Name: Ejercicios de sucesiones
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Temas

Estudia la monotonía, la convergencia o divergencia y las cotas de las sucesiones
Hallar el término general de las siguientes sucesiones
Calcular el término general de las siguientes sucesiones

Estudia la monotonía, la convergencia o divergencia y las cotas de las sucesiones

1 $a_{n}=1,2,3,4,5,...,n$

2 $a_{n}=-1,-2,-3,-4,-5,...-n$

3 $\displaystyle a_{n}=2,\cfrac{3}{2},\cfrac{4}{3},\cfrac{5}{4},...,\cfrac{n+1}{n}$

4 $a_{n}=2,-4,8,-16,32,...,\left ( -1 \right )^{n-1}\cdot 2^{n}$

5 $\displaystyle a_{n}=\cfrac{n+2}{2n+1}$

6 $a_{n}=\left ( -1 \right )^{n-1}\cdot 2^{n}$

7 $\displaystyle 1,-1,\cfrac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{3},-\frac{1}{3},...$

8 $\displaystyle a_{n}=\cfrac{n}{n+1}$

Estudia la monotonía, la convergencia o divergencia y las cotas de las sucesiones

Soluciones:

1 $a_{n}=1,2,3,4,5,...,n$

Es creciente

Está acotada inferiormente

Cotas inferiores: $1,0,-1,...$

El mínimo es $1$

No está acotada superiormente

Divergente

2 $a_{n}=-1,-2,-3,-4,-5,...-n$

Es decreciente

Está acotada superiormente

Cotas superiores: $-1,0,-1,...$

El máximo es $-1$

No está acotada inferiormente

Divergente

3 $\displaystyle a_{n}=2,\cfrac{3}{2},\cfrac{4}{3},\cfrac{5}{4},...,\cfrac{n+1}{n}$

Es decreciente

Está acotada superiormente

Cotas superiores: $2, 3, 4,...$

El máximo es $2$

Está acotada inferiormente

Cotas inferiores: $1,0,-1,...$

El ínfimo es $1$

Convergente, $\lim_{n\rightarrow \infty }=1$

4 $a_{n}=2,-4,8,-16,32,...,\left ( -1 \right )^{n-1}\cdot 2^{n}$

No es monótona

No está acotada

No es convergente ni divergente

5 $\displaystyle a_{n}=\cfrac{n+2}{2n+1}$

Los primeros términos de esta sucesión son:

$\displaystyle 3,\cfrac{4}{3},1,\frac{6}{7},...$

Es monótona estrictamente decreciente

$a_{1}=3$

$a_{3}=1$

$a_{1.000}=0,5012506253127$

$a_{1.000.000}=0,5000012500006$

$\Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty }=0,5$

Sucesión convergente

Por ser decreciente, $3$ es una cota superior, el máximo.

$0,5$ es una cota inferior, el ínfimo o extremo inferior.

Por tanto la sucesión está acotada

$0,5< a_{n}\leq 3$

6 $a_{n}=\left ( -1 \right )^{n-1}\cdot 2^{n}$

Los primeros términos de la sucesión son:

$2,-4,8,-16$

No es monótona

No es convergente ni divergente

No está acotada

7 $\displaystyle 1,-1,\cfrac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{3},-\frac{1}{3},...$

No es monótona

Es convergente porque $\lim_{n\rightarrow \infty }=0$

Está acotada superiormente, $1$ es el máximo

Está acotada inferiormente, $-1$ es el mínimo

Está acotada

$-1\leq a_{n}\leq 1$

8 $\displaystyle a_{n}=\cfrac{n}{n+1}$

Los primeros términos de la sucesión son:

$\displaystyle \cfrac{1}{2},\cfrac{2}{3}, \cfrac{3}{4}, \cfrac{4}{5},\cfrac{5}{6},...$

Es monotona estrictamente creciente

$a_{1}=0,5$

$a_{3}=0,6666...$

$a_{1.000}=0,999000999001$

$a_{1.000.000}=0,999999000001$

$\Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty }=1$

Sucesión convergente

Está acotada inferiormente, $\displaystyle \cfrac{1}{2}$ es el mínimo

Está acotada superiormente. $1$ es el supremo

Por tanto la sucesión está acotada

$0,5\leq a_{n}< 1$

Hallar el término general de las siguientes sucesiones

1 $8,3,-2,-7,-12,...$

2 $3,6,12,24,48,...$

3 $4,9,16,25,36,49,...$

4 $5,10,17,26,37,50,...$

5 $6,11,18,27,38,51,...$

6 $3,8,15,24,35,48,...$

7 $-4,9,-16,25,-36,49,...$

8 $4,-9,16,-25,36,-49,...$

9 $\displaystyle \cfrac{2}{4},\cfrac{5}{9},\cfrac{8}{16},\cfrac{11}{25},\cfrac{14}{36},...$

10 $\displaystyle -5,\cfrac{7}{2},-\cfrac{9}{3},\cfrac{11}{4},-\cfrac{13}{5}...$

Hallar el término general de las siguientes sucesiones

1 $8,3,-2,-7,-12,...$

Podemos obtener la diferencia entre los términos consecutivos:

$3-8=-5$

$-2-3=-5$

$-7-\left ( -2 \right )=-5$

$-12-\left ( -7 \right )=-5$

Debido a que la diferencia es constante, $d=-5$

Es una progresión aritmética

$a_{n}=8+\left ( n-1 \right )\left ( -5 \right )=8-5n+5=-5n+13$

2 $3,6,12,24,48,...$

Podemos dividir cada termino por su antecesor:

$6\div 3=2$

$12\div 6=2$

$24\div 12=2$

$48\div 24=2$

Como el cociente es constante, $r=2$

se trata de una progresión geométrica

$a_{n}=3\cdot \left (2 \right )^{n-1}$

3 $4,9,16,25,36,49,...$

La sucesión se puede reescribir como:

$2^{2},3^{2},4^{3},5^{3},6^{3},7^{3},...$

Observamos que las bases están en progresión aritmética, siendo $d=1$ , y el exponente es constante, por lo que podemos escribir la siguiente sucesión para la base:

$b_{n}=2+\left ( n-1 \right )\cdot 1=2+n-1=n+1$

Por lo que el término general es:

$a_{n}=\left ( n+1 \right )^{2}$

4 $5,10,17,26,37,50,...$

Cada término de esta sucesión es el consecutivo de los términos de la sucesión anterior, por lo que podemos reescribirla como:

$2^{2}+1,3^{2}+1,4^{2}+1,5^{2}+1,6^{2}+1,7^{2}+1,...$

Hallamos el término general como vimos en el caso anterior y le sumamos 1.

$a_{n}=\left ( n+1 \right )^{2}+1$

5 $6,11,18,27,38,51,...$

La sucesión se puede reescribir como:

$2^{2}+2,3^{2}+2,4^{2}+2,5^{2}+2,6^{2}+2,7^{2}+2,...$

$a_{n}=\left ( n+1 \right )^{2}+2$

6 $3,8,15,24,35,48,...$

La sucesión se puede reescribir como:

$2^{2}-1,3^{2}-1,4^{2}-1,5^{2}-1,6^{2}-1,7^{2}-1,...$

$a_{n}=\left ( n+1 \right )^{2}-1$

7 $-4,9,-16,25,-36,49,...$

Cada uno de los términos de esta sucesión es el inverso de cada uno de los términos de la sucesión $3$ , por lo que:

$a_{n}=\left ( -1 \right )^{n}\left ( n+1 \right )^{2}$

8 $4,-9,16,-25,36,-49,...$

$a_{n}=\left ( -1 \right )^{n-1}\left ( n+1 \right )^{2}$

9 $\displaystyle \cfrac{2}{4},\cfrac{5}{9},\cfrac{8}{16},\cfrac{11}{25},\cfrac{14}{36},...$

Tenemos dos sucesiones, una para el numerado y otra para el denominador:

$2,5,8,11,14,...$

$4,9,16,25,36,...$

La primera es una progresión aritmética con $d=3$ , la segunda es una sucesión de cuadrados perfectos.

$\displaystyle a_{n}=\cfrac{3n-1}{\left ( n+1 \right )^{2}}$

10 $\displaystyle -5,\cfrac{7}{2},-\cfrac{9}{3},\cfrac{11}{4},-\cfrac{13}{5}...$

Si prescindimos del signo, el numerador es una progresión aritmética con una $d=2$ .

El denominador es una progresión aritmética de $d=1$ .

Por ser los términos impares los negativos multiplicamos por $\left ( -1 \right )^{n}$ .

$\displaystyle a_{n}=\left ( -1 \right )^{n}\cdot \cfrac{2n+3}{n}$

Calcular el término general de las siguientes sucesiones

1 $\displaystyle 1,\cfrac{1}{2},\cfrac{1}{3},\cfrac{1}{4},\cfrac{1}{5},...$

2 $\displaystyle \cfrac{1}{2},\cfrac{2}{3},\cfrac{3}{4},\cfrac{4}{5},\cfrac{5}{6},...$

3 $\displaystyle -3,-1,-\cfrac{1}{3},0,\cfrac{1}{5},...$

4 $-1,2,-3,4,-5$

5 $\displaystyle 3,-2,\cfrac{5}{3},-\cfrac{3}{2},\cfrac{7}{5},...$

6 $\displaystyle 1,\cfrac{1}{2},3,\cfrac{1}{4},5,...$

7 $-4,9,-16,25,-36,...$

8 $\displaystyle \cfrac{1}{4},1,\cfrac{9}{12},1,\cfrac{25}{28},...$

9 $\displaystyle \cfrac{5}{6},\cfrac{7}{12},\cfrac{9}{24},\cfrac{11}{48},\cfrac{13}{96},...$

10 $\displaystyle \cfrac{1}{2},-\cfrac{2}{6},\cfrac{3}{18},-\cfrac{4}{54},\cfrac{5}{162},...$

Calcular el término general de las siguientes sucesiones:

Soluciones:

1 $\displaystyle 1,\cfrac{1}{2},\cfrac{1}{3},\cfrac{1}{4},\cfrac{1}{5},...$

El numerador es constante.

El denominador es una progresión aritmética de $d=1$ .

$a_{n}=\cfrac{1}{n}$

2 $\cfrac{1}{2},\cfrac{2}{3},\cfrac{3}{4},\cfrac{4}{5},\cfrac{5}{6},...$

El numerador es una progresión aritmética con una $d=1$

El denominador es una progresión aritmética con una $d=1$

$\displaystyle a_{n}=\cfrac{n}{n+1}$

3 $\displaystyle -3,-1,-\cfrac{1}{3},0,\cfrac{1}{5},...$

Si escribimos cada término de la sucesión en forma racional, obtendríamos:

$\displaystyle \cfrac{-3}{1},\cfrac{-2}{2},\cfrac{-1}{3},\cfrac{0}{4},\cfrac{1}{5},...$

El numerador es una progresión aritmética con una $d=1$

El denominador es una progresión aritmética de $d=1$

$\displaystyle a_{n}=\cfrac{n-4}{n}$

4 $-1,2,-3,4,-5$

Si prescindimos del signo es una progresión aritmética con una $d=1$

Por ser los términos impares los negativos multiplicamos por $\left ( -1 \right )^{n}$

$a_{n}=\left ( -1 \right )^{n}\cdot n$

5 $\displaystyle 3,-2,\cfrac{5}{3},-\cfrac{3}{2},\cfrac{7}{5},...$

La sucesión puede reescribirse como:

$\displaystyle \cfrac{3}{1},-\cfrac{4}{2},\cfrac{5}{3},-\cfrac{6}{4},\cfrac{7}{5},...$

Si prescindimos del signo, el numerador es una progresión aritmética con una $d=1$

El denominador es una progresión aritmética de $d=1$

Por ser los términos pares los negativos multiplicamos por $\left ( -1 \right )^{n+1}$

$\displaystyle a_{n}=\left (-1 \right )^{n-1}\cdot \cfrac{n+2}{n}$

6 $\displaystyle 1,\cfrac{1}{2},3,\cfrac{1}{4},5,...$

Es una sucesión oscilante

Los términos impares forman progresión aritmética con una $d=1$ , si no tenemos en cuenta los términos pares

El denominador de los términos pares forman progresión aritmética con una $d=1$

$\displaystyle 1,\cfrac{1}{2},3,\cfrac{1}{4},5,...a_{n}=\left\{\begin{matrix} n \textup{ si } n \textup{ es impar }\Rightarrow n=2k-1 \\ \cfrac{1}{n} \textup{ si } n \textup{ es par} \Rightarrow n=2k \end{matrix}\right.$

7 $-4,9,-16,25,-36,...$

La sucesión se puede reescribir

$-2^{2},3^{2},-4^{2},5^{2},-6^{2},...$

Si prescindimos del signo y del exponente tenemos una progresión aritmética con una $d=1$

Por estar los términos al cuadrado, tenemos que elevar el término general al cuadrado

Por ser los términos impares los negativos multiplicamos por $\left ( -1 \right )^{n}$

$a_{n}=\left ( -1 \right )^{n}\cdot \left ( n+1 \right )^{2}$

8 $\displaystyle \cfrac{1}{4},1,\cfrac{9}{12},1,\cfrac{25}{28},...$

La sucesión se puede reescribir como:

$\displaystyle \cfrac{1}{1^{2}+3},1,\cfrac{3^{2}}{3^{2}+3},1,\cfrac{5}{5^{2}+3},...$

Es una sucesión oscilante

El numerador de los términos impares forman progresión aritmética con una $d=1$ , si no tenemos en cuenta los términos pares.

Por estar los términos al cuadrado, tenemos que elevar el término general al cuadrado

El primer sumando del denominador (prescindiendo del cuadrado) es una progresión aritmética de $d=1$ (sin contar los términos pares)

El término general lo tenemos que elevar al cuadrado y sumarle $3$

Los términos pares forman una sucesión constante.

$\displaystyle \cfrac{1}{4},1,\cfrac{9}{12},1,\cfrac{25}{28},...,a_{n}=\left\{\begin{matrix} \cfrac{n^{2}}{n^{2}+3} \textup{ si }n \textup{ es impar } \Rightarrow n=2k-1\\ \\ 1 \textup{ si } n \textup{ es par }\Rightarrow n=2k \end{matrix}\right.$