las bases están en progresión aritmética, siendo $d=1$ , y el exponente es constante, por lo que podemos escribir la siguiente sucesión para la base:

$b_{n}=2+\left ( n-1 \right )\cdot 1=2+n-1=n+1$

Por lo que el término general es:

$a_{n}=\left ( n+1 \right )^{2}$

4 $5,10,17,26,37,50,...$

Cada término de esta sucesión es el consecutivo de los términos de la sucesión anterior, por lo que podemos reescribirla como:

$2^{2}+1,3^{2}+1,4^{2}+1,5^{2}+1,6^{2}+1,7^{2}+1,...$

Hallamos el término general como vimos en el caso anterior y le sumamos 1.

$a_{n}=\left ( n+1 \right )^{2}+1$

5 $6,11,18,27,38,51,...$

La sucesión se puede reescribir como:

$2^{2}+2,3^{2}+2,4^{2}+2,5^{2}+2,6^{2}+2,7^{2}+2,...$

$a_{n}=\left ( n+1 \right )^{2}+2$

6 $3,8,15,24,35,48,...$

La sucesión se puede reescribir como:

$2^{2}-1,3^{2}-1,4^{2}-1,5^{2}-1,6^{2}-1,7^{2}-1,...$

$a_{n}=\left ( n+1 \right )^{2}-1$

7 $-4,9,-16,25,-36,49,...$

Cada uno de los términos de esta sucesión es el inverso de cada uno de los términos de la sucesión $3$ , por lo que:

$a_{n}=\left ( -1 \right )^{n}\left ( n+1 \right )^{2}$

8 $4,-9,16,-25,36,-49,...$

$a_{n}=\left ( -1 \right )^{n-1}\left ( n+1 \right )^{2}$

9 $\displaystyle \cfrac{2}{4},\cfrac{5}{9},\cfrac{8}{16},\cfrac{11}{25},\cfrac{14}{36},...$

Tenemos dos sucesiones, una para el numerado y otra para el denominador:

$2,5,8,11,14,...$

$4,9,16,25,36,...$

La primera es una progresión aritmética con $d=3$ , la segunda es una sucesión de cuadrados perfectos.

$\displaystyle a_{n}=\cfrac{3n-1}{\left ( n+1 \right )^{2}}$

10 $\displaystyle -5,\cfrac{7}{2},-\cfrac{9}{3},\cfrac{11}{4},-\cfrac{13}{5}...$

Si prescindimos del signo, el numerador es una progresión aritmética con una $d=2$ .

El denominador es una progresión aritmética de $d=1$ .

Por ser los términos impares los negativos multiplicamos por $\left ( -1 \right )^{n}$ .

$\displaystyle a_{n}=\left ( -1 \right )^{n}\cdot \cfrac{2n+3}{n}$

Calcular el término general de las siguientes sucesiones

1 $\displaystyle 1,\cfrac{1}{2},\cfrac{1}{3},\cfrac{1}{4},\cfrac{1}{5},...$

2 $\displaystyle \cfrac{1}{2},\cfrac{2}{3},\cfrac{3}{4},\cfrac{4}{5},\cfrac{5}{6},...$

3 $\displaystyle -3,-1,-\cfrac{1}{3},0,\cfrac{1}{5},...$

4 $-1,2,-3,4,-5$

5 $\displaystyle 3,-2,\cfrac{5}{3},-\cfrac{3}{2},\cfrac{7}{5},...$

6 $\displaystyle 1,\cfrac{1}{2},3,\cfrac{1}{4},5,...$

7 $-4,9,-16,25,-36,...$

8 $\displaystyle \cfrac{1}{4},1,\cfrac{9}{12},1,\cfrac{25}{28},...$

9 $\displaystyle \cfrac{5}{6},\cfrac{7}{12},\cfrac{9}{24},\cfrac{11}{48},\cfrac{13}{96},...$

10 $\displaystyle \cfrac{1}{2},-\cfrac{2}{6},\cfrac{3}{18},-\cfrac{4}{54},\cfrac{5}{162},...$

Calcular el término general de las siguientes sucesiones:

Soluciones:

1 $\displaystyle 1,\cfrac{1}{2},\cfrac{1}{3},\cfrac{1}{4},\cfrac{1}{5},...$

El numerador es constante.

El denominador es una progresión aritmética de $d=1$ .

$a_{n}=\cfrac{1}{n}$

2 $\cfrac{1}{2},\cfrac{2}{3},\cfrac{3}{4},\cfrac{4}{5},\cfrac{5}{6},...$

El numerador es una progresión aritmética con una $d=1$

El denominador es una progresión aritmética con una $d=1$

$\displaystyle a_{n}=\cfrac{n}{n+1}$

3 $\displaystyle -3,-1,-\cfrac{1}{3},0,\cfrac{1}{5},...$

Si escribimos cada término de la sucesión en forma racional, obtendríamos:

$\displaystyle \cfrac{-3}{1},\cfrac{-2}{2},\cfrac{-1}{3},\cfrac{0}{4},\cfrac{1}{5},...$

El numerador es una progresión aritmética con una $d=1$

El denominador es una progresión aritmética de $d=1$

$\displaystyle a_{n}=\cfrac{n-4}{n}$

4 $-1,2,-3,4,-5$

Si prescindimos del signo es una progresión aritmética con una $d=1$

Por ser los términos impares los negativos multiplicamos por $\left ( -1 \right )^{n}$

$a_{n}=\left ( -1 \right )^{n}\cdot n$

5 $\displaystyle 3,-2,\cfrac{5}{3},-\cfrac{3}{2},\cfrac{7}{5},...$

La sucesión puede reescribirse como:

$\displaystyle \cfrac{3}{1},-\cfrac{4}{2},\cfrac{5}{3},-\cfrac{6}{4},\cfrac{7}{5},...$

Si prescindimos del signo, el numerador es una progresión aritmética con una $d=1$

El denominador es una progresión aritmética de $d=1$

Por ser los términos pares los negativos multiplicamos por $\left ( -1 \right )^{n+1}$

$\displaystyle a_{n}=\left (-1 \right )^{n-1}\cdot \cfrac{n+2}{n}$

6 $\displaystyle 1,\cfrac{1}{2},3,\cfrac{1}{4},5,...$

Es una sucesión oscilante

Los términos impares forman progresión aritmética con una $d=1$ , si no tenemos en cuenta los términos pares

El denominador de los términos pares forman progresión aritmética con una $d=1$

$\displaystyle 1,\cfrac{1}{2},3,\cfrac{1}{4},5,...a_{n}=\left\{\begin{matrix} n \textup{ si } n \textup{ es impar }\Rightarrow n=2k-1 \\ \cfrac{1}{n} \textup{ si } n \textup{ es par} \Rightarrow n=2k \end{matrix}\right.$

7 $-4,9,-16,25,-36,...$

La sucesión se puede reescribir

$-2^{2},3^{2},-4^{2},5^{2},-6^{2},...$

Si prescindimos del signo y del exponente tenemos una progresión aritmética con una $d=1$

Por estar los términos al cuadrado, tenemos que elevar el término general al cuadrado

Por ser los términos impares los negativos multiplicamos por $\left ( -1 \right )^{n}$

$a_{n}=\left ( -1 \right )^{n}\cdot \left ( n+1 \right )^{2}$

8 $\displaystyle \cfrac{1}{4},1,\cfrac{9}{12},1,\cfrac{25}{28},...$

La sucesión se puede reescribir como:

$\displaystyle \cfrac{1}{1^{2}+3},1,\cfrac{3^{2}}{3^{2}+3},1,\cfrac{5}{5^{2}+3},...$

Es una sucesión oscilante

El numerador de los términos impares forman progresión aritmética con una $d=1$ , si no tenemos en cuenta los términos pares.

Por estar los términos al cuadrado, tenemos que elevar el término general al cuadrado

El primer sumando del denominador (prescindiendo del cuadrado) es una progresión aritmética de $d=1$ (sin contar los términos pares)

El término general lo tenemos que elevar al cuadrado y sumarle $3$

Los términos pares forman una sucesión constante.

$\displaystyle \cfrac{1}{4},1,\cfrac{9}{12},1,\cfrac{25}{28},...,a_{n}=\left\{\begin{matrix} \cfrac{n^{2}}{n^{2}+3} \textup{ si }n \textup{ es impar } \Rightarrow n=2k-1\\ \\ 1 \textup{ si } n \textup{ es par }\Rightarrow n=2k \end{matrix}\right.$

9 $\displaystyle \cfrac{5}{6},\cfrac{7}{12},\cfrac{9}{24},\cfrac{11}{48},\cfrac{13}{96},...$

Separando las sucesiones del numerador y el denominador tenemos:

Numerador: $5,7,9,11,13...$

Denominador: $6,12,18,54,162,...=3\cdot 2^{1},3\cdot 2^{2},3\cdot 2^{3}=3\cdot 2^{4}=3\cdot2 ^{5}...$

El numerador es una progresión aritmética con una $d=2$

El denominador es una progresión geométrica con una $r=2$

$a_{n}=\cfrac{2n+3}{3\cdot 2^{n}}$

10 $\cfrac{1}{2},-\cfrac{2}{6},\cfrac{3}{18},-\cfrac{4}{54},\cfrac{5}{162},...$

Si prescindimos del signo, el numerador es una progresión aritmética con una $d=1$

El denominador es una progresión geométrica con una $r=3$

Por ser los términos pares los negativos multiplicamos por $\left ( -1 \right )^{n+1}$

$\displaystyle a_{n}=\cfrac{\left ( -1 \right )^{n-1}}{\cfrac{2}{3}\cdot 3^{n}}$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Resumen

Sucesiones y progresiones

Teoría

Límite de sucesiones

Limites de sucesiones parte II

Indeterminacion cero por infinito

Indeterminación cero partido por cero

Indeterminación uno elevado a infinito

Que es una sucesión matemática

Operaciones con sucesiones

Progresiones aritmeticas

Progresiones geometricas

Termino general de una sucesion

Indeterminacion infinito menos infinito en sucesiones

Tipos de sucesiones

Límite de una sucesión

Sucesiones – Indeterminación infinito partido infinito sucesiones

Limites de sucesiones parte I

Progresiones

Operaciones con límites

Sucesión

Limite infinito de una sucesion

Propiedades de los limites. Infinitesimos

Ejercicios interactivos

Ejercicios interactivos de progresiones geométricas

Ejercicios interactivos de sucesiones

Ejercicios interactivos de operaciones con sucesiones

Ejercicios interactivos de límite de una sucesión

Ejercicios interactivos de tipos de sucesiones

Ejercicios interactivos de progresiones aritméticas

Problemas interactivos: progresiones aritmeticas y geometricas

Ejercicios interactivos del término general de una sucesión

Otros ejercicios

Problemas de sucesiones y progresiones

Ejercicios de progresiones geometricas

Ejercicios de progresiones aritmeticas

Ejercicios de limites de sucesiones

Ejercicios de sucesiones y progresiones II

Limites de sucesiones part III

Ejercicios de limites de sucesiones II

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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Maria Paredes

Marzo 2022

solucion y explicacionews

Mariana

Marzo 2022

Hola porfavor necesito ayuda. Es que tengo dificultad para la resolución de interpolación con radicales, es decir con números que estén dentro de raíces

Anabel

Junio 2022

Hola como puedo hacer estas sucesiones numérica 6.24.96.384.1536

lorena

Marzo 2022

probar que esta sucesion es convergente |(Xn+1) -( Xn)| < a |(Xn )- (Xn-1)| donde 0 < a < 1.

kaylie

Enero 2022

Hallar una regla para la sucesión: (6/5, 9/15, 12/45, 15/135, 18/405…), ¿cuál es el término #20?

Genesis

Enero 2022

Calcule los primero 5 terminos y el termino particular indicado a partir del termino general
a) an=-n……a5

leonardo

Enero 2022

ayudenme plis
8. El primer término de una progresión aritmética es , y el décimo quinto es . Hallar la diferencia y la suma de
los quince primeros términos.
9. Hallar la suma de los quince primeros números acabados en .
10. Hallar los ángulos de un cuadrilátero convexo, sabiendo que están en progresión aritmética, siendo .
11. En una progresión aritmética, sabemos que el sexto término es 28 y que la diferencia es 5. Calcular el término
general y los 5 primeros términos.
12. El 1er término de una progresión geométrica es , y el 8º es .
13.Juan ha comprado 20 libros. Por el 1º ha pagado 1€ por el 2º 2 €, por el 3º 4 €, por el 4º 8 € y así sucesivamente.
¿Cuánto ha pagado por los libros?
14.En una progresión geométrica, sabemos que el primer término es 6 y el cuarto 48. Calcular el término general y la
suma de los 5 primeros términos.
En una progresión aritmética, sabemos que el primer término es 1 y la suma de los 10 primeros términos es 63. Calcular
el término general

Ejercicios de sucesiones numéricas

Estudia la monotonía, la convergencia o divergencia y las cotas de las sucesiones

Hallar el término general de las siguientes sucesiones

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Resumen

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Progresiones geometricas

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Sucesiones – Indeterminación infinito partido infinito sucesiones

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Ejercicios de limites de sucesiones

Ejercicios de sucesiones y progresiones II

Limites de sucesiones part III

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